• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.. Hình biểu diễn của một số hình không gi[r]
Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHƠNG GIAN A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Phép chiếu song song Cho mặt phẳng ( α ) đường thẳng ∆ cắt ( α ) Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song với ∆ cắt ( α ) điểm M ' xác định Điểm M ' gọi hình chiếu song song điểm M mặt phẳng ( α ) theo phương ∆ Mặt phẳng ( α ) gọi mặt phẳng chiếu, phương ∆ gọi phương chiếu Phép đặt tương ứng điểm M với hình chiếu M ' ( α ) gọi phép chiếu song song lên ( α ) theo phương ∆ Ta kí hiệu Ch∆ ( α )( M ) = M ' Tính chất phép chiếu song song • Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm • Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng • Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng Hình biểu diễn số hình khơng gian mặt phẳng • Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông…) • Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vng ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…) Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! • Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tùy ý cho trước, miễn tỉ số độ dài hai cạnh đáy bảo tồn • Hình elip hình biểu diễn hình trịn B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH ( H ) CHO TRƯỚC Phương pháp: Để vẽ hình biểu diễn hình ( H ) ta cần xác định yếu tố bất biến có hình (H) - Xác định yếu tố song song Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB Trong hình ( H ' ) phải đảm bảo tính song song tỉ số điểm M chia đoạn AB Các Bài tập mẫu Bài tập mẫu Hình thang hình biểu diễn hình bình hành khơng Lời giải: Hình thang khơng thể coi hình biểu diễn hình bình hành hai cạnh bên hình thang khơng song song cịn cặp cạnh đối hình bình hành song song ( tính song song khơng bảo tồn) Bài tập mẫu Vẽ hình biểu diễn tứ diện ABCD lên mặt phẳng ( P ) theo phương chiếu AB ( AB không song song với ( P ) ) Lời giải: Vì phương chiếu l đường thẳng AB nên hình chiếu A B giao điểm AB A (P) D Do AB ∩ ( P ) = A ' ≡ B ' B C D' Các đường thẳng qua C , D song song với AB cắt ( P ) C ', D ' A'≡B' P C' Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! C ', D ' hình chiếu C , D lên ( P ) theo phương AB Vậy hình chiếu tứ diện ABCD tam giác A'C ' D ' Bài tốn 01: CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp: Để tính tỉ số điểm M chia đoạn AB ( tính MA ) ta xét phép MB Chiếu song song lên mặt phẳng ( α ) theo phương l không song song với AB cho ảnh M , A , B ba điểm M ', A ', B ' mà ta tính M ' A' , M ' B' MA M ' A ' = MB M ' B ' Các Bài tập mẫu Bài tập mẫu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định điểm M , N tương ứng đoạn AC ', B ' D ' cho MN song song với BA ' tính tỉ số A.2 B.3 C.4 MA MC ' D.1 Lời giải: Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ' ) theo phương chiếu BA ' Ta có N ảnh M hay M giao điểm B ' D ' ảnh A K D AC ' qua phép chiếu Do ta xác định M , N sau: Trên A ' B ' kéo dài lấy điểm K cho A ' K = B ' A ' ABA ' K hình bình B A' hành nên AK / / BA ' suy K ảnh N A AC ' qua phép chiếu song song D' C M B' C' Gọi N = B ' D '∩ KC ' Đường thẳng qua N song song với AK cắt AC ' M Ta có M , N điểm cần xác định Theo định lí Thales , ta có MA NK KB ' = = =2 MC ' NC ' C ' D ' Bài tập mẫu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M , N trung điểm CD CC ' a) Xác định đường thẳng ∆ qua M đồng thời cắt AN A ' B b) Gọi I , J giao điểm ∆ với AN A ' B Hãy tính tỉ số A.2 B.3 C.4 IM IJ D.1 Lời giải: Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! a) Giả sử dựng đường thẳng ∆ B' cắt AN BA ' Gọi I , J giao C' điểm ∆ với AN BA ' D' A' Xét phép chiếu song song lên N ( ABCD ) theo phương chiếu A ' B Khi Δ J ba điểm J , I , M có hình chiếu I B , I ', M Do J , I , M thẳng hàng nên C I' B , I ', M thẳng hàng Gọi N ' hình chiếu N An ' hình chiếu N' B A M D AN Vì I ∈ AN ⇒ I ' ∈ AN ' ⇒ I ' = BM ∩ AN ' Từ phân tích suy cách dựng: - Lấy I ' = AN '∩ BM Trong ( ANN ' ) dựng II ' NN ' ( có NN ' CD ' ) cắt AN I Vẽ đường thẳng MI , đường thẳng cần dựng Ta có MC = CN ' suy MN ' = CD = AB Do I ' trung điểm BM Mặt IM khác II ' JB nên II ' đường trung bình tam giác MBJ , suy IM = IJ ⇒ = IJ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP a) 61 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O M trung điểm SC a) Tìm giao điểm I SD với ( AMN ) b) Tính SI ID 62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Cọi N trung điểm SD I , J trung điểm AB ON Chứng minh IJ (SBC ) Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 63 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Trên đường thẳng BA lấy điểm M cho A nằm B M , MA = AB a) Xác định thiết diện lăng trụ cắt ( α ) qua M , B ' trung điểm E AC b) Gọi D = BC ∩ ( MB ' E ) Tính tỉ số BD CD 64 Cho tứ diện ABCD Gọi M , P trung điểm cạnh AD , BC N điểm cạnh AB cho AN = AB a) Tìm giao điểm Q DC với ( MNP ) b) Tính tỉ số DQ DC 65 Cho tứ diện ABCD , M điểm cạnh DB , ( α ) mặt phẳng qua M song song với AD , BC a) Xác định thiết diện hình chóp với ( α ) b) Xác định vị trí M để thiết diện hình thoi c) Xác định vị trí ( α ) để diện tích thiết diện lớn 66 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm mặt đối diện với đỉnh A , B , C , D A ', B ', C ', D ' Gọi M , N , P , Q , R , S trung điểm cặp cạnh đối tứ diện a) Chứng minh AA ', BB ', CC ', DD ' đồng qui G ( G gọi trọng tâm tứ diện, AA ', BB ', CC ', DD ' gọi đường trọng tuyến tứ diện) b) Chứng minh bảy đoạn thẳng AA ', BB ', CC ', DD ', MN , PQ , RS đồng quy 67 Cho tứ diện ABCD , G trọng tâm tam giác BCD M điểm thuộc miền tam giác BCD Đường thẳng qua M song song với AG cắt mặt phẳng ( ABC ) , ( ACD ) , ( ABD ) P , Q , R Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! a) Chứng minh MP + MQ + MR không đổi M di động tam giác BCD b) Xác định vị trí điểm M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn 68 Cho tứ diện ABCD cạnh a Trên cạnh BC , CD lấy điểm M , N cho MC CN PA = , = Trên trung tuyến AP tam giác ABD lấy điểm I cho = MB CD PI Tính diện tích thiết diện tạo thành cắt tứ diện ( MNP ) 69 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định điểm M , N đoạn AC ', B ' D ' tương ứng cho MN BA ' tính tỉ số MA MC ' 70 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng ( α ) thay đổi chứa AE cắt SB , SD M , N Xác định vị trí M , N cạnh SB , SD cho SM SN + đạt giá trị lớn SB SD ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 61 a) Gọi E = AN ∩ CD , F = AN ∩ BC I = EM ∩ SD I = SD ∩ ( AMN ) b) Ta có BF AD ⇒ BF NB = = Từ AD ND BF FC = ⇒ = AD AD ⇒ EC FC = = ED AD Kẻ CJ / /SD , J ∈ EI Ta có MC CJ ID ED IS MS EC = ; = ⇒ = = MS IS CJ EC ID MC ED Vậy IS = ID Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 62 Ta có ON SB ⊂ ( SBC ) ⇒ ON S (SBC ) (1) Tương tự N ON / / BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ON (SBC ) ( ) Từ (1) , ( ) suy (ONI ) (SBC ) mà IJ ⊂ ( ONI ) ⇒ IJ ( SBC ) J D C O A I B 63 a) Trong ( ABB ' A ' ) gọi K = MB '∩ AA ' Trong ( ABC ) gọi D = ME ∩ CB C' Thiết diện tứ giác DEKB ' b) Kẻ EF AB ( F ∈ CB ) Khi EF B' A' đường trung bình tam giác ABC EF = AB Xét tam giác DBM ta có FD EF 1 = = ⇒ FD = BF = FC , tức D BD BM 2 BD trung điểm FC =3 CD C K D F B E A M Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 64 a) Trong ( ABC ) gọi E = AC ∩ NP , ( ACD ) gọi Q = EM ∩ CD Q ∈ CD ⇒ Q = CD ∩ ( MNP ) ⇒ Q ∈ EM ⊂ ( MNP ) D Q b) Kẻ AF CD , F ∈ AD , kẻ M KP AN , K ∈ AC Ta có F AF MA = = ⇒ AF = DQ DQ MD AF EA = QC EC Do KP = ( 1) , (2) E K C A N P 1 AB = AN = AN nên 2 B AN = KP ⇒ EA AN EA = = ⇒ = EK KP EC Từ ( 1) , ( ) , ( ) suy ⇒ ( 3) QD FA EA = = = QC QC EC QD = DC Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 65 A M ∈ ( α ) ∩ ( ABD ) a) Ta có AD ⊂ ( ABD ) AD ( α ) N P ⇒ ( α ) ∩ ( ABD ) = MN AD , N ∈ AB Tương tự ( α ) ∩ ( ABC ) = NP BC , P ∈ AC ( α ) ∩ ( BCD ) = MQ B D M Q BC , Q ∈ CD C Thiết diện tứ giác MNPQ b) Giả sử có điểm M cạnh BD để MNPQ hình thoi Ta có MQ DM DM.BC = ⇒ MQ = BC DB DB Tương tự ( 1) MN MB MB AD = ⇒ MN = AD BD BD ( 2) Do MNPQ hình bình hành nên hình thoi MN = MQ , từ ( 1) ( ) ta có DM.BC AD.MB = ⇒ DM.BC = DA ( DB − DM ) DB BD ⇔ DM ( BC + AD ) = AD.BD ⇔ DM = Rõ ràng < DM = AD.BD BC + AD AD.BD < BD nên điều kiện M nằm BD thỏa mãn BC + AD Vậy thiết diện hình thoi M nằm cạnh BD cho DM = c) Ta có AD.BD BC + AD MQ MD MN MB MQ MN MD + MB = , = ⇒ + = =1 BC DB DA DB BC AD DB Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Vì MQ BC , MN AD mà BC , AD không đổi nên góc MN MQ khơng đổi, SMNPQ = MN MQ sin ϕ ( ϕ góc MN MQ ) Ta thấy sin ϕ không đổi SMNPQ = MN MQ sin ϕ = ( AD.BC sin ϕ ) MN MQ AD BC MN MQ AD + BC AD.BC sin ϕ ≤ AD.BC sin ϕ = Đẳng thức xảy MN MQ = = ⇒ M trung điểm AD BC BD Vậy thiết diện thiết diện lớn A AD.BC sin ϕ M M trung điểm BD G B' B D A' N C 66 a) Gọi N trung điểm cạnh CD , ta dễ thấy A ' ∈ BN B ' ∈ AN ( ABN ) , AA ' BB ' cắt điểm G Tương tự chứng minh đường thẳng AA ', BB ', CC ', DD ' đôi cắt nhau, mà bốn đường thẳng đơi cắt chúng địng quy b) Dễ dàng chứng minh G trung điểm MN từ ta có bảy đường thẳng AA ', BB ', CC ', DD ', MN , PQ , RS đồng quy G Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 67 a) Gọi I , J , K giao điểm MG với Q BC , CD , BD , kẻ MH GC , H ∈ BC ta có: Ta có MP IG IH SMBC 3SMBC = = = = AG IJ GC SGBC SBCD Tương tự MQ 3SMCD MR 3SMBD = , = AG SBCD AG SBCD A P Từ ta có I MP + MQ + MR = AG R K B b) Theo BĐT Cauchy ta có M D G H J MP + MQ + MR MP.MQ.MR ≤ = AG C Đẳng thức xảy MP = MQ = MR = AG ⇔ M ≡ G 68 Cọi X = MN ∩ BD , E = XP ∩ AD , F = XP ∩ AB Thiết diện tứ giác MNEF A Dựng MQ BD , Q ∈ CD F CQ CM = = ⇒ N trung điểm CD CB QD DX = MQ Ta có P E J B DX MQ = = DB DB X N M Dựng IJ XF , J ∈ AB Ta có AF AP 4 = = ⇒ AF = FJ FJ AI 5 D I Q C ( 1) Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! BF BX BX BX BX BX = = = = = = ⇒ JF = BF ( ) JF IX ID + DX BD 5 BD + BD BX Từ ( 1) , ( ) suy AF = Do 4 AF FJ = FB = FB ⇒ = 5 AB CM FA CM = ⇒ = = ⇒ FM AC ⇒ AC CB AB CB ( MXF ) ⇒ MF NE Vậy thiết diện MNEF hình thang cân có MF = AF = 2a a , NF = ; ∆AFE có 3 a 2a , AE = 3 EF = AE2 + AF − AE AF cos 60 = a2 a ⇒ EF = FM − EN a Đường cao hình thang h = EF − = 2 Diện tích thiết diện S = 69 11a h ( MF + NE ) = 24 MA = MC ' 70 Gọi O = AC ∩ BD , G = AE ∩ SO , G S trọng tâm tam giác SAC Dễ thấy G ∈ MN Ta có S∆SGM SG.SM SM = = S∆SOB SO.SB SB E M N G S∆SGN SG.SN SN = = S∆SOD SO.SD SD D A B O C Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇒ SSMG SSNG SM SN + = + Mặt khác SSOB SSOD SB SB Suy = 2SSMN 2SM.SN = SSBD SB.SD SM SN SM.SN SB SD + = ⇔ + =3 SB SD SB.SD SM SN SM SN SM SN SB SD + = + SM + SN = SB SD SB SD Đặt a = SSMG SSNG 2SSMG 2SSNG + = + SSOB SSOD SSBB SSBD (*) 1 SM.SD SN SB 2+ + 3 SN SB SM.SD SB SD SM SN a b ,b = a + b = + = 2+ + SM SN SB SD b a Do a ≥ 1, b ≥ a + b = nên ta có a ∈ [1; 2] , từ a b a − a − 6a + a2 Ta có + = + = ≤ , ∀a ∈ [1; 2] b a 3−a a a ( − a) ⇒ SM SN a b 1 5 + = 2+ + ≤ 2+ = SB SD b a 3 2 SM SN + ) = M ≡ B , N trung điểm SD N ≡ D , M trung SB SD điểm SB Vậy max( TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh8 Xem thêm nhiều sách tại: http://xuctu.com/ Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com Xem video giới thiệu sách tính tại: https://www.youtube.com/watch?v=GHVgooBcnMg Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo ... giải: Hình thang khơng thể coi hình biểu diễn hình bình hành hai cạnh bên hình thang khơng song song cịn cặp cạnh đối hình bình hành song song ( tính song song khơng bảo tồn) Bài tập mẫu Vẽ hình. .. định yếu tố song song Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB Trong hình ( H '' ) phải đảm bảo tính song song tỉ số điểm M chia đoạn AB Các Bài tập mẫu Bài tập mẫu Hình thang hình biểu diễn hình bình... chiếu AB ( AB không song song với ( P ) ) Lời giải: Vì phương chiếu l đường thẳng AB nên hình chiếu A B giao điểm AB A (P) D Do AB ∩ ( P ) = A '' ≡ B '' B C D'' Các đường thẳng qua C , D song song