SKKN Bùi Nga : Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

I.Lý DO CHọN Đề TàIBắt đầu từ năm lớp 7, học sinh đợc làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại tán này tiếp tục đựơc dạy kỹ hơn ở lớp 8, lớp 9.. Đi theo kết quả của bài toán rút gọ

I.Lý DO CHọN Đề TàI

Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh đợc làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại tán này tiếp tục đựơc dạy kỹ hơn ở lớp 8, lớp 9 Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, lớp 10, tuyển sinh vào các trờng THPT, chuyên Hạ Long Một số em cha biết cách làm loại toán này, mà ta gọi là phơng pháp Đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán: giải phơng trình, bất phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Vì vậy, phần trên mà không rút gọn đợcbiểu thức thì học sinh không thực hiện tiếp đợc các bài toán tiếp theo cần có kết quả của rút gọn biểu thức

Vậy cách trình bày 1 bài toán rút gọn biểu thức nh thế nào, phơng pháp giải bài toán đó

ra sao Trong bài viết này tôi xin đóng góp vài kinh nghiệm hớng dẫn học sinh thực hiện tốt loại toán đó

II.NộI DUNG Đề TàI

A.Phơng pháp giải

Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau

- Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa ( mà ta gọi tắt là tìm “ điều kiện xác

định” cho những biểu thức chứa chữ)

- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)

- Đa bớt thừa số chung ra ngoài căn thức (nếu có)

- Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn

- Cộng trừ các số hạng đồng dạng

- Với điều kiện xác định đã tìm đợc, trả lời kết quả rút gọn của biểu thức A

B.CáC Ví Dụ MINH HọA

1 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

2

150 1,6 60 4,5 2 6

3

Giải:

2 3

2

9 4.2.3

2 3

9 2

5 6 4 6 6 6

2 3

11 6



2 Ví dụ 2:

(với x > 0; x 4)

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của x sao cho 2A-1  0

(Đề thi tốt nghiệp lớp 9 Quảng Ninh năm 2002- 2003) (2 điểm)

Giải:

a) Với x > 0 và x 4

A

2

1

x x

x x x

x x

x

















b) 2A - 1 0

 2 A  1 (ĐK: x > 0 và x 4)

1

2

A

2

4

x

x

( bình phơng 2 vế không âm)

 x1;2;3 thỏa mãn điều kiện x > 0 và x4

Kết luận: Với x 1; 2;3 thì 2A - 1 0

3 Ví dụ 3:( Đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội năm 2001- 2002)

Cho biểu thức:

1

x



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của x thỏa mãn P < 0

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Giải:



Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x0 và x 1

 Rút gọn:

Với x 0 và x 1

:

P



:



:

1 ( 1)( 1)



   (Thêm điều kiện x4)

1 2

x

x









Với x 0 ; x 1 và x 4 thì biểu thức P = 1

2

x x



 b) P < 0

1

0 2

x

x





(Điều kiện : x0;x1;x4)  x  1 0 (Vì x 2 0 x R

    )

1

x

x

 

Kết hợp với điều kiện phần a với 0   x 1 thì P < 0

1

P

P có GTNN 3

2

x



 có GTNN  x  có GTNN ( do phân thức có tử và mẫu dơng)2

 x có GTNN

 x 0

 x  0(Thỏa mãn điều kiện xác định)

Kết luận: Với x = 0 thì P có GTNN là 1

2



4 Ví dụ 4:

Cho biểu thức P =

2



a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 7 4 3

c) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất

Giải:

a) Xét: x 2 x   1 ( x  1) 2    1 x 0



Với x 0 và x  1 thì biểu thức P có nghĩa

 Với x 0 và x  1 ta có:

P =

2 2

2 ( 1)( 1)

2

2

2 ( 1)( 1)

2 ( 1)

( 1)( 1).2

( 1)

1 ( 1)

x x

x x

x

x x

x x









Với x 0 và x  4 thì biểu thức P có kết quả rút gọn là:

 x.( x 1) hoặc x x

b) x  7 4 3 4 2.2 3 3 (2     3)2

 x   2 3   2 3

Với x  7 4 3thay vào biểu thức P = x x ta đợc

P =2 3 7 4 3 3 3 5   

Với giá trị x=7 4 3 (thỏa mãn điều kiện xác định )

Thì P = 3 3 5

c) P  x x (x x)

2

2

2

1 1 1 ( ) 2

2 4 4

x

x

    

P có GTLN 1 2

2

x

1 2

2

x

2

x    x

1 0 2 1 2 1 4

x x x

( Thỏa mãn điều kiện x0;x )4

Thay 1

4

x  vào P ta đợc P = 1 0 1

4  4

5 Ví dụ 5( Đề thi THCS của thành phố Hà Nội năm 2002-2003) (2,5 đ)

Cho biểu thức:

4

x





a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P =-1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x  3)P x 1

Giải:

a) Xét: x 2 x  x( x 2)

 ĐKXĐ:

0

2 0

x

x















 Với x > 0 và x  4 có:

4

x





:

:

 





:



4

3

x x x

x

x









Với x > 0 , x 4,x thì P = 9 4

3

x

x 

b) P =-1

4

1 3

x

x

 ( ĐK: x > 0, x4,x )9

4 3

Đặt x y điều kiện y > 0

Ta có phơng trình: 4y2 y 3 0

Các hệ số a + b + c = 4- 1-3 =0

1 1

y

  (không thỏa mãn điều kiện y > 0)

2 3

4

y  ( thỏa mãn điều kiện y > 0)

Với 3

4

y   x thì x = 9

16 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x = 9

16 thì P = - 1

c) m( x  3)P  x (ĐK: x > 0; 1 x 4,x 9)

4

3

1 4

x

x

x m

x





( do 4x > 0)



Có x > 9 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

1 1

9

x

  ( hai phân số dơng cùng tử số, phân số nào có cùng mẫu lớn hơn thì phân

số đó nhỏ hơn)

x

x

x

Theo kết quả phần trên ta có:

5

18 4

4

x

x m

x













 



 Kết luận: với 5

, 9 18

m x thì m( x  3)P x 1



6 Ví dụ 6 ( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 2005-2006)

Cho biểu thức:

P(x) = 3 8 1 1

x



a) Tìm x để P(x) có nghĩa và rút gọn P(x)

b) Giải phơng trình P(x) = 4

5

x  (2,5 đ)

Giải:

a) Xét: x  5 x    6 x 2 x  3 x  6

( 2) 3( 2)

( 2)( 3)

 P có nghĩa

9

x

Vậy với x 0,x 4,x 9 thì biểu thức P (x) có nghĩa

 Với x 0,x 4,x  thì:9

x







( 2)( 3)

x





1

2

x





Kết luận : Vậy với x 0,x 4,x 9 thì 1

2

P

x





b) P(x) = 4

5

x 

1 4

5

2 x x



 ( ĐK: x0,x 4,x 9,x  )5

5 4 8

Đặt x y ĐK: y  0

Ta có phơng trình : y2  4y 3 0

Các hệ số: a + b +c = 1- 4 + 3 =0

1 1

y

  ; y  (thỏa mãn điều kiện y > 2 3

Với y1  1 x  x1( thỏa mãn ĐKXĐ)

y2  3 x  x9 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)

 Kết luận: Nghiệm của phơng trình P(x)= 4

5

x  là x = 1

7 Ví dụ 7:( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 1999-2000)

Cho biểu thức:

P =

2

2

: (1 )

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P với x = 9 4 5

c) Tìm các giá trị chính phơng x để P có giá trị nguyên (3 đ) Giải:

a) Xét: ( x 1)2    nên :1 x 0

2

( 1) 3 4

x

  

   

4

x x









 Với x0,x thì P có nghĩa4

1

Điều kiện để phép chia thực hiện đợc là x0

Vậy ĐKXĐ của P là : x > 0 và x  4

 Với x > 0 và x  4 ta đặt P =A : B

3 2

3

3

2

x











 

Vậy P =

2

2

x





Với x > 0 và x  4 thì P =

2

(2 x)

x



b)

2

9 4 5 9 2.2 5 ( 5 2)

x

x

Thay x  9 4 5 vào P ta đợc :

P =

2

5 5 10

5 4



* Với x =9 4 5 thì P = 5 5 10

c) Theo kết quả phần a ta có:

P =

2 (2 x)

x



4 4

4 4

4

4

x x x

x x



Vì x là số chính phơng nên x N , xN

P có giá trị nguyên 4

x

 có giá trị nguyên x

 x Ư (4)

 x    1, 2, 4

Với x =1 và x = 16 thỏa mãn điều kiện xác định phần a

x = 4 không thỏa mãn điều kiện xác định phần a

* Với các số chính phơng x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên

8 Ví dụ 8:( Đề ôn thi tốt nghiệp THCS của SGD)



Giải:

 Điều kiện để đẳng thức có nghĩa:

x y, 0 x y, 0













 Với x  0, y  0, x  y biến đổi vế trái:





( x y x xy y xy ) : ( x y ) y

2

1

y

x y

x y

x y

x y



 

















Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức đợc chứng minh

C MộT Số BàI TOáN Về RúT GọN BIểU THứC

Bài 1:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2000 - 2001)

Cho biểu thức: A =

y x x



a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x =4 3 7 và y = 20 8 6  11 4 6 (2 đ)

Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2003 – 2004)

9

x



a) Rút gọn P

b) Tìm x để P < 1

2

 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P (2đ)

Bài 3:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2002 – 2003)

Cho biểu thức:

với a  1, a  0

a Rút gon biểu thức

b Tìm giá trị của a để biểu thức 1

P nhận giá trị nhỏ nhất (2,5đ)

Bài 4:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2001 – 2002)

:



Rút gọn biểu thức

b Với giá trị nào của k, phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt: kx2  6 x   5 0

(2,5đ)

Bài 5:( Đề thi dự bị tốt nghiệp lớp 9 năm học 2001 – 2002)

Cho biểu thức: A = 1 1 2

1

x





với x >0, x  0

a Rút gọn biểu thức

b Với giá trị nào của x thì A = 3 (2đ)

Bài 6:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2000 – 2001)

Cho biểu thức:

1



a Rút gọn biểu thức A

b Tính các giá trị của biểu thức A khi x =3 8

c Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên (2,5đ)

Bài 7:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2003 – 2004)

a.Thực hiện phép tính 3

2( 50 2 10) 2 5

2

b Gọi x x1, 2là 2 nghiệm của phơng trình : x2 5x m 0

Tìm giá trị của m để: 2x1 x2 11 (2đ)

Bài 8:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2004 – 2005)

1.Tính giá trị của biểu thức 1 1

5 2  5 2

2 Cho phơng trình bậc 2:

5x2  mx 1 0(*)

a Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b Gọi x x1; 2 là 2 nghiệm của phơng trình (*), hãy tính:

x  x theo m (2,5đ)

Bài 9:( Đề thi tốt nghiệp của Hà Nội năm học 2000 – 2001)

Cho biểu thức:

:

a Rút gọn P

b Tính giá trị của P biết x =6 2 5

c Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn:  x1P  x n (2,5đ)

Bài 10:( Đề thi tốt nghiệp của Hà Nội năm học 2003 – 2004)

x

a Rút gọn P

b Tính giá trị của P biết x = 2

2 3

c Tìm giá trị của x thỏa mãn: P x 6 x  3 x 4 (2,5đ)

III PHƯƠNG PHáP TIếN HàNH:

Trong giờ học chính khóa, tôi giảng dạy các bài tập cơ bản cùng lời giải mẫu để học sinh hình thành kỹ năng, phơng pháp giải các bài toán này, cho học sinh thực hành các bài tập tơng tự ngay tại lớp

Đặc biệt, trong các giờ luyện tập, ôn tập chơng, giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập Khi giải cần chú ý cách trình bày linh hoạt, sáng tạo cho mỗi dạng bài rút gọn Cho học sinh làm quen với các dạng bài rút gọn biểu thức trong các đề thi học kỳ, tốt nghiệp lớp 9, tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long để học sinh thấy tầm quan trọng của loại toán này Thời gian trên lớp có hạn, tôi ch học sinh chép các đề thi này về giải

ở nhà, giáo viên chữa trong các giờ ôn tập, luyện chuyên sâu để học sinh thấy đợc phần

đúng sai, rút kinh nghiệm về cách trình bày của mình

IV.PHạM VI, ĐốI TUợNG NGHIÊN CứU

Học sinh khối lớp 8, 9 truờng THPT Hòn Gai.

V TổNG KếT Và RúT KINH NGHIệM

Qua áp dụng vấn đề trên vào giảng dạy ở khối lớp 8, 9 kết quả thu đợc là học sinh đã hình thành, định hớng cách giải loại toán này Bằng phơng pháp gợi mở, nêu vấn đề, các câu hỏi dẫn dắt các em tự phát hiện ra hớng giải cho từng loại bài tập, giáo viên tạo ra hứng thú, phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh

Từ năm lớp 8, các em đã định hớng đợc cách thực hiện loại toán rút gọn biểu thức và các bài toán về rút gọn biểu thức và thực hiện tốt Đến năm học lớp 9, vận dụng thêm các phép toán về căn bậc 2, học sinh thực hiện đợc các phép rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai một cách nhanh chóng Các kỳ thi tốt nghiệp lớp 9 ở các lớp tôi phụ trách, học sinh đạt điểm trung bình trở lên 100%, trong đó có năm đạt điểm khá giỏi 100% ( Chỉ

có 2 học sinh đạt loại khá, còn lại đều đạt loại giỏi môn toán)

VI CáC TàI LIệU THAM KHảO KHI GIảNG DạY LOạI TOáN RúT GọN BIểU THứC

1 Sách giáo khoa lớp 8, 9 cải cách

2 Các đề thi tốt nghiệp lớp 9 của Quảng Ninh

3 Các đề thi tốt nghiệp lớp 9 của Hà Nội

4 Các đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long

5 36 bộ đề Toán 9 của Võ Đại Mau

6 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi môn toán 9 của Võ Đại Mau

7 Bài tập nâng cao đại 9 của Vũ Hữu Bình

8 Toán nâng cao và các chuyên đề toán 9 của Nguyễn Ngọc Đạm

9 Luyện tập đại số 9 của Nguyễn Bá Hòa

10 Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 9 của Bùi Văn Tuyên

NGƯờI VIếT Đề TàI

Bùi Thị Thúy Nga