Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức đợc chứng minh.. Rót gon biÓu thøc..[r]
(1)2 VÝ dô 2: x Cho A = x 3 x 6 x x x (víi x > 0; x 4) a) Rót gän biÓu thøc b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x cho 2A-1 (§Ò thi tèt nghiÖp líp Qu¶ng Ninh n¨m 2002- 2003) Gi¶i: a) Víi x > vµ x 4 x x 6 A x x x ( x 2) 4( x 2) ( x 3) x x x ( x 2) x 8 x x x 6 x ( x 2) x x ( x 2) x b) 2A - A 1 (§K: x > vµ x 4) A 1 x 1 x ( b×nh ph¬ng vÕ kh«ng ©m) x 1; 2;3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > vµ x 4 x 1; 2;3 KÕt luËn: Víi th× 2A - VÝ dô 3:( §Ò thi tèt nghiÖp THCS thµnh phè Hµ Néi n¨m 2001- 2002) Cho biÓu thøc: x2 x x P ( x ):( ) x 1 x 1 x a) Rót gän biÓu thøc P b) T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n P < c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Gi¶i: x 0 x 0 a) §KX§: 1 x 0 x 1 Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x 0 và x 1 (2 ®iÓm) (2) Rót gän: Víi x 0 vµ x 1 x ( x 1) ( x 2) x ( x 1) x P : x 1 ( x 1)( x 1) x x x x x x : x 1 ( x 1)( x 1) x x : x ( x 1)( x 1) (Thªm ®iÒu kiÖn x 4) ( x 2)( x 1)( x 1) ( x 1).( x 4) x1 x 2 Víi x 0 ; x 1 vµ x 4 th× biÓu thøc P = x1 x 2 b) P < x1 0 x 2 (§iÒu kiÖn : x 0; x 1; x 4 ) x 1 x 1 (V× x 0x R ) x 1 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn phÇn a víi x th× P < P c) x 2 x 2 x 2 x 2 P cã GTNN 1 x 2 x 2 x cã GTNN x cã GTNN ( ph©n thøc cã tö vµ mÉu d¬ng) x cã GTNN x 0 x 0 (Thỏa mãn điều kiện xác định) KÕt luËn: Víi x = th× P cã GTNN lµ VÝ dô 4: x x 2 (1 x) ) x x 1 Cho biÓu thøc P = x a) Rót gän biÓu thøc ( (3) b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x= c) Tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị lớn Gi¶i: a) XÐt: x x ( x 1) 1x x 0 x 0 x x 1 * §KX§: Víi x 0 vµ x 1 th× biÓu thøc P cã nghÜa Víi x 0 vµ x 1 ta cã: ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) (1 x) 2 ( x 1)( x 1) P= x x x x x x ( x 1) ( x 1)( x 1) x ( x 1) ( x 1)( x 1).2 x ( x 1) x 1 x ( x 1) x x Víi x 0 vµ x 4 th× biÓu thøc P cã kÕt qu¶ rót gän lµ: x ( x 1) hoÆc x x b) x 7 4 2.2 (2 x 2 2 3) Với x 7 thay vào biểu thức P = x x ta đợc P = 3 Với giá trị x= (thỏa mãn điều kiện xác định ) Th× P = 3 c) P x x ( x x ) 1 1 ( x ) x 4 1 ( x ) 4 1 ( x )2 (4) ) P cã GTLN cã GTNN 1 ( x ) 0x ( x ) 0 2 x 0 x x ( Tháa m·n ®iÒu kiÖn x 0; x 4 ) ( x x Thay 1 0 4 vào P ta đợc P = VÝ dô 5( §Ò thi THCS cña thµnh phè Hµ Néi n¨m 2002-2003) Cho biÓu thøc: x 8x x1 ( ):( ) x x x x P = 2 x a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P =-1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x 3) P x Gi¶i: a) XÐt: x x x ( x 2) x 0 x x 0 x 4 4 x 0 x 0 §KX§: Víi x > vµ x 4 cã: x 8x x1 ):( ) x x x ( x 2) x P= ( x ( x 2) x : ( x 2)( x 2) x 8x 8x : ( x 2)( x 2) 4x x : ( x 2)( x 2) x 2( x 2) x ( x 2) x 1 x x ( x 2) x 3 x ( x 2) ( Thªm §K x 9) (2,5 ®) (5) x ( x 2) x ( x 2) ( x 2)( x 2) 3 x x x ( x 2) (3 x )( x 2) 4x x Víi x > , x 4, x 9 th× P = 4x x b) P =-1 4x x ( §K: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 x 4x §Æt x 0 x y ®iÒu kiÖn y > Ta cã ph¬ng tr×nh: y y 0 C¸c hÖ sè a + b + c = 4- 1-3 =0 y1 (kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn y > 0) ( tháa m·n ®iÒu kiÖn y > 0) y x Víi th× x = 16 ( tháa m·n §KX§) VËy víi x = 16 th× P = - y2 c) m( x 3) P x (§K: x > 0; x 4, x 9 ) 4x m( x 3) x 1 x m.4 x x x 1 m 4x ( 4x > 0) x 1 x 1 4x 4x 4x XÐt x Có x > ( thỏa mãn điều kiện xác định) 1 x ( hai ph©n sè d¬ng cïng tö sè, ph©n sè nµo cã cïng mÉu lín h¬n th× ph©n số đó nhỏ hơn) (6) 1 x 36 1 1 4 x 36 1 4 x 18 x 1 18 4x m 18 m x 4x Theo kÕt qu¶ phÇn trªn ta cã: m ,x 9 18 KÕt luËn: víi th× m( x 3) P x VÝ dô ( §Ò thi tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 2005-2006) Cho biÓu thøc: x8 x x P(x) = x x a) Tìm x để P(x) có nghĩa và rút gọn P(x) b) Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) = x (2,5 ®) Gi¶i: a) XÐt: x x x x x x ( x 2) 3( x 2) ( x 2)( x 3) x 0 x 0 x 0 P cã nghÜa x 0 x 2 x 3 x 0 x 4 x 9 VËy víi x 0, x 4, x 9 th× biÓu thøc P (x) cã nghÜa Víi x 0, x 4, x 9 th×: x8 ( x 2)( x 3) P(x) = x x x ( x 3) ( x 2) ( x 2)( x 3) x 8 x 3 x 2 ( x 2)( x 3) x3 x(2)3 (7) x KÕt luËn : VËy víi x 0, x 4, x 9 th× b) P(x) = x x x P x ( §K: x 0, x 4, x 9, x 5 ) x 4 x x x 0 §K: y 0 Ta cã ph¬ng tr×nh : y y 0 C¸c hÖ sè: a + b +c = 1- + =0 y1 1 y2 3 ; (tháa m·n ®iÒu kiÖn y > Víi y1 1 x x 1 ( tháa m·n §KX§) §Æt x y y2 3 x x 9 ( kh«ng tháa m·n §KX§) KÕt luËn: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh P(x)= x lµ x = VÝ dô 7:( §Ò thi tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 1999-2000) Cho biÓu thøc: x ( x 2) x 32 : (1 ) ( x 1) x x x x P= a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = c) Tìm các giá trị chính phơng x để P có giá trị nguyên Gi¶i: a) XÐt: ( x 1) 1x 0 nªn : ( x 1) 4 x 2x 0 x x 23 ( x )3 (2 x 0 x §KX§: x 0 x 4 Víi x 0, x 4 th× P cã nghÜa x )(4 x x ) (3 ®) (8) 1 2 x x 2 x 2 x 2 x Cã: Điều kiện để phép chia thực đợc là x 0 VËy §KX§ cña P lµ : x > vµ x 4 Với x > và x 4 ta đặt P =A : B x ( x x 4) x x x (2 A= ( x 32 x )(4 x x) x x x x )(2 x ) 4( x x 4) x 32 ) (2 x )( x x 4) 2( x )3 x x x 4( x ) x x x 16 x 32 (2 x )( x x 4) 2( x )3 x x 16 (2 x )( x x 4) ( x )3 (2 x ) 8( x 2) (2 x )( x x 4) (2 x ) ( x )3 (2 x )(4 x x) 2 x (2 x ) 2 x : x x VËy P = (2 x )2 x x Víi x > vµ x 4 th× P = b) x 9 9 2.2 ( 2) x 5 5 Thay x 9 vào P ta đợc : (2 2) 5( 2) 5 10 P= * Víi x = th× P = 5 10 c) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã: (2 x ) x P= (9) 44 x x x 4 x x x x x 4 x x V× x lµ sè chÝnh ph¬ng nªn x N , x N x cã gi¸ trÞ nguyªn P cã gi¸ trÞ nguyªn x ¦ (4) x 1, 2, 4 1 x x x -1 Kh«ng x® -2 Kh«ng x® 16 Với x =1 và x = 16 thỏa mãn điều kiện xác định phần a x = không thỏa mãn điều kiện xác định phần a * Víi c¸c sè chÝnh ph¬ng x = hoÆc x = 16 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn VÝ dô 8:( §Ò «n thi tèt nghiÖp THCS cña SGD) ( x xy y x y Chøng minh: y xy ) : ( x y ) Điều kiện để đẳng thức có nghĩa: x y 1 Gi¶i: x, y 0 x, y 0 x y x y Với x 0, y 0, x y biến đổi vế trái: ( x xy y x y ( ( xy ) : ( x y ) ( x )3 ( y )3 x y ( x y )( x x y y x y xy ) : ( x y ) xy y ) y x y xy ) : ( x y ) y x y -4 Kh«ng x® (10) ( x xy y xy ) : ( x y ) x y xy y x y x y x y xy y ( x x y y x y y) x y xy xy y x y x y x y 1 Sau biến đổi, vế trái có kết vế phải, đẳng thức đợc chứng minh C MéT Sè BµI TO¸N VÒ RóT GäN BIÓU THøC Bµi 1:( §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2000 - 2001) y2 3y x 2x y x x Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A x = vµ y = 20 11 (2 ®) Bµi 2:(§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2003 – 2004) x x 3x x ( ):( 1) x x x x Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) Tìm x để P < c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P (2®) Bµi 3:( §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 – 2003) Cho biÓu thøc: 3(a a 1) a 1 a a 2 a víi a 1, a 0 P= a a a Rót gon biÓu thøc b Tìm giá trị a để biểu thức P nhận giá trị nhỏ Bµi 4:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2001 – 2002) 1 : x x x x x a Cho biÓu thøc: A = Rót gän biÓu thøc (2,5®) (11) b Víi gi¸ trÞ nµo cña k, ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm ph©n biÖt: kx x 0 (2,5®) Bµi 5:( §Ò thi dù bÞ tèt nghiÖp líp n¨m häc 2001 – 2002) 1 x x x víi x >0, x 0 Cho biÓu thøc: A = x a Rót gän biÓu thøc b Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = (2®) Bµi 6:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2000 – 2001) Cho biÓu thøc: x x1 2x x 1 x ( x 1) víi x > A= a Rót gän biÓu thøc A b TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = c Tìm các giá trị x để biểu thức A nhận giá trị nguyên (2,5®) Bµi 7:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2003 – 2004) 2( 50 10) a.Thùc hiÖn phÐp tÝnh x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x x m 0 x x 11 Tìm giá trị m để: b Gäi (2®) Bµi 8:( §Ò thi tèt nghiÖp líp n¨m häc 2004 – 2005) 1.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Cho ph¬ng tr×nh bËc 2: 1 5 2 x mx 0(*) a Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt b Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*), h·y tÝnh: x12 x2 x2 x1 theo m (2,5®) Bµi 9:( §Ò thi tèt nghiÖp cña Hµ Néi n¨m häc 2000 – 2001) Cho biÓu thøc: x 4 x 2 : x ( x 2) x x P = x x a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = c Tìm các giá trị n để có x thỏa mãn: 1xPn (2,5®) Bµi 10:( §Ò thi tèt nghiÖp cña Hµ Néi n¨m häc 2003 – 2004) (12) x 1 x x : x x x x Cho biÓu thøc: P = a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = c T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n: P x 6 x x (2,5®) (13)