Phương pháp newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Qúy Mười - Đà Nẵng, tháng năm 2020  - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ***** KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Qúy Mười Đà Nẵng, tháng năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết trình bày khóa luận tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu riêng em Các kết số liệu đề tài nghiên cứu trung thực trích dẫn nguồn đầy đủ chưa công bố cơng trình khác Kết báo viết chung với tác giả khác nhận trí đồng tác giả đưa vào luận văn tốt nghiệp Đà Nẵng, tháng năm 2020 Tác giả Văn Bá Cơng LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp hồn thành khoa Tốn trường đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Sau thời gian tích cực học tập nghiên cứu, bảo tận tình thầy giáo hướng dẫn, đến luận văn em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Phạm Qúy Mười, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập Khoa Toán học Cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp 16CTUDE giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tác giả Văn Bá Công MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Rn 1.3 Tích vơ hướng 1.4 Hàm nhiều biến 1.5 Tập lồi - Nón lồi 1.6 Toán tử toán tử chiếu 1.7 Điểm bất động 1.8 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.8.1 Phát biểu toán 1.8.2 Sự tồn tính nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 10 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG TRƠN 15 2.1 Đạo hàm nghiêng 15 2.1.1 Định nghĩa 15 2.1.2 Một số tính chất hàm khả vi nghiêng 17 2.2 Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng trơn 22 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 27 3.1 Phát biểu toán 27 3.2 Một số tính chất toán tử Φ 28 3.3 Thuật toán Newton suy rộng 35 3.4 Ví dụ số 36 KẾT LUẬN 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân toán quan trọng toán học ứng dụng, giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với toán tối ưu khác toán bù phi tuyến trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân[2, 5, 6] Gần việc nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc lĩnh vực khác toán tối ưu, toán bù, toán điểm bất động Brouwer, lý thuyết trị chơi, tốn cân Nash, tốn cân mạng giao thông, Các nhà nghiên cứu nhiều toán thực tế lĩnh vực kinh tế, đời sống kỹ thuật mơ tả dạng tốn bất đẳng thức biến phân[2, 6] Cho tới nay, việc nghiên cứu tốn bất đẳng thức biến phân ln nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Hai hướng nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu vấn đề định tính như: Sự tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định, nghiên cứu định lượng đề xuất phương pháp, thuật tốn giải, tính hội tụ thuật toán, Với mong muốn nghiên cứu sâu toán bất đẳng thức biến phân gợi ý giáo viên hướng dẫn em chọn đề tài:"Phương pháp Newton suy rộng cho toán bất đẳng thức biến phân" làm khóa luận tốt nghiệp Khóa luận tập trung nghiên cứu phương pháp Newton suy rộng dựa khái niệm đạo hàm nghiêng áp dụng phương pháp vào giải toán bù phi tuyến - Một trường hợp cụ thể tốn bất đẳng thức biến phân Hơn nữa, khóa luận nghiên cứu tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Nội dung khóa luận trình bày chương Ngồi ra, khóa luận cịn có phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương I: Cơ sở lý thuyết: Chương này, trình bày số kiến thức không gian Banach, không gian Rn , tích vơ hướng, tập lồi, tốn tử chiếu, điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân[1, 2, 3, 4, 5, 6] Một số kết quan trọng tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân viết thành báo khoa học đăng tạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7] Chương II: Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng trơn Chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm nghiêng tính chất hàm khả vi nghiêng Tiếp theo, áp dụng phương pháp Newton suy rộng để giải phương trình khơng trơn[3, 8] Chương III: Phương pháp Newton suy rộng cho tốn bất đẳng thức biến phân: Chương này, trình bày phương pháp Newton suy rộng để giải toán bù phi tuyến[2, 9] Hướng nghiên cứu tiếp ứng dụng phương pháp Newton suy rộng vào toán khác nghiên cứu phương pháp tựa Newton suy rộng Mục tiêu phương pháp nghiên cứu Nhằm hiểu thấu đáo toán bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm, nghiệm từ nghiên cứu tìm phương pháp giải tốn Ngồi ra, em mong muốn đưa kết nhằm đóng góp phần cho mảng nghiên cứu Trong khóa luận này, em sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu có liên quan đến tốn cần nghiên cứu Trước tiên, em thu thập báo khoa học[8, 9] tác giả trước liên quan đến toán bất đẳng thức biến phân bù phi tuyến Sau đó, tìm nhứng vấn đề cịn để tìm lời giải, cuối sử dụng phương pháp Newton suy rộng để giải toán 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tồn tại, nghiệm toán bất đẳng thức biến phân phương pháp Newton suy rộng để giải toán Phạm vi Nghiên cứu khía cạnh liên quan đến tốn bất đẳng thức biến phân cụ thể bù phi tuyến không gian Rn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết nghiên cứu đề tài góp phần bổ sung thêm kết lý thuyết toán bất đẳng thức biến phân Đồng thời, đề tài đóng góp vào việc tìm hiểu phương pháp Newton suy rộng để giải toán bất đẳng thức biến phân Bài nghiên cứu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên nghiên cứu sinh nghiên cứu mảng CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này, trình bày số kiến thức khơng gian Banach, khơng gian Rn , tích vơ hướng, tập lồi, toán tử chiếu, điểm bất động, toán bất đẳng thức biến phân Những kiến thức sử dụng phần sau, việc chứng minh tính chất, định lý chương người đọc tham khảo tài liệu[1, 2, 3, 4, 5, 6] Một số kết quan trọng tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân viết thành báo khoa học đăng tạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 [Không gian định chuẩn] Cho X không gian vecto R || · || : X → R hàm số thỏa mãn: ∀x ∈ X : ||x|| ≥ 0; ||x|| = x = ||λx|| = |λ|||x||, với λ ∈ R, x ∈ X ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với x, y ∈ X Khi đó, cặp (X, || · ||) gọi không gian tuyến tính định chuẩn hay gọi khơng gian định chuẩn hàm số || · || gọi chuẩn X Định nghĩa 1.1.2 [Sự hội tụ theo chuẩn] Cho (X, || · ||) không gian định chuẩn Dãy (xn )n ⊂ X gọi hội tụ đến x không gian X lim ||xn − x|| = n→∞ Định nghĩa 1.1.3 [Dãy Cauchy] Cho (xn )n dãy không gian định chuẩn (X, || · ||) (xn )n gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃no ∈ N cho n, m ≥ no ta có ||xn − xm || < ε Tính chất Trong khơng gian định chuẩn X , dãy hội tụ Cauchy cịn dãy Cauchy chưa hội tụ Trong trường hợp ngược lại khơng gian định chuẩn X gọi không gian Banach 35 Từ Bổ đề 3.2.5, ta có Aλ (x), Bλ (x) nửa xác định âm Aλ (x) + Bλ (x) xác định âm Áp dụng Định lí 3.2.7 ⇒ Φoλ (x) khả nghịch (đpcm) 3.3 Thuật toán Newton suy rộng Giả sử x nghiệm phương trình Φλ (x) = với   ϕλ (x1 , F1 (x))  Φλ (x) =  ϕλ (xn , Fn (x)) Khi ta có giải thuật Newton suy rộng cho phương trình Φλ (x) = • Đầu vào: Giá trị ban đầu xo ∈ U (x∗ , ε) • Bước lặp: Cho k = 0, 1, 2, Khởi tạo vòng lặp: xk+1 = xk − [Φoλ (xk )]−1 Φλ (xk ) Nếu Φλ (xk+1 ) = tiếp tục vịng lặp Nếu Φλ (xk+1 ) = Kết thúc vịng lặp • Đầu ra: xk+1 Định lí 3.3.1 Cho A ∈ Rn×n khả nghịch thỏa mãn: ||A−1 (B − A)|| < Khi B khả nghịch ||A−1 || − ||A−1 (B − A)|| Định lí 3.3.2 Giả sử Φλ khả vi nghiêng nghiệm x∗ phương trình Φλ (x) = Φoλ (x) hàm nghiêng Φλ (x) x∗ thỏa mãn ||Φoλ (x)−1 || ≤ M, M > lân cận N x∗ ρ ∈ (0, 1) Khi đó, dãy {xk } định nghĩa bởi: ||B −1 || ≤ xk+1 = xk − [Φoλ (xk )]−1 Φλ (xk ), hội tụ siêu tuyến tính x∗ lân cận No x∗ Chứng minh Với h đủ bé cho x∗ + h ∈ N ta có: Φoλ (x∗ + h) khả nghịch ||Φoλ (x∗ + h)−1 || ≤ M (3.10) 36 Vì Φo đạo hàm Newton Φ nên ∃No ≤ No cho: ρ ||Φλ (x) − Φλ (x∗ ) − Φoλ (x)(x − x∗ )|| ≤ ||x − x∗ || Mo Với xo ∈ No , ta có: |xk+1 − x∗ | = |xk − o k Φλ (xk ) − x∗ | Φλ (x ) = o k Φoλ (xk )(xk − x∗ ) − Φλ (xk ) Φλ (x ) = o k Φoλ (xk )(xk − x∗ ) − Φλ (xk ) + Φλ (x∗ ) − Φλ (x∗ ) Φλ (x ) ≤ o k Φλ (xk ) − Φ(x∗ ) − Φoλ (xk )(xk − x∗ ) Φλ (x ) ρ ≤ M .|xk − x∗ | = ρ|xk − x∗ | M Do dãy {xk } hội tụ đến x∗ x → 3.4 Ví dụ số Trong phần này, tơi trình bày cách viết hàm mơi trường MATLAB để giải ví dụ số phương pháp Newton suy rộng Ví dụ 3.4.1 Tìm  x ∈ R cho: x ≥ 0, F (x) ≥ 0, đó: F (x) = x3 + 3x  xF (x) = 0, Giải Nghiệm xác: xF (x) = ⇐⇒ x(x3 + 3x) = ⇐⇒ x = Phương pháp Newton suy rộng Ta có: F (x) = x3 + 3x ⇒ F (x) = 3x + Khởi tạo vòng lặp: xk+1 = xk − Φo (xk ) Φ(xk ) Trong đó, Φ(x) = ϕλ (x, F (x)) = với λ chọn (x − F (x))2 + λx.F (x) − x − F (x), 37  2(x − F (x)) + λF (x)   −1   + λxF (x)  (x − F (x))     −2(x − F (x)) + λx  + − F (x), o + λxF (x) ⇒ Φ (x) = (x − F (x))     (x, F (x)) = (0, 0),       −1 − F (x), (x, F (x)) = (0, 0), [Φo (x)]−1 nghịch đảo Φo (x) Chương trình Matlab Hàm F function v=F(x) % F function v= x^3+3*x; Hàm F đạo hàm function v=F_dh(x) % F dao ham function v= 3*x+3; Hàm Φ function v=Phi(x,lamda) % Phi nho function v= sqrt((x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-x-F(x); Hàm Φ đạo hàm function v=Phi_dh(x,lamda) % function if [x F(x)]==[0 0] v=-1-F_dh(x); else v=(2*(x-F(x))+lamda*F(x))/(2*sqrt(x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-1 +((-2*(x-F(x))+lamda*x)/(2*sqrt(x-F(x))^2+lamda*x*F(x))-1)*F_dh(x); end end Chương trình epsilon=1e-6; lamda = 1; max_iter = 1000; x0=1; k=0; 38 error =1e10; Mx=[x0]; Merror=[]; while (error>epsilon)& ((kepsilon)& ((kepsilon)& (k