Hai mặt phẳng song song – Các bài toán mở rộng- Hình học 11- CHương 2 – Xuctu.com

Phần thuận.. Cho hình chóp. Chứng minh các đường phân giác ngoài tại S của các tam giác SAB SAC SBC , , cùng nằm trong một mặt phẳng.. Cho tứ diện ABCD.. Cho hình chóp. Cho hình ch[r]

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài toán 01: CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG CÙNG NẰM TRONG MỘT MẶT PHẲNG HOẶC BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

Phương pháp:

- Để chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng qua điểm song song với mặt phẳng

- Để chứng minh điểm đồng phẳng ta chứng minh điểm thuộc đường thẳng mà đường thẳng qua điểm song song với mặt phẳng

- Ngồi ta sử dụng định lí Menelaus Trong khơng gian để chứng minh bốn điểm đồng phẳng

Định lí Menelaus

Gọi M N P Q, , , theo thứ tự điểm đường thẳng AB BC CD DA, , , tứ diện ABCD ( M N P Q, , , khác với , , ,A B C D) M N P Q, , , đồng phẳng

MA NB PC QD MB NC PD QA =

Các Bài tập mẫu

Bài tập mẫu Chứng minh định lý Menelaus

Lời giải:

Phần thuận Giả sử M N P Q, , , đồng phẳng Từ đỉnh , ,A B Cdựng mặt phẳng

( ) ( ) ( )α β γ, , theo thứ tự song song với (MNPQ)

Từ D dựng đường thẳng d cắt( ) ( ) ( )α β γ, , theo thứ tự A B C', ', ' cắt (MNPQ) O

Ta có ' ' '

' ' '

OA OB OC OD

OB OC OD OA =

Theo định lí Thales ' '

OA MA

OB = MB

' '

, ,

' '

OB NB OC PC OD QD

OC = NC OD = PD OA =QA

γ

β

α A

D

C

B O Q

M

P N A'

C'

MA NB PC QD MB NC PD QA =

' ' '

' ' '

OA OB OC OD OB OC OD OA =

Phần đảo

Giả sử MA NB PC QD

MB NC PD QA = Gọi E=(MNP)∩AD theo chứng minh trên,do

, , ,

M N P E đồng phẳng nên MA NB PC ED

MB NC PD EA =

QD ED

E Q

QA EA

⇒ = ⇒ ≡

Vậy M N P Q, , , đồng phẳng

Bài tập mẫu Cho hình chóp S ABC có SA SB SC= = Chứng minh đường phân giác S tam giác SAB SAC SBC, , nằm mặt phẳng

Lời giải:

Gọi d đường phân giác ngồi góc S C

trong tam giác SAB I trung điểm của AB

Do tam giác SAB cân S nên SI⊥AB

và SI phân giác góc S nên C

SI⊥d

Vậy (SAB , ta có )

( )

C

C C

d SI

d AB d ABC

AB SI

 ⊥

⇒ ⇒

 ⊥



Gọi ( )α mặt phẳng qua S song song với (ABC )

Vậy ( )

( ) ( ) ( ) ( )

 ∈ 

⇒ ⊂ α



α ∈ α

 ;

; C C

C

S d d ABC

d

ABC S

A C

dC

I S

Tương tự , gọi d d đường phân giác ngồi góc S tam giác A, B SBC SCA , A

d d nằm mặt phẳng B ( )α nên đường thẳng d d d nằm A, B, C mặt phẳng ( )α qua S song song với mặt phẳng (ABC )

Bài tập mẫu Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q, , , theo thứ tự điểm cạnh

, , ,

AB BC CD DA( M N P Q, , , khác với đỉnh tứ diện) cho MA PD

MB = PC

NB QA

NC =QD Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng

Lời giải:

Ta có MA PD MA PC 1( )

MB = PC ⇒ MB PD=

Tương tự NB QA NB QD 2( )

NC =QD⇒ NC QA =

Từ ( )1 ( )2 suy

MA NB PC QD

MB NC PD QA = theo định lí

Menelaus bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng

Bài tập mẫu Cho tứ diện ABCD điểm S không gian ( S không trùng

với , , ,A B C D) Gọi , , ,E F H K chân đường phân giác góc S tam giác SAB SBC SCD SDA, , ,

Chứng minh bốn điểm , , ,E F H K đồng phẳng Lời giải:

A

B

C

D M

Q

Theo tính chất đường phân giác ta có

,

,

EA SA KD SD

EB SA KA SA

HC SC FB SB

HD SD FC SC

= =

= =

Suy EA FB HC KD

EB FC HD KA

SA SB SC SD SB SC SD SA

= = theo định lí

Menelaus bốn điểm , , ,E F H K đồng phẳng

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

46 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M N P, , trung điểm cạnh AB CD SA, ,

a) Chứng minh (SBN) (DPM)

b) Q điểm thuộc đoạn SP (Q khác ,S P) Xác định thiết diện hình chóp cắt ( )α qua Q song song với (SBN)

c) Xác định thiết diện hình chóp cắt ( )β qua MN song song với (SAD)

47 Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA CD

a) Chứng minh (OMN) (SBC)

b) Gọi I trung điểm SD , J điểm (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ (SAB)

A

B

C

D

S

E

F

48 Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành tâm O , tam giác SAD ABC đều cân A Gọi AE AF, đường phân giác tam giác ACD

SAB Chứng minh EF (SAD)

49 Hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường

chéo AC BF lấy điểm M N, cho AM=BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N, cắt AD AF, M N', '

a) Chứng minh (BCE) (ADF) b) Chứng minh (DEF) (MNN M' ')

c) Gọi I trung điểm MN Tìm tập hợp điểm I M N, thay đổi AC

BF

50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, AB=3 ,a AD CD= =a Mặt bên

SAB tam giác cân đỉnh S SA=2a, mặt phẳng ( )α song song với (SAB) cắt cạnh AD BC SC SD, , , theo thứ tự M N P Q, , ,

a) Chứng minh MNPQ hình thang cân

b) Đặt x=AM(0< <x a) Tính x để MNPQ tứ giác ngoại tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn

c) Gọi I=MQ∩NP Tìm tập hợp điểm I M di động AD

d) Gọi J=MP∩NQ Chứng minh IJ có phương khơng đổi điểm J ln thuộc mặt phẳng cố định

51 Cho hình chóp S ABC, mặt phẳng ( )α di động song song với (ABC), cắt , ,

SA SB SC A B C', ', ' Tìm tập hợp điểm chung ba mặt phẳng

(A BC' ) (, B AC' ) (, C AB' )

b) Chứng minh đường chéo AC' qua trọng tâm G G1, 2 tam giác ', ' '

BDA B D C đồng thời chia đường chéo AC' thành ba phần c) Xác định thiết diện hình hộp cắt (A B G' ' 2) Thiết diện hình gì?

53 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất mặt hình vng cạnh a.Trên cạnh AB CC C D, ', ' 'và AA' lấy điểm M N P Q, , , cho

( )

' '

AM=C N=C P=AQ=x ≤ ≤x a

a) Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng MP NQ, cắt điểm cố định

b) Chứng minh (MNPQ) qua đường thẳng cố định

c) Dựng thiết diện hình hộp cắt (MNPQ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ chu vi thiết diện

54 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SAD∆ vuông A Qua điểm M cạnh AB dựng mặt phẳng ( )α song song với (SAD) cắt CD SC SB, ,

, ,

N P Q

a) Chứng minh MNPQ hình thang vng

b) Gọi I=NP∩MQ Tìm tập hợp điểm I M di động cạnh AB

55 Cho hình chóp cụt ABC A B C ' ' ' Gọi M N P, , trung điểm cạnh ' ', ',

A B BB BC

a) Xác định thiết diện hình chóp cụt với (MNP)

b) Gọi I trung điểm AB Tìm giao điểm IC' với (MNP)

56 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất mặt hình vng cạnh a Các điểm M N, nằm AD BD', cho AM=DN =x(0< <x a 2)

b) Khi

a

x= , chứng minh MN A C'

57 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' '

a) Gọi , ,I K G trọng tâm tam giác ABC A B C, ' ' ' ACC' Chứng minh

( ) (IGK BB C C' ' ) (A KG' ) ( )AIB

b) Gọi ,P Q trung điểm BB' CC' Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB' PQ

58 Cho mặt phẳng ( )α hai đường thẳng chéo d d1, 2 cắt ( )α ,A B Đường thẳng ∆ thay đổi song song với ( )α cắt d d1, 2 M N Đường thẳng qua N song song với d1 cắt ( )α N'

a) Tứ giác AMNN' hình gì? Tìm tập hợp điểm N' b) Xác định vị rí ∆ để độ dài MN nhỏ

c) Gọi O trung điểm AB , I trung điểm MN Chứng minh OI đường thẳng nằm mặt phẳng cố định M di động

59 Cho tứ diện cạnh a Gọi ,I J trọng tâm tam giác ABC DBC Mặt phẳng ( )α qua IJ cắt cạnh AB AC DC DB, , , M N P Q, , ,

a) Chứng minh MN PQ BC, , đồng quy song song MNPQ hình thang cân b) Đặt AM=x AN, =y Chứng minh a x y( + )=3xy Tìm GTNN GTLN

AM AN+

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a s= +x y

60 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình thang, AD CD= =BC=a,

AB= a Măt phẳng ( )α qua A cắt cạnh BB CC DD', ', ' M N P, , a) Tứ giác AMNP hình gì?

Lời giải:

46 a) Ta có

( ) ( ) ( )

BN DM BN DPM DM DPM  ⇒  ⊂

 Tương tự

( ) ( ) ( )

BS MP BS DPM MP DPM  ⇒  ⊂ 

Từ ( )1 ( )2 suy (SBN) (DPM)

b) Ta có ( )

( ) ( ) ( ) SB SBN SB SBN  ⊂  ⇒ α  α  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , Q SAB

SB SAB SAB QR SB R AB

SB  ∈ ∩ α  ⊂ ⇒ ∩ α = ∈   α  Tương tự

( ) (α ∩ ABCD)=RK BN K CD, ∈

( ) (α ∩ SCD)=KL SB L SD, ∈

Vậy thiết diện tứ giác QRKL

c) Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , M SAB SA SA SAB

SAB MF SA F SB

 ∈ β ∩  β   ⊂  ⇒ β ∩ = ∈

Tương tự ( ) (β ∩ SCD)=NE/ /SD E SC, ∈ Thiết diện hình thang MNEF

47 a) Do ,O M trung điểm AC SA, nên OM đường trung bình tam giác SAC ứng với cạnh SC⇒OM SC

Mà SC⊂(SBC)⇒OM (SBC) ( )

Tương tự ON BC⊂(SBC)⇒ON (SBC) ( ) Từ ( )1 ( )2 suy (OMN) (SBC)

b) Gọi H K, trung điểm AD

BC Do J⊂(ABCD) d J AB( , ) (=d J CD, ) nên

( )

J∈HK⇒IJ⊂ IHK

Ta dễ dàng chứng minh (IHK) (SAB)

Vậy ( )

( ) ( )

IJ IHK

IHK SAB

 ⊂  

 IJ (SAB)

⇒

48 Kẻ FI SA I, ∈AB⇒IF (SAD)

Ta có FS IA 1( )

FB = IB

Theo tính chất đường phân giác ta có

( )

FS SA AD

FB = AB = AC

( Do tam giác ASD ABC, cân A nên ,

SA=AD AB=AC) Mặt khác ED AD 3( )

EC = AC

Từ ( ) ( )1 , ( )3 suy IA ED IE AD

IB = EC ⇒

K

H I

O M

N A

B C

D S

J

I A

B C

D S

Mà AD⊂(SAD)⇒IE (SAD)

Ta có ( )

( ) ( ) ( )

IE SAD

IEF SAD

IF SAD



⇒ 



Mà EF⊂( )IEF ⇒EF (SAD)

49

a) Ta có BE AF( ) EB (ADF)

AF ADF



⇒ 

⊂



Tương tự BC (ADF) Từ ta có (BCE) (/ / ADF)

b) Vì MM' AB⇒MM' CD nên theo định lí Thales ta có

( )

'

AM AM

AC = AD

Tương tự NN' AB BN AN' 2( )

BF AF

⇒ =

Từ ( )1 ( )2 suy AM' AN'

AD = AF

( )

' '

M N DF DEF

⇒ ⊂ ⇒M N' ' (DEF)

Lại có

( )

'/ / '

MM CD EF⇒MM DEF

(DEF) (MNN M' ')

⇒

c) Gọi P=MM'∩BC Q, =NN'∩BE ,J K trung điểm đoạn AB CF Gọi X=N Q' ∩FJ, Y=M P' ∩CJ XY=(MPQN') ( )∩ FCJ Trong (M PQN' ') gọi

I=XY∩MN

I X

Q

Y P K

J N'

M'

E

B

D

C A

F

M

Ta có YM CM 3( )

AJ = CA 4( )

XN FN

BJ = FB mà AJ=BJ AC, =BF nên từ ( ) ( )3 , suy YM=XN⇒XMYN hình bình hành nên I trung điểm MN

Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' '

M PQN CEFE

CFJ M PQN XY XY CF

CFJ CEFE CF

  ∩ = ⇒   ∩ = 

mà IX=IY nên I thuộc đường trung trung

tuyến JK tam giác JCF

Giới hạn:

Khi N→B⇒M→A⇒I→J

Khi N→F⇒M→C⇒I→K

Phần đảo: (bạn đọc tự giải)

Vậy tập hợp điểm I đường trung tuyến JK tam giác JCF

50 a) Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAB

ABCD SAB AB

ABCD MN  α  ∩ =   ∩ α =  ( ) MN AB ⇒ Tương tự ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAB

SCD ABCD CD

SCD PQ  α  ∩ =   ∩ α =  ( ) PQ CD ⇒

Lại có AB CD 3( ) Từ ( ) ( )1 , ( )3 ta có

MN AB CD PQ nên MNPQ hình thang (*) Dễ thấy MQ SA NP SB,

;

MQ DM NP CN

SA = DA SB = CB mà

DM CN

DA = CB nên

MQ NP

SA = SB

Mặt khác SAB∆ cân S⇒SA SB=

( )

* *

MQ NP

⇒ = Từ ( )* ( )* * suy MNPQ hình thang cân

b) MNPQ tứ giác ngoại tiếp ⇔MQ NP+ =MN PQ+

Ta có MQ DM a x MQ 2(a x) NP 2(a x)

SA DA a

−

= = ⇒ = − ⇒ = −

Lại có PQ SQ AM x PQ x CD =SD = AD = a ⇒ =

Khơng khó khăn ta tính MN=3a−2x

Do 4( )

3

a MQ NP+ =MN PQ+ ⇔ a x− = a− x x+ ⇔ =x

Khi tính

a

r=

c) Gọi E=AD∩BC⇒SE=(SAD) (∩ SBC)

( ) ( )

I MP SAD

I MP NQ I SE

I NQ SBC

 ∈ ⊂



= ∩ ⇒ ⇒ ∈

∈ ⊂



Giới hạn:

Gọi I0 giao điểm SE với mặt phẳng ( )β qua CD song song với (SAB) Khi M→D⇒N→B⇒I→I0

Phần đảo: ( bạn đọc tự giải)

d) Gọi K= ∩IJ MN, MNPQ hình thang cân nên K trung điểm MN Gọi

F=EK∩AB F trung điểm AB nên F cố định

dễ thấy IJ SF suy IJ có phương khơng đổi điểm J thuộc mặt phẳng cố định

( )SEF

51 Bổ đề:

Cho tam giác ABC điểm M N, thuộc cạnh ,

AB AC cho MN BC Gọi ,E F trung điểm BC MN, I =MB∩CN

, , ,

A F I E thẳng hàng Chứng minh:

Ta có 2AE AB AC AB AM AC AN

AM AN

= + = +

( )

k AM AN kAF

= + =

Với k AB AC

AM AN

= =

Hay , ,A E F thẳng hàng

Mặt khác 2IE IB IC IB IN IC IM

IN IM

= + = − −

( )

l IN IM lIF

= + = vời l IB IC

IN IM

= − = − ⇒I E F, , thẳng hàng

Vậy , , ,A F I E thẳng hàng Quay lại toán:

Gọi M=AB'∩BA P', =AC'∩CA N', =BC'∩CB'

I=CM∩AN

I F

E N A

B C

M

G

F E

I

M N

P

C'

B' S

A C

( )

( ) ( ) ( )

'

' '

'

I AN ABC

I BP ABC BCA

I CM BCA

 ∈ ⊂



⇒ ⇒ ∈ = ∩

∈ ⊂



Vậy I điểm đồng quy ba mặt phẳng

(A BC' ) (, B AC' ) (, C AB' )

Gọi ,E F trung điểm BC BA, Theo bổ đề ta có , ,S N E thẳng hàng I∈AN

nên I∈(SAE)

Tương tự I∈(SCF) Gọi G trọng tâm ABC∆ SG=(SAE) (∩ SCF) nên I SG∈

Từ dễ dàng lập luận quỹ tích điểm I đoạn thẳng SG trừ S G

52

a) Gọi , 'O O trọng tâm mặt

ABCD A B C D' ' ' '

Dễ thấy DBB D' ' hình bình hành nên

( )

' ' '

B D BD⊂ BDA

( ) ( )

' ' '

B D BDA

⇒

Tương tự OCO A' ' hình bình hành nên

( )

' / / ' '

O C OA ⊂ A BD

( ) ( )

' '

CO A BD

⇒

Từ ( ) ( )1 , suy (A BD' ) (CB D' ')

I F

E

G2

G1

O' O D

A

B D'

A' B'

b) Ta có A O' trung tuyến tam giác A BD' 1

1

' ' '

G O OA

G A = A C = nên G1 trọng

tâm tam giác A BD'

Tương tự G2 trọng tâm tam giác CB D' '.Dễ thấy OG1 O G' 2 đường trung bình tam giác ACG2 A C G' ' 1 nên

1

1

' '

3

AG =G G =G C = AC

c) Gọi I trung điểm CD' Do G2 trọng tâm tam giác CB D' ' nên

( )

2

' ' '

I∈B G ⊂ A B G

Vậy

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2

2

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

I A B G CDD C

A B C D

A B G CDD C EF C D

A B A B G

C D CDD C

 ∈ ∩

 

⇒ ∩ =



⊂ 

 ⊂



', '

E CC F∈ ∈DD Thiết diện hình bình hành A B EF' '

53 a) Dễ thấy PN CD' QM A B' mà A B C D' ' nên PN QM hay M N P Q, , , đồng phẳng

b) Do PC MA' hình bình hành nên MP qua trung điểm O AC'

( )

O MNPQ

⇒ ∈

Mặt khác A B MQ' ⊂(MNPQ)

( )

'

A B MNPQ

⇒

Gọi ∆ đường thẳng qua O song song với A B' ∆ cố định ∆ ⊂(MNPQ) Hay (MNPQ) chứa đường thẳng cố định ∆

(MNPQ) (A BC' ')⇒BC' (MNPQ)⇒BC' NR

O

R S

D'

A'

B'

D

A B

C C'

M

N P

'

'

BR C N a

x

BC CC

⇔ = ⇒ = Đảo lại

2

a

x= , dễ dàng chứng minh (MNPQ) (A BC' ')

c) Dễ thấy ∆ cắt BC A D, ' ' trung điểm R S chúng

Thiết diện lục giác MPNPSQ Dễ thấy lục giác có tâm đối xứng O nên

, ,

MQ=NP MR=NS RN=SQ chu vi thiết diện

( )

2p=2 RM MQ QS+ + Ta có ( )

2

2

4

a

MR QS= = + −a x , QM=x

Vậy ( )

2

2

2 2

4

a

p x a x

 

 

=  + + − 

 

Đặt f x( )=x 2+ a2+4(a x− )2;x∈[0; ]a

Theo CauChy -Schwarz

( )

( 2 2)( 2 2) ( ) 2 ( )2 ( )

4 1

2

a + a x− + ≥ +a a x− ⇒ a + a x− ≥ a− x

Nên ( ) (3 )

2

a

f x ≥x + a− x = Đẳng thức xảy

a x=

Vậy 2( )p =3 2a

Mặt khác biến đổi tương đương ta có

( )2 ( ) (2 )2

2

2

54

a) Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

SAB

ABCD MN MN AB

ABCD SAB AB

 α  ∩ α = ⇒   ∩ =  Tương tự

( ) (α ∩ SAB)=MQ SA

( ) (α ∩ SCD)=NP SD

Thiết diện tứ giác MNPQ

Do (( ) )

( ) ( ) ( ) MN BC MN PQ MN BC SBC SBC PQ   ⊂ α  ⇒  ⊂   ∩ α = 

Ta có MN AD MQ SA, mà AD⊥SA nên

( )

MN⊥MQ

Từ ( ) ( )1 , suy MNPQ hình thang vng

b) Gọi d=(SAB) (∩ SCD), ( )

( )

I NP SCD

I NP MQ I d

I MQ SAB

 ∈ ⊂ 

= ∩ ⇒ ⇒ ∈

∈ ⊂

 từ dễ

dàng tìm quĩ tích điểm I

55 a) Trong (ABB A' ')gọi J=MN∩AB, (ABC) gọi Q=JP∩AC

Ta có (ABC) (A B C' ' ') nên

(MNP) (∩ A B C' ' ')=MR PQ

Thiết diện ngũ giác MNPQR

b) Trong (ABC) gọi K=PQ∩IC

( ) ( )

K∈ MNP ⇒MK⊂ MNP

Do CI C M' nên (MICC') gọi

( )

' '

H=IC∩MK⇒H=IC ∩ MNP

56 a) Gọi ( )α mặt phẳng qua M song song với (A D CB' ' )

( )

'

N = α ∩BD

Ta có ' 1( ) '

AM DN

AD = DB

Ta có AD'=BD=a nên AM=DN' mà

AM=DN

' '

DN DN N N

⇒ = ⇒ ≡

Vậy MN⊂ α( ) (A D CB' ' ) MN song song với mặt phẳng cố định

(A D CB' ' )

b) Khi

3

a

x= dễ thấy M N, trọng tâm tam giác A AD' CAD nên A M' CN cắt trung điểm

I AD

Khi '

'

IM IN

MN A C

IA = IC ⇒

M

N O I

A' D'

C'

D

A B

57 a) Gọi , , ,O M E Flần lượt trung điểm ', , , ' '

AC AC BC B C

Chứng minh ( ) (IGK BCC B' ') Ta có

( )

' ' '

'

MI MG

IG CC BCC B

MB= MC ⇒ ⊂

( ' ' 1) ( )

IG BCC B

⇒

Tương tự

1

' '

' 3

' '

OA OA

A G

A C A C

+ =

4

' 2

'

OA A C

= =

Lại có ' ' '

' ' '

A K A G A K

A F = ⇒ A C = A F

( ' ')

GK CF BCC B

⇒ ⊂ ⇒GK (BCC B' ' 2) ( ) Từ ( ) ( )1 , suy ( ) (IGK BCC B' ')

Chứng minh (A KG' ) (AIB')

Dễ thấy AA FE' hình bình hành nên A F AE' hay A F' (AIB' 3) ( ) Cũng dễ thấy

( ) ( ) ( )

' ' '

CF EB ⊂ AIB ⇒CF AIB

Từ ( ) ( )3 , suy (A CF' ) (/ / AIB') mà (A CF' ) (A KG' ) nên (A KG' ) (AIB')

b) Trong (BCC B' ')gọi R=PQ∩B E'

K I

O G

E F

M

B'

A

C C'

A' B

S

R

I E

Q P

M

B'

A

C C'

( )

' '

R PQ

R B E AB E

 ∈  ⇒ 

∈ ⊂



Trong (AB E' ) gọi S=IR∩AB' đường thẳng

IR đường thẳng cần dựng

58 a) Ta có MA NN' 1( )

Do ( )

( ') ( ) '

MN

AMNN AN

 α

 

∩ α =



( )

'

AN MN

⇒

Từ ( ) ( )1 , suy AMNN' hình bình hành

Gọi ( )β mặt phẳng chứa d2 song song với d1 NN'⊂ β( )⇒N'∈ β( ) từ ta có N' thuộc giao tuyến d3của ( )α

( )β

b) Ta có MN=AN' nên MN nhỏ AN' nhỏ ⇔ AN'⊥d3 Từ ta xác định ∆ sau:

- Dựng ( )β chứa d2 ( )β d1 - Dựng giao tuyến d3 = α ∩ β( ) ( ) - Gọi N' hình chiếu A d3

- Từ N' dựng đường thẳng song song với d1 cắt d2 N

- Từ N dựng đường thẳng ∆ song song với N A' ∆ đường thẳng thỏa yêu cầu toán

d1

d2

α

J I

O

N' A

B M

c) Gọi J trung điểm AN' ( ) ( )OIJ β mà O cố định ( )β cố định nên ( )OIJ

cố định Vậy OI thuộc mặt phẳng cố định qua O song song với ( )β

59.a) Ta có (ABC) (, DBC) ( ), α đôi cắt theo giao tuyến BC MN PQ, , nên theo định lí giao tuyến BC MN PQ, , đồng quy đôi song song

Ta chứng minh MNPQ hình thang cân trường hợp BC MN PQ, , đồng quy

Gọi E trung điểm BC EI EJ IJ AD

EA= ED⇒

Từ ta có

( ) ( )

( ) ( )

IJ

AD ACD

NP IJ IJ AD

ACD NP

 ⊂ α 

⊂ 

⇒ 



 α ∩ =



Tương tự MQ IJ nên MNPQ hình thang

Dễ thấy DQ=AM=x DP, =AN=y Theo định lí sin ta có

2 2 2

2 cos 60

MN =AM +AN − AM AN =x +y −xy

Tương tự

2 2 2 . cos 600 2

PQ =DP +DQ − DP DQ =x +y −xy

MN PQ

⇒ =

Vậy MNPQ hình thang cân

Trường hợp BC MN PQ, , song song khơng có khó khăn bạn đọc tự kiểm tra

Q M K

J I

E A

B D

C N

c) Ta có sin 600 . 3sin 300 . 3sin 300

2 3

AMN AIM AIN

a a

S =S +S ⇔ xy = x + y

( )

a x y xy

⇔ + =

b) Ta có AM AN+ = +x y Theo BĐT Cauchy ta có

( ) ( )2 ( )

3 3

2

x y a

a x y+ = xy≤  +  ⇔ x y+ − a x y+ ⇔ + ≥x y

 

4

a AM AN

⇒ + ≥ Đẳng thức xảy

a

x= =y , ( )α qua IJ song song với BC

Không giảm tổng quát ta giả sử x≥y [2 ; ]

a

x∈ a

Và

2

3

3

ax x

x y x

x a x a

+ = + =

− −

( )( )

2 2

3 3

0

2 3

a x a x

a a a

x y

x a x a

− − ⇒ + − = − = ≤ − − a x y

⇒ + ≤ Đẳng thức xảy

2

a

x=a⇒y= Khi ( )α qua B

Vậy min( ) , max( )

3

a a

AM+AN = AM AN+ =

c) Dễ thấy MNPQ hình thang cân có ,

MQ= −a x NP= −a y, giả sử x≥y⇒a x− ≤ −a y

Ta có ( ) ( )

2

a y a x x y

HN= − − − = −

2 2

MH =MN −NH

( )

2 2

2 2

2

3 3 8

4

x y

x y xy

x y xy s as

 −  = + − − 

 

+ − −

= =

( ) 3 8

3

2

s as MH= xy = a x y+ = −

( )

1 MNPQ

S = MQ NP MH+

( )

( )

1

2

2 a x y s as

= − + −

( )

1

2

4 a s s as

= − −

60.a) Ta có (ABB A' ') (CDD C' '),

( ) (α ∩ ABB A' ')=AM

( ) (α ∩ CDD C' ')=NP⇒AM NP 1( )

AMNP hình thang

b) Gọi ,I J trung điểm AB AM, IC AD⇒IC (ADD A' ') lại có IJ BB' AA'

( ) ( ) ( )

' ' ' ' '

IJ AA ADD A CIJN ADD A

⇒ ⊂ ⇒ Mặt khác ( ) (α ∩ ADD A' ')=AP

( ) (α ∩ CIJN)=JN nên JN AP 2( )

a

a a

2a J

I

M B'

C' D'

D C

B A'

A P

Từ ( ) ( )1 , suy APNJ hình bình hành ,

PN=AJ= AM

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019

I

J

F

E

N O D

M

A B

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1

https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh8

Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp:

sach.toan.online@gmail.com

Xem video giới thiệu sách tính tại: