Nhận xét: Đây là bài toán khó đòi hỏi kỹ năng phân tích cao... *Nắm được gốc của bài toán thì không có gì khó khăn[r]
(1)I Kiến thức sử dụng
1 Hằng đẳng thức đáng nhớ (lớp 8) (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a - b) = a2 - 2ab + b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 2 Hằng đẳng thức
2
0 A A
A A
A A ≥
= =
− <
II Khai thác tốn
Ta có toán gốc SGK toán
Bài toán 1: Tính (1−2 2)2
Bài tốn hầu hết lớp làm đưụơc làm nhanh, áp dụng
hằng đẳng thức A2 = A ta có: (1−2 2)2 =1−2 =2 2−1
Ta mở rộng tốn hay, khó
( )2
2
1− =12 −4 2+( )2 2
Làm vết bình phương (1−2 2)2
2
8
− =
+ − =
Ta có đề sau:
Bài tốn 2:
Tính 9−4
Lúc người làm được, học sinh làm biến
đổi
Cách giải: Ta biến đổi ngược lại người đề:
8 4
9− = − + = 12−2.2 2.+(2 2)2
(2)Từ toán suy (1−2 2)2 = 1−2 =2 2−1
Nhận xét: Như ta phải tách = +
1 2 2 =
Câu hỏi đặt ra: Nếu khơng cịn vết đề biết tách = + 1? Đâu gốc?
Nhìn vào đâu để tách?
Ta phải dựa vào gốc: =2.2 2.1
2 số thứ nhất; số thứ đẳng thứuc (a – b)2 = a2-2ab + b2 Và 12 + (2 2)2 = + = cho ta tách = +
Ghép thêm tương tự: 9+4 ta có tốn
Bài tốn 3: Tính (rút gọn) M = 9−4 + 9+4
Lời giải: M = ( )2 ( )2
1 2 2 1 2 2
2 − + + + +
M = (2 2−1) (2 + 2+1)2
M = 2−1+ 2+1
M = 2−1+2 2+1=4
Kết hợp với trục thức mẫu ta có tốn
Bài tốn 4: Tính (rút gọn)
N =
1
2 9
− + + −
N = ( ) ( )2
1
1 5
2
− =
− − =
−
Câu hỏi đặt ra: Nếu =2.2
Số thứ
Số thứ 22+( )2 =4+2=6
Ta có tốn 5:
Tính a) 6−4
b) 6+4
(3)Cho ta tách = +
a) 6−4 = 22 −2.2 2+( )2 = (2− 2)2 = 2− =2−
b) 6+4 =2+
Ngoài ra: 6−4 + 6+4 = −2 2+ +2 =4
6−4 − 6+4 = −2 2− −2 = −2
Bài toán 6: Rút gọn: P =
2
1
7
2 6
− + +
+ + −
P =
2
2 3
7 ) (
1
7
− + + −
− =
− + +
= − 3+ 3+ 2= +
Nhận xét: Như =2.2 2
2 tách thành tích hai số: 2 2.1 Sẽ cho ta tách số lại thành số
Ta chuyển thành toán
Bài toán 7: Tính
) 32 ) 32
a Q= − b R= +
Lời giải:
Ta gọi lại dấu vết lần tích cách đưa thừa số làm
2 16 32 = =
Ta quay toán
Tương tự ta có loạt tốn
) 15 15 ) 24
) 14 ) 28
a b
c d
− − + +
+ −
Lời giải:
a) 8−2 − 8+2 = 5−2 3+ −3 5+2 3+3
( ) ( )
2
5 5 3
(4)b) 24 3 2 + = + = + = +
c) 14+6 = 9+2.3 5+5 = (3+ 5)2 =3+
d) 8− 28 = 7−2 7.1= ( 7−1)2 = 7−1
Bài toán 8:
Những toán rút gọn tính
a) C =
− + + + − − + − x x x x x x x x 1 1 : ) (
1 3
2
Khi x = 3+2
Rút gọn C = 2
1 x x
+
x = 3+2 = ( 2+1)2 = 2+1
C=
( ) ( ) ( ) 2
1 2 2 2 2 1 1 2 = + + = + + = + + +
b) Cho y =
3 11 − − − x x
Tính giá trị y lúc x = 23 - 12 3- Ta có x – = 23 – 12
( ) ( ) 3 2 3 3 12 12 21 2 − = − ⇒ − = − = + − = − = x
Khi y =
6 3 12 12 3 11 12 23 11 − − = − − − − = − − − x x ( ) ( ) (( )) 3 6 12 3 12 3 12 = = = = − − = − − =
Bài toán 9: Chứng minh A ∈ Z B ∈ Z với
(5)Bài giải
( 1) ( 1) 5
1 5 1
5− + − + + = − − + = − − − =−
=
A
Chứng tỏ A ∈ Z
( )
( ) (( )) 2
1 2
1 2
2
1 2
2
1
8 2
1 2
2
1 2
2 2
2
+ + − −
− = +
+ −
− − =
+ +
+ + −
+ + −
+ −
=
B B
B =
8
2 2 3
= −
+ − + − − + −
Chứng tỏ B ∈ Z
Bài toán 10: So sánh hai số:
2 7
4+ − − −
* Nhận xét: + - đưa dạng (a + b) (a - b)2 Tạo hai lần tích cách + = ( ) ( )
2
2
4 +
= +
2 7
4+ = +
⇒
Tương tự
2 7
4− = −
⇒
Do 7 7 2 2
2 2
+ − −
+ − − − = − − = − = =
Vậy 4+ − 4− − 2=0
Bài tốn 11: Tính
a) A1 = 3− − 3+
b) So sánh 3− − 3+ -
(6)( ) ( ) 2 2 5 5 5 5 5 5 ) 2 − = − = + − − = + − − = ⇒ + = + ⇒ + = + = + − = − ⇒ − = − = − A a
Do đó: 3− − 3+ =−
Tương tự phần b
Bài tập làm thêm Bài 1: Tính
( ) 192 16 192 19 ) 432 31 ) 2 ) ) − − + − + − D C B A
Bài 2: Cho N =
ab b a a ab b b ab a + − − + +
Tính N a = 4+2 3;b= 4−2
Bài 3: So sánh
5 7 ) + − −
a
35 35
) + − −
b 10
Bài toán 12: Tính
( )2
1 2 32 2 32 32 + = + = + + + = + + = − +
Bài tốn 13: Tính
( )2
1 2 32 32 − = = − + +
(7)32 ) 32 2 ) − + + − + + + b a Lời giải:
( 1) 2 2 32 ) 2 2 ) + = + = + + = − + + + = + = + + + b a
Cùng với kỹ tách biểu thức ta có toán thi vào trường chuyên
Xuất phát từ vấn đề:
( ) ( )
( ) ( )
2
1002 2004 2002 2004 1002
2004
2004 1002 1002
2004 1002 2004 1002
2 4
10 10 2.10 10 2(10 1)
3 9
9 9 9
4
10 10 4(1 1) 8.(1 1) 4 8
9 9
so so so so so so k − = − + = − − − = − − − = − = − = − =
Bài tốn tính A =
so so 1002 2004 8 −
Nhận xét: Đây tốn khó địi hỏi kỹ phân tích cao
Bài tốn: Tính S =
so so 2004 2004 ) , ( 99
1+ +
( ) ( ) 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004
2004 10
1 10
10
(10 ) (10 1) (10 ) 10
(10 ) S S = + − + + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004
2
2
2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2 2004 2004 2004 2004 2004 2004
(10 ) (10 ) 2(10 ).10 (10 ) (10 1)
10
10 2(10 ) 10 10
10
10 10
1
10 10
10 10 10 0,9 so S S S S = + − + + − = − − + − − − = − − = = −
(8)0
1
09 100 22499 )
56 55 11 )
nchuso zchuso
n
chuso n nchuso
b a
− −
Ta có toán 15: Rút gọn ( )2
1 1− x−
áp dụng: = A ĐK x ≥1
2
) 1
( − x− =1− x−1
*Nếu 1- x−1≥0 ⇔1≥ x−1 ⇔1≥x-1⇔1≤x≤2 ⇒1− x−1 =1- x−1
Nếu 1- x−1 <0⇔x>2 ⇒1− x−1= x−1-1 Có thể đề:Giải phương trình
) 1
( − x− =2
Cũng làm tương tựta lầm dấu vết bình phương hiệu
(1- x−1)2=1-2 x−1+x-1=x-2 x−1
Ra đề rút gọn x−2 x−1chính tốn
Hoặc giải phương trình : x−2 x−1=3.Kết hợp nâng cao tốn:
Bài tốn 16:Giải phương trình: x−1+4 x−5 + 11+x+8 x−5=8(Đề Thi vào 10) Bài giải
ĐK:x ≥5
x−1+4 x−5 + 11+x+8 x−5 =8
⇔ x−5+2 x−5.2+4+ x−5+2 x−5.2+16=8
⇔
)
( + x− +
)
( + x− =8⇔2+ x−5+4+ x−5=8
⇔2 x−5=2⇔ x−5=1⇔x-5=1
⇔x=6(t/m).Vậy x=6 nghiêm phương trình
Bài tốn 17: Giải phương trình: x+
4
1
+ +
+ x
x =2
(Đề thi vào 10 chuyênĐHTHHN)
(9)x+
4
1
+ +
+ x
x =2 ;ĐK x≥
-4
⇔x+
)
( x+ + =2⇔x+
2
+ +
x =2⇔x+
4
+
4
+ +
x
-4
=0
Đặt
4
+
x =t ; ĐK t≥0
⇔t2
+t-4
=0 ⇔4t2+4t-7=0⇔t1=
4 2+
−
;t=
4 2−
−
(loại)
⇒
+
x =
4 2+
−
=
2 2 1+
− ⇒
x+
4
=
2 2 1+
−
⇒x=2- 2.Vậy x=2- 2là nghiệm phương trình *Nắm gốc tốn khơng có khó khăn
Bài tốn 18:Tìm giá trị nhỏ của: y= x+2 x−1 + x−2 x−1
Vẫn gốc x+2 x−1=x-1+2 x−1+1=( x−1-1)2 Do y= x−1+1+ x−1−1
⇔y= x−1+1+1− x−1.áp dụng a +b ≥ a+b
⇒ y= x−1+1+ x−1−1 ≥ x−1+11− x−1 ⇒y≥2 Vậy Min y=2 ( x−1+1)(1− x−1)≥0
x≥1 1-(x-1) ≥0⇒1≤ x≤2
Bài toán 19:(HSG TPHCM 91-92)
Cho M= a+3−4 a−1 + a+15−8 a−1
a/Tìm điều kiên a để M xác định
b/Tính giá trị nhỏ M giá trị tương úng a
Bài giải
a/ ĐK a≥1 a+3≥4 a−1 a+15≥8 a−1
b/ M= a−1−4 a−1+4 + a−1−8 a−1+16
M= ( a−1−2)2
+ ( a−1−4)2
(10)M= a−1−2 +4− a−1 ≥ a−1−2+4− a−1
M≥2 Min y=2 ( a−1−2)(4− a−1)≥0
⇔5≤ x≤17
Với phương pháp tương tự ta có toán:
Bài toán 20:Cho A= )
1 1 (
4
1 1
1
2 − + − −
+ − + − + + − − −
x x
x
x x
x x
a/Với x A có nghĩa
b/Rút gọn A
Bài toán 21: Cho A=
2
16
4 4
4
x x
x x x
x
+ −
− − + − +
Rút gọn tìm giá tri nguyên x để A có giá trị nguyên
Bài toán 22:Cho A =
1
2
− −
− − −
x x x
Tìm điều kiện x để A có nghĩa
2/Tính A2 3/Rút gọn A
(11)Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: sach.toan.online@gmail.com
Đặt trực tiếp tại:
https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6
Quý thầy cô nhận bạn file WORD Zalo