chuyen de 1 rut gon phan thuc dai so 8781

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung II – Các dạng toán thường gặp: 1- Rút gọn phân thức ( x + a)2 − x a + x + 4ax ( x + a − x)( x + a + x) = ( a + x) a (2 x + a) = (2 x + a) a = 2x + a Câu1: a) c) a − 3a + a − a − 2a − a − 3a + = a − ( a + 2a + 1) Câu : b) = a − 2a + − a a − (a + 1) = (a − 1) − a a − (a + 1) = (a − + a )(a − − a ) (a + a + 1)( a − a − 1) = (a + a − 1) (a + a + 1) y2 + y + 2 y + y + 12 y + (2 y + y ) + ( y + 2) = (2 y + y ) + (5 y + 10 y ) + (2 y + 4) y ( y + 2) + ( y + 2) = 2 y ( y + 2) + y ( y + 2) + 2( y + 2) ( y + 2)(2 y + 1) = ( y + 2)(2 y + y + 2) (2 y + 1) = (2 y + 1)( y + 2) = y+2 Với: y ≠ -2 y ≠ 2- Chứng minh CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Câu2 : a) Hãy chứng minh: Giải: a − 4a − a + a +1 = a − 7a + 14a − a − a − 4a − a + a − a + 14a − (a − a ) − (4a − 4) = (a − 8) − (7 a − 14a ) = a (a − 1) − 4(a − 1) (a − 2)(a + 2a + 4) − 7a (a − 2) (a − 4)(a − 1) (a − 2)(a − 5a + 4) ( a − 4)(a + 1)(a − 1) = (a − 2)(a − 4)(a − 1) a +1 = a−2 = Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: ( x + a)(1 + a ) + a x + ( x − a)(1 − a ) + a x + Giải: ( x + a)(1 + a) + a x + ( x − a )(1 − a ) + a x + x2 + x2 a + a + a + a x + = x − x2 a − a + a + a2 x2 + x2 + x2 a + a x2 + a + a + = x − x2 a + a2 x2 + a + a + x (1 + a + a ) + (1 + a + a ) = x (1 − a + a ) + (1 − a + a ) ( x + 1)(1 + a + a ) = ( x + 1)(1 − a + a ) = + a + a2 − a + a2 Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x 1 1 Câu2: c) Chứng minh x + y + z = x + y + z ba số x, y, z có cặp số đối Giải: CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 1 1 + + = x y z x+ y+z yz + xz + xy = Ta có: xyz x+ y+z Từ ta có: ( x + y + z )( yz + xz + xy ) = xyz Hay ( x + y + z )( yz + xz + xy ) − xyz = Từ: Biến đổi vế trái: ( x + y + z )( yz + xz + xy ) − xyz = xyz + x z + x y + y z + xyz + xy + yz + xz + xyz − xyz = ( xyz + xz + y z + yz ) + ( x y + x z + xy + xyz ) = z ( xy + xz + y + yz ) + x( xy + xz + y + yz ) = ( xy + xz + y + yz )( x + z ) = ( x + y )( y + z )( x + z ) Vậy: ( x + y )( y + z )( x + z ) = Tích ba nhân tử chứng tỏ phải có nhân tử 0, từ suy có cặp đối 3- Tính giá trị x3 + x − x Câu3 : a) Tính giá trị phân thức C = với x = 2008 x3 − x Giải: C = x3 + x − x x3 − x x( x + x − 6) = x( x − 4) x2 − x + 3x − ( x + 2)( x − 2) x( x − 2) + 3( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) x+3 = x+2 2011 Với x = 2008 C = 2010 = Câu 3: b) Cho a+b+c = Tính giá trị phân thức a + b3 + c − 3abc a 3+ b 3+ c 3− ab − bc − ac a + b + c − 3abc Ta có: = a + b3 + c + 3a b + 3ab − 3a b − 3ab − 3abc = a + 3a b + 3ab + b3 + c3 − 3a b − 3ab − 3abc = (a + b)3 + c − 3ab(a + b + c ) = (a + b + c )[(a + b ) − (a + b)c + c ] − 3ab(a + b + c ) = (a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ca ) CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Vậy: a + b3 + c − 3abc (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) = = a+b+c =5 a + b + c − ab − bc − ac (a + b + c − ab − bc − ac ) Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn Tính: a b c x y z + + =0 + + = x y z a b c x2 y2 z + + a2 b2 c2 Giải: x y z + + =1 a b c x y z ⇔ ( + + )2 = a b c x y z 2 xy xz yz ⇔ + + + + + =1 ab ac bc a b c x y z 2 xyz c b a ⇔ + + + ( + + ) =1 abc z y x a b c x y z 2 xyz a b c + + + ( + + ) =1 a b c abc x y z a b c Mà: x + y + z = x2 y z Vậy: + + = a b c ⇔ 4- Tổng hợp mn + n (n − m) + Câu4 : a) Cho biểu thức A = m n + 2n + m2 + a1) Rút gọn A a2) Chứng minh A dương a3) Với giá trị m A đạt giá trị lớn nhất? Giải: 2 a1) A = mn2 4+ n (n4 − m2) + m n + 2n + m + mn + n − mn + = m n + m + 2n + n4 + = ( n + 1)(m + 2) = m +2 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ a2) Ta có: m2 ≥ 0, ∀ m Nên: m2 + > 0, ∀ m > 0, ∀ m m +2 Vậy: A > 0, ∀ m Do đó: a3) Ta có: m2 ≥ 0, ∀ m Nên: m2 + ≥ 2, ∀ m 1 ≤ , ∀ m m +2 Hay: A ≤ , ∀ m Do đó: Vậy: A đạt giá trị lớn A = Suy ra: m2 + = hay m = 2 x+2  − x 3x − x + + − ÷: − Câu4: b) Cho M =  x +1  x +1 3x  3x b1) Rút gọn biểu thức M b2) Tìm giá trị M với x = 2008 b3) Với giá trị x M < ? b4) Với giá trị x M nhận giá trị nguyên? Giải: b1) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠ 2 x+2  − x 3x − x + + − : − M =  3x x + ÷ x + 3x  ( x + 2)( x + 1) + 2.3 x − 3.3 x.( x + 1)  x + x − x + =  − 4x − 3x.( x + 1) 3x    x + 3x + + x − x2 − x  x + 3x − x + =  − 4x − x.( x + 1) 3x   (−8 x + 2)( x + 1) x − x + = − x.( x + 1)(2 − x) 3x = 2(1 − x)(1 + x) 3x − x + − 2.3x.(1 − x) 3x + x − 3x + x − 3x x ( x − 1) = 3x x −1 = = CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ b2) Với x = 2008 M= 2008 − = 669 b3) M < x – < tức x < Kết hợp với điều kiện Vậy: M nhận giá trị âm với x < trừ giá trị 0, -1, b4) M nhận giá trị nguyên (x-1) M3 hay x -1 = 3k Vậy: x = 3k +1 (k ∈ Z) (k ∈ Z) Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: 2 ab   ab   a +b a + − a : M=  ÷ ÷ 2 a − b  a + b   a −b 2 Giải: ab  ab   a +b a + − a : ÷ 2 M =  a − b ÷  a + b  a −b  a − ab + ab  ab − a − ab  a − b = ÷ ÷ 2 a−b a+b    a +b −a a − b2 = a − b2 a + b2 −a = a + b2 Câu5: b) Chứng tỏ: a2 + a + ≤ , a2 + ∀a ∈ R Giải: Ta có: ( a − 1) ≥ ⇔ a + ≥ 2a (1) Chia hai vế (1) cho 2(a2+1), ta được: a ≥ 2 a +1 a Do đó: + ≥ + a +1 a + a +1 ⇔ ≥ a2 + a2 + a + ≤ , Vậy: a2 + ∀a ∈ R CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Câu5: c) Tính giá trị biểu thức sau: a+b  x − a  x − 2a + b Q= với x = ÷ −  x − b  x + a − 2b Giải: a+b , ta có: a+b b−a x−a = −a = 2 a+b a−b x−b = −b = 2 x−a b−a ⇒ = = −1 x −b a −b Với x = Ta lại có: a+b 3b − 3a 3(b − a ) − 2a + b = = 2 a+b 3a − 3b 3( a − b) x + a − 2b = + a − 2b = = 2 x − 2a + b 3(b − a) ⇒ = = −1 x + a − 2b 3(a − b) x − 2a + b = Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: 1 A = (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b) Với a, b, c đôi khác Giải: A= 1 + + (a − b)(a − c ) (b − c )(b − a ) (c − a )(c − b) −1 −1 −1 = + + (a − b)(c − a ) (b − c)( a − b) (c − a )(b − c) − (b − c ) − ( c − a ) − ( a − b ) = (a − b)(b − c)(c − a ) −b + c − c + a − a + b = (a − b)(b − c)(c − a ) (a, b, c đôi khác nhau) =0 Câu6: b) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ B= 4a − 4b2 − 4c − + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Với a, b, c đôi khác Giải: B= 4a − 4b − 4c − + + (a − b)( a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b)   a2 b2 c2 =  + +   (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a)(c − b)    1 − + +   (a − b)(a − c ) (b − c )(b − a ) (c − a )(c − b)    −a −b −c =  + + −0  (a − b)(c − a) (b − c)(a − b) (c − a)(b − c )   − a (b − c ) − b ( c − a ) − c ( a − b )  =   (a − b)(b − c )(c − a )    −a b + a c − b c + ab − ac + bc  =   (a − b)(b − c)(c − a )   2 2 2  a c − b c + ab − a b − ac + bc  =   ( a − b)(b − c )(c − a )    c(a − b ) − ab(a − b) − c (a − b)  =   (a − b)(b − c )(c − a )    (a − b)[c(a + b) − ab − c ]  =    (a − b)(b − c )(c − a )   (a − b)(cb − c − ab + ca )  =    (a − b)(b − c )(c − a )   (a − b)(b − c)(c − a )  =  =4  (a − b)(b − c)(c − a )  ( a, b, c đôi khác ) Câu6: c) Tính giá trị biểu thức sau: P= x + 2a x + 2b 4ab + với x = x − 2a x − 2b a+b Giải: CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ x + 2a x + 2b + x − 2a x − 2b ( x + 2a )( x − 2b) + ( x − 2a)( x + 2b) = ( x − 2a )( x − 2b) P= = x − 2bx + 2ax − 4ab + x + 2bx − 2ax − 4ab x − 2(a + b) x + 4ab = 2( x − 4ab) x − 2(a + b) x + 4ab Thay x = 4ab vào P ta có: a+b  16a b  2 − 4ab  (a + b)  P= 2 16a b − 8ab + 4ab ( a + b)  16a b  2 − 4ab  ( a + b)  =  2  16a b  − 4ab    (a + b)  =2 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 10