Chuyên đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A KIẾN THỨC CẦN NẮM CĂN THỨC BẬC     Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu bình phương a : a �0 � �x �0 � �2 � �a  x �x  a a số thực không âm x mà  b a b Với hai số thực không âm a, b ta có: a � Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + + + �A A �0 A2  A  �  A A  � A2 B  A B  A B A  B A.B  B2 A.B B với A, B �0 ; A2 B  A B   A B với A  0; B �0 với AB �0, B �0 M M A  A với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) + A  +  M Am B M  A B A� B với A, B �0, A �B (Đây gọi phép trục thức mẫu) CĂN THỨC BẬC  Căn bậc số a kí hiệu a �R; a  x � x   a a số x cho x  a   a Cho Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a   Nếu a  a 0  Nếu a  a    a 3a  b b với b �0 ab  a b với a, b  ab� a  b  A B  A3 B  A  B AB B với B �0 Page  A A  B B3 A2 m3 AB  B A �B  với A ��B B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP  A �3 B Dạng 1: Rút gọn biểu thức không chứa biến Phương pháp u A �0 �A n� A2  A  �  A n� u A 1 ) = ( Vì Ví dụ 6: Thực phép tính 48 - 75 a) +2 - b) 33 +5 11 6- - 50a - a + 32a với a �0 c) 2a - Hướng dẫn giải a) 48 - 75 33 1 +5 = - 52.3 11 3+5 b) + - 6- - ( ) +1 - = +1=0 ( 11 +5 ) = 5+ + 1- 5- - 2= +1 - 5- + - 5- 1- +1- ( Vì > ) 2 c) 2a  50a  a  32a  2a  2a  a a  4 2a  2a  2a  a a  16 2a  2a a  16 2a ( Vì a �0 ) Ví dụ (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn biểu thức sau: A 5 5   52 1  Lời giải A  5 5   52 1   5 5    2    2  2 22 10 - 17 =- 3+ = 3 = - 10 - = 11   1  1   3    3 5  3 5 1 Page 23  5   15    15   5 4  55  Ví dụ Tính B  21  2  3   6 2  3   15 15 Lời giải B  21     1  21 42  62     3 42  62      15 15  15    15 15 3   15 15  60 Dạng 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B ĐKXĐ: A �0 Ví dụ: ĐKXĐ: B �0 A B ĐKXĐ: B  A B ĐKXĐ: A �0; B  A B � �A �0 � � �B  � � �A �0 � � �B  � ĐKXĐ: � VÍ DỤ ĐKXĐ: x �2018 x4 Ví dụ: x  ĐKXĐ: x �7 Ví dụ: x 1 x 3 ĐKXĐ: x3 Ví dụ: x x 3 ĐKXĐ: �x �0 � x3 � �x  ĐKXĐ: � �x  �0 � � x  2 � �x   � �� � x �1 �x  �0 � � � � �x   � Ví dụ: x  2018 x 1 x2 Cho a > ta có: � x a x a�� x a � Ví dụ: Cho a > ta có: x a� a x a x2 � x a ��  �x   a Ví dụ: x  � 2  x  Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa biến Phương pháp Page Các ví dụ �� � x � B�  : 1  �� � x  �� x x  x �  x   �x  x Ví dụ 1: Rút gọn Hướng dẫn giải �� � x � B�  : 1   x  0 �� � x  �� x x  x � �x  x � � x �� x  �  :  � � x 3 x 3� x x x 3 � �� �  � x 1 � x  : x 3 � x �      x 3 6� � � x 3 �    � � � �  x 1 x x x 1 Ví dụ 2: (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) Rút gọn biểu thức P x 2x   x  , với x  0, x �2 7) xx Lời giải: Với điều kiện cho thì: P 2x  x 2 x     x x   x   x  2 x 1 x � x � x 3 A�  � � x 3 � x  � � x  với x �0, x �9 Ví dụ 3: Thu gọn biểu thức sau: Hướng dẫn giải Với x �0 x �9 ta có: � � x 3 x 3 x 9 � x 3 � A  3 � x 3 x x 3 � x9 � �    Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: a) A x  x x  x �0 x� b) B  x  x   x  x  Lời giải Page 1� �  x  � x  � x  2� � A x  x x  a) + Nếu x �۳ + Nếu x <   x 1  x �A 2 x x x x 1  x �A2 x 2 b) B  x  x 1  x  x 1  x   4x 1   x 1  x 1   B Hay + Nếu + Nếu   4x     4x    4x  1  x  1�� 0�۳ x 1 x 4x <  �< 0 x 1 x 4x    x 1 1  x 1 1 4x 1 1  4x 1 1 suy B  x  x     4x   suy B  Ví dụ Cho số thực dương a, b ; a �b  a  b  a b   b b  2a a  a a b b Chứng minh rằng: 3a  ab 0 ba Lời giải Ta có:  Q      a b   b b  2a a  a a b b a b   a  b  a b a b   3  b b  2a a  a  b a  ab  b   a a  3a b  3b a  b b  2a a  3a  ab ba  a  b a  ab  b     a a b a a b 3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a   a  b a  ab  b Ví dụ Rút gọn biểu thức A    a b  a b  0  0 x  x  x  x  19 x  x   ; x  0, x �9 x 9 x  x  12 x  x Page Lời giải x 2  x 3 x  x  x  x  19 x  x  A   x 9 x  x  12 x  x  x  x   x  x  19  x  x  15  x 3  x 4      x  x  19 x 3  x  3  x 1  x 4  x  4 x 4  x 5 x 4  x 1 x 3 Dạng 4: Rút gọn biểu thức, biết biến thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Các ví dụ Ví dụ 1: Cho x 10 x   x  x  25 x  , với x �0, x �25 A 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x  Lời giải:  x  5  x  5  x  5  x  5 � A  x  x  10 x  x  25 x  10 x  25     x  5  x    x    x    x  5  x  5 A x x 10 x    x  x  25 x 5   x   10 x  Với x  ta có: Ví dụ 2: Cho  2 A   x  Vậy 35 x x 3x    x 3 x  x  , với x �0, x �9 P 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để 3) Tìm giá trị lớn P P Lời giải P x  1)  x 3  x  x 3    x   3x  x 3   x 3  � x   � x  36 x 3 2) (thỏa mãn ĐKXĐ) 3 x �0, P  �  � Pmax   x  3) Với x  (TM) P � Page 10 x 5 x 5 � �� x  1  x � P� 1  � �: � x �� x x x � � � �, (với x  x �1 ) Bài 7: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  2022  2018  2022  2018 Hướng dẫn giải a) Ta có Và 1  x x 1 x x 1 1 x x 1 1 x    x x x x 1 x      x  1 x 1 x x  b) Có x  2022  2018  2022  2018  2018     x 1 x 1 2018   2018   2018   Bài 8: Cho hai biểu thức    2018  thỏa mãn điều kiện x  x �1 x 2 B x  20  x  x  25 với x �0, x �25 x 5 a) Tính giá trị biểu thức A x  B b) Chứng minh x 5 A  B x  c) Tìm tất giá trị x để Hướng dẫn giải a) Tính giá trị biểu thức A x  Khi x  ta có A  3   5 35 B x 5 B 20  x   x  15 x 5 b) Chứng minh Với x �0, x �25   x 5 Page 20 x 1 x 1  + Vậy giá trị biểu thức P x  là: A nên 2018  x 1 x 1  x x 1 P  20  x x 5  x 5     x   20  x  x 5  x 5   x  15  20  x  x 5  x 5 A  B x  c) Tìm tất giá trị để    x 5 x 5  x  (đpcm)  x 5  A  B x  Với x �0, x �25 Ta có: � x 2  x 5 x4 � x 5 x 2  x4 Nếu x �4, x �25 (*) trở thành : � x x 6  � Do x   nên  x 3  x 2  x4  x 2 0 x  � x  (thỏa mãn) Nếu �x  (*) trở thành : � x x 2 0 � Do (*) x   nên   x 2  4 x  x 1 x 2 0 x  � x  (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x  x  thỏa mãn yêu cầu toán Bài 9: Cho biểu thức B= 2( x + 4) x- x - x x +1 + x - với x �0; x �16 a) Rút gọn B b) Tìm giá trị x để B = c) Tính giá trị x cho B khơng vượt d) Tìm giá trị B x thỏa mãn đẳng thức 2x - = x e) Tìm x để giá trị B số nguyên Hướng dẫn giải x �0; x �16 a) Với = x ( ( x + 4) ) x +1 - ( B= ) x +1 ( x + 4) x+ x - x - + x x +1 x x +1 + = x- Page 21 ( x- ( x + 4) )( x- ) x +1 + x x +1 x- = ( x ( ( 2x +8 + x ( x- x- ) ) ( 4)( x +1) ) = 2x +8 + x - ( x - 4)( x- - x +1 ) x +1 = ( 3x - 12 x x- )( )= x +1 x- x x B= x +1 = x +1 x �0; x �16 x +1 Vậy với )( ) x 1 = � x = x +1 � x = � x = � x = x +1 B =1 � b) ( thỏa mãn 3 x- ‫ۣޣ‬ x +1 ( x= x �0; x �16 ) Vậy ‫ۣޣޣ‬ B c) B không vượt ) x- x +1 ‫ۣޣ‬ B = x x +1 x Suy (*) �-‫�ޣޣ‬ Kết hợp với điều kiện x- x- 3 x ‫ۣޣ‬ - �0 x +1 � x +1 ( ) (*) x �0 với x �0; x �16 nên Vì x- x- x x +1 > với x �0; x �16 x x �0; x �16 Vậy �x �1 B khơng vượt q d) Ta có 2x - = x ( 2 x �0; x �16 ) � x - = x � x - x +1 = � ( x - 1) = � x = x �0; x �16 ) �B= 3 = +1 Vậy B= 2 x - = x x x +3 - 3 B= = = 30 x �0; x �16 ) x +1 x +1 x +1 e) ( x +1 với x �0; x �16 nên x +1 �1 với x �0; x �16 Vì x �0 với 3 �-�-�-�‫ޣ‬3 3 x +1 x +1 x +1 B �{ 0;1; 2} Suy �B < Mà B �Z nên ( thỏa mãn B =0 � x =0 � x =0 x +3 ( thỏa mãn) B =1 � x =1 � x = x + � x = � x = ( thỏa mãn) x +3 TH1: TH2: Page 22 B=2� TH3: x = � x = x + � x = � x = 36 x +3 ( thỏa mãn) �9 � x �� 0; ;36� � � �thì B �Z � Vậy �x + x - � x- 1 � � P = 1: � + � � � � x x +1 x - x +1 x +1� � � với x > Bài 10: Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x = - c) Tìm x để P = x - d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P = m e) Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn giải �x + x - � x- 1 � � P = 1: � + � � � � x - x +1 x +1� � x x +1 � a) Với x �0 � � x- 1 � � x +2 x - = 1: � + � � x +1 x - x +1 x - x +1 x +1� � � ( = = )( ( ) )( ) x +1 x - x +1 x + x - - x +1 + x - ( )( x( x +1 x - ) x +1 Vậy với x > b) Với ) = x- x +1 P= x- x +1 = ( )( x +1 x x+ x x +1 x x +1 x ( x = - = - 2.2 + = - � x= ( 2- ) = 2- = 2- 3 ) thỏa mãn điều kiện x > ( > ) x +1 - - - +1 - 3 = = =3 x 2- 2- Vậy với x = - P = �P= ) x +1 x- Page 23 P =2 x - 1� x- c) x +1 =2 x - 1� xx x +1 = x - x � x = (thỏa mãn x > ) Vậy với x = P = x - P= x- d) x +1 = m � xx x +1 = m x � x - ( m +1) x +1 = (1) Vì �0 nên (1) phương trình bậc hai Đặt t = x ( t > 0) (1) trở thành t - ( m +1) t +1 = (2) D = ( m +1) - = m2 + 2m - = m2 - m + 3m - Ta có = m ( m - 1) + 3( m - 1) = ( m - 1) ( m + 3) Phương trình (1) có nghiệm � Phương trình (2) có nghiệm dương TH1: Phương trình (2) có nghiệm dương � �0 � � � D = ( m - 1) ( m + 3) �0 � ��۳ � � S = m +1 > � � � � �P = > m - �0 � � � � m +1 > � m TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu � S = < ( vơ lý) � Loại TH3: Phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm 02 - ( m +1) +1 = � = Với t = thay vào (2) ta ( vô lý ) � Loại Vậy m �1 giá trị cần tìm P= x- e) x +1 = x+ - x x Vì x > nên x > 0; >0 x x; Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương =2 x � x= � x =1 x Dấu “=” xảy ( thỏa mãn x > ) x+ �2 x x ta được: x Page 24 = - ‫ޣ‬ P 1 Vậy giá trị nhỏ P = x = � P =� 1� � � � Bài 11: Cho biểu thức �� x + � x � x- x- � � � � : + + � �� � � x + - x x + x - 6� x +1� �� � với x �0; x �4 a) Rút gọn P x= b) Tính giá trị P biết 3- c) Tìm x �Z để P �Z d) So sánh P với e) Tìm giá trị x để P = x - Hướng dẫn giải a) Với x �0; x �4 � P =� 1� � � � � x �� x +2 x- x- � � � � � : + + � � �� � � x +3 - x x + x - 6� x +1�� � � x +1- x � x +2 x- x- � � = :� + + � � � � � x +3 - x x +3 x - x - 6� x +1 � � � x- x- �x + � = :� + + � x +1 � x + - x x x +3 - x - � � � � � x- x- �x + � = :� + � x +1 � x + x- x +3 x - � � � ( ) ( ( x +2 )( ) ( ( )( x- - )( ) ) x- x +3 + x - )( ) = : x +1 = x - 4- x +9 + x - : = x +1 x +1 x +3 x - = x- x- P= x +1 Vậy với x �0; x �4 x +1 ( b) Với x= 3- )( ( x +3 ) ) x- ( )( x +3 - 5 - 5.1 +1 = = = 4 Page 25 x- ) x +3 ( ) 5- thỏa mãn x �0; x �4 � x= ( ) 5- = 5- 5- ( = >1 ) 5- - 5- 5- = = 5- +1 +1 +1 5 - - + - 10 - = = = 4 ( ( x- �P= = x +1 P= c) x- x +1 - = = 1x +1 x +1 )( )( ) - 1) 5- x +1 Ư(3)= �Z � 3M x +1 � x +1 x +1 Ư(3) { �1; �3} Mà x �0" x �0; x �4 � x +1 > 0" x �0; x �4 nên: ( P �Z � TH1: ) x +1 = � x = � x = ( thỏa mãn) TH2: x +1 = � x = � x = ( loại) x �{ 0} Vậy P �Z P - 1= d) Xét hiệu Suy P