Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi sử dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số trong chương tr

Trong khi đó để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số nói trên một dụng cụ không thể thiếu là đạo hàm.. Phương pháp đạo hàm là một phương pháp rất tốt để giải quyết hầu hết những

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Một là: Trong nhiều năm gần đây, nền giáo dục đang có nhiều thay đổi và chuyển biến rất mạnh mẽ như: Điều chỉnh nội dung môn học, giảm tải chương trình môn học, thay đổi cách đánh giá học sinh, thay đổi cách thi cử, thay đổi các tuyển sinh, thay đổi môn thi, thay sách giáo khoa, thay đổi ban học và sắp tới áp dụng trương trình giáo dục tổng thể chính sự chuyển biến đó đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách học đồng thời kéo theo giáo viên cũng phải tự thay đổi cách dạy cho phù hợp Để làm được điều đó đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian tự trau dồi chuyên môn mới đáp ứng được yêu cầu trong quá trình dạy học Giáo viên không chỉ đơn thuần dạy phương pháp cho học sinh mà phải chỉ

ra được những lỗi thường mắc của học sinh khi giải toán Từ đó học sinh hiểu rõ nguồn gốc của vấn đề

Hai là: Môn toán học là môn học vô cùng khó với nhiều học sinh Trong thâm tâm các em thường sợ học môn toán bởi các lí do như sau: Một là môn toán đòi hỏi tư duy cao, học sinh không chỉ nhớ kiến thức đã học mà còn phải biết vận dụng kiến thức đó một cách thành thạo Hai là các em cho rằng môn toán là môn học khô khan, đơn thuần chỉ là các phép tính máy móc với những con số nên không tạo được hứng thú cho các em khi học Ba là các em thấy học toán không có tác dụng nhiều cho học môn khác và không ứng dụng được nhiều vào cuộc sống Vì vậy, để nâng cao được chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục môn toán nói riêng trước hết phải làm thông tư tưởng học sinh Từ đó các

em có thái độ yêu thích môn toán và thấy được vai trò của môn toán với môn học khác và cuộc sống

Ba là: Trong các đề thi tốt nghiêp trung học phổ thông quốc gia hiện nay nội dung hàm số và các bài toán liên quan đến hàm số chiếm tỉ lệ rất cao do đó nhu cầu giải quyết các bài toán hàm số là rất thiết yếu với đa số học sinh Trong khi đó để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số nói trên một dụng cụ không thể thiếu là đạo hàm Phương pháp đạo hàm là một phương pháp rất tốt

để giải quyết hầu hết những bài toán liên quan đến hàm số trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia hiện nay Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả, dễ sử dụng và phù hợp với nhiều mức độ câu hỏi cũng như phù hợp với nhiều đối tượng học sinh

Bốn là: Hiện nay đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán dưới dạng trắc nghiệm nên chỉ cần một lỗi nhỏ sẽ dẫn đến lựa chọn sai đáp án Trong khi

đó thực tế khi học sinh áp dụng đạo hàm để giải các bài tập liên quan đến hàm

số thường gặp phải những khó khăn và chính những khó khăn đó nhiều học sinh không vượt qua được nên rất dễ dẫn đến những sai lầm Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số Các em thường mắc những sai lầm mà chính các em sẽ không tự mình nhận ra được và tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy

Chính vì những lí do như trên nhằm giúp học sinh nắm trắc các kiến thức

về đạo hàm và tránh được những lỗi thường mắc của học sinh khi sử dụng đạo

hàm để giải các bài tập liên quan đến hàm số, từ đó rèn luyện cho học sinh kỹ

năng ứng dụng đạo hàm trong giải toán nên tôi lựa chọn đề tài: "Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi sử dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số trong chương trình lớp 12 trường THPT Quảng Xương

4 " để nghiên cứu Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học

trường THPT Quảng Xương 4 và hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến được hoàn chỉnh hơn

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Chỉ ra cho học sinh thấy những lỗi thường mắc phải khi sử dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số Từ đó giúp học sinh hiểu đúng bản chất

và nguồn gốc của vấn đề

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán ứng dụng đạo hàm

Từ đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh

- Đề tài còn là tài liệu để học sinh và đồng nghiệp nghiên cứu và tham khảo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Đề tài nghiên cứu cách ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số (chương I, giải tích lớp 12)

- Đề tài chỉ ra những lỗi thường mắc của học sinh khi sử dụng đạo hàm và cách khắc phục những lỗi đó

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài như các định nghĩa, các định lí và các quy tắc làm cơ sở lý thuyết cho quá trình làm đề tài

2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.

Điều tra thực nghiệm từ học sinh và các đồng nghiệp nhằm thu thập thông tin, bổ sung cho kết quả nghiên cứu để tăng độ tin cậy

3 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

Các kết quả, số liệu thu được sẽ được thống kê, xử lý, so sánh nhằm thấy được hiệu quả của đề tài nghiên cứu

4 Phương pháp đối chứng.

So sánh chất lượng giáo dục trước khi thực nghiệm đề tài và sau khi thực nghiệm đề tài So sánh các đối tượng thực nghiệm đề tài với nhau (lớp 12B và 12I)

5 Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

Tìm hiểu chắt lọc các thông tin qua: Sách nâng cao, sách tham khảo, mạng internet

B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận về các dạng toán liên quan đến hàm số.

a Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.

* Định nghĩa: [1]

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,

x1 < x2  f(x1) < f(x2)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,

x1 < x2  f(x1) > f(x2)

* Định lí xét tính đơn điệu của hàm số: [1]

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K (Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Nếu f '(x) > 0 với  x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

- Nếu f '(x) < 0 với  x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

- Nếu f '(x) = 0 với  x K thì hàm số f(x) không đổi trên K

* Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến: [3]

+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x)

+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D

b Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức.

Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [ a b; ] (tức là f(x) liên tục trên [ a b; ] và f '(x) >

0 với " Î x ( a b; )) thì với " x x1, 2Î [ a b x; ,] 1> x2 Þ f x( )1 > f x( )2 [1].

c Dạng 3: Bài toán tính đạo hàm của hàm số.

Hàm số hợp yu có đạo hàm 



y u u (*)[2]

+ công thức (*) chỉ đúng với số mũ  là hằng số

+ Nếu  không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương

d Dạng 4 Tìm cực trị của hàm số.

* Định lí 1: [1]

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0  h x; 0 h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h > 0

+ Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f '(x) < 0 trên khoảng (x x0; 0h)

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

+ Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f '(x) > 0 trên khoảng (x x0; 0h) thì

x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

* Định lí 2: [1]

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 h x; 0h), với h > 0 Khi đó:

+ Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

+ Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

e Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.

* Định nghĩa: [1]

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu:

( ) ,

: ( )

max ( )

D

M

f x     





- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu:



 





( ) ,

: ( )

min ( )

D

* Chú ý:

- Nếu f x( ) m ,  x D (hay f x( ) M ,  x D) nhưng không x0D f x: ( 0) m

(hay x0D f x: ( 0) M) thì dấu "=" không xảy ra Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D

- Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương

f Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C):

+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình:

y = f '(x0).(x - x0) + y0[2]

+ Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình:

y = k.(x - x1) + y1 Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:







'( )

f x k x x y

f x k (*,*)[3]

* Chú ý:

Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn một tiếp tuyến

2 Những lỗi thường gặp khi giải toán

a Mắc lỗi trong xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa

về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số

b Mắc lỗi trong chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến

c Mắc lỗi trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực

d Mắc lỗi trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b)

e Mắc lỗi trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương

f Mắc lỗi trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số

II THỰC TRẠNG VỀ ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4

Hiện tại sau một số lần thi thử THPT quốc gia đa số học sinh khi gặp các bài toán về hàm số và áp dụng đạo hàm để giải các bài toán đó các em thường gặp phải những khó khăn nhất định Chính những khó khăn đó nhiều học sinh không vượt qua được nên rất dễ dẫn đến những lỗi và lựa chọn phương án sai, các lỗi đó thường là:

- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D

- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TẠI TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4

Trong quá trình thực tế giảng dạy tại trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 tôi nhận thấy các em học sinh cho rằng nội dung hàm số là nội dung dễ nên các em rất chủ quan khi giải các bài tập hàm số Chính tâm lí chủ quan đó nên các em rất hay mắc các lỗi khi giải toán hàm số Sau đây là tổng hợp các ví

dụ thực tế tôi giảng dạy mà đa số học sinh trường trunh học phổ thông Quảng Xương 4 thường mắc lỗi khi giải toán

1 Mắc lỗi khi xét tính đơn điệu của hàm số.

* Ví dụ minh họa 1:

Cho hàm số   



1 ( )

1

x

y f x

x Khoảng đơn điệu của hàm số là:

A Hàm số đồng biến trên (- ¥ -; 1) ( 1;È - +¥ )

B Hàm số nghịch biến trên (- ¥ -; 1) ( 1;È - +¥ )

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ )

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ ).

+ Một số học sinh trình bày như sau:

Tập xác định: D =¡ \{ } - 1

2

x

Bảng biến thiên:

x

y

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ -; 1) ( 1;È - +¥ ) nên chọn đáp án A

+ Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận

của bài toán Chú ý rằng: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi

x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1

= - 2 Î D và x2 = 0Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2)

+ Lời giải đúng là:

Tập xác định: D =¡ \{ } - 1

2

x

B ng bi n thiên:ảng biến thiên: ến thiên:

x

y

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ )

Nên đáp án đúng là C

 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc

xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

* Ví d ụ minh h ọ a 2 :

yf x  x   x Khoảng đơn điệu của hàm số là:

A Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2), nghịch biến trên các khoảng ( 2;- - 2) và ( 2; 2)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 2; 2), đồng biến trên các khoảng ( 2;- - 2) và ( 2; 2)

-1

+¥

- ¥

1

1

-1

+¥

- ¥

1

1

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 2)- và nghịch biến trên khoảng ( 2; 2)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 2)- và đồng biến trên khoảng ( 2; 2)

+ Một số học sinh trình bày như sau:

Tập xác định: D = - [ 2;2]

Ta có: ' 1 2

4

x y

x

 



' 0 1 2 0

4

x y

x



2

x x

 

 





Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên m t d u, vì f '(0) > 0 nên ta có b ng bi n thiên nh sau:ột dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: ấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: ảng biến thiên: ến thiên: ư sau:

x

-y

Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2), nghịch biến trên các khoảng ( 2;- - 2) và ( 2; 2) Nên chọn đáp án A

+ Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên

đoạn é - 2;- 2ù

ë û giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống – 1 Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số

+ Lời giải đúng là:

Tập xác định: D = - [ 2;2] Ta có: ' 1 2

4

x y

x

 



2

4

x y

x

0 4

4

x





  x 2 Trên t ng kho ng gi a hai i m t i h n liên ti p nhau, f '(x) luôn gi nguyênảng biến thiên: ữ điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên ểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên ới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên ạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên ến thiên: ữ

m t d u, vì f '(0) > 0 nên ta có b ng bi n thiên nh sau:ột dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: ấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: ảng biến thiên: ến thiên: ư sau:

x

y ' + 0

-y

Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 2)- và nghịch biến trên khoảng ( 2; 2) Nên chọn đáp án đúng là C

2 2 1

3

2 2 1

1 -3

 Khi sử dụng định lí để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là

điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần Điều ngược lại nói chung là không đúng.

* Ví d ụ mi nh họa 3 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- 1

đồng biến trên ¡

A - 3< m < 3 B - £3 m £ 3 C - 3£ m £ 3 D - <3 m <3 + Một số học sinh trình bày như sau:

Tập xác định: D = ¡

y ' = 3x2 - 2mx + 1 Hàm số đồng biến trên ¡ Û y'>0 , x " Î ¡

0 ' 0

a

ì >

ïï

Û í

ïD <

0

3 0

3 m

ì >

ïï

Û í ï

- <

ïî Û - 3< m < 3 Nên chọn đáp án A.

+ Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên ¡ , nhưng y ' = 3x2

0 , x ¡

³ " Î , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), f x'( )³ 0 , x " Î ( ; )a b và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

+ Lời giải đúng là:

Hàm số đồng biến trên ¡ Û y'³ 0 , x " Î ¡ 0

' 0

a

ì >

ïï

Û í ïD £ ïî

2

0

3 0

3

m

ì >

ïï

Û í ï

- £

ïî Û - 3£ m £ 3 Vậy đáp án đúng là C.

 Kết luận: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập xét tính đơn

điệu của hàm số là: Kết luận khoảng đơn điệu sai, không chú ý đến các điểm tới hạn để xét dấu đạo hàm, quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần nên ngược lại không đúng.

2 Mắc lỗi khi chứng minh bất đẳng thức

 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh

thường mắc phải lỗi là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm

số để vận dụng.

Ví dụ minh họa 4:

Trong các bước chứng minh: tanx > x, với 0;

2

x æ ö ç p ÷

" Î ç ç è ÷ ÷ ø Hãy chỉ ra sai lầm

ở bước nào?

Bước 1: TXĐ: 0;

2

x æ ö ç p ÷

" Î ç ç è ÷ ÷ ø

Bước 2: Xét hàm số f(x) = tanx - x, với 0;

2

x æ ö ç p ÷

Î ç ç è ÷ ÷ ø

Bước 3: Ta có: f '(x) = cos12x 1 tan2x 0 , x æ ç ç ç0; 2ö ÷ ÷ ÷

p

- = > " Î , suy ra hàm số f(x)

đồng biến trên khoảng 0;

2

æ ö p

ç ÷

ç ÷

ç ÷

è ø

2

" Î Þ > Þ > Û - > hay tanx > x, với 0;

2

x æ ö ç p ÷

" Î ç ç è ÷ ÷ ø

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4 + Phân tích: Các bước giải trên có vẻ đúng nên học sinh rất khó tìm ra phương

án chọn, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;

2

æ ö p

ç ÷

ç ÷

ç ÷

è ø thì vì sao từ x > 0 Þ f(x) > f(0) ?

Sai sót ở đây là 0 0;

2

æ ö p

ç ÷

Ï ç ç è ÷ ÷ ø Vậy đáp án lựa chọn là D.

Nhớ rằng: Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [ a b; ] (tức là f(x) liên tục trên

[ a b; ] và f '(x)> 0 với " Î x ( a b; )) thì với " x x1 , 2Î [ a b x; ,] 1> x2Þ f x( ) 1 > f x( ) 2

+ Lời giải đúng là:

Xét hàm số f(x) = tanx - x, với 0;

2

x Î é ê p÷ ö ÷

ê ø

ë

2

1

cos x x x 2

é p÷ ö ê

- = ³ " Î ÷

ê ø

ë , dấu "=" xảy ra chỉ tại

x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0;

2

é p÷ ö

ê ÷

ê ø

ë

Từ x > 0 Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với 0;

2

x æ ö ç p ÷

" Î ç ç è ÷ ÷ ø

 Các em cũng hay mắc những lỗi khi vận dụng sai tính chất của các hàm

đồng biến, nghịch biến.

* Ví d ụ minh h ọ a 5 : Trong các bước chứng minh: x e. x 1

e

> - , với x Î - ( 1;+¥ ) Hãy chỉ ra sai lầm ở bước nào?

Bước 1: TXĐ: x Î - ( 1;+¥ )

Bước 2: Xét hàm số h(x) = x.ex, với x Î - ( 1;+¥ )

Bước 3: Ta có các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên ¡ Suy

ra hàm số h(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ Bước 4: Vì h(x) = x.ex là hàm đồng biến nên từ x > - 1 Þ f(x) > f(-1) hay

1

. x

x e

e

>

-A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

+ Phân tích:

Các bước giải trên có vẻ đúng nên học sinh rất khó tìm ra phương án chọn Lời giải trên sai lầm ở bước 3 là sử dụng tính chất: Tích của hai hàm đồng

biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương Nên chọn C.

+ Lời giải đúng là:

Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ 0," ³ - x 1, dấu "=" xảy ra

chỉ tại x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ - 1;+¥ ) Từ x > - 1

Þ f(x) > f(-1) hay x e. x 1

e

> -

 Kết luận: Các lỗi thường gặp của học sinh khi giải bài tập chứng minh

bất đẳng thức là: Không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm

số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.

3 Mắc lỗi khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm.

 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm

* Ví d ụ minh h ọ a 6 :

Đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x là:

2 (2 1)x

x x + - B y' = 1

.(2 1)x

x x + -

C ' (2 1) ln(2 1)

x

D ' (2 1) ln(2 1) 2

x

+ Một số học sinh trình bày như sau:

Ta có y' = x x(2 +1)x -1 (2x +1) '=2 (2x x +1)x -1 Nên chọn đáp án A.

+ Phân tích:

Lời giải trên đã vận dụng công thức ( )u a '= a.u a-1 'u Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số

+ Lời giải đúng là:

Điều kiện: 1 , 0

2

x > - x ¹ (khi đó y > 0) Từ y = (2x+1)x

lny x.ln(2x 1)

Þ = + Þ (ln ) 'y = ( x.ln(2x +1) ') ' ln(2 1) 2

x

+

2 ' (2 1) ln(2 1)

2 1

x

Nên chọn đáp án đúng là D.

 Mắc lỗi khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Các em hay mắc phải lỗi ở dạng này là áp dụng công thức

( )u a '= a.u a-1 'u , a Î ¡ , nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.

* Ví dụ minh họa 7:

Cho hàm số y =3 x2 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1 là