THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN QUANG HUY PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 Cơng trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐỨC HIỀN Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Trường Đại học Sư phạm vào ngày 00/00/2021 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm thông tin - Học liệu, Trường Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Bài toán bất đẳng thức biến phân tốn đóng vai trị quan trọng lĩnh vực Tốn học ứng dụng nói chung, Tốn tối ưu nói riêng; tốn bất đẳng thức biến phân bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn: toán cân bằng, tốn tối ưu, điểm bất động Kakutani, mơ hình cân Nash, ; hợp tốn theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Nhiều nhà khoa học rằng: nhiều ứng dụng thực tiễn: nhiều toán thực tế tối ưu, kinh tế kỹ thuật, mơ tả dạng dạng tốn bất đẳng thức biến phân Chính điều đó, tốn cân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Hiện nay, vấn đề nghiên cứu tồn nghiệm tính chất định tính tốn cân bằng, nhiều tác giả nghiên cứu đạt nhiều kết sâu sắc phong phú Phương pháp chiếu kỹ thuật tối ưu hóa, tốn bất đẳng thức biến phân toán cân Sau đó, phương pháp mở rộng cho lớp tốn tìm nghiệm chung lớp tốn cân tập nghiệm điểm bất động Trong phương pháp chiếu bước lặp người ta phải xác định hướng tìm kiếm độ dài bước Hướng tìm kiếm thường dùng đạo hàm đạo hàm theo biến thứ hai song hàm cân Còn độ dài bước thường hay sử dụng cho thuận tiện tính tốn kỹ thuật Armijo Bằng cách này, người ta làm cho bước lặp sau gần nghiệm bước lặp trước Việc sử dụng kỹ thuật chiếu kết hợp với số kỹ thuật vi phân với kỹ thuật chia tách song song để xây dựng thuật tốn giải lớp tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn trở nên cấp thiết Vì vậy, chúng tơi chọn thực đề tài " Phép chiếu áp dụng giải tốn tìm nghiệm chung ánh xạ khơng giãn tốn bất đẳng thức biến phân" Mục đích nghiên cứu: Trong đề tài, tổng quan số kiến thức giải tính lồi, trình bày số tính chất toán liên quan đến toán bất đẳng thức biến phân; đặc biệt sử dụng kỹ thuật chiếu tính chất giả đơn điệu ánh xạ giá F , tính chất khơng giãn đề xuất phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu không cần liên tục kiểu Lipschitz hàm giá tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Euclide Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Với mục đích đặt trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau Nội dung Tổng quan giải tính lồi, tính chất phép chiếu định nghĩa vi phân xấp xỉ Nội dung Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Nội dung Tổng quan lại phương pháp lần chiếu giải tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào số tính chất phép chiếu, tính chất giả đơn điệu ánh xạ giá F , để xây dựng phương pháp chiếu giải tốn tìm nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân họ hữu hạn ánh xạ không gian không gian hữu hạn chiều Rs Kết đề tài: Đề tài trình bày cơng phu hệ thống kiến thức sở giải tích lồi nhằm phục vụ cho cơng tác nghiên cứu, đề tài trình bày hệ thống toán bất đẳng thức biến phân mối liên hệ toán khác toán cân bằng, toán tối ưu, toán điểm bất động; đề xuất phương pháp chiếu lần để tìm nghiệm gần cho tốn cân Kết công bố vào năm 2019, báo cáo Hội thảo " Tối ưu Tính tốn Khoa học" lần thức 17 (2019), Ba - Hà Nội Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương: Chương Tập lồi hàm lồi trong không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert Chương Phép chiếu không gian Hilbert 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.2 Một số tính chất phép chiếu 2.3 Một số ví dụ phép chiếu 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân 2.5 Những trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân 2.6 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương Phương pháp lần chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn 3.1 Tổng qua số kết quan trọng 3.2 Phát biểu toán 3.3 Một số giả thiết kỹ thuật chuẩn bị 3.4 Thuật toán hội tụ thuật tốn 3.5 Kết tính tốn minh họa 3.6 Kết luận Chương TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Khơng gian Hilbert 1.1.1 Khơng gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian trường K Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: , : H × H −→ K (x, y) −→ y, x a, x, y = y, x với x, y ∈ H b, x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H c, λx, y = λ x, y với x, y ∈ H; λ ∈ K d, x, x ≥ với x ∈ H x, x = x = Định lý 1.1.1 Cho H không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta ln có bất đẳng thức sau | x, y |2 ≤ x, x y, y Cho H không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta ln có bất đẳng thức sau | x, y |2 ≤ x, x y, y Định lý 1.1.2 Cho H không gian tiền Hilbert Khi x = x, x 1/2 ,x ∈ H xác định chuẩn H 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.2 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hibert, với trường số thực K ta có khơng gian Hilbert thực 1.1.3 Một số tính chất Định lý 1.1.3 Cho H không gian Hilbert Khi đó: , H × H hàm liên tục Định lý 1.1.4 Với x, y thuộc khơng gian tiền Hilbert H ta ln có đẳng thức hình bình hành sau đây: x+y + x−y = 2( x + y ) (1.1.1) Hệ 1.1.5 Giả sử H không gian tiền Hilbert x, y, z ∈ H Khi ta có đẳng thức Apollonius: x−y + x−z =4 x− y+z 2 + y − z Định lý 1.1.6 Giả sử (H, x ) không gian định chuẩn trường số thực K đẳng thức hình bình hành nghiệm với x, y ∈ H: x+y + x−y = 2( x + y ) Khi đó, với trường số thực K ta đặt x, y = p (x, y) = x+y − x+y , tích vơ hướng H ta có x, x = x , ∀x ∈ H Định lý 1.1.7 Giả sử {xn }n∈M hệ trực giao không gian Hilbert ∞ H Khi chuỗi ∞ (xn ) hội tụ chuỗi n=1 xn hội tụ n=1 ∞ xn ∞ = n=1 xn n=1 Định lý 1.1.8 Giả sử {xn }n∈M hệ trực chuẩn không gian Hilbert ∞ H Khi với x ∈ H chuỗi x, en en hội tụ n=1 ∞ ∞ x, en ≤ n=1 x, en en gọi chuỗi Fourier x hệ {xn }n∈M x , chuỗi n=1 bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Bessel Định nghĩa 1.1.3 Hệ trực chuẩn {xn }n∈M không gian Hilbert H gọi sở trực chuẩn không gian sinh hệ trù mật H Định lý 1.1.9 (Định lí Riesz) Giả sử {xn }n∈M sở trực chuẩn ∞ |ξn | < không gian Hilbert H Nếu dãy số (ξn ) thỏa mãn điều kiện n=1 ∞ tồn x ∈ H nhận ξn làm hệ số Fourier ξn = x, en ∞ x= ∞ ξn en , x n=1 2 |ξn | = n=1 Định nghĩa 1.1.4 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } H gọi hội tụ yếu đến phần tử x H với y ∈ H ta có lim xn , y = x, y n→∞ Kí hiệu: xn → x Định lý 1.1.10 Giả sử H không gian Hilbert i) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H dãy {yn } hội tụ mạnh đến y ∈ H dãy số xn , yn hội tụ đến x, y ii) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H dãy xn hội tụ đến x dãy {xn } hội tụ mạnh đến x ∈ H 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.2.1 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Cho hai điểm a, b ∈ H i) Một đường thẳng qua a, b tập hợp có dạng: {x ∈ H : x = αa + βb; α, β ∈ R; α + β = 1} ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b H có dạng: {x ∈ H : x = αa + βb; α ≥, β ≥ 0; α + β = 1} Định nghĩa 1.2.2 Một tập D gọi tập affine Dchứa đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ D, tức ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ x + (1 − λ)y ∈ D Định nghĩa 1.2.3 Siêu phẳng không gian H tập hợp điểm có dạng x ∈ H : aT x = α , 16 Mệnh đề 2.2.3 Cho C ⊂ H tập lồi đóng khác rỗng Khi y∈ / C PC (y) − y, x − PC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C, PC (y) − y, x − PC (y) < 0, ∀x, y ∈ C Mệnh đề 2.2.4 Cho C ⊂ H tập lồi đóng khác rỗng Khi ánh xạ y → PC (y) có tính chất sau: i) PC (x) − PC (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ C, (tính khơng giãn) ii) PC (x) − PC (y), x − y ≥ PC (x) − PC (y) , (tính đồng bức) 2.3 Một số ví dụ phép chiếu 2.3.1 Chiếu xuống hình hộp chữ nhật Khi C hình hộp, định nghĩa C := x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn |ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, 2, n a = (a1 , a2 , , an )T , b = (b1 , b2 , , bn )T ∈ T Khi đó, hình chiếu x lên C xác , (PC (x))i = x , i bi , định sau: xi ≤ a i xi ∈ [ai , bi ] xi ≥ b i 17 2.3.2 Chiếu xuống hình cầu đóng Khi C hình cầu bán kính R tâm A = (a1 , a2 , , an )T ∈ Rn định nghĩa C := z = (z1 , z2 , , zn )T ∈ Rn | n i=1 2 (zi − ) ≤ R Khi đó, hình chiếu y = PC (x) x lên C xác định sau: Nếu x ∈ C y ≡ x Nếu x ∈ / C hình chiếu x lên C giao điểm đường thẳng nối x tâm a C, kí hiệu ∆ với mặt cầu n 2 C := z ∈ H| (zi − ) = R i=1 Ta có ∆ = z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ Rn |zi = + t(xi − ), i = 1, 2, , n; t ∈ R Thay zi = + t(xi − ) ta n t (xi − )2 = R2 i=1 Do R t= n (xi − )2 )1/2 ( i=1 Vì vậy, y có tọa độ sau R yi = + t(xi − ) = + n (xi − )2 )1/2 ( i=1 (xi − ) 18 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng Rs F : C → Rs Khi đó, toán bất đẳng thức biến phân (Variational inequality problem), viết tắt VIP(C, F ), phát biểu dạng: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Như thường lệ, F gọi ánh xạ giá Định nghĩa 2.4.1 Cho C tập lồi khác rỗng Rs ánh xạ F : C → Rs Ánh xạ F gọi là: Đơn điệu mạnh (strongly monotone) C với số β > 0, F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y , ∀x, y ∈ C; Đơn điệu chặt (strictly monotone) C, F (x) − F (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y; Đơn điệu (monotone) C, F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C; Giả đơn điệu (pseudomonotone) C, F (y), x − y ≥ ⇒ F (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C Liên tục Lipschitz với số L > (L- Lipschitz continuous) C, F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C 19 Tập nghiệm toán VIP(C, F ), ký hiệu Sol(C, F ) Sol(C, F ) = {x∗ ∈ C : F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C} Định nghĩa 2.4.2 Cho họ hữu hạn ánh xạ Si (i ∈ I := {1, 2, , n}) từ C vào C Với i ∈ I, Si gọi ánh xạ không giãn C, Si x − Si y ≤ x − y ∀x, y ∈ C Ký hiệu tập điểm bất động Si F ix(Si ) := {x ∈ C : Si x = x} 2.5 Những trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân 2.5.1 Bài toán tối ưu Một trường hợp riêng điển hình tốn VIP(C, F ) tốn quy hoạch lồi khả vi g(x), (2.5.1) x∈C g : C → R hàm khả vi C Thật vậy, x∗ nghiệm toán (2.5.1) x∗ nghiệm tốn tối ưu khơng ràng buộc {g(x) + δC (x)}, x∈Rs δC hàm C Áp dụng điều kiện tối ưu hóa cho tốn lồi khơng ràng buộc tính chất ∂δC (x) = NC (x), NC (x) nón pháp tuyến C x định nghĩa NC (x) := {w ∈ Rs | w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} Do đó, ta có ∈ ∂(g + δC )(x∗ ) ⇔ ∈ g(x∗ ) + NC (x∗ ) 20 Hay − g(x∗ ) ∈ NC (x∗ ) Theo định nghĩa nón pháp tuyến ngồi C điểm x∗ , ta có g(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Vậy x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F := g C 2.5.2 Bài toán bù phi tuyến Giả sử C = Rs+ := {x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rs : xi ≥ 0, ∀i = 1, · · · , n} ánh xạ F : C → Rs Bài toán bù phi tuyến, viết tắt CP (F, C), phát biểu dạng: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ) ∈ C F (x∗ ), x∗ = Mệnh đề 2.5.1 Điểm x∗ nghiệm toán bù CP (F, C) x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) 2.5.3 Bài toán cân Định nghĩa 2.5.1 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng H song hàm f : C × C → H cho f (x, x) = với x ∈ C Bài toán cân (equilibrium problem), viết tắt EP(C, f ), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , x) ≥ 0, ∀x ∈ C Song hàm f thỏa mãn tính chất f (x, x) = với x ∈ C gọi hàm cân C Đặt f (x, y) = F (x), y − x , ∀y ∈ C Dễ dàng nhận thấy toán EP(C, f ) trở thành toán VIP(C, F ) 21 2.5.4 Bài toán điểm bất động Giả sử C ⊂ Rs tập lồi đóng khác rỗng ánh xạ đơn trị T : C → C Khi đó, tốn điểm bất động, viết tắt FPP(C, T ), toán: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ = T (x∗ ) Đặt F (x) = x − T (x), ∀x ∈ C Dễ dàng nhận thấy toán FPP(C, T ) trở thành toán VIP(C, F ) 2.6 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Định lý 2.6.1 Cho C tập lồi, compact khác rỗng Rs ánh xạ liên tục F : C → Rs Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) có nghiệm Định lý 2.6.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng Rs , ánh xạ liên tục F : C → Rs Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) có nghiệm tồn R > cho toán bất đẳng thức biến phân V IP (C ∩ B(0, R), F ) có nghiệm xR thỏa mãn xR < R Hệ 2.6.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng Rs , ánh xạ liên tục F : C → Rs thỏa mãn điều kiện bức, hay tồn x0 ∈ C cho F (x) − F (x0 ), x − x0 → +∞ x → +∞, x ∈ C x − x0 Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) có nghiệm 22 Chương PHƯƠNG PHÁP MỘT LẦN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 3.1 Tổng quan số kết quan trọng Bài tốn Tìm phần tử chung tập nghiệm Bài toán V IP (C, F ) tập cố định điểm hệ hữu hạn ánh xạ không giãn Si (i ∈ I): Tìm x∗ ∈ F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) i∈I Trong trường hợp F = 0, Bài toán trở thành tốn tiếng việc tìm điểm cố định chung toán tử Si : C → C: Tìm x∗ ∈ F ix(Si ), i∈I Si (i ∈ S) thường ánh xạ không giãn ánh xạ demicontractive Cho C tập lồi đóng khác rỗng H Phép chiếu metric từ H C ký hiệu PC PC (x) = argmin{ x − y : y ∈ C} ∀x ∈ H Dễ dàng nhận thấy điểm x∗ ∈ Sol(C, F ) điểm cố định ánh xạ T (x) := PC (x − λF (x)), λ > Phương 23 pháp gradient x0 ∈ Rn , k+1 = T (xk ) x Tuy nhiên, không gian Euclide H = Rn , hội tụ u cầu thuộc tính β- đơn điệu mạnh ( F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y ∀x, y ∈ C) and L-và tính liên tục L -Lipschitz ( F (x) − F (y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ C) ánh xạ F , or γ-tính chất đơn điệu nghịch đảo mạnh ( F (x) − F (y), x − y ≥ γ F (x) − F (y) ∀x, y ∈ C) Để khắc phục hạn chế, gần đây, không gian Hilbert thực H, Malitsky đề xuất thuật toán gradient phản chiếu dự kiến với kích thước bước khơng đổi để giải V IP (C, F ), sơ đồ lặp đơn giản sau: x0 = y ∈ H, xk+1 = PC (xk − λF (y k )), k+1 = 2xk+1 − xk y Chỉ giả định liên tục đơn điệu L -Lipschitz ánh xạ giá F , cách chọn λ ∈ (0, √ 2−1 L ), tác giả chuỗi {xk } and {y k } hội tụ yếu nghiệm V IP (C, F ) In 1976, Korpelevich lần giới thiệu phương pháp gradient tăng cường cho vấn đề điểm yên ngựa sau mở rộng thành V IP (C, F ), 24 dãy {xk } xác định x0 ∈ Rn , y k = T (xk ), k+1 = PC (xk − λF (y k )) x Theo giả định F đơn điệu, L-Lipschitz liên tục < λ < L1 , cô dãy {xk } {y k } hội tụ điểm nghiệm Sol(C, F ) Tuy nhiên, phương pháp gradien tăng cường, chuỗi hội tụ đến điểm nghiệm V IP (C, F ) Rn 3.2 Phát biểu toán Cho C tập lồi khác rỗng Rs ánh xạ F : C → Rs Si (i ∈ I := {1, 2, , n}) : C → C ánh xạ không giãn C Bài tốn tốn tìm nghiệm chung toán V IP (C, F ) tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Si (i ∈ I), là: Tìmx∗ ∈ F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) i∈I Trong trường hợp F = 0, Bài toán trở thành tốn tìm nghiệm chung tập điểm bất động tốn tử Si : C → C: Tìm x∗ ∈ F ix(Si ), i∈I Si (i ∈ S) thông thường ánh xạ không giãn ánh xạ nửa co 25 3.3 Một số giả thiết kỹ thuật chuẩn bị Để giải Bài toán 1, giả thiết ánh xạ giá F , toán tử Si (i ∈ I), tham số {λk }, {δk } {βk,i } thoả mãn điều kiện sau: (C1 ) Ánh xạ giá F liên tục; với y ∈ C cố đinh, F (x), y − x nửa liên tục ứng với x; giả đơn điệu C x ∈ Sol(C, F ), y ∈ C, F (y), x − y = ⇒ y ∈ Sol(C, F ); (C2 ) Các ánh xạ Si ánh xạ không giãn C với i ∈ I; (C3 ) Cho L > λ > < a < b < Dãy {δk } ⊂ (0, 1), {βk,j } {λk } thoả mãn ∞ ∞ δk2 < +∞, a ≤ βk,j ≤ b ∀j ∈ I, {λk } ⊂ [λ, L]; δk = +∞, k=0 k=0 F ix(C, Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅ (C4 ) Tập nghiệm toán 1: Ω := i∈I Bổ đề 3.3.1 Cho {ak } {bk } hai dãy số thực không âm thoả mãn ak+1 ≤ ak + bk ∀k ≥ 0, ∞ k=0 bk < ∞ Khi đó, dãy {ak } hội tụ Bổ đề 3.3.2 Cho Rs không gian Euclide s chiều, {αk } dãy số thực thoả mãn < a ≤ αk ≤ b < với k ≥ 0, dãy số {v k }, {wk } Rs cho lim sup v k ≤ c, lim sup wk ≤ c k→∞ k→∞ lim αk v k + (1 − αk )wk = c k→∞ Khi đó, limk→∞ v k − wk = 26 Bổ đề 3.3.3 Cho C tập lồi khác rỗng Rs PC : Rs → C Khi đó, kết sau đúng: (i) x − PC (x), y − PC (x) ≤ ∀y ∈ C, x ∈ H; (ii) PC (x) − PC (y), x − y ≥ PC (x) − PC (y) (iii) x − PC (x) ≤ x−y − y − PC (x) 2 ∀x, y ∈ H; ∀x ∈ H, y ∈ C Bổ đề 3.3.4 Cho dãy số {xk } Rs cho xk → x¯ Khi đó, với y = x¯, ta có lim inf xk − x¯ < lim inf xk − y k→∞ k→∞ Định nghĩa 3.3.1 Cho S tập khác rỗng Rs Dãy {xk } Rs gọi hội tụ tựa -Fejér đến S với x∗ ∈ S tồn k0 ≥ dãy {αk } ⊂ (0, ∞) cho ∞ αk < ∞ xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + αk ∀k ≥ k0 k=0 Bổ đề 3.3.5 Cho S tập khác rỗng Rs Nếu {xk } hội tụ tựa -Fejér đến S, (i) Dãy {xk } bị chặn; (ii) Nếu điểm cụm {xk } thuộc S, dãy {xk } hội tụ đến điểm thuộc S 3.4 Thuật toán hội tụ thuật toán 3.4.1 Nội dung thuật toán - OPA Bước khởi tạo: Chọn x0 ∈ C, dãy tham số {λk } {δk } thoả mãn (C3 ) − (C4 ) 27 Bước lặp k ≥ 1, Chọn γk = max{λk , F (xk ) }, αk = Tính y k = PC (xk − αk F (xk )) δk γk Với j ∈ I, tính ukj = (1 − βk,j )xk + βk,j Sj y k k+1 = ukj0 , j0 := argmax{ ukj − y k : j ∈ I} Đặtx 3.4.2 Sự hội tụ thuật toán Bổ đề 3.4.1 Cho F : C → H ánh xạ giả đơn điệu thoả mãn điều kiện (C2 ) − (C4 ) Khi đó, (i) Dãy {xk } sinh thuật toán OPA hội tự tựa -Fejér đến Ω Hơn nữa, ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2βk,j0 δk2 ∀x∗ ∈ Ω (ii) Với x∗ ∈ Ω, lim sup F (xk ), x∗ − xk = k→∞ Định lý 3.4.2 Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Euclide Rs Giả sử điệu kiện (C1 ) − (C4 ) thoả mãn Cho {xk } dãy sinh Thuật tốn OPA Khi đó, dãy {xk } {y k } hội tụ đến điểm x∗ ∈ Ω 28 3.5 Kết tính tốn minh họa Ví dụ 3.5.1 Ta lấy H := R2 , F (x) = M x + q với ma trận M tạo M = AAT + B + D, A ma trận × 2, B ma trận phản đối xứng × 2, D trận đường chéo × q vecto R2 Tập xác định C ánh xạ không giãn Si (i ∈ I = {1, 2}) xác định C = {x ∈ R2 : −1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 2, x1 + 2x2 ≤ 2}, S1 x = x1 − , x2 , S2 x = (x1 , − cos(x2 + 1)) 3 Dữ liệu ban đầu liệt kê sau: - Nhập A, B q tạo ngẫu nhiên đồng từ (−3, 3), nhập đường chéo D tạo ngẫu nhiên từ (0, 1); - Sai số dung sai -nghiệm, xk − x∗ ≤ , x∗ ∈ Ω; - Tham số: λk = 234, δk = k+1 , βk,i = với k ≥ 0, i ∈ I = {1, 2}; - Điểm xuất phát: x0 = (0, 0) x0 = (0.5, −0.5) Sau đó, thấy M xác định, F đơn điệu C Các ánh xạ Si : C → C không giãn tập nghiệm Bài toán Ω = {(−1, −1)} Kết hiển thị Bảng 3.1 29 = 10−3 , x0 = (0, 0) = 10−2 , x0 = (0.5, −0.5) Test Prob Iter (k) CPU times/s Test Prob Iter (k) CPU times/s 1a 99 7.1406 1b 13 1.2969 2a 83 5.4531 2b 15 0.9219 3a 217 15.5938 3b 12 0.7813 4a 261 18.1875 4b 11 0.7344 5a 95 6.3906 5b 0.8438 6a 162 11.2031 6b 12 0.7500 7a 128 8.6875 7b 14 0.9219 8a 126 8.3125 8b 12 0.7813 Bảng 3.1: Kết cho Thuật toán 3.4.1 với dung sai điểm xuất phát khác Test Prob λk δk βk,j No Iterations CPU-Times/sec 170 14.4531 123 + 2k+1 k+1 0.9 − 2(k+1) 123 − 2k+5 3k+1 0.7 − 2k+3 32 2.3281 21 + 3k+1 0.7 − 2k+3 286 22.2500 150 + 2k+1 5k+3 0.8 − 2k+7 27 2.3281 150 + 2k+1 k+3 0.8 − k+7 36 2.5469 250 + 2k+1 k+3 0.8 − k+7 22 1.4375 250 + k2 +1 k+3 0.8 − k2 +7 20 1.2656 300 + k2 +1 k+1 0.8 − k2 +2 29 1.9063 350 + k2 +1 4k+1 0.9 − 5k+6 16 2.0313 2k+5 Bảng 3.2: Thuật tốn 3.4.1 với thơng số khác nhau, x0 = (0, −0.5) dung sai = 10−3 Từ kết số sơ báo cáo bảng, ta nhận thấy rằng: (a) Tương tự phương pháp khác cho bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn thuật toán điểm gần đúng, phương pháp gradient 30 tăng cường, Phương pháp hàm gap, nhanh chóng thuật tốn phụ thuộc nhiều vào điểm bắt đầu x0 ; (b) Thuật toán đề xuất nhạy cảm với việc lựa chọn tham số δk , βk,j λk (c) Thuật toán có số lượng phép tính lần lặp để so sánh với thuật toán chiếu song song gradient tăng cường trong, phép chiếu ảnh hưởng đến thời gian tính tốn thuật tốn KẾT LUẬN CHUNG Đề tài đạt mục tiêu đề với kết sau: Bằng cách kết hợp kỹ thuật chiếu, vi phân, phương pháp chiếu, đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn Kết thể Bổ đề 3.4.1 Định lý hội tụ 3.4.2 ... trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân 2.6 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương Phương pháp lần chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn 3 .1 Tổng qua số kết... times/s 1a 99 7 .14 06 1b 13 1. 2969 2a 83 5.45 31 2b 15 0.9 219 3a 217 15 .5938 3b 12 0.7 813 4a 2 61 18 .18 75 4b 11 0.7344 5a 95 6.3906 5b 0.8438 6a 16 2 11 .20 31 6b 12 0.7500 7a 12 8 8.6875 7b 14 0.9 219 8a 12 6... đó, tốn bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) có nghiệm 22 Chương PHƯƠNG PHÁP MỘT LẦN CHIẾU GIẢI BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN 3 .1 Tổng quan số kết quan trọng Bài tốn Tìm phần
Ngày đăng: 08/11/2022, 00:07
Xem thêm: