chu de 1 rut gon bieu thuc

CHỦ ĐỀ – RÚT GỌN BIỂU THỨC DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: Bước Đặt điều kiện xác định biểu thức: (a > 0) x−a • • • x+a : Điều kiện xác định (a > 0) : Điều kiện x ≥ x ≥ ⇔   x ≠ a x ≠ a x≥0 Gặp phép chia phân thức đổi thành phép nhân xuất thêm mẫu nên dạng ta thường làm bước đặt điều kiện sau Bước Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung Bước Gộp tử, rút gọn kết luận A= Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức Điều kiện: A= Có x x+3 + 3x + x − x− x − Lời giải x ≥ 0,x ≠ x x 3x + + − x+3 x − ( x − 3)( x + 3) = x( x − 3) x( x + 3) 3x + + − ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) = x − x + 2x + x − 3x − 3( x − 3) = = ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x+3 A= Vậy x+3 với điều kiện x ≥ 0,x ≠ A= Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức Có x +1 x −3 + − x−2 x + x+ x − Lời giải x + x − = x + x − x − = x( x + 3) − 2( x + 3) = ( x − 2)( x + 3) Điều kiện: x ≥ 0,x ≠ x +1 A= + x−3 − x−2 x + ( x − 2)( x + 3) Có ( x + 1)( x + 3) 2( x − 2) x −3 = + − ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) = = x + x + 3+ x − − x + ( x − 2)( x + 3) ( x − 1)( x − 2) ( x − 2)( x + 3) A= Vậy: x −1 x+3 = x− x + ( x − 2)( x + 3) x −1 x+3 với điều kiện Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức Có = x ≥ 0,x ≠  x+ x +1  P = 1:  + −  x x − x + x + x − 1÷ ÷   Lời giải  x+ x +1  P = 1:  + − ÷ ÷  ( x − 1)(x + x + 1) x + x + x − 1   x+ ( x − 1)( x + 1) x+ x +1 = 1:  + −  ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) ÷ ÷   = 1: x + + x − 1− x − x − x− x = 1: ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) x + x + = 1× = x( x − 1) x P= Vậy x+ x +1 x với điều kiện Điều kiện x > 0,x ≠ x > 0,x ≠ Chú ý: Câu có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất thêm điều kiện sau Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức x mẫu, ta làm bước đặt  a+ a + a+ a   1  P= − +  : ÷  ( a + 2)( a − 1) a−   a + a − 1 Lời giải Có  ( a + 1)( a + 2)    a+ a a −1 a +1 P= − + ÷  :  ÷  ( a + 2)( a − 1) ( a − 1)( a + 1)   ( a − 1)( a + 1) ( a − 1)( a + 1)   a+1  a+ a a − 1+ a + = − :  a − ( a − 1)( a + 1)  ( a − 1)( a + 1)  ( a + 1)2  a+ a a = − :  ( a − 1)( a + 1) ( a − 1)( a + 1)  ( a − 1)( a + 1) = a+ a + 1− a− a ( a − 1)( a + 1) a+1 × = ( a − 1)( a + 1) a a Điều kiện P= Vậy a > 0,a ≠ a+1 a với điều kiện a > 0,a ≠ X DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước Đặt điều kiện giá trị cho x thoả mãn điều kiện x, x x Bước Tính thay giá trị vào biểu thức rút gọn Bước Tính kết biểu thức cách trục hết thức mẫu kết luận x +1 P= Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức x = 36 a) x= 2+ c) 28 − 21 x= −2 7− 3− 2− e) 27 + −1 x= 18 g) b) P= Vậy b)Có x=6 d) x= f) h) 2− 3+ − 3− x − x + 10 = Lời giải P= thay vào P ta khi: x = 6− x= x ≥ 0,x ≠ Điều kiện x = 36 a)Có thoả mãn điều kiện Khi x−2 6+ = 6− x = 36 x = − = ( − 1)2 x= thoả mãn điều kiện − = − 1(do > 1) Khi P= − 1+ 5+ = =− − 1− 5− Thay vào P ta 5+ P=− x = 6− Vậy 2(2 − 3) 4− x= = = = ( − 1)2 − + (2 + 3)(2 − 3) c)Có thoả mãn điều kiện x = − = − 1(do > 1) Khi P= − 1+ 1+ = =− − 1− 3− Thay vào P ta 1+ x= P=− 2+ Vậy 2 − −  − 1 x= = =  ÷ ÷   d)Có x= thoả mãn điều kiện 3−1 3−1 = (do > 1) 2 Khi −1 +1 +1 4+3 = =− 11 −1 −5 −2 P= Thay vào P P=− Vậy , ta 4+3 11 x= 2− ( ) ( 4− 3+ 28 − 21 x= −2 − = −2 − 3− 2− 2− 3− 3+ ( e) Có = Thay vào Vậy 18 + −3 =9 9−7 P P=4 P= , ta được: x= 28 − 21 −2 − 3− 2− f) Có P= Vậy x =4 thay vào x= ( Thỏa mãn điều kiện) ) ⇒ x = 3 +1 = 3−2 4 x= − = 3+2 3−2 Khi )( ) P ( ) ( + ) = −16 = 16 ( + 2) ( − 2) − 3−2 −4 , ta +1 P= = 4−2 4 − 3+2 3−2 thỏa mãn điều kiện 27 + −1 − x= = = = 18 18 18 g) Có x= Khi P=− Vậy , thay vào x= P , ta thỏa mãn điều kiện +1 P= =− −2 27 + −1 18 x − x + 10 = ⇔ x − x − x + 10 = ⇔ h) Có ⇔ x = 2, x = ⇔ x = x =5 Khi Vậy P=2 , thay vào P x thỏa mãn (loại), x = 25 P= ta ( x −2 )( ) x −5 =0 (thỏa mãn) +1 = = 5−2 x − x + 10 = DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định Bước 2: Quy đồng mẫu chung Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện kết luận Đưa phương trình tích P= x + x +1 x Ví dụ Cho biểu thức Điều kiện: P= Có x>0 Tìm x P= để 13 Lời giải ( ) x + x + 13 x 13 x + x + 13 ⇔ = ⇔ = 3 x x x ⇔ 3x + x + = 13 x ⇔ x − 10 x + = ⇔ x − x − x + = ⇔3 x ( ) ( x −3 − ) x −3 = 0⇔  x =3 x =9 ⇔ ⇔  x=1 x =   ( )( ) x − 3 x −1 = (thỏa mãn điều kiện) x = 9, x = Vậy 13 P= M= Ví dụ Cho biểu thức Điều kiện: M= x ≥ 0, x ≠ x ⇔ x −2 Tìm x để x −2 = x ⇔ 8 Có ( 24 x −2 ) x = ⇔ 24 = x − x ⇔ x − x + = 25 ⇔ ⇔ x − = ±5 ⇔ x = −4 Vậy x = 36 Lời giải M= x M= x (loại), ( ( ( x −2 x −2 ) ) x − = 25 x = ⇔ x = 36 ) (thỏa mãn điều kiện) Phương trình có chứa trị tuyệt đối • • f ( x) = a a>0 (với f ( x ) = g ( x) f ( x) = ± a a số cụ thể) giải ln hai trường hợp g ( x) (với biểu thức chứa x ): Cách 1: Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: Xét f ( x) = f ( x) f ( x) ≥ Giải đối chiếu điều kiện f ( x) ≥ f ( x) < Trường hợp 2: Xét Giải đối chiếu điều kiện Cách 2: Đặt điều kiện f ( x) = − f ( x ) f ( x) < g ( x) ≥ A= Ví dụ Cho biểu thức Điều kiện: nên ta giải hai trường hợp x +2 x −5 x +2 x −5 x −5 x−4 = x −5 x−4≥0⇔ x≥4 x−4 0, x + > ⇒ M = >0⇒ + ≥2 × = 8× M M x +2 Do M M ≤ ⇒ − ≥ −1 ⇒ N ≥ − = × Vì MinN = M =3 x=0 Vậy hay (thỏa mãn điều kiện) M =3 N =7 MinN = Cách (Thay nên ta dự đoán ) 2 12 M − M + 12 M − 3M − M + 12 N −7 = M + −7 = = M M M Xét hiệu M ( M − 3) − 4( M − 3) ( M − 3)( M − 4) = = × M M Do < M ≤ ⇒ M − ≤ 0, M − < 0, M > ⇒ N − ≥ ⇒ N ≥ × Vậy MinN = M =3 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện) A= x +3 Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 B = 3A + A Lời giải x≥0 Điều kiện: *) Tìm MaxA: x ≥ 0∀x ≥ Có 5 ⇒ ≤ ∀x ≥ ⇒ x + ≥ 3∀x ≥ x +3 ⇒ A ≤ ∀x ≥ = x=0 Vậy MaxA (thỏa mãn điều kiện) +) Tìm MinB: Cách (Dùng bất đẳng thức Cô si) 10  18 A 10  A B = 3A + =  + ÷− A  A Có 18 A 10 18 A 10 > 0, x + > ⇒ A = >0⇒ + ≥2 = 12 A A x +3 Do 24 A≤ Vì 3A ⇒− ≥ −1 ⇒ B ≥ 12 − = 11 A= x=0 Vậy Min B = 11 hay (thỏa mãn điều kiện) A= B = 11 Cách (Thay nên ta dự đoán MinB = 11) 10 A − 11A + 10 A2 − A − A + 10 B − 11 = A + − 11 = = A A A Xét hiệu A ( A − 5) − ( A − 5) ( A − 5) ( A − ) = = A A 0≤ A≤ Do ⇒ A − ≤, A − < 0, A > ⇒ B − 11 ≥ ⇒ B ≥ 11 Vậy Min B = 11 A= hay x=0 (thỏa mãn điều kiện) x +4 S =− Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 14 S + S +1 Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x≥0 Điều kiện: * Tìm MinS: x ≥ ∀x ⇒ x +4 ∀x ≥ Có ⇒− ≥ − ∀x ≥ x +4 MinS = − ⇒S≥− ⇒ 2 ≤ ∀x ≥ x +4 ∀x ≥ 2 x=0 Vậy (thỏa mãn điều kiện) * Tìm MinT: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cơsi)   T = 12 ( S + 1) + + 2S − 12 S +   Có 1 3 S ≥ − ⇒ S + ≥ > ⇒ 12 ( S + 1) + ≥ 12 ( S + 1) = 12 2 S +1 S +1 Do S ≥ − ⇒ S ≥ −1 ⇒ T ≥ 12 − − 12 = −1 Vì 25 Vậy S =− MinT = −1 S =− Cách 2: (Thay Xét hiệu x=0 hay (thỏa mãn điều kiện) T = −1 MinT = −1 nên ta dự đoán ) 14 S + 15S + 14 S + S + 8S + T − ( −1) = 14 S + +1 = = S +1 S +1 S +1 = Do S ( S + 1) + ( S + 1) ( S + 1) ( S + ) = S +1 S +1 S ≥ − ⇒ S + ≥ 0, S + > 0, S + > S =− ⇒ T − ( −1) ≥ ⇒ T ≥ −1 x=0 MinT = −1 Vậy hay (thỏa mãn điều kiện) 6.2 Dùng bất đẳng thức Côsi x Bước 1: Khử tử Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với số thích hợp a + b ≥ ab ∀a,b ≥ a=b " =" Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi Dấu xảy A= Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Điều kiện: A= Có x≥0 A+5 = ( Vì ) x +2 + Vậy ( x −2 16 x +2 x +2 x +2 nên )− x −3 x +2 16 + x +2 x +2 cần cộng thêm ) 16 > ∀x ≥ x +2 16 ≥2 x +2 ( nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 16 x +2 = 16 = x +2 ( A+5 ≥ ⇒ A ≥ MinA = )( x +2 ) x + > 0, Suy (Mẫu 16 x +2 + x +2 Xét ( Lời giải x − − x − + 16 = x +2 = x −3+ x − x + 10 x +2 ) ) x +2 = 16 ⇔ x +2 ( x +2 ) = 16 ⇔ x = (thỏa mãn) 26 x > 25 Ví dụ Cho Với x > 25 M= Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x x −5 M ln xác định x x − 25 + 25 x − 25 25 25 = = + = x +5+ x −5 x −5 x −5 x −5 x −5 M= Có M − 10 = ( ) x +5 + Xét 25 x −5 x - 5> 0, Với x > 25 25 x - 5+ ³ x- ( 25 x- ) x- >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 25 x- = 25 = 10 Suy M – 10 ≥ 10 => M ≥ 20 25 x - 5= x- Vậy MinM = 20 Û ( ) x- = 25 Û x = 100 ( thỏa mãn điều kiện) x+3 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x Lời giải Điều kiện: x > x+3 P= = x+ x x Ta có x > 0, >0 x Vì nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có x+ x ³ Vậy MinP = x 3 x =2 => P ≥ x= x Û x=3 ( thỏa mãn điều kiện) x- Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x - x Lời giải Điều kiện: x > 27 x- A = x Có A = x > 0, Vì x - x= x x ỉ1 ÷ ữ - x = 1- ỗ + x ç ÷ ç ÷ ç è ø x x - >0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có ỉ 1 1ư ÷ ÷ x+ ³ x = 2.3 = Þ - ç x + ç ÷£ - ç ç ố ứ x x xữ ổ 1ử ữ ữ ị 1- ỗ x + Ê 1- = - ị P Ê - ỗ ữ ỗ ữ ç è xø x= Û 9x =1Û x = x Vậy MaxA = – 6.3 Đưa bình phương A2 ± m ≥ ± m; A2 + B ± m ≥ + ± m  − A2 ± m ≤ ± m; − A2 − B ± m ≤ + ± m  P= Ví dụ Cho biểu thức Điều kiện: x+2 x x+2 x + x − 2x − x −1 x ) ( ) ( = x + − 2x + x −1− x −1 +1 = Vậy MinT =  x = ⇔ x=2  x − =  x− ) +( ) x − − ≥ (thỏa mãn điều kiện) Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức x ≥ 0, x ≠ A= T = P x + x − 2 x − x − Lời giải x ≥ ( ( thỏa mãn điều kiện) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = P x + x − 2 x − x − = Có A= C = B− A 2x − x − 2x − x + x − 2 x = = x −2 x −2 ( với 2x − x − x −2 Lời giải x −2 + x −2 ) x −2 28 = x + B= x3 − x + x − , x +2 x3 − x + x − x x − x + x − = = x +2 x +2 B= = ( ) x + ( x − 1) x +2 = x − x +2 ( x − − ≥ −3 A= (m ∈ N * ) x −m C = B− A= x−2 x −2 = Suy MinC = −3 x =1 Vậy (thỏa mãn) 6.4 Tìm x ( x − 1) + ( x − 1) x∈N ) để biểu thức lớn nhất, nhỏ 1 a≥b⇒ ≤ a b Chú ý: Tính chất với a b dương âm Ví dụ: 1 x + ≥ 3∀x ≥⇒ ≤ ∀x ≥ x +3 x +3 +) dương 1 x − ≥ −2∀x ≥ ⇒ ≤ ∀x ≥ x −2 x − −2 +) sai ta chưa biết -2 có âm hay không Phương pháp giải x −m > x −m 0⇒ x > m⇒ x > m Mà ⇒ x∈N nên x ≥ m2 + ⇒ x ≥ m2 + ⇒ x − m ≥ m2 + − m > 1 ≤ ⇒ A≤ x −m m2 + − m m2 + − m MaxA = Vậy m +1 − m x = m2 + *Tìm MinA: Ta thấy hai trường hợp x − m < ⇒ x < m ⇒ < x < m2 x∈N x −m > x −m < MinA xảy trường hợp x ∈ { 0;1; 2; ; m2 − 1} Mà nên Trường hợp có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn minA Ví dụ Tìm x∈N A= để biểu thức x −2 đạt giá trị: a) lớn Lời giải 29 b) nhỏ Điều kiện: a) x ∈ N , x ≠ Ta thấy hai trường hợp x − > ⇒ x > ⇒ x > Mà ⇒ Vậy b) x −2>0 x −20 x −2 ⇔ x > ⇔ x > Mà x −3< MaxP xảy trường hợp x ∈ N ⇒ x ∈ { 10;11;12; } ⇒ x ≥ 10 ⇒ x ≥ 10 ⇒ x − ≥ 10 − ⇒ ⇒P≤ Vậy x −3 > 5 5 ≤ ⇒1+ ≤ 1+ x −3 10 − x −3 10 − 10 + = 16 + 10 10 − MaxP = 16 + 10 x = 10 (thỏa mãn) 30 b) Ta thấy hai trường hợp x −3 > x −3 < minP xảy trường hợp x − < ⇔ x < ⇔ ≤ x < x ∈ N ⇒ x ∈ { 0;1; 2; ;8} Mà x P Vậy − − MinP = −14 − 10 Ví dụ Tìm Điều kiện: M= Có a) x =8 − 8+5 −14 − 10 (thỏa mãn) x x −1 M= để biểu thức x ∈ N , x ≠ đạt giá trị: a) lớn Lời giải b) nhỏ x = 1+ x −1 x −1 Ta thấy hai trường hợp x − > ⇒ x > ⇒ x > Mà ⇒ Vậy b) x∈N x −1 > x −1 < MaxM xảy trường hợp x ∈ N ⇒ x ∈ { 2;3; 4; } ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x − ≥ − 1 ≤ ⇒ x −1 −1 MaxM = + 1 +1 ≤ +1 ⇒ M ≤ = + x −1 −1 −1 x=2 (thỏa mãn) x −1 > x −1 < Ta thấy hai trường hợp MinM xảy trường hợp x − < ⇒ x < ⇒ ≤ x < x ∈ N ⇒ x = ⇒ MinM = Mà Vậy MinM = x=0 = 0 −1 (thỏa mãn) 31 DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN b P =a+ ∈ Z (a, b, c, d ∈ Z ) c x +d x∈Z 7.1 Tìm để Bước Đặt điều kiện, khử x tử, đưa P dạng Bước Xét hai trường hợp x ∉Z x∈Z Trường hợp 1: Xét ⇒ b c x +d ⇒ a+ b c x +d số vô tỷ ⇒ ⇒ ∉¢ P số vơ tỷ P (loại) x ∈¢ ⇒ b c x + d ∈¢ ⇒ c x + d ∈ ∈¢ P x −1 A= x +3 ∈¢ Ví dụ 1: Tìm x để biểu thức nhận giá trị số nguyên Lời giải: x≥0 Điều kiện : x +6−7 x +3 7 A= = − = 2− x +3 x +3 x +3 x +3 Có x ∉¢ ∈¢ Trường hợp 1: Xét x ⇒ x ⇒ x +3 số vô tỷ số vô tỷ 7 => 2− x +3 x +3 số vô tỷ số vơ tỷ ⇒A ⇒ A∉¢ số vơ tỷ (loại) ∈¢ x ∈¢ x +3 ∈¢ A∈ ¢ Trường hợp 2: Xét x { ±1; ±7} ⇒ x + 3∈ x +3≥3 Ư (7)= mà nên ta được: x + = ⇔ x = ⇔ x = 16 (thỏa mãn) x = 16 Vậy giá trị cần tìm Chú ý: Trường hợp 2: Xét x ∈¢ số vơ t v ( ã ) { PÂ P >0 P nguyên âm P ∈¢ Bước 1: Giải giống ví dụ 32 Ư (b) Bước 2: Kẻ bảng để chọn P>0 giải P>0 kết hợp • { P∈¢ P≥0 P số tự nhiên P ∈¢ Bước Giải giống ví dụ P≥0 P≥0 P∈¢ Bước 2: Kẻ bảng để chọn giải kết hợp Ví dụ 2: Tìm x M= • P ∈¢ ∈¢ M= để biểu thức x +3 x −3 nhận giá trị nguyên âm Lời giải: x −3 6 + = 1+ x −3 x −3 x −3 x −3+ = x −3 M nguyên âm M ∈¢ : { M ∈¢ M 1+ x −3 x −3 số vô tỷ số vô tỷ ⇒M ⇒ M ∉¢ số vơ tỷ (loại) x ∈¢ ∈¢ Trường hợp 2: Xét x ∈¢ { ±1; ±2; ±3; ±6} ⇒ x − 3∈ x −3 M ∈¢ => Ư (6)= -1 -2 x −3 -3 -6 x -3 x 16 25 36 81 φ ⇒ x ∈ { 0;1; 4;16; 25;36;81} • (thỏa mãn điều kiện) M Ư (4)= -1 -2 x −2 -4 x -2 x 16 36 φ ⇒ x ∈ { 0;1;9;16;36} • ≥ (thỏa mãn điều kiện) P 0: Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp giá trị) x 16 36 P -2 x ∈ { 0;9;16;36} Từ bảng ta M có giá trị số tự nhiên ≥ Cách (Giải P ) 34 Kết hợp với P≥0⇔  { x −x2≥>00  { x −x2≤≥40 x ≤0  { x< ⇔  ⇔  xx >=04 x ∈ { 0;1;9;16;36} x ∈ { 0;9;16;36} Kết hợp với ta x ∈ { 0;9;16;36} Vậy giá trị cần tìm m a x +b+ ∈ ¢ ( a , b, c , d , m ∈ ¢ ) c x +d ∈¢ Chú ý: Dạng tìm x để P = giải ta phải xét trường hợp x ∉¢ x ∈¢ ∈¢ ∈¢ x , trường hợp x Ví dụ 4: Tìm x ∈¢ x−2 ∈¢ x −3 F= để biểu thức x≥0 x≠9 Điều kiện : ; x −9+7 F= = x +3+ x −3 Có Lời giải: x −3 Trường hợp 1: Xét x =2 => F=0 ∈¢ => x =2 (thỏa mãn) ∈¢ x ∉¢ x +3 x≠2 ∈¢ Trường hợp 2: Xét ;x ⇒ x ⇒ x −3 số vô tỷ số vô tỷ x−2 x −3 Mà x-2 số nguyên khác nên số vô tỷ ⇒F ⇒ F ∉¢ số vơ tỷ (loại) x ∈¢ ∈¢ Trường hợp 3: Xét x { ±1; ±7} x + 3∈ ¢ x − ∈ ¢ ⇒ x − 3∈ F ∈¢ Vì nên Ư (7)= -1 -7 x −3 x 16 (thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị cần tìm 7.2 Tìm x∈R P= để 10 100 -4 a ∈ Z ( a , b, c ∈ ¥ * ) b x +c 35 Bước Đặt điều kiện chặn hai đầu • a > 0, b x + c > ⇒ P > a a a • b x +c ≥c⇒ ≤ ⇒P≤ c b x +c c P Như ta chặn hai đầu P ∈ Z,0 < P ≤ Bước Chọn Ví dụ Tìm 10 a) A = x +3 Điều kiện : 10 > 0, a)Vì x∈R a c 00 10 10 10 ≤ ⇒ A≤ x +3 Mặt khác, Do x Lời giải x +3 > 10 để biểu thức sau nhận giá trị số nguyên : b)P = x +2 x≥0 0< A≤ : Từ suy x ≥ 0⇒ x +3≥3⇒ nên A∈ Z 10 =1   x +3 10 = x +  x =7  x = 49    10 = ⇔ 10 = x + ⇔  x = ⇔  x = x +3    1 10 = x +  x= x = 10 =3   x +3    A =  A = ⇒     A =     Vậy P (thỏa mãn điều kiện) 1  x ∈ 49; 4;  9  giá trị cần tìm > 0, x + > P>0 b)Vì nên x ≥0⇒3 x +2≥2⇒ Mặt khác 0 0, x + > B>0 Vì nên 3 x ≥ ⇒ x +1 ≥1 ⇒ ≤ ⇒B≤3 x +1 Mặt khác < B ≤ 3⇒ B∈¢ Do đó:  =1   x =2 x = x + 3 = x +  B =    B = ⇒  = ⇔ = x + ⇔  x = ⇔ x =   x +1      B =   = x +    x =  x = =  x +1  (TMĐK)   x ∈ 0; ;    Vậy giá trị cần tìm x + 2−5 5 Q= ∈¢ P= = 1− x +2 x +2 x+2 1∈ ¢ P∈¢ b) Có Vì nên Q>0 > 0; x + > Vì nên 37 x ≥0⇒ x +2≥2⇒ x +2 Mặt khác ta có 0 m > 1   ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ m