Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

Brow­der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu của các toán tử để nghiên cứu các bài toán khác nhau của phương trình vi phân phi tuyến elliptic.. Toán tử đơn điệu được sử dụng trong n

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO • • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • •

===£oCQGa===

v ũ THỊ LOAN

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV

CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LU Â N V Ă N THAC SĨ TO Á N HOC • • •

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI, 2015

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân th àn h cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn th àn h khóa học Thạc

sĩ cũng như hoàn th àn h luận văn này

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

V ũ T h ị L o a n

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn th àn h tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của G S T S K H N g u y ễ n X u â n T ấn

Tôi xin cam đoan luận văn là công trìn h nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn tôi đã kế thừa những th àn h quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

V ũ T h ị L o a n

K ế t lu ậ n

T ài liệ u t h a m k h ả o

3738

1

H : không gian Hilbert thực

l2 : không gian các dãy bình phương khả tổng

Mn : không gian Euclide n-chiều

R ” : ortan không âm trong R n

\ x I : chuẩn của véc-tơ X

( x , y } : tích vô hướng của véc-tơ X và y

r\ , u , K : giao, hợp, tích Decart

F : u —> V : ánh xạ từ u vào V

B [ u , r ) : hình cầu mở tâm u bán kính r

2

B { u, r ) : hình cầu đóng tâm u bán kính r

V I { K , F) : bài toán b ất đẳng thức biến phân xác định bởi tập K và

ánh xạ F

C P { K , F ) : bài toán bù xác định bởi nón K và ánh xạ F

L C P { M , q) : bài toán bù tuyến tính xác định bởi ma trận M và véc-tơ

q

S o l { K , F ) : tập nghiệm của V I { K , F ) hoặc C P { K , F )

S o l { M ,q ) : tập nghiệm của L C P { M , q )

3

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tài

B ất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu đóng vai trò quan trọng,

có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và cuộc sống Những bài toán này được coi như những bài toán điển hình của bài toán cân bằng

Toán tử đơn điệu được nghiên cứu từ đầu những năm 1960 F Brow­der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu của các toán tử để nghiên cứu các bài toán khác nhau của phương trình vi phân phi tuyến elliptic

P H artm an và G Stam pacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu được sử dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic và parabolic, trong nghiên cứu nhiều bài toán tối ưu và cân bằng Cho đến bây giờ toán tử đơn điệu tiếp tục là một đề tài được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Khái niệm toán tử giả đơn điệu được giới thiệu bởi s Karam ardian,

là một mở rộng quan trọng của toán tử đơn điệu Tác giả đã chỉ ra rằng, một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ gradient là giả đơn điệu Từ đó,

s K aram ardian và s Schaible đưa ra một số khái niệm đơn điệu tổng quát như giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh, và tự a đơn điệu Tác giả thiết lập mối quan hệ về tính đơn điệu của các toán tử tương ứng với tính đơn điệu của các hàm Nó cho thấy rằng toán tử giả đơn điệu là trường hợp đặc biệt của toán tử tựa đơn điệu Trong th ập kỉ qua, sự tồn

4

tại nghiệm và phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và ứng dụng trong thực tế Sau khi được học những kiến thức về bất đẳng thức biến phân, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tôi đã chọn đề tài: “P h ư ơ n g p h á p h iệ u c h ỉn h T ik h o n o v ch o b à i to á n b ấ t

đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n g iả đ ơ n đ iệ u ”

2 M ục đích nghiên cứu

Giới thiệu bài toán b ất đẳng thức biến phân, đưa ra định nghĩa, các khái niệm liên quan, sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nó Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và chỉ ra sự hội tụ của nghiệm của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

3 Đ ố i tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Nghiên cứu bài toán b ất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, sự tồn tại nghiệm, phương pháp tìm nghiệm

4 P hư ơng pháp nghiên cứu

Tìm hiểu các bài báo đã được công bố trên các tạp chí quốc tế và các sách chuyên khảo liên quan tới toán tử đơn điệu và ứng dụng của chúng trong việc giải phương trình, b ất phương trình T ham gia các xemina

về giải tích phi tuyến liên quan đến các ánh xạ đơn điệu và giả đơn điệu

5

Sử dụng các phương pháp: tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các phương pháp của giải tích hàm.

5 Đ ó n g góp mới của luận văn

Luận văn trìn h bày tổng quan có hệ thống cùng với sự phân tích

về một số tính chất của b ất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, đưa ra phương pháp tìm nghiệm cho bài toán b ất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

6

Chương 1

K iến th ứ c chuẩn bị

B ất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh, được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Nhiều bài toán về lý thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến b ất đẳng thức biến phân Để dễ hình dung ta xét bài toán trong không gian

1.1 B ấ t đẳng th ứ c biến phân và bài to á n bù

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 ( Xem(ỊỊT2], Định nghĩa 1.1)) Cho một tập con K

khác rỗng của và ánh xạ F : K —> R n Bài toán bất đẳng thức biến phân, được ký hiệu Vlị^K^P), là bài toán tìm UT'^ K sao cho

< № ') , u - u r- ) ^ 0, V« K (1.1)

u ụ được gọi là nghiệm của bài toán.

Tập hợp những điểm ủ" thỏa mãn (1.1) được gọi là tậ p nghiệm của

V I { K , F) và được kí hiệu là Sol{K, F) Sau đây, ta luôn giả sử rằng K

là tập lồi đóng, khác rỗng và F là ánh xạ liên tục trên K

Khi K là một nón (nghĩa là u £ K thì TU & K với mọi vô hướng

r ^ 0) thì ta có bài toán sau:

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 Cho nón lồi K và ánh xạ F : K Bài toán bù,

7

kí hiệu C P { K , F), là bài toán tìm u v t K sao cho

trong đó, K r là nón đối ngẫu của K , được định nghĩa

K r [d & M 7 {d, u ) ^ Q :V u ^ K \ : (tức là K v bao gồm mọi véc-tơ d sao cho d tạo với véc-tơ u bất kỳ thuộc

K một góc không tù).

Nếu u t K và F [ u ) K r thì u được gọi là véc-tơ chấp nhận được của

C P { K , F ) Nếu bài toán C P { K , F) có một véc-tơ chấp nhận được thì

nó được gọi là có tính chấp nhận được

Khi F là ánh xạ affin, nghĩa là F [ u ) — M u q với M ĩ: q t Kn

và K — M ị (trong trường hợp này K r — K” ), C P { K : F ) được gọi là bài toán bù tuyến tính L C P { M , q)\

Đ iề u k iệ n đ ủ Giả sử là nghiệm của C P { K , F), ta có

Đ ịn h lý 1.2.1 ( X em (|Ị], Định lý Brouwer)) Cho K t_ Kn khác rỗng,

compact và lồi, ánh xạ F : K K ỉỉên tục Khi ấy, F có một điểm bất động, tức là tồn t ạ ỉ x ^ K ^ x — F{x).

9

B ổ đ ề 1.2.1 ( Xem([lJ, Bổ đề 2.1)) Cho K là một tập con lồi đóng

Đ ịn h lý 1.2.2 ( Xem([lJ, Định lý 2.3)) Cho K là tập lồi đóng trong

không gian Mn thì V — PK [ù) là hình chiếu của u lên K khi và chỉ khi

Do F liên tục trên K và phép chiếu PK liên tục nên ộ liên tục Vậy theo

Định lý điểm b ất động Brouwer tồn tại

Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm. □

Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K không bị chặn, ví dụ nếu K — M th ì bài toán

F [ u ) { y — u ) ^ 0, ' i v ỉr K :

không có nghiệm khi F{u) — eu.

Tiếp theo định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

Cho tập lồi K 7^ 0 , đặt K^L — K n trong đó là hình cầu đóng

bán kính R và tâm o c R" Khi đó K R là tập compact Vậy theo Định

lý 1.2.3, ta có

uR t K R : ( F ( u r ), v - u r ) ^ 0, Vi; t K R• (1.6)

Đ ịn h lý 1.2.4 ( Xem ([lj, Định lý 4.2)) Cho K Mn là tập lồi, đóng,

khác rỗng và ánh xạ F : K —> Mn liên tục trên K Điều kiện cần và đủ

để tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại một số R > 0 sao cho có một nghiệm UR & K R của bài toán (1.6) thỏa mẫn

Chứng minh Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm u của bài toán (1.1)

thì u là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là

\u I < R,

v i

u £ Kỵ, c_ K

13

Giả sử UR t K R thỏa m ãn I UR I < R , thì UR cũng là một nghiệm của bàitoán (1.1)

T h ật vậy, vì \ uR \ < R , cho V t K, w — UR + e [ y — UR ) t K R với £ ^ 0 đủ nhỏ Vì vậy

UR t K R í- K : 0 ^ \ F { u r ), w - UR> - £ ( F { u r ),v - UR> ,Vv t K.

Điều này có nghĩa là UR là một nghiệm của bài toán (1.1) □

Từ định lý này ta có thể rú t ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại nghiệm Ta cần đến khái niệm về tính chất tự bức sau

H ệ q u ả 1.2.2 ( Xem([TJ, Hệ quả 4.3))Nếu F : K —> ■ R n thỏa mãn

với U q nào đó thuộc K , thì tồn tại m ộ t nghiệm đối với bài toán (1.6)

1.3 T ính đơn điệu và đơn đ iệu tổ n g quát

Dưới đây ta chỉ ra rằng một trong những tính chất của toán tử đảm bảo cho bài toán có nghiệm là tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 ( XemỊỊĨÕ]) Ánh xạ F : K —> W 1 được gọi ỉà:

(a) Đơn điệu nếu

\ F { u ) — F{y), u — V ) ^ 0, Vw, V t K]

14

(b) Dơn điệu mạnh nếu d'y > 0 sao cho

(e) Tựa đơn điệu nếu

{F{u), V — и} > о (-Р'(г)), V — и} ^ О,

mọi u , v е К]

Rõ ràng (а) =р- (6) (_d) =^- (_е) và (а) (с) (_d) =^- (е) Ngược lại chưa chắc đúng Không có mối liên hệ giữa [b) và (c).

M ệ n h đ ề 1.3.1 Cho К c_ Mn lồi, đóng và F : к —у Mn liên tục.

(a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì V I { K , F ) có nhiều nhất một nghiệm (b) Nếu F giả đơn điệu thì S o l { K , F ) lồi.

Chứng minh Giả sử F giả đơn điệu m ạnh với vô hướng 7 > 0 và ì / , V* t

S o l { K , F ) Khi đó

( F { v r-), u r- - v r- ) ^ 0 và ự i y * ) , v r- \ur- - v r-\2.

15

Từ đó suy ra 0 ^ 7 |u* — Vv \2 ^ u r' — Vv Khẳng định (a) được chứng

T h ật vậy, nếu u r' t S o l ( K , F) th ì ( F { u v) ,u — u vy ^ 0 với mọi u t K Vì

F giả đơn điệu nên (-F(u), u — u vy ^ 0,Vu t K Do đó, u* thuộc vế phải

của đẳng thức trên Trái lại, giả sử u* thuộc vế phải của đẳng thức Lấy

u t K tùy ý, từ TU* + [1 —t ) u t K với mọi T t (0, l),ta có

( F [ t u v -\- (1 — t ) u ), u — u*y ^ 0 , V r t ( 0 , 1 )

Cho T —*■ 1 tâ được (F{u*),u — u*y ^ 0 Do đó, UT' t Sol{K, F) Với mỗi

u ĨT K thì tập [u* t K : ( F { u ) ,u — u*y ^ 0} lồi và vì giao của các tập

lồi là tập lồi nên S o l { K , F ) lồi □

Trong chứng minh Mệnh đề 1.3.l|(b) ta thấy nếu F liên tục và giả đơn điệu trên nón lồi K th ì u* t Sol{K, F) khi và chỉ khi

( F { u ) , u - u ) ^ 0 , V u ^ K.

Đây chính là bổ đề Minty cho b ất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của các tài liệu [TỊ, ỊH]

16

Chương 2

P h ư ơ n g pháp h iệu chỉnh T ik h on ov

cho bài to á n b ất đẳng th ứ c biến

phân giả đơn điệu

2.1 P hư ơng pháp hiệu chỉnh T ikh onov

Một trong những ý tưởng cơ bản trong việc tìm nghiệm của b ất đẳng thức biến phân là sự thay thế bài toán ban đầu bằng một dãy các bài toán m à ta dễ tìm nghiệm hơn Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (viết

tắ t TRM ) là một trong những phương pháp như vậy

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được áp dụng cho b ất đẳng thức biến phân đơn điệu Vì bài toán đơn điệu có thể không có tính chất ổn định như bài toán đơn điệu mạnh Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu

b ất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Điều thú vị là sự nghiên cứu bài toán giả đơn điệu đã dẫn tới sự phát triển sâu hơn về bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Xét bài toán V I { K , F ) trong không gian Kí hiệu ánh xạ đồng nhất của là I và đặt Fe — F + e l với mọi £ > 0 Để giải bài toán

V I { K , F ), ta giải dãy bài toán V I { K , F £k) với [£k\ là một dãy số thực

dương hội tụ tới 0 và F£k — F £kI Với mỗi k t N, chọn một nghiệm

17

u k t Sol{K, F£k) và tính giới hạn lim u k Khi giới hạn tồn tại, ta có thể hi

vọng nhận được nghiệm của V I ( K , F) Để kết thúc quá trình tính toán sau một số hữu hạn bước và nhận được nghiệm xấp xỉ của V I { K , F), ta

đưa ra tiêu chuẩn dừng Chẳng hạn, ta có thể kết thúc quá trình tính

toán khi Iu k — 1 ^ 9, với 9 > 0 là hằng số.

Đ ịn h lý 2 1 1 ( Xem([5j, Định lý 2.2)) Giả sử rằng K c_ là tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K —> ■ M.n là ánh xạ giả đơn điệu liên tục Nếu bài toán V I { K , F ) có nghiệm thì

(a) Sol{K, Fe) khác rỗng và compact với mọi £ > 0;

nhỏ nhất trong S o l { K , F ) khỉ £ —r 0-1-;

(c) lim dỉamSol{K, Fe) — 0; với d ỉ a m ũ sup( \u — V I : u , v E Of ỉà

eịo

đường kính của tập ũ ^ R n.

2.2 Vấn đề m ở liên quan đ ến phương pháp hiệu

chỉnh T ikhonov cho bài to á n bất đẳng thứ c biến

phân giả đơn điệu

Câu hỏi sau về mối liên hệ giữa ánh xạ giả đơn điệu với sự hội tụ của dãy lặp được xây dựng bởi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nếu

K c_ Kn là tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K —> №.n là ánh xạ giả đơn điệu

liên tục và bài toán V I { K , F ) có một nghiệm, khi đó có tồn tại £i > 0 sao cho ánh xạ FB — F -\-EỈ là giả đơn điệu với mỗi £ t (0, £i) hay không?

18