Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== VŨ THỊ LOAN PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Loan Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Loan Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân toán bù 1.2 Sự tồn nghiệm 1.3 Tính đơn điệu đơn điệu tổng quát 14 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 17 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 17 2.2 Vấn đề mở liên quan đến phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 18 2.3 Tính nghiệm toán hiệu chỉnh 19 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân không ràng buộc 19 2.3.2 Bài toán bù tuyến tính 26 2.4 Tính giả đơn điệu ánh xạ hiệu chỉnh 28 2.4.1 Trường hợp chiều 28 2.4.2 Trường hợp nhiều chiều 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Danh mục kí hiệu N : tập số tự nhiên R : tập số thực €, ❘ : thuộc, không thuộc phần tử tập hợp ❍, ⑨ : tập rỗng, tập H : không gian Hilbert thực l2 : không gian dãy bình phương khả tổng Rn : không gian Euclide n-chiều Rn  : ortan không âm Rn Rn✂m : không gian ma trận thực cấp n ✂ m M ✏ ♣mij q : ma trận với phần tử mij det M : định thức ma trận M M T : chuyển vị ma trận M M ✁1 : nghịch đảo ma trận M Ik : ma trận đơn vị cấp k diag ♣uq : ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thành phần véc-tơ u txk ✉ : dãy phần tử x1, x2, x3, ⑥x⑥ : chuẩn véc-tơ x ①x, y② : tích vô hướng véc-tơ x y ❳, ❨, ✂ : giao, hợp, tích Decart F : U Ñ V : ánh xạ từ U vào V B ♣u, rq : hình cầu mở tâm u bán kính r B ♣u, rq : hình cầu đóng tâm u bán kính r V I ♣K, F q : toán bất đẳng thức biến phân xác định tập K ánh xạ F CP ♣K, F q : toán bù xác định nón K ánh xạ F LCP ♣M, q q : toán bù tuyến tính xác định ma trận M véc-tơ q Sol♣K, F q : tập nghiệm V I ♣K, F q CP ♣K, F q Sol♣M, q q : tập nghiệm LCP ♣M, q q Mở đầu Lí chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân toán tối ưu đóng vai trò quan trọng, có nhiều ứng dụng khoa học sống Những toán coi toán điển hình toán cân Toán tử đơn điệu nghiên cứu từ đầu năm 1960 F Browder dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu toán tử để nghiên cứu toán khác phương trình vi phân phi tuyến elliptic P Hartman G Stampacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic parabolic, nghiên cứu nhiều toán tối ưu cân Cho đến toán tử đơn điệu tiếp tục đề tài nhà toán học quan tâm nghiên cứu Khái niệm toán tử giả đơn điệu giới thiệu S Karamardian, mở rộng quan trọng toán tử đơn điệu Tác giả rằng, hàm giả lồi ánh xạ gradient giả đơn điệu Từ đó, S Karamardian S Schaible đưa số khái niệm đơn điệu tổng quát giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh, tựa đơn điệu Tác giả thiết lập mối quan hệ tính đơn điệu toán tử tương ứng với tính đơn điệu hàm Nó cho thấy toán tử giả đơn điệu trường hợp đặc biệt toán tử tựa đơn điệu Trong thập kỉ qua, tồn nghiệm phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu nhiều nhà toán học nước quan tâm ứng dụng thực tế Sau học kiến thức bất đẳng thức biến phân, với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, chọn đề tài: “Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu” Mục đích nghiên cứu Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân, đưa định nghĩa, khái niệm liên quan, tồn nghiệm tính chất Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu hội tụ nghiệm phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, tồn nghiệm, phương pháp tìm nghiệm Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu báo công bố tạp chí quốc tế sách chuyên khảo liên quan tới toán tử đơn điệu ứng dụng chúng việc giải phương trình, bất phương trình Tham gia xemina giải tích phi tuyến liên quan đến ánh xạ đơn điệu giả đơn điệu Sử dụng phương pháp: tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng phương pháp giải tích hàm Đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng quan có hệ thống với phân tích số tính chất bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, đưa phương pháp tìm nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Chương Kiến thức chuẩn bị Bất đẳng thức biến phân công cụ mạnh, sử dụng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng Nhiều toán lý thuyết tối ưu, kinh tế vật lý toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân Để dễ hình dung ta xét toán không gian Rn 1.1 Bất đẳng thức biến phân toán bù Định nghĩa 1.1.1 ( Xem([12], Định nghĩa 1.1)) Cho tập K Ñ Rn Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu V I ♣K, F q, toán tìm u✝ € K cho khác rỗng Rn ánh xạ F : K ①F ♣u✝q, u ✁ u✝② ➙ 0, ❅u € K (1.1) u✝ gọi nghiệm toán Tập hợp điểm u✝ thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm V I ♣K, F q kí hiệu Sol♣K, F q Sau đây, ta giả sử K tập lồi đóng, khác rỗng F ánh xạ liên tục K Khi K nón (nghĩa u τ ➙ 0) ta có toán sau: €K τ u €K Định nghĩa 1.1.2 Cho nón lồi K ánh xạ F : K với vô hướng Ñ Rn Bài toán bù, Theo Bổ đề 2.3.1, ✎✎ ✎✎ u v ✎✎ ✁ ✎ ↕ L⑥u ✁ v⑥, ❅u, v € K, g ♣uq g ♣v q ✎ với L số Lipschitz G♣uq :✏ Vì ✎ ✎ ⑥φε♣uq ✁ φε♣vq⑥ ↕ ε⑥M ✁1⑥ ✎✎ u g ♣uq ✁ u K g ♣uq ✎ v ✎✎ ↕ εL⑥M ✁1 ⑥⑥u ✁ v ⑥ ✎ g ♣v q Cố định ε¯ € ♣0, L✁1 ⑥M ✁1 ⑥✁1 q ý εL⑥M ✁1 ⑥ ♣0, ε¯q Theo tính chất (2.2), (2.2) ➔ với ε € ⑥φε♣uq ✁ φε♣vq⑥ ➔ ⑥u ✁ v⑥, ❅u, v € K, u ✘ v Vì vậy, phương trình (2.1) có nhiều nghiệm K Tóm lại V I ♣Rn , Fε q có nghiệm với ε € ♣0, ε¯q Lớp toán tử giả đơn điệu giới thiệu Định lý 2.3.3 chứa nhiều phần tử không giả affin Do đó, Định lý 2.3.3 mở rộng thực Định lý 2.3.2 Ví dụ 2.3.1 Cho F ♣uq ✏ g ♣uq♣M u   q q với g ♣uq ✏ u21   u22   với u ✏ ♣u1 , u2 qT € R2, q ✏ ♣q1, q2qT € R2 véc-tơ chọn tùy ý, ☎ ☞ ✌, µ → M ✏✆ µ Rõ ràng M nửa xác định dương khả nghịch Ngoài ra, g ♣uq u → với € R2 g khả vi liên tục R2 Do tất giả thiết Định lý 2.3.3 thỏa mãn Trong đó, M không đối xứng lệch nên F không giả affin 25 2.3.2 Bài toán bù tuyến tính Xét toán bù tuyến tính có dạng (1.3) Ta có kết tiếp theo: Định lý 2.3.4 Giả sử (1.3) có tính chấp nhận ánh xạ F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu Rn  Khi đó, toán hiệu chỉnh LCP ♣Mε , q q, với Mε ✏ M   εI có nghiệm với ε € ♣0,  ✽q tùy ý Để chứng minh Định lý 2.3.4 ta phải dựa vào khái niệm P0 ma trận, P - ma trận kết liên quan Định nghĩa 2.3.2 ( Xem([10], Định nghĩa 3.3.1 3.4.1)) Ta gọi M Rn✂n € (a) P0 - ma trận tất định thức không âm (b) P - ma trận tất định thức dương Nếu M P - ma trận P0 - ma trận Đảo lại nói chung không Bổ đề 2.3.4 ( Xem([10], Định lý 3.4.2)) Cho M € Rn✂n, mệnh đề sau tương đương (a) M P0 - ma trận (b) Với ε → 0, M   εI P - ma trận Bổ đề 2.3.5 ( Xem([10], Định lý 3.3.7)) Phần tử M € Rn✂n P - ma trận toán LCP ♣M, q q có nghiệm với véc-tơ q € Rn Bổ đề đưa điều kiện đủ cho tính chất P0 - ma trận 26 Bổ đề 2.3.6 ( Xem([6], Định lý 1)) Giả sử toán LCP ♣M, q q có tính chấp nhận ánh xạ F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu Rn  Khi M P0 - ma trận Chứng minh Định lý 2.3.4 Theo Bổ đề 2.3.6, LCP ♣M, q q có tính chấp nhận ánh xạ F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu nên M P0 - ✏ M   εI P - ma trận với ε → Hơn nữa, theo Bổ đề 2.3.5 toán LCP ♣Mε , q q có nghiệm nhât với ε € ♣0,  ✽q ma trận Do đó, theo Bổ đề 2.3.4, Mε Trong Định lý 2.3.4 ta chứng minh tính nghiệm toán hiệu chỉnh cho toán bù tuyến tính giả đơn điệu điều kiện nhẹ tính chấp nhận toán ban đầu Chứng minh ta không sử dụng kết tồn nghiệm toán hiệu chỉnh Định lý 2.3.3 Kết Định lý 2.3.4 không bảo toàn giả thiết tính chấp nhận không tồn Ví dụ minh họa ý Ví dụ 2.3.2 Xét hàm số F ♣uq ✏ M u   q, với ☎ M ✏✆ Lấy u ✏ ♣u1 , u2 qT ✁1 ☎ ☞ ✌, q ✏ ✆ ✁1 ☞ ✌ € R2 ε € ♣0,  ✽q ta có F ♣uq ✏ ♣u2   1, ✁u2 ✁ 1qT , Fε ♣uq ✏ ♣u2     εu1 , ✁u2 ✁   εu2 qT Ánh xạ F ♣uq giả đơn điệu K ✏ R2 , hai toán LCP ♣M, qq LCP ♣Mε , q q với ε € ♣0, 1q nghiệm chấp nhận 27 Bây ta tính chấp nhận toán hiệu chỉnh LCP ♣Mε , q q, ε € ♣0, 1q không kéo theo tính chấp nhận toán ban đầu LCP ♣M, q q ✏ ♣0q € R1✂1 q ➔ Ta thấy F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu R1  LCP ♣M, q q nghiệm chấp nhận Chú ý rằng, với ε € ♣0,  ✽q tùy ý, x♣εq ✏ ✁qε✁1 nghiệm toán LCP ♣Mε , q q Hơn nữa, x♣εq Ñ  ✽ ε Ñ Do Ví dụ 2.3.3 Chọn M vây, quỹ đạo sinh trình hiệu chỉnh không bị chặn Do đó, nhìn lại Ví dụ 2.2.1 ta thấy tính giả đơn điệu bị suốt trình hiệu chỉnh toán tử giả đơn điệu không tuyến tính Vậy câu hỏi đặt tính giả đơn điệu ánh xạ affin có bảo toàn trình hiệu chỉnh hay không Trong mục ta đề cập đến vấn đề 2.4 Tính giả đơn điệu ánh xạ hiệu chỉnh Tác động phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov lên ánh xạ giả đơn điệu affin trình bày mục 2.4.1 Trường hợp chiều Bây ta định nghĩa tính giả đơn điệu ánh xạ F ♣uq ✏ au   b với a, b số thực cho trước, K Định lý 2.4.1 Cho K ⑨ R tập lồi, đóng, khác rỗng ⑨ R tập lồi, đóng F ♣uq ✏ au   b ánh xạ affin Khi F giả đơn điệu K 28 trường hợp sau xảy ra: (a) K có phần tử nhất; (b) K ✏ R a ➙ 0; (c) K ✏ rα,  ✽q với α € R a ➙ a ➔ aα   b ➔ 0; (d) K ✏ ♣✁✽, β s với β € R a ➙ a ➔ aβ   b → 0; ✏ rα, β s với α, β € R, α ➔ β, a ➙ aα   b ➔ 0, a ➔ aβ   b → (e) K a ➔ Chứng minh Nếu K có phần tử ta có ①F ♣uq, v ✁ u② ✏ ①F ♣vq, v ✁ u② ✏ 0, ❅u, v € K, ➙ ánh xạ F ♣uq ✏ au   b đơn điệu R, giả đơn điệu tập K ⑨ R Nếu a ➔ ta xét trường hợp sau: Trường hợp K ✏ R b b Đặt u ✏ ✁ v ✘ ✁ , ta có a a ✂ ✡2 b ①F ♣uq, v ✁ u② ✏ ♣au   bq♣v ✁ uq ✏ 0, ①F ♣vq, v ✁ u② ✏ a v   a ➔ F giả đơn điệu K Nếu a Do F không giả đơn điệu K ✏ rα,  ✽q Nếu aα   b ➔ F ♣uq ✏ au   b ↕ aα   b ➔ với u € K; Trường hợp K ①F ♣uq, v ✁ u② ➙ ñ ①F ♣vq, v ✁ u② ➙ 0, với u, v € K Do đó, F giả đơn điệu K 29 Nếu aα   b ➙ F không giả đơn điệu K Thật vậy, chọn ✥ ✭ u ✏ ✁ ab , v € K ③ ✁ ab chứng minh tương tự Trường hợp ①F ♣uq, v ✁ u② ✏ ♣au   bq♣v ✁ uq ✏ 0; ✂ ✡2 b ①F ♣vq, v ✁ u② ✏ a v   a ➔ Trường hợp K ✏ ♣✁✽, β s Phân tích tương tự Trường hợp ta chứng minh F giả đơn điệu K aβ   b → Trường hợp K ✏ rα, β s, α ➔ β Phân tích tương tự Trường hợp Trường hợp ta F giả đơn điệu K aα   b ➔ aβ   b → Trên tảng Định lý 2.4.1, ta nghiên cứu bảo toàn tính giả đơn điệu ánh xạ hiệu chỉnh Hệ 2.4.1 Cho K tập lồi, đóng R F ♣uq ✏ au   b ánh xạ affin Nếu F giả đơn điệu K tồn ε¯ → cho Fε ♣uq ✏ ♣a   εqu   b giả đơn điệu K với ε € ♣0, ε¯q Chứng minh Ánh xạ Fε ♣uq thỏa mãn Trường hợp Định lý 2.4.1 Ta chứng minh điều Trường hợp ♣aq ✁ ♣bq tầm thường Trong trường hợp từ ♣cq ✁ ♣eq, a ➙ khẳng định Vì ➔ Nếu ♣cq xảy ra, a ➔ aα   b ➔ 0, a   ε ➔ ♣a   εqα   b ➔ 0, ❅ε € ♣0, ε¯q với ✩ ✬ ✫ ⑤ a⑤ α ↕ 0, ε¯ ✏ ✬ ✪mint⑤a⑤, ⑤aα   b⑤α✁1✉ α → ta cần xét trường hợp a 30 Do đó, theo Định lý 2.4.1, Fε ♣uq ✏ ♣a   εqu   b giả đơn điệu K với ε € ♣0, ε¯q Nếu ♣dq xảy ra, a ➔ aβ   b → a   ε ➔ ♣a   εqβ   b → 0, ❅ε € ♣0, ε¯q với ✩ ✬ ✫ ⑤ a⑤ β ➙ 0, ε¯ ✏ ✬ ✪mint⑤a⑤, ⑤aβ   b⑤β ✁1✉ β ➔ Do đó, theo Định lý 2.4.1 ta lại có Fε ♣uq giả đơn điệu K với € ♣0, ε¯q Nếu ♣eq xảy ra, a ➔ aβ   b → 0, ta chứng minh tương tự trường hợp ♣dq ε Trong mục ta thấy bảo toàn tính giả đơn điệu Fε , với ε → đủ nhỏ( với điều kiện F giả đơn điệu) trình bày ⑨ R không hoàn toàn cho trường hợp K lồi, đóng, khác rỗng Rn , n → Hệ 2.4.1 trường hợp K 2.4.2 Trường hợp nhiều chiều Phần nghiên cứu tính giả đơn điệu ánh xạ affin trường hợp nón K ✏ Rn  (trường hợp đặc biệt) Sau ta nhắc lại số kiến thức Định lý 2.4.2 ( Xem([3], Mệnh đề 3.1)) Cho M € Rn✂n q € Rn Khi đó, F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu Rn  ✩ ✬ ✬ ✬ M T v ➙ ①v, q ② ➙ 0, ✬ ✬ ✫ n ♣v € R ①v, M v② ➔ 0q ñ ✬hoặc ✬ ✬ ✬ ✬ ✪M T v ↕ 0, ①v, q② ↕ ①v, M v   q② ➔ 0, với ♣v¯qi :✏ maxt0, ✁vi ✉ với i ✏ 1, 2, , n 31 Định lý 2.4.3 Giả sử F ♣uq ✏ M u   q ánh xạ affin, với M ✏ diag♣λ1, λ2, , λnq, q ✏ ♣q1, q2, , qnqT , (2.3) ma trận đường chéo véc-tơ Rn Khi F giả đơn điệu Rn  điều kiện sau thỏa mãn: (i) λi ➙ với i € t1, 2, , n✉; (ii) Tồn i € t1, 2, , n✉ cho ✩ ✬ ✫λi ➔ 0, qi ➔ 0, ✬ ✪λj ✏ 0, qj ✏ 0, ❅j € t1, 2, , n✉③ti✉ (2.4) Chứng minh Để chứng minh Định lý ta chia bốn khả xảy sau Trường hợp λi ➙ với i € t1, 2, , n✉ Trong trường hợp này, M nửa xác định dương nên F đơn điệu Rn  Vì F giả đơn điệu Rn  Trường hợp Tồn i, j λj → € t1, 2, , n✉ cho i ✘ j, λi ➔ ❛ ❛ ❄ ✏ ♣0, , 0, 2λj , 0, , 0, ✁λi, 0, , 0qT , với 2λj vị trí ❄ thứ i, ✁λi vị trí thứ j, ta có Đặt v ①v, M v② ✏ λivi2   λj vj2 ✏ 2λiλj   λj ♣✁λiq ✏ λiλj ➔ 0, ❛ ❛ M T v ✏ ♣0, , 0, λi 2λj , 0, , 0, λj ✁λi , 0, , 0qT , với phần tử thứ i âm phần tử thứ j dương Do đó, theo Định lý 2.4.2, F không giả đơn điệu Rn  32 Trường hợp Tồn i, j λj ➔ Đặt v € t1, 2, , n✉ cho i ✘ j, λi ➔ 0, ✏ ♣0, , 0, 1, 0, , 0, ✁1, 0, , 0qT , với vị trí thứ i vị trí thứ j -1, ta có ①v, M v② ✏ λivi2   λj vj2 ✏ λi   λj ➔ 0, MTv ✏ ♣0, , 0, λi, 0, , 0, ✁λj , 0, , 0qT , với phần tử thứ i M T v âm phần tử thứ j dương Do đó, theo Định lý 2.4.2, F không giả đơn điệu Rn  Trường hợp Tồn i λj ✏ với j € t1, 2, , n✉③ti✉ € t1, 2, , n✉ cho λi ➔ Ta sử dụng Định lý 2.4.2 để chứng minh điều kiện q (2.4) cần đủ để F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu Rn  Điều kiện cần Đặt v ✏ ♣0, , 0, 1, 0, , 0qT , với vị trí thứ i Ta có v¯ ✏ ♣0, 0, , 0qT , ①v, M v② ✏ λivi2 ✏ λi ➔ 0, M T v ✏ ♣0, , 0, λi , 0, , 0qT ↕ Nếu F giả đơn điệu Rn  kết hợp với Định lý 2.4.2, → ①v, M v¯   q ② ✏ qi Cố định số dương tùy ý k định nghĩa vk ✏ ✂ 0, , 0, , 0, , 0, 1, 0, , k ✡T , với vị trí thứ i vị trí thứ j Ngoài ra, đặt k v¯k 0, , 0, ✁ , 0, , 0, 1, 0, , k ✏ ✂ ✡T 33 , ✁ k1 vị trí thứ j Chú ý ❅ k k❉ ❅ k k❉ λi λi v , M v ✏ λi ♣vik q2 ✏ ➔ 0, v¯ , M v¯ ✏ λi ♣v¯ik q2 ✏ ➔ 0, k k với vị trí thứ i M T vk ✏ ✂ ✡ λi 0, , 0, , 0, , k ↕ 0, M T v¯k ✏ ✂ ✡ λi 0, , 0, ✁ , 0, , k Nếu F giả đơn điệu Rn  dựa vào Định lý 2.4.2, ❅ vk , q ❉ ↕0 ❅ v¯k , q ❉ ➙ Điều qi   q j k ↕0 ✁ k1 qi   qj ➙ 0, hay tương đương, qi k Qua giới hạn k ↕ qj ↕ ✁ qki Ñ ✽, ta qj ✏ với j € t1, 2, , n✉③ti✉ Vì vậy, ta qi ➔0 qj Điều kiện đủ Giả sử qi ✏ 0, ❅j € t1, 2, , n✉③ti✉ ➔ qj ✏ với j € t1, 2, , n✉③ti✉ Để F giả đơn điệu Rn  , ta lấy u, v tùy ý từ Rn  Từ (2.3) (2.4) ta suy ①F ♣uq, v ✁ u② ✏ ♣λiui   qiq♣vi ✁ uiq, ①F ♣vq, v ✁ u② ✏ ♣λivi   qiq♣vi ✁ uiq 34 ➙ Vì λi ui   qi ➔ λivi   qi ➔ nên ①F ♣uq, v ✁ u② ➙ ñ ①F ♣vq, v ✁ u② ➙ Do đó, F giả đơn điệu Rn  Tiếp theo ta trình bày lớp ánh xạ affin giả đơn điệu mà ánh xạ hiệu chỉnh chúng Fε không giả đơn điệu với ε → đủ nhỏ Định lý 2.4.4 Cho F ♣uq ✏ M u   q, với M ✏ diag♣λ1, λ2, , λnq ma trận đường chéo q ✏ ♣q1 , q2 , , qn qT véc-tơ Rn Nếu F giả đơn điệu Rn  (nghĩa F giả đơn điệu không đơn điệu Rn  ), tồn ε¯ → cho Fε ♣uq ✏ F ♣uq  εu không giả đơn điệu Rn  với ε € ♣0, ε¯q Chứng minh Vì F ♣uq ✏ M u   q giả đơn điệu Rn  , theo Định lý € t1, 2, , n✉ cho λi ➔ 0, qi ➔ λj ✏ qj ✏ với j ✘ i Đặt ε¯ ✏ ⑤λi ⑤ → 0, ta thấy với ε € ♣0, ε¯q, ma trận đường chéo Mε ✏ M   εI có hai phần tử đường chéo có dấu khác Do đó, lại theo Định lý 2.4.3, ánh xạ Fε ♣uq ✏ Mε u   q không giả đơn điệu Rn  với ε € ♣0, ε¯q 2.4.3 có i Các ví dụ minh họa: Ví dụ 2.4.1 Đặt F ♣uq ✏ M u   q, với ☎ ✁1 M ✏✆ Lấy u ✏ ♣u1 , u2 qT , v ☞ ✌ ✏ ♣v1, v2qT ☎ ☞ ✁1 ✌ q✏✆ tùy ý từ R2  , ta có ①F ♣uq, v ✁ u② ✏ ♣✁u1 ✁ 1q♣v1 ✁ u1q, ①F ♣vq, v ✁ u② ✏ ♣✁v1 ✁ 1q♣v1 ✁ u1q 35 Vì ✁u1 ✁ ➔ ✁v1 ✁ ➔ nên ta ①F ♣uq, v ✁ u② ➙ ñ ①F ♣vq, v ✁ u② ➙ ✂ ✡ Do đó, F ♣uq giả đơn điệu R2  Với ε € 0, , đặt ✂ ✡ ✡ ✂ T T ✁2 2 ✁2 uε ✏ 0, ♣ε ✁ 2ε q , vε ✏ ε, ♣ε ✁ 2ε   1q♣ε ✁ 2ε q , ta có uε , vε € R2  ①Fε♣uεq, vε ✁ uε② ✏ 0, ①Fε♣vεq, vε ✁ uε② ✏ ✁ε3 ➔ Vì vậy, Fε ♣uq không giả đơn điệu R2  Chú ý Sol♣R2  , F q ✏ ❍ Ví dụ 2.4.2 Cho M, q, F Ví dụ 2.4.1 K ✏ r0, 1s ✂ R  ⑨ R2  Vì F ♣uq giả đơn điệu R2  nên giả đơn điệu K ✂ Chọn ✡ uε bất kì, vε Ví dụ 2.4.1 để ý uε , vε € K với ε € 0, ta chỉ✂ra ✡ Fε♣uq ✏ M u   q   εu không giả đơn điệu K với ε € 0, Dễ thấy Sol♣K, F q ✏ t1✉ ✂ R  Ví dụ 2.4.2 trả lời vấn đề mở nêu mục 2.2 Kết chứng minh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu affin đòi hỏi giả thiết cao Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2][10] 36 Kết luận Luận văn" Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu" trình bày - Nhắc lại số kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, tính đơn điệu, tính giả đơn điệu, tồn nghiệm - Đưa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, với số câu hỏi liên quan đến việc áp dụng phương pháp vào toán cụ thể Ở đây, tính nghiệm toán hiệu chỉnh xét hai trường hợp: bất đẳng thức biến phân không ràng buộc toán bù tuyến tính Theo đó, tính giả đơn điệu ánh xạ affin tập đa diện lồi đặc trưng trường hợp chiều trường hợp nhiều chiều Tương tự ta mở rộng nghiên cứu cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 37 Tài liệu tham khảo [1] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An introduction to variational inequality and their applications, Academic Press [2] J P Crouzeix, S Schaible (1996), Generalized monotone affine maps, SIAM J.Matric Anal Appl, 17, 992-997 90C26 (26B25) [3] J -P Crouzeix, A Hassouni, A Lahlou, and S Schaible (2000), Positive subdefinite matrices, generalized monotonicity, and linear complementarity problems, SIAM J Matric Anal Appl, 22, 66-85 [4] N N Tam, J.-C Yao, and N D Yen (2008), Solution methods for pseudomonotone variational inequalities, J Optim Theory Appl 138, 253-273 [5] N Thanh Hao (2006), Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalities, Acta Math Vietnam, 31, 283289 [6] M S Gowda (1990), Affin pseudomonotone mappings and the linear complementarity problems, SIAM J Matrix Anal Appl, 11, 373380 [7] M Bianchi, N Hadjisavvas, and S Schaible (2003), On pseudomonotone maps T for which -T is also pseudomonotone, J Convex Anal, 10, 149-168 38 [8] P D Khanh (2012), Partial solution for an open question on pseudomonotone variational inequalities, Appl Anal, 91, 1691-1698 [9] P D Khanh (2013), On the Tikhonov regularization of affine pseudomonotone mappings, Optim Lett DOI 10.1007/s11590- 0130659-9 [10] R W Cottle, J S Pang, and R E Stone (1992), The linear complementarity problem, Academic Press, New York [11] S Karamardian, S Schaible (1990), Seven kind of monotone maps, J Optim Theory Appl, 66, 37-46 [12] V H Nguyen, Variational inequalities elementary and beyond, FUNDP Namur- Belgium( Bài giảng trường hè Cần Thơ 2003) 39 [...]... điệu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Một trong những ý tưởng cơ bản trong việc tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là sự thay thế bài toán ban đầu bằng một dãy các bài toán mà ta dễ tìm nghiệm hơn Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (viết tắt TRM) là một trong những phương pháp như vậy Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được áp dụng cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Vì bài toán đơn điệu có thể không... không có tính chất ổn định như bài toán đơn điệu mạnh Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Điều thú vị là sự nghiên cứu bài toán giả đơn điệu đã dẫn tới sự phát triển sâu hơn về bất đẳng thức biến phân đơn điệu Xét bài toán V I ♣K, F q trong không gian Rn Kí hiệu ánh xạ đồng ✏ F   εI với mọi ε → 0 Để giải bài toán V I ♣K, F q, ta giải dãy bài toán V I ♣K, Fε q với tεk... đến phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Câu hỏi sau về mối liên hệ giữa ánh xạ giả đơn điệu với sự hội tụ của dãy lặp được xây dựng bởi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nếu ⑨ Rn là tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K Ñ Rn là ánh xạ giả đơn điệu liên tục và bài toán V I ♣K, F q có một nghiệm, khi đó có tồn tại ε1 → 0 sao cho ánh xạ Fε ✏ F   εI là giả đơn điệu. .. lồi Cho τ Trong chứng minh Mệnh đề 1.3.1(b) ta thấy nếu F liên tục và giả đơn điệu trên nón lồi K thì u✝ € Sol♣K, F q khi và chỉ khi ①F ♣uq, u ✁ u✝② ➙ 0, ❅u € K Đây chính là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của các tài liệu [1], [11] 16 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 2.1 Phương. .. trình hiệu chỉnh không bị chặn Do đó, nhìn lại Ví dụ 2.2.1 ta thấy tính giả đơn điệu có thể bị mất đi trong suốt quá trình hiệu chỉnh đối với toán tử giả đơn điệu không tuyến tính Vậy câu hỏi đặt ra là tính giả đơn điệu của ánh xạ affin có được bảo toàn trong quá trình hiệu chỉnh hay không Trong mục tiếp theo ta đề cập đến vấn đề này 2.4 Tính giả đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh Tác động của phương pháp hiệu. .. với bài toán (1.6) 1.3 Tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát Dưới đây ta chỉ ra rằng một trong những tính chất của toán tử đảm bảo cho bài toán có nghiệm là tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát Định nghĩa 1.3.1 ( Xem[10]) Ánh xạ F : K Ñ Rn được gọi là: (a) Đơn điệu nếu ①F ♣uq ✁ F ♣vq, u ✁ v② ➙ 0, ❅u, v € K; 14 (b) Đơn điệu mạnh nếu ❉γ → 0 sao cho ①F ♣uq ✁ F ♣vq, u ✁ v② ➙ γ ⑥u ✁ v⑥2, ❅u, v € K; (c) Giả đơn. .. nữa, theo Bổ đề 2.3.5 bài toán LCP ♣Mε , q q có nghiệm duy nhât với mọi ε € ♣0,  ✽q ma trận Do đó, theo Bổ đề 2.3.4, Mε Trong Định lý 2.3.4 ta chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh cho bài toán bù tuyến tính giả đơn điệu dưới điều kiện nhẹ về tính chấp nhận được của bài toán ban đầu Chứng minh của ta không sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán hiệu chỉnh trong Định lý... 0qT ✉ Ánh xạ hiệu chỉnh Fε của F được cho bởi Fε ♣uq ✏ F ♣uq   εu ✏ ♣u21   u22q♣✁u2, u1qT   ε♣u1, u2qT ✏ ♣♣u21   u22q♣✁u2q   εu1, ♣u21   u22qu1   εu2qT , ✏ ♣u1, u2qT € R2 Mặc dù F giả đơn điệu trên R2 nhưng Fε không giả đơn điệu trên R2 với ε → 0 tùy ý với mọi u Ta sẽ nghiên cứu câu hỏi thứ hai trong phần tiếp theo 2.3 Tính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân không ràng... các ánh xạ giả đơn điệu, đặc biệt là ánh xạ giả affin đã được giới thiệu và đưa ra các tính chất bởi M Bianchi, N.Hadjisavvas 19 và S Schaible Để dễ trình bày ta giới hạn trong luận văn này cho Ñ Rn có dạng không nhất thiết giả affin nhưng Fε ✏ F   εI là giả trường hợp ánh xạ là giả affin Ta xét ánh xạ F : K F ♣uq ✏ M u   q, F → 0 đủ nhỏ Ta đưa ra điều kiện đủ để bài toán bất đẳng thức biến phân liên... 2 và Trường hợp 3 ta chỉ ra rằng F giả đơn điệu trên K khi và chỉ khi aα   b ➔ 0 hoặc aβ   b → 0 Trên nền tảng của Định lý 2.4.1, ta nghiên cứu sự bảo toàn tính giả đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh Hệ quả 2.4.1 Cho K là tập lồi, đóng trong R và F ♣uq ✏ au   b là một ánh xạ affin Nếu F là giả đơn điệu trên K thì tồn tại ε¯ → 0 sao cho Fε ♣uq ✏ ♣a   εqu   b là giả đơn điệu trên K với mọi ε € ♣0, ε¯q Chứng