Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy
WWW.VNMATH.COM 1 TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác. Ví dụ 1. ( DB-2004 ). Cho hàm số 422 21 m yx mx C (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1 2. Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân . GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2. Ta có : 32 22 22 0 '4 4 4 0 0(*) x yxmxxxm m xm - Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là : 44 0;1 ; ;1 ; ;1 A Bm mCm m . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân , thì đỉnh sẽ là A . - Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC. 44 ;; ;; 2;0AB m m AC m m BC m Tam giác ABC vuông khi : 222 22828 4BC AB AC m m m m m 24 4 210;11mm m m Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán . * Ta còn có cách khác - Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI = IB , với 4 0; I m 428 222282 0; ; ;0 I AmIAmIBm IBmIAIBmm . Hay 4 11mm Ví dụ 2 : Cho hàm số 12 24 mxxy (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1 2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. GIẢI. 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). 2. Ta có mxxy 44' 3 mx x y 2 0 0' - Hàm số có 3 cực trị y’ đổi dấu 3 lần phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt m > 0 Khi m > 0 , đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là )1;0(,)1;(,)1;( 22 CmmBmmA - Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. WWW.VNMATH.COM 2 Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung. Đặt I(0 ; y 0 ). Ta có : IC = R 2 0 1)1( 0 0 2 0 y y y )0;0(OI hoặc )2;0(I * Với )0;0(OI IA = R 2 51 2 51 1 0 021)1( 2422 m m m m mmmmm So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = 2 51 * Với I(0 ; 2) IA = R 021)1( 2422 mmmmm (*) Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0 Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m = 2 51 BÀI TẬP Câu1. Cho hàm số 42 21yx mx m (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m . 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 42 . Câu 2. Cho hàm số 422 yx 2mx 1 (1), trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. Câu 3. Cho hàm số 422 2 y xmxmm (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m . 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120 0 . Câu 4. Cho hàm số y = x 4 – 2m 2 x 2 + 1, (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác ABC bằng 32. Câu 5. Cho hàm số y = x 4 – 2m 2 x 2 + 1 (1) 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 2. Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Câu 6. Cho hàm số 42 yx 2x 2m có đồ thị (C m ) với m là tham số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).của hàm số khi m = 0 . WWW.VNMATH.COM 3 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị ( m C ) là một tam giác vuông cân. Câu 7. Cho hàm số 55)2(2 224 mmxmxy . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2.Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. Câu 8. Cho hàm số y = x 4 – 2mx 2 + m – 1 . (1) 1. Khảo sát và và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Câu 9. Cho hàm số mmmxxy 224 22 (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2 Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông. Câu 10. Cho hàm số 42 4 yx 2mx 2mm=- + + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1= 2. Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều. DẠNG 2 : Hai điểm cực trị và một điểm khác tao thành một tam giác. Ví dụ 1. Cho hàm số 32 2 2 33 1311yxx m xm 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị . 2. Ta có : 22 '3 63 1yxxm - Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : 22 '3 63 1yxxm =0 có hai nghiệm phân biệt 22 1 2 '99 1 0 9 0; 0(*) 33 1 3 33 1 3 mmm m xm m xm - Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi 11 2 2 ;; ; A xy Bxy là hai điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số . Nếu A, B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA vuông góc với OB : .0OAOB - Ta có : 11 2 2 12 12 ;; ; . 01OA x y OB x y OAOB x x y y - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có : 32 2 2 2 2 2 2 1 33 13 1 363 12 2 1 33 x xx m xm xxm mxm WWW.VNMATH.COM 4 - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 22 221ymx m - Do đó : 2 22 2 2 2 2 2 11 2 2 12 12 12 221;221.4 41 41ymx m ymx m yymxx m xx m - Áp dụng Vi-ét cho (1) 12 2 12 2 .1 xx x xm , thay vào : 42 2 22 2 24 12 41 2(1)(1)4 11yy m m m m m m m - Vậy : 22 24 2 24 12 12 0(1 )4 11 0 141 10xx yy m m m m m m m Hay : 2 224 2 42 1 1 10 134 4 0; * 3 6 4430 2 2 m m m mmm m mm m Kết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O . Ví dụ 2. Cho hàm số 32 331 13 m yx x mx m C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 1 . 2. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 . GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). 2. Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 2 – 2x + (1 – m) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 0' 1 – (1 – m) > 0 m > 0 (*) - Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT . Gọi 11 2 2 ;; ; A xy Bxy là hai điểm cực trị . Với 12 , x x là hai nghiệm của phương trình 2 (21) x xm = 0 (1) . - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được : 222' 3 1 3 mmxy x y . Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d : y = -2mx + 2m + 2 . 11 2 2 222; 222ymxmymxm . - Ta có : 22 22 21 12 21 21 21 ;2 ( ) 4 4 1ABxxmxx AB xx mxx xx m - Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì : 2 41 |22| m m h - |1||| 41 |22| .41|| 2 1 . 2 1 12 2 2 12 mxx m m mxxhABS - Theo giả thiết : 2 2 4.12 14; 14 1 mmm mm 32 2 24013401mmm m mm m Kết luận : với m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán . BÀI TẬP Bài 1. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + m , (1). WWW.VNMATH.COM 5 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. Bài 2. Cho hàm số 322 3 33(1)yx mx m xm m (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị và các điểm cực trị đó với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O Câu 3. Cho hàm số 32 1 23 3 yxxx (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) . 2. Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. Câu 4. Cho hàm số 32 2 2 33 131yx x m xm (1), với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m . 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Câu 5. Cho hàm số 23 23 mxxxy (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. DẠNG 3 : Giao điểm của các đồ thị và một điểm khác tao thành tam giác. Ví dụ 1.Cho hàm số 32 34yx x C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C ( B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2. Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y = k(x+1) = kx+ k . - Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x 3 – 3x 2 + 4 = kx + k x 3 – 3x 2 – kx + 4 – k = 0 (x + 1)( x 2 – 4x + 4 – k ) = 0 044)( 1 2 kxxxg x có ba nghiệm phân biệt g(x) = x 2 – 4x + 4 – k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 1 (*)90 09 0 0)1( 0' k k k g Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C .Với A(-1;0) , do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0. - Gọi 11 2 2 ;; ; B xy Cxy với 12 ; x x là hai nghiệm của phương trình : 2 44 0xx k . Còn 11 2 2 ;ykxkykxk . - Ta có : 2 22 21 21 21 21 ;11 B C x xkx x BC x x k x x k WWW.VNMATH.COM 6 - Khoảng cách từ O đến đường thẳng d : 2 1 k h k - Vậy theo giả thiết : 23 3 3 3 2 11 1 11 2121 22 2 4 4 1 k ShBC k k k k k k k Đáp số : 3 1 4 k , thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán . Ví dụ 2. Cho hàm số 2 m mx yH x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m = 1 2. Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= 0 cắt m H tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 8 3 . GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (H). 2. Đường thẳng d viết lại : 1 2 y x. Để d cắt m H tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình: 0222)()2( 2 1 2 2 mxxxgxx x xm có hai nghiệm phân biệt khác - 2 2 16 17 024 0)22(81 0)2( 0 m m m m g (*) - Gọi 22 1 1 2 2 2112 21 21 21 11 ;;; ; 2 22 Ax xBx x ABxxxx AB xx xx xx - Khoảng cách từ O đến d là h , thì : 22 1 1 22 22 h - Theo giả thiết : 21 11 11117163 .2. 22 4428 22 m SABhxx a Hay : 17 11716 3 1 ;17163 16 42 8 2 16 8 m m mm m , thỏa mãn điều kiện (*) . - Đáp số : m = 2 1 . Ví dụ 3. Cho hàm số 21 1 x yC x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 . GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) . WWW.VNMATH.COM 7 2. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình : )1(01)4(2)()1(2 1 12 2 mxmxxgxmx x x có hai nghiệm phân biệt khác -1 01)1( 08 0)1( 0)1(8)4( 22 g m g mm 2 80mmR . Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B - Gọi : 11 2 2 ;2 ; ;2 A xxmBxxm . Với : 12 , x x là hai nghiệm của phương trình (1) - Ta có : 1 22 21 2 21 21 21 ;2 4 5ABxx xx AB xx xx xx . - Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , thì khoảng cách từ O đến d là h : 2 5 21 mm h - Theo giả thiết : 21 2 11 11 .5 83 22 224 5 xx SABh m Vậy : 22222 8 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)mmmm Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 4 . Cho hàm số 32 234 m yx mx m x C (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 2 . 2. Tìm m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ). GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2. Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình : 32 2 2 0 2344;220 220 x xmxmx x xxmxm xmxm 2 '2012(*)mm m m Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình : 2 2 '20 220 12;2 20 mm xmxm m mm m - Ta có : 22 11 22 2121 21 21 21 ;4; ;4 ; 2Bxx Cxx BC xxxx BC xx xx xx -Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d . h là khoảng cách từ M đến d thì : 21 21 134 11 2. 2.2 22 2 hSBChxxxx - Theo giả thiết : S = 4 22 21 4; 2 ' 4; 2 4 6 0xx mm mm Kết luận : với m thỏa mãn : 23 3mmm ( chọn ). Bài 5 . Cho hàm số 32 23(1)2yx mx m x (1), m là tham số thực WWW.VNMATH.COM 8 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m . 2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :2yx tại 3 điểm phân biệt (0;2)A ; B; C sao cho tam giác M BC có diện tích 22 , với (3;1).M Giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với () là: 32 23(1)2 2xmx mx x 2 02 () 2 3 2 0(2) xy gx x mx m Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0. 3 2 12 023 023 0)0( 0' 2 m mm m mm g Gọi 11 ; B xyvà 22 ;Cx y , trong đó 12 , x x là nghiệm của (2); 11 2yx và 12 2yx Ta có 312 ;( ) 2 hdM 2 2.2 2 4 2 MBC S BC h Mà 222 2 21 21 21 12 ()()2()4 B Cxx yy xx xx = 2 8( 3 2)mm Suy ra 2 8( 3 2)mm=16 0m(thoả mãn) hoặc 3m (thoả mãn) BÀI TẬP. Bài 1. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3). Tìm m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng 28 . Bài 2. Cho hàm số 32 23(1)2 y xmx mx (1), m là tham số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m . 2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :2yx tại 3 điểm phân biệt (0;2)A ; B; C sao cho tam giác M BC có diện tích 22, với (3;1).M Bài 3. Cho hàm số y = 1 12 x x (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ) Bài 4. Cho hàm số 2 x xm y có đồ thị là )( m H , với m là tham số thực. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 1 m . 2.Tìm m để đường thẳng 0122: yxd cắt )( m H tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là . 8 3 S Câu 5. Cho hàm số yx x 32 34 có đồ thị là (C). 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. WWW.VNMATH.COM 9 2. Gọi k d là đường thẳng đi qua điểm A (1;0) với hệ số góc k k() ¡ . Tìm k đểđường thẳng k d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Câu 6 . Cho hàm số yx x 32 32 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 . Câu 7 . Cho hàm số 21 1 x y x (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng d: yxm cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O. DẠNG 4: Tiếp tuyến cùng với các trục tọa đô tạo thành tam giác. Ví dụ 1. (KA-2009). Cho hàm số 21 1 232223 x yC xx 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tai hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O . GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại 00 0 0 2 0 1 ;: 23 M xy d y xx y x - d cắt trục Oy tại B : 2 00 00 00 22 2 0 00 0 2286 1 23 23 23 23 B xx xx yxy x xx x - d cắt trục Ox tại A : 2 000 00 0 2 00 0 2242 1 0 23 23 23 AA A xxx xx y xx x xx x - Tam giác OAB cân 2 2 2 00 00 0 00 22 00 00 43 13 1 21 ; 23 23 23 23 xx xx x xx OA OB xx xx 0 00 2 000 00 00 2 00 00 10 2 0 ;3123;220; 31 3 20 (2 3) 2 3 x xy xxx xx xx xy xx Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 12 2 0; ; 2;0 3 MM Ví dụ 2. (KD-2007). Cho hàm số 2 1 x y C x WWW.VNMATH.COM 10 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 1 . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Gọi 0 00 0 0 2 ; 1 x Mxy C y x - Tiếp tuyến tại M là d : 2 2 0 000 2 0 0 2 2 2120 1 1 x yxx xxyx x x - d cắt Ox tạiA. )0;(0)1( 1 2 )( )2( 2 0 2 0 2 0000 0 0 0 2 0 xAxxxxxx x x xx x AAA - d cắt Oy tại điểm B : 22 00 0 0 222 0 000 22 2 2 00; 1 111 BB xx x yxyB x xxx - Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, h là khoảng cách từ O đến d thì : 4)1( |2| 4 0 2 0 x x h 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 2 2 0 2 0 2 0 )1( 4)1( )1( 4 )1( 2 ; x x x x x xAB x x xAB Vậy : 4 2 4 0 0 2 0 0 22 4 00 0 2 14 11 1 22 4 11 14 x x x SABh x xx x Cho nên 22 00 2 00 00 4 00 22 00 00 00 11 21210 41 1 2 21210 2 xy xx xx xx xy xx xx Do đó có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 12 1 1;1 ; ; 2 2 MM Ví dụ 3: Cho hàm số 1 23 xxy có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại O. GIẢI. 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2. Gọi 1)();( 2 0 3 0000 xxyCyxM . - Tiếp tuyến tại M là d: )1())(23( 2 0 3 000 2 0 xxxxxxy [...]... cho tiếp tuyến của (Cm) tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 3 DẠNG 5 : Tiếp tuyến cùng với các tiệm cận tạo thành tam giác Ví dụ 1 Cho hàm số y 2x 3 x2 C 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2 Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất Với I là giao hai tiệm cận... tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất Bài 2 Cho hàm số y 3x 2 có đồ thị (C) x2 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường... điểm của AB Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 2x 0 3 1 2 2 S = IM (x 0 2) x 2 2 (x 0 2) (x 2)2 2 0 0 2 Dấu “=” xảy ra khi (x 0 2)2 x 0 1 1 (x 0 2 ) 2 x 0 3 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) BÀI TẬP Bài 1 Cho hàm số y 2x 3 x 2 1... - 5 BÀI TẬP Câu 1 Cho hàm số y = 2x 1 x 1 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng Bài 2 Cho hàm số: y x 1 2( x 1) 1 6 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác. .. x0 1 x0 1 x0 1 - Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì : 1 1 x0 1 2 xA x0 y0 xA 2 x0 1 A 2 x0 1;1 - Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB x 1 IA 2 IB 2 (2 x0 2) 2 0 x 1 1 0 2 x0 x 0 x0 x0 1 1 2 x0 2 1 1 1 2 x0 2 1 x 0 y0 0 2 x0 2 x0 2... x 2 WWW.VNMATH.COM 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất GIẢI 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 1 2x 3 2 Ta có: M x 0 ; 0 , x 0 2 , y' (x 0 ) x0 2 ... hàm số y x 3 3x 2 m (1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0 2 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 2 GIẢI: 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2 Với x0 1 y 0 m 2 M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến tại M là d: y (3x02 6 x0 )( x x0 ) m 2 d: y = -3x... 2 2 2 1 y0 2 2 2 -Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán 1 1 M1 2 ; 2 2 ; M 2 2 ; 2 2 2 2 Ví dụ 2.(DB-2007) Cho hàm số y x 1 1 x 1 x 1 C 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2 Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân GIẢI 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2.Gọi d là tiếp tuyến của... 3x0 2 x0 2x 3 x 2 1 A 0 2 0 3x 2 x ; 0 0 0 2 3 2 3 - d cắt trục Oy tại B: y B (3x0 2 x0 )(0 x0 ) ( x0 x0 1) y B 2 x0 x02 1 3 2 B(0 ; 2 x0 x0 1) - Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB 3 2 2 x0 x0 1 3 2 2 x0 x0 1 2 3 x0 2 x0 3 2x x 2 1 3 2 0 0 2 x0 x0 1 2 3 x0 2 x0 3 2 2 x0 x 0 1 0 (1) 2 3x 0 ... (C) của hàm số 2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất 14 . WWW.VNMATH.COM 1 TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác. Ví dụ 1. ( DB-2004 ). Cho hàm số 422 21 m yx. trị tạo thành một tam giác vuông cân , thì đỉnh sẽ là A . - Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì. Tam giác ABC vuông khi : 222 22828 4BC AB AC m m m m m 24 4 210;11mm m m Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán . * Ta còn có cách khác - Tam giác