chuyen de rut gon bieu thuc va cac bai tap lien quan

Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức đợc chứng minh.. Rót gon biÓu thøc..[r]

2 VÝ dô 2:  x Cho A = x 3 x 6  x  x  x (víi x > 0; x 4) a) Rót gän biÓu thøc b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x cho 2A-1  (§Ò thi tèt nghiÖp líp Qu¶ng Ninh n¨m 2002- 2003) Gi¶i: a) Víi x > vµ x 4 x x 6 A   x x x ( x  2)  4( x  2)  ( x  3) x  x  x ( x  2)  x  8 x  x  x 6 x ( x  2) x x ( x  2)  x  b) 2A -   A 1 (§K: x > vµ x 4)  A 1  x 1   x ( b×nh ph¬ng vÕ kh«ng ©m)   x   1; 2;3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > vµ x 4 x   1; 2;3 KÕt luËn: Víi th× 2A -  VÝ dô 3:( §Ò thi tèt nghiÖp THCS thµnh phè Hµ Néi n¨m 2001- 2002) Cho biÓu thøc: x2 x x P ( x  ):(  ) x 1 x 1  x a) Rót gän biÓu thøc P b) T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n P < c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Gi¶i:  x 0  x 0   a) §KX§: 1  x 0  x 1 Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x 0 và x 1 (2 ®iÓm)  Rót gän: Víi x 0 vµ x 1 x ( x  1)  ( x  2) x ( x  1)  x  P : x 1 ( x  1)( x  1)  x x  x x x  x  : x 1 ( x  1)( x  1)   x x : x  ( x  1)( x  1) (Thªm ®iÒu kiÖn x 4) ( x  2)( x  1)( x  1) ( x  1).( x  4) x1 x 2  Víi x 0 ; x 1 vµ x 4 th× biÓu thøc P = x1 x 2 b) P < x1  0 x 2 (§iÒu kiÖn : x 0; x 1; x 4 )  x  1  x 1 (V× x   0x  R  )  x 1 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn phÇn a víi  x  th× P < P c) x 2 x 2   x 2 x 2  P cã GTNN    1  x 2 x 2 x  cã GTNN x  cã GTNN ( ph©n thøc cã tö vµ mÉu d¬ng) x cã GTNN x 0  x 0 (Thỏa mãn điều kiện xác định)  KÕt luËn: Víi x = th× P cã GTNN lµ VÝ dô 4: x x 2 (1  x)  ) x  x 1 Cho biÓu thøc P = x  a) Rót gän biÓu thøc ( b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x=  c) Tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị lớn Gi¶i: a) XÐt: x  x  ( x  1) 1x   x 0  x 0    x     x 1 * §KX§: Víi x 0 vµ x 1 th× biÓu thøc P cã nghÜa  Víi x 0 vµ x 1 ta cã: ( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  1) (1  x) 2 ( x  1)( x  1) P= x  x  x   x  x  x  ( x  1)  ( x  1)( x  1)   x ( x  1) ( x  1)( x  1).2   x ( x  1) x 1  x ( x  1)  x x Víi x 0 vµ x 4 th× biÓu thøc P cã kÕt qu¶ rót gän lµ:  x ( x  1) hoÆc x x b) x 7  4  2.2  (2   x 2 2  3) Với x 7  thay vào biểu thức P = x  x ta đợc P =    3  Với giá trị x=  (thỏa mãn điều kiện xác định ) Th× P = 3  c) P  x  x  ( x  x ) 1 1    ( x )  x    4  1    ( x  )   4  1   ( x  )2 ) P cã GTLN cã GTNN 1 ( x  ) 0x   ( x  ) 0 2  x  0  x  x ( Tháa m·n ®iÒu kiÖn x 0; x 4 )  ( x x Thay 1  0 4 vào P ta đợc P = VÝ dô 5( §Ò thi THCS cña thµnh phè Hµ Néi n¨m 2002-2003) Cho biÓu thøc: x 8x x1 (  ):(  )  x x x x P = 2 x a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P =-1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x  3) P  x  Gi¶i: a) XÐt: x  x  x ( x  2)  x 0  x   x 0    x 4 4  x 0  x  0  §KX§:   Víi x > vµ x 4 cã: x 8x x1  ):(  ) x   x x ( x  2) x P= (  x ( x  2)  x : ( x  2)( x  2)  x  8x  8x : ( x  2)( x  2)   4x  x : ( x  2)( x  2) x   2( x  2) x ( x  2) x  1 x  x ( x  2)  x 3 x ( x  2) ( Thªm §K x 9) (2,5 ®)   x ( x  2) x ( x  2) ( x  2)( x  2) 3 x  x x ( x  2) (3  x )( x  2) 4x  x  Víi x > , x 4, x 9 th× P = 4x x b) P =-1 4x   x ( §K: x > 0, x 4, x 9 )  x 3  x  4x   §Æt x 0 x  y ®iÒu kiÖn y > Ta cã ph¬ng tr×nh: y  y  0 C¸c hÖ sè a + b + c = 4- 1-3 =0  y1  (kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn y > 0) ( tháa m·n ®iÒu kiÖn y > 0) y  x Víi th× x = 16 ( tháa m·n §KX§) VËy víi x = 16 th× P = - y2  c) m( x  3) P  x  (§K: x > 0; x 4, x 9 ) 4x  m( x  3)  x 1 x  m.4 x  x  x 1  m 4x ( 4x > 0) x 1 x 1     4x 4x 4x  XÐt x Có x > ( thỏa mãn điều kiện xác định) 1   x ( hai ph©n sè d¬ng cïng tö sè, ph©n sè nµo cã cïng mÉu lín h¬n th× ph©n số đó nhỏ hơn) 1  x 36 1 1     4 x 36 1    4 x 18   x 1   18 4x  m  18 m  x  4x Theo kÕt qu¶ phÇn trªn ta cã:  m ,x 9 18  KÕt luËn: víi th× m( x  3) P  x   VÝ dô ( §Ò thi tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 2005-2006) Cho biÓu thøc: x8  x  x  P(x) =  x x a) Tìm x để P(x) có nghĩa và rút gọn P(x) b) Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) = x  (2,5 ®) Gi¶i: a) XÐt: x  x   x  x  x   x ( x  2)  3( x  2) ( x  2)( x  3)  x 0    x  0    x  0  P cã nghÜa  x 0   x 2    x 3  x 0   x 4  x 9  VËy víi x 0, x 4, x 9 th× biÓu thøc P (x) cã nghÜa  Víi x 0, x 4, x 9 th×: x8  ( x  2)( x  3) P(x) =  x x  x   ( x  3)  ( x  2) ( x  2)( x  3)  x  8 x 3 x 2 ( x  2)( x  3) x3  x(2)3  x KÕt luËn : VËy víi x 0, x 4, x 9 th× b) P(x) = x    x  x P x ( §K: x 0, x 4, x 9, x 5 )  x  4 x   x  x  0 §K: y 0 Ta cã ph¬ng tr×nh : y  y  0 C¸c hÖ sè: a + b +c = 1- + =0  y1 1 y2 3 ; (tháa m·n ®iÒu kiÖn y > Víi y1 1  x  x 1 ( tháa m·n §KX§) §Æt x y y2 3  x  x 9 ( kh«ng tháa m·n §KX§)  KÕt luËn: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh P(x)= x  lµ x = VÝ dô 7:( §Ò thi tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 1999-2000) Cho biÓu thøc:  x ( x  2) x  32    : (1  )   ( x  1)   x  x x  x  P=  a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x =  c) Tìm các giá trị chính phơng x để P có giá trị nguyên Gi¶i: a) XÐt: ( x  1) 1x 0 nªn : ( x  1)  4  x 2x 0  x x 23  ( x )3 (2   x 0    x   §KX§:   x 0   x 4 Víi x 0, x 4 th× P cã nghÜa x )(4  x  x ) (3 ®) 1 2 x  x   2 x 2 x 2 x Cã: Điều kiện để phép chia thực đợc là x 0 VËy §KX§ cña P lµ : x > vµ x 4  Với x > và x 4 ta đặt P =A : B x ( x  x  4)   x  x    x (2  A= (  x  32 x )(4  x  x) x x  x  x )(2  x )  4( x  x  4)  x  32 ) (2  x )( x  x  4) 2( x )3  x  x  x  4( x )  x  x  x  16  x  32 (2  x )( x  x  4)  2( x )3  x  x  16  (2  x )( x  x  4)   ( x )3 (2  x )  8( x  2) (2  x )( x  x  4) (2  x )   ( x )3   (2  x )(4  x  x) 2  x (2  x ) 2 x :   x x VËy P = (2  x )2 x x Víi x > vµ x 4 th× P = b) x 9  9  2.2 (  2)  x  5  5 Thay x 9  vào P ta đợc : (2   2) 5(  2)   5  10    P= * Víi x =  th× P = 5  10 c) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã: (2  x ) x P=  44 x x x 4 x x   x x x  4 x x  V× x lµ sè chÝnh ph¬ng nªn x  N , x  N x cã gi¸ trÞ nguyªn P cã gi¸ trÞ nguyªn  x  ¦ (4)  x   1, 2, 4  1 x x x -1 Kh«ng x® -2 Kh«ng x® 16 Với x =1 và x = 16 thỏa mãn điều kiện xác định phần a x = không thỏa mãn điều kiện xác định phần a * Víi c¸c sè chÝnh ph¬ng x = hoÆc x = 16 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn VÝ dô 8:( §Ò «n thi tèt nghiÖp THCS cña SGD) ( x xy y x y Chøng minh: y xy ) : ( x  y )    Điều kiện để đẳng thức có nghĩa: x y 1 Gi¶i:   x, y 0  x, y 0     x y x  y   Với x 0, y 0, x  y biến đổi vế trái: ( x xy y x y ( (  xy ) : ( x  y )  ( x )3  ( y )3 x y ( x  y )( x  x y  y x y xy ) : ( x  y )  xy  y )  y x y xy ) : ( x  y )  y x y -4 Kh«ng x® ( x  xy  y  xy ) : ( x  y )   x  y  xy y  x y x y  x  y  xy  y ( x  x y y x y y) x  y  xy  xy  y x y x y  x y 1  Sau biến đổi, vế trái có kết vế phải, đẳng thức đợc chứng minh C MéT Sè BµI TO¸N VÒ RóT GäN BIÓU THøC Bµi 1:( §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2000 - 2001) y2  3y x  2x y x x Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A x =   vµ y = 20   11  (2 ®) Bµi 2:(§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2003 – 2004) x x 3x  x  (   ):(  1) x  x  x  x  Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P  b) Tìm x để P < c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P (2®) Bµi 3:( §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 – 2003) Cho biÓu thøc: 3(a  a  1) a 1 a   a 2 a  víi a 1, a 0 P= a a  a Rót gon biÓu thøc b Tìm giá trị a để biểu thức P nhận giá trị nhỏ Bµi 4:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2001 – 2002) 1     : x x  x  x  x    a Cho biÓu thøc: A = Rót gän biÓu thøc (2,5®) b Víi gi¸ trÞ nµo cña k, ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm ph©n biÖt: kx  x  0 (2,5®) Bµi 5:( §Ò thi dù bÞ tèt nghiÖp líp n¨m häc 2001 – 2002) 1 x  x  x víi x >0, x 0 Cho biÓu thøc: A =  x a Rót gän biÓu thøc b Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = (2®) Bµi 6:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2000 – 2001) Cho biÓu thøc: x  x1 2x  x 1 x ( x  1) víi x > A= a Rót gän biÓu thøc A b TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x =  c Tìm các giá trị x để biểu thức A nhận giá trị nguyên (2,5®) Bµi 7:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2003 – 2004) 2( 50   10)  a.Thùc hiÖn phÐp tÝnh x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x  x  m 0 x  x 11 Tìm giá trị m để: b Gäi (2®) Bµi 8:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2004 – 2005) 1.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Cho ph¬ng tr×nh bËc 2: 1  5 2 x  mx  0(*) a Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt b Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*), h·y tÝnh: x12 x2  x2 x1 theo m (2,5®) Bµi 9:( §Ò thi tèt nghiÖp cña Hµ Néi n¨m häc 2000 – 2001) Cho biÓu thøc:  x 4   x 2     :  x ( x  2) x  x   P = x   x   a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x =  c Tìm các giá trị n để có x thỏa mãn:  1xPn (2,5®) Bµi 10:( §Ò thi tèt nghiÖp cña Hµ Néi n¨m häc 2003 – 2004)   x  1 x      x  :  x x x  x     Cho biÓu thøc: P = a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x =  c T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n: P x 6 x   x (2,5®)