Chủ đề 1 rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Trang 1

MA THTECrH

RUT GON BIEU THUC VA CAC CÂU HỎI THƯỜNG GAP

DANG 1: RUT GON BIEU THUC

DANG 2: CHO GIA TRI CUA X, TINH GIA TRI CUA BIEU THUC

DANG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

DANG 5: SO SANH, CHUNG MINH BANG CACH XéT HIEU

DANG 6: TIM GIA TRI LON NHAT, GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU THUC DANG 7: TIM X DE P NHAN GIA TRI LA SO NGUYEN

Trang 2

Mf THTE CH TOAN CHON LOC - ON THI VAO LÚP 10

DANG 1: RUT GON BIEU THUC

Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức : x>0 se l : ® a>0O): Diéu kién 1a & ie a ) r¬ xza

8 T= (a>0): Điều kiện là x > 0

se Gặp phép chia phân thức thì khi đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới

nên dạng này ta thường làm bước đặt điều kiện sau

Trang 3

MeTHTECH a Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp V1, 2 9jx-3 4x3 x+Š (dx-2)(vx +3) WwjWs) 2#) — sa (Vx-2)(Vx+3) (vx-2)(vx+3) (vx -2)(vx +3) _x+4VK4+34+2Vx—-4-9Vx 43 _ %-34x 42 (Vx -2)(Vx +3) (Vx -2)(Vx +3) _ (vx -1)(Vx-2) _vx-1 ~ (vx -2)(vx +3) Vx +3 Vx-1 Vx +3 Vi du 3 Rut gon biéu thitc P=1: | C6 A= Vay A= với điều kiện x >0, x #4 x+2 : Vx +1 _ l xvx —1 x+vV¥x +l vx—1} Lời giải x+2 Vx +1 ] Go P=1: si ° eS 1)(x+Vx +1) X+vVx +1 “i fe see, WN) ne 4 1)(x+-Vx +1) (Vx -1)(x+ x +1] (Vx Verde ‘ethno x-Vx (Vx-1)(x+Vx+1) (vx -1)(x+vx +1) (Vx -1)(x+ x+|] x+x+l vx (Vx -1) Vx x+vx+l Vx

Trang 4

MAaTHTECH Ei TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 Vi du 4 Rút gọn biểu thức P = a+3jJa+2 a+va ( 1 1 ) (Ja+2)(Va-1) a-! | Watt va Lời giải đổ mẹ [ýa +1)|Va+2)- _.- | "mm

(Ja+2\Va-1) (Ja-1)(va+1)| | (va-1)(Va+1) (va-1](va+1)

Wael ate |, wa deslead

pva-1 (va-1)(va+1) | (va-1)(Vva+1)

—=

(va+1} aide | 2a

Peay) eye} | Wey)

_ a+2wJa+I-a-vja (va ~1)(va +1) 7 Va +1

(Va -1)(Va +1) 2Ja 2Ja

Diéu kién: a>0,a#l eel Vay P= Ay 2a với điều kiện a >0, a z Ì :

Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm Ja ở mẫu, đo đó ta làm bước đặt điều kiện sau

DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X, TĨNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện

Bước 2 Tính ^Íx tồi thay giá trị của x; Vx vao biểu thức đã rút gọn

Bước 3 Tính kết quả ở dạng trục căn thức ở mẫu và kết luận Ví dụ Tính giá trị của biểu thức P= V+] pn vx —-2 a) x= 36 b) x=6—25 c)x= 2 ` — B+v 2

CONG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH

Trang 5

MA THTECH Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp ——— ¬ 1 ˆ 0x #8 _ 4 3—xJ7 2-3 V3+2 3-2 3 | a g) x= TL h) x—7Vx +10=0 Lời giải Điều kiện: x >0, x #4

a) Có x =36 thoả mãn điều kiện

Khi đó jx =6, thay vào P ta được P=C “ =2 Vậy P= khi x=36, b) Có x=6—2xJ5 =(j5—1) thoả mãn điều kiện Khi đó Vx =| /5-1|=/5 -1 (đo 5 >1) V5-1+1 v5 5+345 l7 S3 “A Thay vào P ta được P= Vậy P=- a v x=6—2Í5 , 2 " _ I3 — OI ce fick ain c) Có XE ›+⁄5}]b or 4-3 = (V3 -1) thoa man diéu kién Khi d6 Vx =| V3 - 1|= ae -1 (do v3 >1) 3= I+l a I+A3 Thay vào P, ta được P = = — , ¥3-1-2 3-3 2 Vay p-_ltv3 khi x= me, 2 2+x3 2

đd) Có wee a eo 243 _ v3=1 thoả mãn điều kiện 4 5

Khi d6 Vx = vs eaec! (do 3 >1) 2 a

CONG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH 11

Trang 6

MAaTHTECH ER TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 9-1 > _v341_ 44+3V3° v3-1_, 4-8) TH Thay vào P, ta được P= 2 Vậy P=_-4+ 3 gat 2c ©) C6 x= J2g—/21_ 6(3+47) v7(Ja~) eee ea _B-)§+.) -M TT

_18+6V7 <7 3/7 = 9 (thoả mãn điều kiện)— Vx =3

Thay vào P, ta được P = ma =4 Vậy P=4 khi x= ` 2/7 - oe v21, 3-7 V3 4(3-2]-4|j3+2] _ f\@x-_ 4 4(v3—2}-4(V3 2) =— a = 16 thoả mãn điều kiện An a (V3 +2)(V3-2) ao 4+l 5 A eh 4-2 2 5 4 Vậ , =) a _ 3-2 We 18 18 18 9 | 1 =f J ắ Khi đó Xx =—, thay vào P, ta được P=+—=-— 3 1, 5 3 4 ¥27+4-1 Vậy P=-—-— khi x= 5 18 h) Có x~7xjx +10=0€ x—2xÍx =5v/x +10=0 ©(sx =2)(Ýx —5)=0 © Vx =2, Vx =5 <x =4 (loai), x=25 (thoả mãn) Khi dé Vx =5, thay vao P ta được Pete s—2 3

Vay P=2 khix thoa man x—7Vx +10=0

CÔNE2TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH

Hotline: 0946.20.18.81 A vở , ^ ¬ :

Trang 7

MaTHTECH “SE

Chi dé 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp | DANG 3: DUA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRINH

Bước I Đặt điều kiện để biểu thức xác định

Bước 2 Quy đồng mẫu chung

Trang 8

MAaTHTECH "Ha

TOAN CHON LOG - ON THI VAO LOP 10

3.2 Phương trinh có chữa trị tuyệt đối

se |f(x)|=a (với a >0 và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f(x) = +a

e |f(x)|=g(x) (với g(x) là một biểu thức chứa x):

Cách I Xét hai trường hợp để phá trị tuyệt đối:

Trường hợp 1: Xét f(x)>0 thì |f(x)|= f(x) nên ta được f(x) = g(x)

Giải và đối chiếu điều kiện f (x)> > 0

Trường hợp 2: Xét f(x) <0 thì | f(x) | =-f(x) nên ta được -f(x) = g(x) Giải và đối chiếu điều kiện f (x) <0

Cách 2 Đặt điều kiện g(x) >0 và giải hai trường hợp f(x)= +g(x) ee va B= TS: Tìm x để A = B.| x— 4| ›, SG: X Ví dụ 1 Cho hai biểu thức A = Lời giải Điều kiện: x>0, x #25 Có A=B.|x—4|© ae rl eax 4|= Vx +2

Cách 1 Ta xét hai trudng hop:

Trang 9

MeTHTECH `5 — Chủ đề † Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp nên |x=4|=vx+2œ|(Wx~2)|(dx+2)=vx +2 ©|wx-2|=I =dcaesie| E2 (thoả mãn) Vậy x=9,x=l thì A =B.|x—4| TT Bie = ] - Tìm x để A=B.|^/x —13I xXx-l VXx-—I | Ví dụ 2 Cho hai biểu thức A = Lời giải Điều kiện: x>0, x #1 ¬"= Có A= B.| Vx - 3|e = | vx - 3|= x-3 Cách I Ta xét hai trường nh Trường hợp 1: Xét Vx-3>0@Vx>3@x2>9 thi |Wx-3|=vx-3 nên ta được vJx~3=x~3@x~xjx =0 © x(jx =1Ì=0x=0, x=1 (loại) Trường hợp 2: Xét Vx -3<0< Vx <3<>x<9 thi | Vx -3|=-vx +3 nén ta duoc Vx -3=-x+30x+vx -6=0 <> (Vx -2)(Vx +3) = Vx =26x=4 (thoả mãn) Vậy x=4 thì A=B.|⁄x-3I ni er Vx(Vx-1)=0 oral Ze > S Vx-3=-x+3 |x+Vx-6=0 (dx-2)(vx+3)=0

Kết hợp các điều kiện được x = 4

3.3 Đưa về bình phương dạng m’ +n’ =0 (hoac m7 +Vn = 0)

Trang 12

MATH TECH

TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10

3.4 Danh gid vé nay > mat sé, vé kia < s6 dé Buéc I Dua mot vé vé bình phương và sử dụng

A*+m>0+m;—A*+m<0+m

Bước 2 Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:

e Bất đẳng thức Côsi: a+b >2Aab hay Jab <*> Va>0,b>0

Dấu “=” xảy ra khi a =b

er: è ¬ 2 2 2 2 2

e Bất đẳng thức Bunhia: (a.x+b.y) <(a +b )(x +y V a, b, x, y

Dấu “=” xảy ra khi Paes a

® atvb>VJa+b Va20,b=0

Dấu “=” xây ra khi a =0 hoặc b =0

Bước 3 Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu "=" ở bước I và bước 2

đồng thời xảy ra Ví dụ 1 Cho hai biểu thức A = va B=xVx —x 4 Vx-1 Tìm x để x?+6= A.B++/x—1+^/3—x Lời giải Điều kiện: 1< x<3 C6 x*+6=A.B+Vx-1+3-x E +x(Vx -1)+Vx-1+V3-x Vx -1 > x°-4x+6=Vx-1+V3-x (*) * CO VT(*)=x?-4x4+442=(x-2) +222 * Chứng minh VP(*) <2: Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi) Xét [VP(*) ƒ =x~1+2\{x~1)(3—x)+3~x=2+2/j(x~1)(3—x) <2+2.-92~X) 4s vp(9)<2 <©x +6= Cách 2 (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki) Xét [vP(*)Ï =(I.vx=1+1.3=x} <( +1?)(x-143-x)=4 = vP(*)<2

cOnkSry C6 PHAN GIÁO DỤC VẢ CÔNG NGHỆ MATHTECH

Trang 13

MeTHTECH a Chú đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp Như vậy VT(*)>2, VP(*)<2 nên (*) chỉ xảy ra khi X —2=0 <x =2 (thoả mãn) v¥x—-l=V3-x Vậy x=2 thì x?+6=A.B+Xx—1+43—x Ví dụ 2 Cho biểu thức A = vx *x—=2 Tìm x để A.(Vx-2)+5Vx =x+4+4Vx+16 +V9-x Lời giải Điều kiện: 0<x<9, x #4, Có A.(vx -2)+5vx =x+4+Vx+16 +J9—x & — =ơơơẨơ ©-x+6ŸJx-4=Ax+l6+A49-x (*) Có VT (*)=-x-+6Vx -9+5=—(Vx -3) +55, Ta sẽ chứng minh VP(*)> 5 Cách 1 (Chỉ ra [ VP(*) | >25) xét [VP(*)] =x +16+2,/(x+16)(9-x) +9-x =25+2.|(x+16)(9—x) >25=> VP(*)>5 Cách 2 (Sử dụng ^la +^lb >xla+b Va>0,b>0) Có VP(*)=xx+16+x9~x >xx+16+9—x =xJ25 =5= VP(*) >5 Như vậy VT(*)< 5, VP(*)>5 nên (*) chỉ xảy ra khi Vx-3=0 (x+16)(9-x) =0

Vay x=9 thi A.(Vx -2)4+5Vx =x+44Vx+16 +V9—-x

DANG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRINH

Trang 14

MATHTECH Si

TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10

Buéc 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định

Bước 2 Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng

EX) 9; FO) 9, FO) <9, 1) <9

g(x) g(x) s(x) g(x)

Bước 3 Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận Một số tình huống thường gặp

+) + Zee 8 va Vx —2 cing dau

Vì -3<0 nên ta được 4x —2<0 và giải ra 0<x <4 Vx -3 Vx +2 Vi Vx +2>0 nén ta duoc Vx —3<0 và giải ra 0< x <9 vx +) aa <0@Vx va Vx -4 trdi dau, réi giải hai trường hợp: Jeo Vx -4>0 vx >0 Vx-4<0 1) SEES 0 giã hai trường hợp i +) <0

trường hợp này vô nghiệm

Trang 15

MeTHTECH Si | Chủ đề 1 Rút gọn biếu thức và các câu hỏi thường gặp Do xeZ—>xe{0; 1; 2; 3} (thoả mãn điều kiện) Vậy x{0; 1; 2; 3} là các giá trị cần tìm Jx=1 2 Ví dụ 2 Cho biểu thức M = - Tìm x để M>—: ix +2 3 Lời giải Điều kiện: x >0 2, Vx-l 2 3(Vx-1) 2x2) Vx —7 3ˆ x42 3 3(x +2) 3(Vx+2) 3(Vx +2) <> Vx -720(do Vx +2>0) <> Vx27x249 (thoả mãn điều kiện) Vậy x>49 thì Mes >0 yx —2 Vx +1 Chú ý Dang VP <m(m>0), truéc hét ta cần giải điều kiện phụ P>0 để JP Ví dụ 3 Cho biểu thức P= - Tìm x để VP <= xác định, sau đó mới giải P < m? Lời giải Điều kiện: x >0 2 > Vx = 2 *Dpé JP xdc dinh ta cincé P20 Vx +1

Vx -220 (do Vx+1>0)@vVx 22x24 (thoả mãn điều kiện)

Trang 18

MA THTECeH Si TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 Vi du 2 Cho biểu thức WD Tim x €Z vax lén nhat dé | A|=—A x—-9 Lời giải Điều kiện: x > 0, x #9, _X-6jx+9 - (x-3} _ x-3 _—— x-90 _(Nx-3)(x+3) Vx +3 Cách 1 (Sử dụng | A |=—A © A <0) Vx -3 x+3

Ma Vx +3>0 nên ta được Vx -3<06Vx <3 O0<x<9

Két hop diéu kién, ta duoc 0< x <9

Do xeZ2 và x lớn nhất nên ta được x =8 Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá trị tuyệt đối) vx -3 -_“>° ,rổi)- x +3 Vx +3 Vx +3 Trường hợp 1: Xét Vx -3>0 Vx 23x >9 (do x #9) thì [Vx -3|=—-Vx +3 Vx -3=-Vx +3 Vk =39x=9 (loai) Truong hop 2: Xét Vx -3<06 Vx <3 S0<x <9 thi |x—3|=-Vx+3©-x+3=-x +3>0=0 (ln đúng) Co A Có A|=-A©A<0< <0 Có Al=-A© Do đó, ta được 0 <x <9 Vì x Z2 và x lớn nhất nên ta được x = 8 Vậy x =8 là giá trị cần tìm

DANG 5: SO SANH, CHUNG MINH BANG CACH XéT HIEU

s Để chứng minh X > Y (X>Y) ta chứng minh hiệu X — Y >0(X-Y >0)

s Để chứng minh X < Y (X <Y) ta chứng minh hiệu X— Y <0 (X- Y <0)

e Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu X-— Y

Trang 21

MAaTHTECH ¬Š hủ đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp Vx -2 X Ví dụ 6 Cho biểu thức P= - Khi P xác định, hãy so sánh VP vaP Loi giai Điều kiện: x > 0 ie MP xác định khi P>0 >0, mà x >0 nên Ax—2>0<x >4 xX Xét hiu VP - P = VP (1-/P) = as a2 = Do VP >0,1+VP >0 2 LÝ 7 oe va [_P a1 YE 22 Xo? 2) 4.9 yea X X X Suy ra JP -—P>0 nén JP >P Vay JP =P DANG 6: TIM GIA TRI LON NHAT, GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU THUC 6.1 Dua vao x >0 dé tim gid tri lan nhét của P = a+ ¿ (b>0,c>0) vx+e vỏ tìm gió trị nhỏ nhốt của Q=a— (b>0, >0) X+€C

Bước 1 Đặt điều kiện x >0 và khử x ở tử để đưa P, Q về dạng trên

Trang 22

MAaTHTECH Ha TOÁN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 Bước 3 Kết luận MaxP = a yet MinQ =a a khi x = 0 (thoa man diéu kién) C C vx -2 Vx +1 ie Te m 2

Tw d6, tim gid tri nho nhat cua biéu thitc Q = aaa 3P Ví dụ I Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Lời giải Điều kiện: x >0 * Tìm MinP: tu ã+Í-3 yeu ae ge 2 xuẽi xa‡i ele 1 Do Vx >0 Vx>0=> Vx +121 Vx >0 5 có uy ếc ˆ ` => —— Jx +1 l Vx +1 21-3 Vx2>0 => P2-2 Vx20 >—3 Vx 20 =>\1- x +] Vậy MinP =—2 khi x =0 (thoả mãn điều kiện) * Tim MinQ: Cách 1 (Ding bất đẳng thức Cési) Có ) gee aig h(P+3)|+P-6 P+3 P+3 ] “ P+3 {pin ` Vì P>5-2=P-6>-2-6=-&§Q>4-8-= -4

Vậy MinQ =—4 khi P=-—2 hay x =0 (thoả mãn điều kiện)

Trang 23

MA THTECH Chủ đề 1 Rút gọn biếu thức và các câu hỏi thường gặp Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = 2x +6 : Vx +2 Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N =M+ 5 Loi giai Điều kiện: x>0 * Tìm MaxM: .a„ 2Ax+4+2 2(vx+2) 2 2 C6 M= = + = x +2 wx+2 Vx +2 fx +2 Dior Je SU Va SO /e +253 Va Se vs x+2 2 =>2+ <2+1Vx20>MSs3 Vx20 Vx +2 Vay MaxM =3 khi x =0 (thoa man điều kiện) * Tim MinN: Cách 1 (Ding bat dang thitc Cési) Có N=M+ [+3 M 3 M 3 Do ols 460, i 42ebes Ma 29245, 9, 4M, Us OD) Ue ge Vx +2 3 M (3 M Vì Ms3=-—-2-1>N28-1-7

Vay MinN =7 khi M =3 hay x =0 (thoa man diéu kién)

Trang 24

MAaTHTECH ER TOÁN GHỌN LỌC - ÔN THỊ VÀO LÚP 10 Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5 Vx +3 Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =3A tê Lời giải Điều kiện: x >0 * Tìm MaxA : Có Vx >0V x20> Vx +323 Vx205 ` <ŠVx>0=A<Š Vx>0 jJx+3 3 Vậy MaxA = ; khi x=0 (thoả mãn điều kiện) * Tìm MinB: Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi) Có B=3A+ TA TS A 5 A 5 Do 5>0, Vx +3>0>A= : >0=> 8A, 1059 BA 10 =1 Vx +3 5 A 5 A Vi A<S=- — >-I=B>12~1=1l, Vậy MinB = [1 khi AÁ => hay x =0 (thoả mãn điều kiện) Cách 2 (Thay A=š được B=I1 nên ta dự đoán MinB=11) Dy 2 2b n Xét hieu B-11=3A 420-1122" [1A +10 _ Ñ ` 3A“=5A-—6A +10 = _ A(3A-5)-2(3A-5) (3A—5)(A—2) A P A

Trang 25

MAaTHTECH a Chu dé 1 Rut gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp 2 * Ýx+4 Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =14S + ie a S+l Vi du 4 Tim gid tri nho nhat cha biéu thite S =— Lời giải Điều kiện: x > 0 * Tim MinS: 4Š Vxx0 Có 2x>0Vx>0=>Xx+4>4Vx>0> về x+4 4 2 Vx+4 Vay MinS = : khi x =0 (thoả mãn điều kiện) —=>— - Wx>0=§>—2 Vx > 0 * Tim MinT: Cach 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi) Có T~|I2(S+1)+z - |x25-12 S+I Do S>~2=S+l>2>0=12(S+l)+ >2 I2(S+1)- — =12 2 2 S+1 S+l Vì $2 -= 282-1 T212-1-12=-1,

Trang 26

MA THTECH TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 6.2 Dùng bat dang thức Côsi Bước I Khử x ở trên tử

Bước 2 Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp

Trang 27

MAaTHTECH a Cha dé 1 Rut gon biéu thức và các câu hỏi thường gặp Với x>25 thì /x—5>0, >0 nên áp dụng bất đăng thức Côsi ta có —z=225= 10 TT (VE —5)+ BE eave Suy ra Tớ ng ch 2 Vay MinM = 20 khi Vx —5 = - <> (Vx -5] =25 ©x =100 (thoả mãn) Vx -5 4 si ° 2 ⁄4 ? =v Z x+3 Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức P = T - x Lời giải Điều kiện: x >0 x+3 3 Ta có P=——=xx+-=: vx vx Vi vx >0, : “ceo x >0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Fi eaf Enea Vay MinP = 2/3 khi Vx =—=@x=3 (thoa man diéu kién) z Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = vx—I —0x 7 Lời giải 0 = -sx= 52 ae ~9J/x =1- (svx+ 4p, Vi 9Vx >0, x >0 Vx >0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x > 3 ps V 1 TẢ — K+ 22 oe J = 29 =6=-(Wi+ 4-5 6 -[ a+ 5 <1-6=-5=>P<-5

Vậy MaxP =-—5 khi 92x = “5 $S39x=l<ˆx => (thoả mãn điều kiện) ie

CONG TY CO PHAN GIAO DUc VA CONG NGHE MATHTECH 33

Hotline: 0946.20.18.81 ND 1 ¬m

Trang 29

MeTHTECH XMNAAaA Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp 2 ? if = = 6.4 Tim x EN để biểu thức A = Tr (m € N*) ton nhất, nhỏ nhất x—m “4 l 9 4 oo ` ` ~ ` Chú ý: Tính chất a > b => — < - chỉ đúng với a và b cùng dương hoặc cùng âm a Ví dụ: 1 <—Vx>0 ding vi Vx +3 va3 cing duong 1 V¥x+3 3 5 ° +) Vx +323 Vx20> : cá Vÿx >0 sai vì ta chưa biết \Nx—2 va —2 co et K 34»x-ñb-Štcs0= cùng âm hay không Phương pháp giải

* Tìm MaxA: Ta thấy trong hai trường hợp x-m>0 và /x-m<0 thì

MaxA xay ra trong trường hợp Jx -—m>0=> Vx >m=>x>m’ Ma xEN nén x >m? +1 > Vx >Vm? +1 > Vx —m2>Vm’ +1-m>0 1 l l => < rs Vx —m Vm? +1-—m Vm? +1—m | ii xen a1 Vm* +1—m

* Tim MinA: Ta thay trong hai trung hop Vx —m>0 va Vx —m <0 thi MinA

Xây ra trong trường hợp Vx -—m<0=> Vx <m=>0<x<m’ Ma xEN nén xe|0; je 23.2 m?—1} >A<s Vay MaxA = Trường hợp này có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn min A Ví dụ I Tìm x EN để biểu thức A = + 5 dat gid trị a) lớn nhất b) nhỏ nhất Lời giải Điều kiện: x eÑ, x #4

Trang 30

MATH TECH TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 3 3 3 = < => A<—=—=6+345 {x=ø sã=3 x5 =2

Vậy MaxA =6+3^/5 khi x =5 (thoả mãn)

b) Ta thấy trong hai trường hợp Vx —-2>0 va Vx -2<0 thì MinA xay ra trong trường hợp Vx -2<0 eo Vx <2G0<x <4 Ma xeN=>xe{0;1; 2; 3} x 0 i 2 3 3 A _2 3 _6+ 3/2 5-39 2 2

Vay MinA =—6—3¥V3 khi x =3 (thoa man)

Ví dụ 2 Tìm xe Ñ để biểu thức P= vx +2 dat gid tri vx-3 a) lớn nhất b) nhỏ nhất Lời giải Điều kiện: x eÑ, x <9 Jx-3+5_xx-3, 5 5 "13 Nẽ an a) Ta thấy trong hai trường hợp vx -3>0 va Vx -3<0 thì MaxP xay ra trong trường hợp Vx -3>0o Vx >3>x >9, Ma xeN>xe{10;11;12; }>x210> Vx >V10 5 5 5 5 -++/x-3>-/o-i€ < CS =—<i- dx 3" «1023 yee J10 —3 — n2 ={6+5/10,

Vậy MaxP =16+52/10 khi x =10 (thoả mãn)

Trang 31

MeTHTECH au, Chu dé 1 Rut gọn biếu thức và các câu hỏi thường gặp Œ 0 l 2 xa 8 2 3 i P — 3 — 2 _8+5⁄2 T -14—1042 Vậy MinP =—14—10A/2 khi x =8 (thoả mãn) Ví dụ 3 Tìm x eÑ để biểu thức M= Ta đạt giá trị a) lớn nhất b) nhỏ nhất Lời giải Điều kiện: x eÑ, x l vx \ ———-.-ÏÌ+'——: Je] Nl a) Ta thấy trong hai trường hợp vx -1>0 và 4x —1<0 thì MaxM xảy ra trong trường hợp Vx -1>0=> Vx >1>x>1 Ma ng eS ee Có M= 1 1 1 vs => 6 1 — ea = 24V2 Jx=l 42-1 Fras Xuyên

Vậy MaxM =2+^/2 khi x=2 (thoả mãn)

b) Ta thấy trong hai trường hợp ^/x —1>0 và 4x —1<0 thì MinM xảy ra trong trusng hop Vx -1<0=> Vx <1>0<x<l 0 N>x=0>MinM= 0 er Vậy MinM =0 khi x =0 (thoả mãn) nA Vid XE a DANG 7: TIM X DE P NHAN GIA TRI LA SO NGUYEN 7.1.Tim xe Z dé P=a+- b evx+d

Bước 1 Đặt điều kiện, khử x ở trên tử, đưa P về dạng như trên

Bước 2 Xét hai trường hợp

Trang 32

MAaTHTECH eZ TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10 b ; => là số vô tỷ > at cjx+d là số vô tỷ c/@x+d =P là số vô tỷ P2 (loại) Truong hop 2: Xét x eZ va Vx eZ thì Pe Z khi eZ =cvx+deƯ(b) cvx+d 2Vx -1 Ví dụ I Tìm x eZ để biểu thức A = nhận giá trị là một số nguyên vx +3 Lời giải Điều kiện: x >0 _2jxk+6-7 2[dx+3)- “a Vvx+3 Ajx+3 Vjx+3 7 Vx 43 Truong hop 1: Xét x EZ nhung Vx ¢Z =5 x là số vô tỷ > Vx +3 là số vô tỷ 7 7 => là số vô tỷ > 2- Vx +3 F Vx +3 >A las6 v6ty >A ¢€Z (loai) Co A la s6 v6 ty 7 Vx +3 => vx +3eU(7)={+1; +7}, ma Vx +323 nén ta dugc Truong hop 2: Xét x EZ va Vx eZ thi AcZ khi c2 Vx4+3=70 Vx =406x=16 (thoả mãn) Vay x =16 1a gia tri can tim Chú ý PeZ P<0

Bước ï Giải P eZ2 giống như ví dụ 1

Bước 2 Kẻ bảng để chọn P <0 hoặc giải P <0 rồi kết hợp P € Z

- reo |

e P nguyên dương khi

P>0

Bước I Giải P622 giống như ví dụ 1

Trang 33

MAaTHTECH ST Chi dé 1 Rút gon biểu thức và các câu hỏi thường gặp PeZ P>0

Bước I Giải P2 giống như ví dụ 1

Trang 34

MA THTECeH Si TỐN GHỌN LỌC - ƠN THỊ VÀO LÚP 10 Cách 2 (Giải M< 0) Vx +3 M<0< <0 Vx -3<0 (do Vx+3>0)— x <3O0<x <9 jt ~3

Kết hợp với xe{0; Les 16: 25° 36: 81} ta duoc xe{0; 1; 4}

Trang 35

MeTHTECH Si Chi dé 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp Cách 2 (Giải P >0) ee = Vx -2>0 xed lesa > a Vx -2 oe lạm 7 L x<4 Kết hợp với x 6{0; 1; 9; 16; 36 } ta được x e{ 0; 9; 16; 36} Vậy xe{0; 9; 16; 36 } là các giá trị cần tìm Chú ý Dang tim xeZ dé P=aVx +b+ eZ (a, b, c,d, meZ) thi khi evx +d

eidi ta van phai xét trudng hop x eZ, Vx ¢Z va trudng hop x €Z, Vx eZ Vides Tin x 6 #, để biển hú 6e a ae x3 Lời giải Điều kiện: x >0, x9 Có poe! eee Vx -3 Jx-3 Trường hợp 1: Xét x =2—> F=0e 2> x=2 (thoả mãn) Trường hợp 2: Xét x “2, xe Z2 nhưng Vx €Z —=>-+Jx 1as6 v6 ty = Vx —3 là số vô tỷ ` ` a a , x x Mà x—2 là số nguyên khác Ö nên —= x3 —F là số vơ tỷ > F¢Z (loai) Trường hơp 3 Xét xe 2 và Vx eZ

Trang 37

MAaTHTECH ` — Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp Do đó 0<P<Š nên PeZ2 khi 5 “——=—=ÏÌ — = P=1 |3/x+2 s=3/x+¿2 |Vx=l [x= aol © ug eee xả 2 5=6x+4 |jx== s 3x+2 (thoả mãn điều kiện)

Vậy ce} e| là các giá trị cần tìm Chú ý Với bài toán tim x ER dé m+ : eZ (a, b, ce N*, meZ) bvx +e a a Buoc 1 Lap luan: Vi me Z nén m+ eZ khi ——— eZ Sa bAx+c bvx +¢ Bước 2 Giải theo cách chan hai đầu của ——2— nhu vi du 1 bvx +c Vi du 2.Tim x ER dé cdc biéu thifc sau cé gid tri 14 s6 nguyén: 2/x +5 vx +1 , b) P= vx -3 Vx +2 a) A= Lời giải Điều kiện: x >0 2jx+2+3_2jx+2 3 3 a) Có A= Lễ + egies, vx +1 Vx +1 Vx +1 Vx +1 Vi2eEZ nén AcZ khi B= : eZ Vx +1 Vi 3>0, Vx +1>0 nén B>O 3 3 Mat khéc, Vx >0=>Vx+121=> <;=B<3 fk +t Do d6 0<B<3 nén BeEZ khi 3 =] B=1 Vx +1 3=Vx41 vx=2 [x=4 => : =2©|3=2Jx+2© ake end rie vx +1 % 2 4 = 3 3=3vx+3 dz =O x =0 =5 wheel

(thoả mãn điều kiện)

CÔNG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH 43

Trang 38

^⁄1+T+1T€C-lL1 TOÁN CHON LOC - ON THI VAO LÚP 10 Vay xe 0; zi a} là các giá trị cần tìm JRILD-S xHƯT 86 5 Đ— Vx+2 Vx+2 Vx+2 vx+2 5 e Vx +2 Vi 5>0, Vx +2>0 nén Q>0 b) C6 P= VileZ nén PeZ khi Q= Mat khic, Vx >0>Vx+22>2> >> Q<2 Fa‘ Do đó, 0<Q<Š nên Qc Z2 khi eon” Fae i 5= Vx +2 Bàn „ ~ Q=2 | 5, ls=2K+4C Vk => - Vx +2 (thoả mãn điều kiện) Vậy xe | T 9 | là các giá trị cần tìm

DẠNG 8: TÌM THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P =m CÓ NGHIỆM Bước 1 Dat điều kiện để P xác định

Bước 2 Tù P=m, rit Vx theom

Trang 39

MAaTHTECH ER Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp =m-| m—] * Xét m#l=>xx= Do 2x >0 nên phương trình đã cho có nghiệm khi Ho >0< on <0 m—Ì m—] #nulsử |J 7 5 m=Ì>0 |m >I >> tớ l m—1<0 3 2 Ree Vay “5 <m <1 1a giá trị cần tìm vx +1) Vx +1 4

Ví dụ 2 Cho hai biểu thức A =

Tìm meZ để phương trình = =— có nghiệm Điều kiện: x>0, x #4 A 4(vx +1) vx-2 m + m S—= = sk <©> ——— B x-4 Jx4+1 2 vx+2 2 <> m(Vx +2)=8=> m.vx =8—2m * Xét m=050.Vx =8 (loai) * Xét m#0> yx=2—™ m ace 2 Do Vx >0, Vx #2 nên phương trình có nghiệm khi eee 0, Fem 2g m m ae ty a m>0 _||m>0 lò Bãi ĐT” vu © ©0<m<4 m 8—2m <0 m>4 m<0 m<0

CÔNG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH 45

Trang 40

MATH TECH TOAN CHON LOG - ON THI VAO LOP 10 +) Giải SH e8: | m

Như vậy 0<m<4,m+2, mà meZ nên me{l; 3; 4) Vậy me{l; 3; 4} là giá trị cần tìm HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ Vx, Vx 3x+9 jx+3 V¥x-3 x-9 Vx+1 2 Wx-3 Jx-2 vx+3 x+Jx-6 x+2 Vvx+l 1 xVx-1 x+xx+l THỊ a+3Va+2 a+va { 1 I Bài 1 Rút gọn biểu thức A = Bài 2 Rút gọn biểu thức A = Bài 3 Rút gọn biểu thức P =l: | Bài 4 Rút gọn biểu thức P =

(va +2)(va —1) ae Jai)