Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân​

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TUẤN DOANH PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT, BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 ii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Trương Minh Tuyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt q trình làm luận văn Trong q trình hồn thiện luận văn, tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y, Ban giám hiệu, phịng chức Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu trường Xin chân thành cảm ơn thành viên lớp cao học K9Y bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả suốt q trình hồn thiện luận văn iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Phát biểu toán 1.3.2 Phương pháp gradient 1.3.3 Phương pháp gradient tăng cường 1.4 Bài toán cân 1.4.1 Phát biểu toán 1.4.2 Bài toán cân toán liên quan 1.4.3 Bài toán cân hỗn hợp tổng quát 1.4.4 Một số phương pháp giải toán cân Chương Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân 2.1 Một số bổ đề bổ trợ 2.2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung tốn cân hỗn hợp tổng quát, toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân 2.3 Một số hệ 2.4 Ứng dụng 2.5 Ví dụ số minh họa Tài liệu tham khảo 3 10 11 11 12 13 14 14 14 16 18 20 20 25 36 41 46 49 iv Một số ký hiệu viết tắt H khơng gian Hilbert , tích vơ hướng H chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x x n → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 x n ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Mở đầu Bài tốn cân có vị trí quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến, có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa tốn đưa tốn ngược lại) với số toán quan trọng khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán minimax, toán điểm bất động Việc nghiên cứu phương pháp giải toán điểm bất động, toán bất đẳng thức biến phân hay toán cân (hỗn hợp tổng quát) có nhiều ý nghĩa thực tiễn lĩnh vực kinh tế, tài chính, khí khoa học kỹ thuật Trong năm gần vấn đề nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm chung mơ hình bao gồm nhiều tốn khác thu hút nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Một toán quan tâm nhiều tốn tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết kết tác giả J W Peng J C Yao tài liệu [12] kết hợp phương pháp gradient tăng cường, phương pháp lặp Mann phương pháp lai chiếu cho tốn tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian Hilbert Nội dung luận văn chia làm hai chương, đó: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày số đặc trưng quan trọng thường xuyên sử dụng không gian Hilbert thực H (một số đẳng thức bất đẳng thức bản, hội tụ yếu, tính chất Kadec-Klee, phép chiếu mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu tập lồi đóng C), sơ lược tốn điểm bất động ánh xạ không giãn với phương pháp lai chiếu đề suất K Nakajo W Takahashi [9], toán bất đẳng thức biến phân với phương pháp gradient [3, 7], gradient tăng cường [6, 10, 11] toán cân (hỗn hợp tổng quát) với số toán liên quan Chương Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân Trong chương trước hết luận văn đề cập đến số bổ đề bổ trợ nhằm phục vụ cho chứng minh định lý như: Bổ đề KKM, bổ đề tính chất ánh xạ giải Tr cho toán cân hỗn hợp tổng quát Tiếp theo, luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh hội tụ mạnh phương pháp gradient tăng cường cho tốn tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động tài liệu [12] Cuối chương ví dụ số đơn giản tập số thực R thử nghiệm số dựa phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho tính đắn phương pháp lặp Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian Hilbert Mục 1.2 giới thiệu tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.3 trình bày tốn bất đẳng thức biến phân với hai phương pháp để giải lớp toán (phương pháp gradient phương pháp gradient tăng cường) Mục 1.4 tập trung trình bày toán cân với toán liên quan (bài toán tối ưu, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, toán tối ưu hàm lồi khả vi, toán bất đẳng thức biến phân), toán cân hỗn hợp tổng quát số phương pháp giải toán cân Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số tính chất khơng gian Hilbert Ta ln giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y + x − z Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện | x, y | = x y , tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x = λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < x − λy = λ2 y − 2λ x, y + x , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến x, y tính Giả sử y = 0, với λ = , bất đẳng thức trở thành y | x, y | < x y , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn ⇀ x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian ∞ 2 l2 = {xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en ⇀ 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ | en , y |2 < y < ∞ n=1 Suy limn→∞ en , y = 0, tức en ⇀ Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn ⇀ x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y (1.2) n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn ⇀ x, nên {xn } bị chặn Ta có xn − y = xn − x + x−y > xn − x + xn − x, x − y + xn − x, x − y Vì x = y, nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf xn − x n→∞ + xn − x, x − y = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ Mệnh đề chứng minh n→∞ Mệnh đề 1.5 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn ⇀ x xn → x , xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có xn − x = xn − xn , x + x → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x ≤ x − y với y ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x − u Khi đó, tồn {un } ⊂ C cho u∈C x − un −→ d, n −→ ∞ Từ ta có un − um 2 = (x − un ) − (x − um ) = x − un ≤ 2( x − un + x − um + x − um u n + um 2 ) − 4d −→ 0, 2 −4 x− n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên x − u = d Giả sử tồn n→∞ v ∈ C cho x − v = d Ta có u−v = (x − u) − (x − v) = 2( x − u 2 + x−v )−4 x− u+v 2 ≤ Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x = inf u∈C x − u Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC x ∈ C xác định gọi phép chiếu mêtric từ H lên C Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = Khi PC x = x + y − x, u u u 36 ≥ l − xn i , x − l0 Cho i → ∞, ta nhận − l0 − ω ≥ l0 − ω, x − l0 ≥ 0, l0 = PΩ x ω ∈ Ω Do ω = l0 Suy xn → l0 Từ (2.9), Từ (2.13) (2.19) suy dãy {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh l0 = PΩ x Định lý chứng minh 2.3 Một số hệ Từ Định lý 2.1, ta có số kết cho việc tìm nghiệm tốn cân hỗn hợp tổng quát Định lí 2.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ GM EP (F, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un       + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,   rn zn = (1 − αn − βn )xn + αn un + βn Sun ,      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) {αn }, {βn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 37 Khi đó, dãy {xn }, {un } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x Chứng minh Trong Định lý 2.1, lấy A = ta nhận điều phải chứng minh Định lí 2.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ GM EP (F, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un       + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,   rn zn = (1 − βn )xn + βn Sun ,      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) {βn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện limn→∞ αn = Khi đó, dãy {xn }, {un } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x Chứng minh Trong Định lý 2.1, lấy A = αn = với n ≥ ta nhận điều phải chứng minh Định lí 2.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GM EP (F, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy 38 xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un       y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, +   r  n   yn = PC (xn − λn Aun ),   zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),       Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },      Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},     x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) 4k {βn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện lim inf n→∞ βn > Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, Chứng minh Trong Định lý 2.1, lấy βn = αn = với n ≥ ta nhận điều phải chứng minh Định lí 2.5 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh cho Ω = V I(C, A) ∩ GM EP (F, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un       + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,   r  n   yn = PC (xn − λn Aun ),   zn = PC (un − λn Ayn ),       Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },      Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},     x =P x, ∀n ≥ 1, n+1 Cn ∩Qn 39 ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) 4k {βn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện lim inf n→∞ βn > Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, Chứng minh Trong Định lý 2.1, lấy S = I, βn = γn = αn = với n ≥ ta nhận điều phải chứng minh Định lí 2.6 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh cho Ω = V I(C, A) ∩ GM EP (F, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un       + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,   rn    yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ),   zn = PC (un − λn Ayn ),       Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn )b2 Aun },      Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},     x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α), {γn } 4k dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, Chứng minh Trong Định lý 2.1, lấy S = I, βn = αn = với n ≥ ta nhận điều phải chứng minh Định nghĩa 2.1 Cho T : C −→ C ánh xạ từ tập lồi đóng C vào Ta nói T ánh xạ giả co T x − T y, x − y ≤ x − y với x, y ∈ C 40 Chú ý 2.1 Ta biết lớp ánh xạ giả co chứa thực lớp ánh xạ không giãn, tức ánh xạ không giãn ánh xạ giả co có ánh xạ giả co ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, ta biết T ánh xạ giả co, A = I − T toán tử đơn điệu, Lipschitz F ix(T ) = V I(C, A) Ta có định lý cho tốn tìm phần tử thuộc giao tập điểm bất động ánh xạ giả co T , tập điểm bất động ánh xạ không giãn S tập nghiệm tốn cân hỗn hợp tổng qt Định lí 2.7 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho T : C −→ C ánh xạ giả co cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ F ix(T ) ∩ GM EP (F, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un       + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,   rn    yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn (un − T un )),   zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn (yn − T yn )),       Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn + αn )b2 un − T un },      Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},     x =P x, ∀n ≥ 1, n+1 Cn ∩Qn ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) 4k {αn }, {βn }, {γn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 0; (iv) limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x 41 Chứng minh Trong Định lý 2.1, với A = I − T ta nhận điều phải chứng minh 2.4 Ứng dụng Trong phần luận văn đề cập đến số ứng dụng cho trường hợp đặc biệt toán cân hỗn hợp tổng quát Nếu Định lý 2.1 Định lý 2.5 lấy B = 0, ta kết cho toán (MEP) Định lí 2.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ M EP (F, ϕ) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, F (u , y) + ϕ(y) − ϕ(u ) +  n n   r n     yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn + αn )b2 Aun },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, ), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > {αn }, 4k {βn }, {γn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 0; (iv) limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x 42 Định lí 2.9 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-A(5) cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ M EP (F, ϕ) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,    rn     yn = PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x =P x, ∀n ≥ 1, n+1 Cn ∩Qn ), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > {βn } 4k dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện lim inf n→∞ βn > Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, Nếu Định lý 2.1 Định lý 2.5 lấy ϕ = 0, ta kết cho tốn (GEP) Định lí 2.10 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)A(5) Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GEP (F, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định 43   x1 = x ∈ C,       y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, F (u , y) + Bx , y − u +  n n n   rn     yn = PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn + αn )b2 Aun },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) 4k {βn }, {γn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 0; (iv) limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x Định lí 2.11 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)A(5) Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GEP (F, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, F (u , y) + Bx , y − u +  n n n   r n     yn = PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, 44 ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) 4k {βn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện lim inf n→∞ βn > Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x Nếu Định lý 2.1, F (x, y) = với x, y ∈ C, ta thu kết cho tốn (GVI) {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, Định lí 2.12 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz cho B : C −→ B toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GV I(C, ϕ, B) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un +    rn     yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn + αn )b2 Aun },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, ), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) 4k {αn }, {βn }, {γn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 0; (iv) limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x Nếu Định lý 2.1, B = F (x, y) = với x, y ∈ C, ta thu kết cho tốn tìm cực tiểu phiếm hàm lồi ϕ 45 Định lí 2.13 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho ϕ : C −→ R hàm lồi, thường nửa liên tục Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ arg minx∈C ϕ(x) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } dãy xác định   x1 = x ∈ C,       y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, ϕ(y) − ϕ(un ) +    rn     yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn + αn )b2 Aun },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, ), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > {αn }, 4k {βn }, {γn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 0; (iv) limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x Nếu Định lý 2.1, B = ϕ = 0, ta thu kết cho toán (EP) Định lí 2.14 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)A(5) Cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, k-Lipschitz Cho S : C −→ H ánh xạ không giãn cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ EP (F ) = ∅ Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Cho {xn }, {un }, {yn } {zn } 46 dãy xác định   x1 = x ∈ C,       F (u , y) + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,  n   rn     yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ), zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),      Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z + (3 − 3γn + αn )b2 Aun },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},    x n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1, (2.25) ), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > {αn }, 4k {βn }, {γn } dãy nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện: {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, (i) αn + βn < với n ≥ 1; (ii) limn→∞ αn = 0; (iii) lim inf n→∞ βn > 0; (iv) limn→∞ γn = γn > 3/4 với n ≥ Khi đó, dãy {xn }, {un }, {yn } {zn } hội tụ mạnh w = PΩ x 2.5 Ví dụ số minh họa Trên tập số thực R, xét hàm F (x, y) = y −x2 với x, y ∈ R, ϕ(x) = x2 , Ax = x, Bx = 2x Sx = sin x với x ∈ R Khi đó, dễ thấy song hàm F (x, y) thỏa mãn giả tiết (A1)-(A5), ϕ hàm lồi, A toán tử đơn điệu -Lipschitz, B 2-ngược đơn điệu mạnh S ánh xạ khơng giãn Xét tốn tìm phần tử x∗ ∈ Ω = F ix(S)∩V I(C, A)∩GM EP (F, ϕ, B) Dễ nhận thấy Ω = {0} Với r > 0, ta tìm ánh xạ Tr : R −→ R Tr (x) = {z ∈ R : F (z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) + y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ R} r Điều tương đương với 2ry − (x − z)y − (2r + 1)z + xz ≥ 0, ∀y ∈ R 47 Bất đẳng thức (x − z)2 + 8r[(2r + 1)z − xz] ≤ 0, tương đương với [x − (4r + 1)z]2 ≤ x x hay Tr (x) = với x ∈ R Suy z = 4r + 4r + Áp dụng phương pháp lặp (2.1) với x1 = 2, a = 1/40, b = 1/20, d = 1, e = 3, rn = 1, αn = 1/4n, βn = 1/2 − 1/4n, λn = 1/25 γn = 3/4 + n/(4n + 1) với n ≥ 1, ta nhận bảng kết đây: Phương pháp lặp (2.1) TOL n 10−4 10−5 10−6 10−7 x n − x∗ 64 × 10−5 78 9.3 × 10−6 92 9.5 × 10−7 106 9.6 × 10−8 xn −9.0 × 10−5 −9.3 × 10−6 −9.5 × 10−7 −9.6 × 10−8 Bảng 2.1: Nghiệm gần xn sai số nghiệm gần với nghiệm x∗ = Sự hội tụ phương pháp lặp (2.1) thể hình đây: Hình 2.1: Mơ tả sai số nghiệm gần nghiệm 48 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất khơng gian Hilbert (sự hội tụ yếu tính chất liên quan, định lý tách tập lồi, phép chiếu mêtric đặc trưng nó); • Bài tốn điểm bất động ánh xạ không giãn phương pháp lặp Mann; • Bài toán bất đẳng thức biến phân phương pháp gradient gradient tăng cường; • Bài tốn cân toán liên quan; toán cân hỗn hợp tổng quát số phương pháp giải; • Trình bày chi tiết kết J W Peng J C Yao tài liệu [12] với ví dụ số minh họa 49 Tài liệu tham khảo [1] R P Agarwal, D O’Regan, D R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] H.H Bauschke, P.L Combettes (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] A Bnouhachem, M A Noor, E Al-Said , M Khalfaoui, S Zhaohan Extragradient method for variational inequalities Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp 839-854, 2011 [4] L C Ceng, N Hadjisavvas and N.C Wong (2010), "Strong Convergence Theorem by a Hybrid Extragradient-like Approximation Method for Variational Inequalities and Fixed point Problems", J Glob Optim., 46(4), pp 635-646 [5] K Fan (1961), "A generalization of Tychonoff’s fixed-point theorem", Math Ann., 142, pp 305-310 [6] G M Korpelevich The extragradient method for finding saddle points and other problems Ekonomika i Matematcheskie Metody,12, pp 747-756, 1976 [7] J L Lions, G Stampacchia Variational inequalities Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512, 1967 [8] N Nadezhkina and W Takahashi (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl.,128, pp 191-201 [9] K Nakajo, W Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [10] M A Noor Extragradient methods for pseudomonotone variational inequalities Journal of Optimization Theory and Applications,117, pp 475-488, 2003 50 [11] M A Noor New extragradient-type methods for general variational inequalities Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp 379-394, 2003 [12] J W Peng, J C Yao (2008), "A new hybrid-extragradient method for generalized mixed equilibrium problems, fixed point problems and Variational inequalitiy problems", Taiwainese J Math., 12 (6), pp 1401-1432 [13] Y Su, M Shang and X Qin (2008), "An iterative method of solutions for equilibrium and optimization problems", Nonlinear Analysis, 69(8), pp 2709-2719 [14] A Tada and W Takahashi (2007), "Weak and Strong Convergence Theorems for a Nonexpansive Mapping and an Equilibrium Problem", J Optim Theory Appl., 133, pp 359-370 ... liệu [12] kết hợp phương pháp gradient tăng cường, phương pháp lặp Mann phương pháp lai chiếu cho tốn tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân... 10, 11] toán cân (hỗn hợp tổng quát) với số toán liên quan 2 Chương Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân... [12] kết hợp phương pháp gradient tăng cường, phương pháp lặp Mann phương pháp lai chiếu cho tốn tìm nghiệm chung toán cân hỗn hợp tổng quát, toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng