CHUYỀN ĐỀ. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỢC BIÊN SOẠN ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ, CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG CÁC KÌ THI ĐH - CĐ. TỔNG HỢP ĐẦY ĐỦ CÁC BT TRONG CÁC ĐỀ THI. LÀ TÀI LIỆU HỮU ÍCH CHO BẠN ĐỌC ĐANG HỌC 12, ĐANG ÔN THI ĐH VÀ GV TRONG QUÁ TRÌNH GIẢNG DẠY.TẤT CÁC CÁC VÍ DỤ ĐỀU CÓ HƯỚNG DẪN, BÊN CẠNH ĐÓ CÒN CÓ BÀI TẬP TỰ LUYỆN CHO BẠN ĐỌC LUYỆN TẬP THÊM.

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên K

a) Nếu f '(x)³0, x" ÎK, f '(x)= chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) đồng biến trên 0 K b) Nếu f '(x)£0, x" ÎK, f '(x)= chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) nghịch biến trên K 0Nếu f(x) đồng biến trên K thì f '(x)³ " Î0, x K; nếu f(x) nghịch biến trên K thì

a) y= -2x2+4x+ 5 b) y x2 x 5

= + - c) y=x2-4x+3 d) y=x3-2x2+ -x 2 e) y=(4-x)(x-1)2 f)

ìï <

ïïì

Xét hàm số f(x)=3x2+6x, xÎ -¥ úû Ta có: ( ;0ù

x 0

3f(x) 4m, x 0 min f(x) 4m m

b) Tương tự trên ta có 2- <m£ - là giá trị cần tìm 1

 Bài tập 6 Cho hàm số y=x3-3mx2+3 2m( +3 x) + Với giá trị nào của 1 mthì hàm số: a) Luôn đồng biến trên TXĐ của nó

íïïïî £ " Î +¥  £

Ta có h '(x)= -2x+4m= -2 x 1( - +) (2 2m 1- £ với x) 0 ³ và 2m1 £ Do đó ta có: 1

2

x 1 2m 1

 Chú ý: Ta có thể giải quyết bài toán trên bằng cách lập bảng biến thiên

 Bài tập 8 Với giá trị nào của m thì hàm số y=(m-3 x) (-2m+1 cos x) luôn luôn nghịch

b) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên (-¥ - ; 1)

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

 Dạng 3: Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số vào chứng minh bất đẳng thức Trong phần này ta cần lưu ý:

CHUYÊN ĐỀ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

CT

+ Tập xác định D = \ 2{ }

+ Để hàm số hàm số đạt cực đại bằng 1 tại x=1 thì:

+ Tập xác định D= 

+ Ta cĩ y '=3x2-6x+3m Để hàm số cĩ một cực đại và một cực tiểu thì phương trình y '= 0phải cĩ 2 nghiệm phân biệt  D = -9 9m> 0 m<1

 Chú ý: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a ¹0) Khi đĩ hàm số cĩ CĐ, CT  phương trình y '=3ax2+2bx+ =c 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt

é =ê

= êë

- ê < <êë

 Chú ý: Cho hàm số y=ax4+bx3+cx2+dx+e (a ¹0)

Xét phương trình

có đúng 1 nghiệm

1 nghiệm kép có đúng 1 cực trị có đúng 2 nghiệm: 1 nghiệm đơn

có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ, CT

 Bài tập 3 Xác định a để hàm số y a sin x 1sin 3x

ìï ¹ïïï

ïïïî

- ê

ê > - +ë

 Hướng dẫn: f '(x)= 0 x2+2(m-2)x+5m+ =4 0

 Bài tập 7 Cho hàm số y 1x3 mx2 x m 1

3

= - - + + Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực trị của hàm số là nhỏ nhất

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì f '(x)= phải có 2 nghiệm phân biệt 0  "m

+ Chia f(x) cho f '(x) ta có: f(x) 1x 1m f '(x) 2(m2 1 x) 2m 1

=  ê =êë + Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình y '= phải có 3 nghiệm phân biệt 0 m>0

+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là : y= -2x+ Gọi 2 điểm cực trị là 3

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì pt f '(x)= có 2 nghiệm phân biệt 0 m¹0

+ Gọi A,B là 2 điểm cực trị A(- -2 m; 2 , B- ) ( - +2 m;4m- 2)

+ Để OABD vuông tại OOA.OB = 0 m= - 4 2 6

 Bài tập15 (B.2005) Cho y mx 1 (Cm)

x

= + Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (C ) bằng m 1

x +x = 2

 Bài tập 4 Tìm m để hàm số y=x3-3mx2+3 m( 2-1 x) -m3 có CĐ, CT Viết phương trình

đường thẳng qua CĐ, CT

 Bài tập 5 Cho hàm số y=x4-2x2+ -2 m có đồ thị là (C )m Chứng minh rằng với mọi tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị là (C ) là tam giác vuông cân m

 Bài tập 6 Tìm m để hàm số y 2x 1 2m

x 1

- đồng thời có CĐ, CT? Chứng minh rằng khi m thay đổi thì điểm cực đại của đồ thị hàm số chạy trên một đường thẳng cố định

 Bài tập 15 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-mx2+ -x 5m+1 có cực trị và khoảng cách giữa

2 điểm cực trị bé hơn 2

 Bài tập 16 Tìm m để đồ thị hàm số y= - +x3 3x2+3m m( +2 x) + có cực trị và khoảng 1

 Bài tập 22 Tìm m để đồ thị hàm số 1 3 2 ( )

3

= - + + - có cực trị trong khoảng (0;+¥)

 Bài tập 23 Tìm m để đồ thị hàm số y 1x3 1(3m 1 x) 2 2 m( 1 mx)

= - - + - có CĐ, CT tại x , x1 2 thỏa mãn 2

 Bài tập 38 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4-2m x2 2+1 có CĐ, CT tại A, B,C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4

 Bài tập 39 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4-2mx2-m-1 có CĐ, CT tại A, B,C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 3

 Bài tập 40 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4-2m x2 2+1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam

 Bài tập 46 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4-2mx2+m-1 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

 Bài tập 47 Tìm m để đồ thị hàm số 1 4 1 2

= - + + có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1

tròn đường kính AB có diện tích bằng 2p

 Bài tập 49 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3+(m-4 x) 2-4 m 1 x( - ) +4m+ có CĐ, CT và 1các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x

 Bài tập 50 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3x2+m x2 +m có CĐ, CT và các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng d : y 1x 5

 Bài tập 54 Tìm m để đồ thị hàm số y 1x3 1mx2 2 m( 2 x)

= - + - có điểm CT nằm trên đường thẳng : y 5x

265

 Bài tập 57 Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3x2 1

2

= - + + có điểm CĐ, CT ở về cùng một phía khác nhau của đường tròn (phía trong hoặc phía ngoài) ( ) 2 2 2

m

C : x +y +mx+2my+m - = 2 0

 Bài tập 58 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3x2+2 có điểm CĐ, CT ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong hoặc phía ngoài) ( ) 2 2 2

m

C : x +y -2mx-4my+5m - = 1 0

 Bài tập 59 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3+mx2+2m-1 có điểm CĐ, CT ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong hoặc phía ngoài) ( )C : x2+y2= 4

 Bài tập 60 Tìm m để đồ thị hàm số y=mx3-3mx2+(m+1 x) - có điểm CT tại một điểm 4

có hoành độ âm

 Bài tập 61 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3x2+m2+4m-2 có cực trị đồng thời tích các giá trị CĐ, CT đạt giá trị nhỏ nhất

 Bài tập 61 Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3x2 m2 m 1

2

= - + + - + có cực trị đồng thời tích các giá trị CĐ, CT đạt giá trị lớn nhất

16 +¥

1-

+ Dựa vào bảng biến thiên ta có: min f(x)= - khi 1 x= -1 và hàm số không có cực đại

= + -  =  êê = - Ïéê ùú

0;2

1f(0)

x -¥ -3 -12 -1 +¥

g '(x) + + 0 - 0

g(x) 4

16

- 2+ Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y= g(x) = x3-3x+ 2

x -¥ -3 -12 -1 +¥

g '(x) - + 0 - 0

g(x) 16 4

0 2+ Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f(x)=16 khi x= -3; min f(x)= khi x0 = -2

 Bài tập 3 (TN 03‐04) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 2 sin x 4sin x3

=

+ Tập xác định D=\{ }-2

=+ +

-=

- có đồ thị (C Tìm m) m sao cho đường tiệm cận xiên của đồ thị (C cắt các trục tọa độ tại hai điểm , m) A B sao cho SDOAB=18

=+ d) 2 2

1

x y x

+

=

-

x y

y x

b) Tìm m để đồ thị (C )m có tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho SDOAB= 4

d) Tìm m để đồ thị (C )m có tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho SDOAB= 4

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;0) và (1;+¥); hàm số nghịch biến trên ( )0;1 + Hàm số đạt cực đại tại x =0, yCÑ=y(0)= ; hàm số đạt cực tiểu tại 1 x =1, yCT= - 1+ Giới hạn: lim lim 4( 3 6 2 1)

-¥ = -¥ - + = -¥; lim lim 4( 3 6 2 1)

1 2

=

34

x y x

-=+

02

21

x

x x

é =

ë

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( )0;1 và ( )1;2 ; Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;0) và (2;+¥)

 Đồ thị hàm số:

b) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt ( ) (2 ) ( ) (2 )

x+ -x = m+ -m

 Hướng dẫn:

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

(1-m x) - -(1 m x) + =1 0

=

- có đồ thị ( )C M là một điểm bất kì thuộc đồ thị Tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt tại A và B

0 0

12

11

x

x x

+-

+

=+ có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại ,A trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O

a a

é =ê

=  =  ê = êë + Với a = 1

11

2x 3

-=+ (loại)

+ +

=

- ( )C Tìm MÎ( )C sao cho tiếp tuyến tại M của ( ) C cắt Ox Oy, tại ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân

=+ ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến tạo bởi đường thẳng y=2x+ một góc 1 450

ë

ê +ë

+ Gọi x0 là hoành độ tiếp tuyến ta có 0 0

0 0

( ) (1)

(2)

+

=

- ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến đi qua điểm A -( 6;5)

42

x

k k

-

+ Do đó ta có 2 tiếp tuyến là y= - - và x 1 1 7

y= - x+

- +

=

- ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến xuất phát từ điểm A( )2;2

x k

ìïï =

íï

ï = ïïî

=+ ( )C Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị qua ( )1;0

+ Gọi A a( );2 Î = Đường thẳng y 2 d qua A có hệ số góc k có dạng: y=k x( -a)+ 2

+ Đường thẳng d tiếp xúc với ( )C khi hệ sau có nghiệm:

=

- ( )C Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

2

1121

x

k x

ìï +

ïï ïïí

b f

( ) (1) (2)

- hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450

=+ có đồ thị ( )C

1 Tìm trên đồ thị ( )C những điểm mà tiếp tuyến d của ( )C tại đó:

 Bài tập 9 Tìm trên đồ thị ( ) : 2

1

x

C y x

=+ những điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

 Bài tập 16 Cho hàm số y=x3-3x C ( ) Tìm trên đường thẳng x =2 các điểm mà từ đó có thể

 Bài tập 19 Cho hàm số y x2 3x 2

x

= có đồ thị ( )C Tìm trên đường thẳng x =1 các điểm

M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( )C mà 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

 Bài tập 20 Cho hàm số y= -x3+3x+2 có đồ thị ( )C Tìm trên trục hoành các điểm M sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( )C mà trong đó 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

CHUYÊN ĐỀ 9 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VỚI ĐƯỜNG THẲNG

= 

ê =êë

a) B,C đối xứng nhau qua y= x b) OB.OC = -4

 Bài tập 11 Tìm m Î  để đường thẳng y=2mx cắt đồ thị y= - +x3 (2m+1 x) 2 tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho OA2+OB2+OC2 nhỏ nhất

 Bài tập 12 Giả sử d là đường thẳng đi qua A(-2;0) có hệ số góc là k Tìm tất cá các tham số

k Î  sao cho đường thẳng d cắt đồ thị y= -x3+3x-2 tại 3 điểm phân biệt A, B, M sao cho OBM

= ê = 

ê = êë

2 -¥ 2

3 -¥ 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt 2 2

13

m m

m m m

é =êê

ê <

ê

ê =êêë

 Hướng dẫn

+ YCBT  Phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt :

x - m+ x + m+ = (1) + Đặt t =x t2, ³ 0 YCBT t2-(3m+2)t+3m+ =1 0 có 2 nghiệm phân biệt dương và nhỏ hơn 4

ê =êë

 Bài tập 2 Cho đường thẳng D: y=x cắt (C): 3 2

2

x y x

+

=+ tại hai điểm ,A B phân biệt Tìm

m Î  để đường thẳng d:y= +x m cắt (C) tại 2 điểm ,C D phân biệt sao cho ABCD là hình bình hành

m m

é <

ê

 ê >êë + Gọi A x y( ; )1 1 , B x y( ; )2 2 Ta có ABCD là hình bình hành AB=DC

 Hướng dẫn

+ Phương trình hoành độ giao điểm 2

11

x

ìï ¹ïï

 íï = ïïî  D cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt

=+ có đồ thị ( )C và đường thẳng :d y= - +x m Tìm các giá trị

của m để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B Chứng minh rằng khi đó trung điểm I của AB luôn

d y=m Tìm các giá trị của m để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho AB =1

-=+ có đồ thị ( )C và đường thẳng :d y=mx- Tìm các giá 1

trị của m để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho ,A B cùng thuộc 1 nhánh của ( )C

 Hướng dẫn

111

x

mx

m x m x

ìï ¹ïí

+

=+ có đồ thị ( )C Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2

=+ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho S OAB = 3 (O là gốc tọa độ)

=

- có đồ thị ( )C Viết phương trình đường thẳng d đi qua ( )5;10

M hệ số góc là m sao cho d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B và M là trung điểm của AB

- Tìm m để trên đồ thị (C )m có 2 điểm P,Q cách đều

2 điểm A(-3;4 , B 3; 2) ( - và diện tích tứ giác APBQ bằng ) 24

 Bài tập 21 Giả sử d là đường thẳng đi qua A 0;1( ) và có hệ số góc m Tìm tất cả tham số thực m

 Bài tập 24 Tìm m để đường thẳng d: y= -2x+m cắt đồ thị y x 2

2x 1

3

-=+ tại 2 điểm phân biệt

M, Nsao cho tam giác OMN vuông tại O

 Bài tập 26 Gọi D là đường thẳng đi qua A 0; 2( - có hệ số góc ) k Tìm k để D cắt đồ thị 2x 1

ìïD = ïïï

íï = ïïïî và ( )Cm là đồ thị của hàm số

ìï >

íïD >

ïïî Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu (y yCÑ CT>0)

é =êê

= ê

= êë