Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi sử dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số trong chương tr

A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một là: Trong nhiều năm gần đây, giáo dục có nhiều thay đổi chuyển biến mạnh mẽ như: Điều chỉnh nội dung môn học, giảm tải chương trình mơn học, thay đổi cách đánh giá học sinh, thay đổi cách thi cử, thay đổi tuyển sinh, thay đổi môn thi, thay sách giáo khoa, thay đổi ban học tới áp dụng trương trình giáo dục tổng thể chuyển biến địi hỏi học sinh phải thay đổi cách học đồng thời kéo theo giáo viên phải tự thay đổi cách dạy cho phù hợp Để làm điều địi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian tự trau dồi chuyên môn đáp ứng yêu cầu q trình dạy học Giáo viên khơng đơn dạy phương pháp cho học sinh mà phải lỗi thường mắc học sinh giải tốn Từ học sinh hiểu rõ nguồn gốc vấn đề Hai là: Mơn tốn học mơn học vơ khó với nhiều học sinh Trong thâm tâm em thường sợ học mơn tốn lí sau: Một mơn tốn địi hỏi tư cao, học sinh không nhớ kiến thức học mà phải biết vận dụng kiến thức cách thành thạo Hai em cho mơn tốn mơn học khơ khan, đơn phép tính máy móc với số nên không tạo hứng thú cho em học Ba em thấy học tốn khơng có tác dụng nhiều cho học mơn khác khơng ứng dụng nhiều vào sống Vì vậy, để nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục mơn tốn nói riêng trước hết phải làm thơng tư tưởng học sinh Từ em có thái độ u thích mơn tốn thấy vai trị mơn tốn với mơn học khác sống Ba là: Trong đề thi tốt nghiêp trung học phổ thông quốc gia nội dung hàm số toán liên quan đến hàm số chiếm tỉ lệ cao nhu cầu giải toán hàm số thiết yếu với đa số học sinh Trong để giải tốn liên quan đến hàm số nói dụng cụ thiếu đạo hàm Phương pháp đạo hàm phương pháp tốt để giải hầu hết toán liên quan đến hàm số đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Ưu điểm phương pháp hiệu quả, dễ sử dụng phù hợp với nhiều mức độ câu hỏi phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Bốn là: Hiện đề thi trung học phổ thông quốc gia mơn tốn dạng trắc nghiệm nên cần lỗi nhỏ dẫn đến lựa chọn sai đáp án Trong thực tế học sinh áp dụng đạo hàm để giải tập liên quan đến hàm số thường gặp phải khó khăn khó khăn nhiều học sinh khơng vượt qua nên dễ dẫn đến sai lầm Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em khơng tự nhận tự khắc phục khơng có hướng dẫn người thầy Chính lí nhằm giúp học sinh nắm trắc kiến thức đạo hàm tránh lỗi thường mắc học sinh sử dụng đạo hàm để giải tập liên quan đến hàm số, từ rèn luyện cho học sinh kỹ ứng dụng đạo hàm giải tốn nên tơi lựa chọn đề tài: "Phân tích lỗi thường gặp học sinh sử dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến hàm số chương trình lớp 12 trường THPT Quảng Xương " để nghiên cứu Tôi mong đóng góp ý kiến hội đồng khoa học trường THPT Quảng Xương hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến hồn chỉnh II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Chỉ cho học sinh thấy lỗi thường mắc phải sử dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến hàm số Từ giúp học sinh hiểu chất nguồn gốc vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn ứng dụng đạo hàm Từ nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh - Đề tài tài liệu để học sinh đồng nghiệp nghiên cứu tham khảo III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu cách ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến hàm số (chương I, giải tích lớp 12) - Đề tài lỗi thường mắc học sinh sử dụng đạo hàm cách khắc phục lỗi IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài định nghĩa, định lí quy tắc làm sở lý thuyết cho trình làm đề tài Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Điều tra thực nghiệm từ học sinh đồng nghiệp nhằm thu thập thông tin, bổ sung cho kết nghiên cứu để tăng độ tin cậy Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Các kết quả, số liệu thu thống kê, xử lý, so sánh nhằm thấy hiệu đề tài nghiên cứu Phương pháp đối chứng So sánh chất lượng giáo dục trước thực nghiệm đề tài sau thực nghiệm đề tài So sánh đối tượng thực nghiệm đề tài với (lớp 12B 12I) Phương pháp nghiên cứu tài liệu Tìm hiểu chắt lọc thông tin qua: Sách nâng cao, sách tham khảo, mạng internet B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận dạng tốn liên quan đến hàm số a Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số * Định nghĩa: [1] + Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) + Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) * Định lí xét tính đơn điệu hàm số: [1] Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) - Nếu f '(x) > với ∀x∈ K hàm số f(x) đồng biến K - Nếu f '(x) < với ∀x∈ K hàm số f(x) nghịch biến K - Nếu f '(x) = với ∀x∈ K hàm số f(x) khơng đổi K * Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến: [3] + Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f(x) - g(x) + Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x)g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f(x)g(x) f(x) g(x) hai hàm số không dương D b Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Nếu f(x) đồng biến đoạn [a; b ] (tức f(x) liên tục [a; b ] f '(x) > với " x Ỵ ( a; b) ) với " x1 , x2 Î [a; b ], x1 > x2 Þ f (x1 ) > f (x ) [1] c Dạng 3: Bài tốn tính đạo hàm hàm số Hàm số hợp y = uα có đạo hàm y/ = α.uα −1.u' (*)[2] + công thức (*) với số mũ α số + Nếu α không nguyên cơng thức (*) u nhận giá trị dương d Dạng Tìm cực trị hàm số * Định lí 1: [1] Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x0} , với h > + Nếu f '(x) > khoảng (x0 − h; x0) f '(x) < khoảng (x0;x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) + Nếu f '(x) < khoảng (x0 − h; x0) f '(x) > khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) * Định lí 2: [1] Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x0 − h; x0 + h) , với h > Khi đó: + Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu + Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại e Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số * Định nghĩa: [1] Cho hàm số y = f(x) xác định tập D - Số M gọi giá trị lớn hàm số nếu:  f(x) ≤ M , ∀x∈ D M = max f(x) ⇔  D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M - Số m gọi giá trị nhỏ hàm số nếu:  f(x) ≥ m , ∀x∈ D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m m= f(x) ⇔  D * Chú ý: - Nếu f(x) ≥ m , ∀x∈ D (hay f(x) ≤ M , ∀x∈ D ) không ∃x0 ∈ D : f(x0) = m (hay ∃x0 ∈ D : f(x0) = M ) dấu "=" khơng xảy Khi đó, không tồn giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D - Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) cần chuyển đổi điều kiện để tốn tương đương f Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến hàm số Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C): + Tiếp tuyến điểm M0(x0;y0) ∈ (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0[2] + Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: y = k.(x - x1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:  f(x) = k(x − x1) + y1 (*,*)[3]   f '(x) = k * Chú ý: Nếu điểm M1(x1;y1) nói thuộc (C) hệ số góc k thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến Những lỗi thường gặp giải tốn a Mắc lỗi xét tính đơn điệu hàm số, không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay khơng ý tới điểm tới hạn hàm số b Mắc lỗi chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến c Mắc lỗi việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực d Mắc lỗi việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) e Mắc lỗi việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi toán không tương đương f Mắc lỗi việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số II THỰC TRẠNG VỀ ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG Hiện sau số lần thi thử THPT quốc gia đa số học sinh gặp toán hàm số áp dụng đạo hàm để giải tốn em thường gặp phải khó khăn định Chính khó khăn nhiều học sinh khơng vượt qua nên dễ dẫn đến lỗi lựa chọn phương án sai, lỗi thường là: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TẠI TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG Trong trình thực tế giảng dạy trường trung học phổ thông Quảng Xương nhận thấy em học sinh cho nội dung hàm số nội dung dễ nên em chủ quan giải tập hàm số Chính tâm lí chủ quan nên em hay mắc lỗi giải toán hàm số Sau tổng hợp ví dụ thực tế tơi giảng dạy mà đa số học sinh trường trunh học phổ thông Quảng Xương thường mắc lỗi giải toán Mắc lỗi xét tính đơn điệu hàm số * Ví dụ minh họa 1: Cho hàm số y = f(x) = x− Khoảng đơn điệu hàm số là: x+ A Hàm số đồng biến (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ ) B Hàm số nghịch biến (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ ) C Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ;- 1) (- 1; +¥ ) D Hàm số nghịch biến khoảng (- ¥ ; - 1) (- 1; +¥ ) + Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D Bảng biến thiên: - ¥ x y' y -1 + + +¥ +¥ - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ ) nên chọn đáp án A + Phân tích: Lời giải rồi, ta khơng ý đến kết luận tốn Chú ý rằng: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x = - Ỵ D x2 = Ỵ D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) + Lời giải là: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D Bảng biến thiên: - ¥ x y' -1 + + +¥ y +¥ - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - 1) (- 1; +¥ ) Nên đáp án C  Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai * Ví dụ minh họa 2: Cho hàm số y = f(x) = x − 1+ 4− x2 Khoảng đơn điệu hàm số là: A Hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) , nghịch biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) B Hàm số nghịch biến khoảng (- 2; 2) , đồng biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) C Hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) D Hàm số nghịch biến khoảng (- 2; 2) đồng biến khoảng ( 2; 2) + Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = [- 2; ] Ta có: y' = 1− y' = ⇔ 1− x − x2 x = − = ⇔ − x2 = x ⇔ 4− x2 = x2 ⇔  4− x2  x = x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: -2 - 2 x y' + -3 2- y -1 Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) , nghịch biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) Nên chọn đáp án A + Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý - 2; - ù đoạn é ê ú ë û giá trị hàm số giảm từ -3 xuống – Thực - điểm tới hạn hàm số + Lời giải là: Tập xác định: D = [- 2; 2] Ta có: y' = 1− y' = ⇔ 1− x − x2 x ≥ = ⇔ 4− x2 = x ⇔  ⇔ x= 2 4− x 4− x = x x 2 Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: -2 2 x y' + 2- y -3 Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) Nên chọn đáp án C  Khi sử dụng định lí để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Điều ngược lại nói chung khơng * Ví dụ minh họa 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- đồng biến ¡ C - £ m £ D - < m < A - < m < B - £ m £ + Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến ¡ Û y ' > , " x Ỵ ¡ ïì a > Û ïí Û ïïỵ D ' < ìïï >0 í Û ïïỵ m - < < m < Nên chọn đáp án A + Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến ¡ , y ' = 3x2 ³ , " x Ỵ ¡ , dấu "=" xảy x= Nhớ rằng: hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), f '(x) ³ , " x Î (a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) + Lời giải là: ìï a > Hàm số đồng biến ¡ Û y ' ³ , " x Ỵ ¡ Û ïíï ïỵ D ' £ ìï >0 Û ïí Û ïïỵ m - £ 3£ m£ Vậy đáp án C  Kết luận: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập xét tính đơn điệu hàm số là: Kết luận khoảng đơn điệu sai, không ý đến điểm tới hạn để xét dấu đạo hàm, quy tắc xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần nên ngược lại không Mắc lỗi chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải lỗi không nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 4: Trong bước chứng minh: tanx > x, với " x Î bước nào? Bước 1: TXĐ: " x Î ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ Hóy ch sai lm ỗ ố 2ữ ứ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ ổ pử 0; ÷ Bước 2: Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗ ỗ ữ ỗ ố 2÷ ø - = tan x > , " x Ỵ Bước 3: Ta có: f '(x) = cos x đồng biến khoảng æ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ, suy hm s f(x) ỗ ố 2ữ ứ ổ pử ỗ 0; ữ ç ÷ ç ÷ è 2ø p Bước 4: T " x ẻ (0; ) ị x > Þ f (x) > f (0) Û tanx- x > hay tanx > x, vi ổ pử "xẻ ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ A Bc B Bước C Bước D Bước + Phân tích: Các bước giải nên học sinh khó tìm phương án chọn, sai lầm tinh vi Sau kt lun f(x) ng bin trờn khong ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữthỡ vỡ t x > ị f(x) > f(0) ? ỗ ố 2ữ ứ ổ pư 0; ÷ Sai sót Ï ç ç ÷ Vậy đáp án lựa chọn D ç ÷ è 2ø Nhớ rằng: Nếu f(x) đồng biến đoạn [a; b ] (tức f(x) liên tục [a; b ] f '(x)> với " x Ỵ ( a; b) ) với " x1 , x2 Ỵ [a; b ], x1 > x Þ f (x1 ) > f (x ) + Lời giải là: é pư 0; ÷ Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Ỵ ê ÷ ê ø ë 2÷ Ta có: f '(x) = - = tan x ³ , " x ẻ cos x ộ pử ờ0; ữ ÷, dấu "=" xảy ê ø ë 2÷ é pư 0; ÷ x = 0, suy hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng ê ÷ ê ÷ ø ë ỉ pư 0; ÷ Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với " x ẻ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ  Các em hay mắc lỗi vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến * Ví dụ minh họa 5: Trong bước chứng minh: x.ex > - , với x Î (- 1; +¥ ) e Hãy sai lầm bước nào? Bước 1: TXĐ: x Ỵ (- 1; +¥ ) Bước 2: Xét hàm số h(x) = x.ex, vi x ẻ (- 1; +Ơ ) Bước 3: Ta có hàm số f(x) = x, g(x) = ex hàm đồng biến ¡ Suy hàm số h(x) = x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến ¡ Bước 4: Vì h(x) = x.e x hàm đồng biến nên từ x > - Þ f(x) > f(-1) hay x.e x > - e A Bước B Bước C Bước D Bước + Phân tích: Các bước giải nên học sinh khó tìm phương án chọn Lời giải sai lầm bước sử dụng tính chất: Tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương Nên chọn C + Lời giải là: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ , " x ³ - , dấu "=" xảy x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng [- 1; +Ơ ) T x > - ị f(x) > f(-1) hay x.ex > - e  Kết luận: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập chứng minh bất đẳng thức là: Khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Mắc lỗi giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng công thức tính đạo hàm * Ví dụ minh họa 6: Đạo hàm hàm số y = (2x+1)x là: A y' = 2x.(2x +1) x- B y' = x.(2x +1)x- é ù C y ' = (2x +1) x êln(2x +1) + x ú ê ë é ù D y ' = (2x +1) x êln(2x +1) + 2x ú 2x +1 ú û ê ë 2x +1 ú û + Một số học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2x +1) x- (2x +1) ' = 2x.(2x +1) x- Nên chọn đáp án A + Phân tích: Lời giải vận dụng công thức ( u ) ' = a u u ' Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ a số + Lời giải là: a a- 1 , x ¹ (khi y > 0) Từ y = (2x+1)x y' 2x = ln(2x +1) + Þ ln y = x.ln(2x +1) Þ (ln y ) ' = ( x.ln(2x +1)) ' Þ y 2x +1 Điều kiện: x > - é 2x ù Nên chọn đáp án D ú Þ y ' = (2x +1) x êln(2x +1) + ê 2x +1 ú ë û  Mắc lỗi tính đạo hàm hàm số điểm 10 Các em hay mắc phải lỗi dạng áp dụng công thức ( u ) ' = a ua- 1.u ' , a Ỵ ¡ , quên a không nguyên cơng thức u nhận giá trị dương * Ví dụ minh họa 7: a Cho hàm số y = x2 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = - A y =- x + 3 B y = x + 3 C y =- x + D y = x + 3 + Một số học sinh trình bày sau: 2 - Với x = - ta có y = (- 1) =1 Ta có y = x suy y ' = x 3 2 2 - 16 2ù = (- 1) = (- 1) = é ( 1) = ú ë û 3 3ê 3 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x +1) +1 hay y = x + 3 y '(-1) = Nên chọn đáp án D + Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết (- 1)- không + Lời giải là: Với x = - ta có y = (- 1)2 = 2x Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 3y = 3 x Þ y '(-1) = - Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =- 2 (x +1) +1 hay y =- x + 3 Nên đáp án A  Kết luận: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập liên quan tới công thức đạo hàm là: Vận dụng công thức đạo hàm không Các em a a- hay mắc lỗi dạng áp dụng công thức ( u ) ' = a u u ' , a Ỵ ¡ , qn a khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương Mắc lỗi giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng định lí để xác định cực trị hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Điều ngược lại nói chung khơng * Ví dụ minh họa 8: 11 Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? A m =Ỉ B C D m> m< m =0 + Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 ìï f '(0) = ìï 4m.0 = Û ïí Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là: ïíï ïïỵ 12m.0 < ïỵ f ''(0) < hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Nên chọn A + Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: +¥ - ¥ x y' + y - ¥ - ¥ Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ? ìï f '(x ) = Þ x điểm cực đại hàm số, điều Nhớ rằng, x0 thỏa mãn ïíï ïỵ f ''(x ) < ngược lại chưa Vì x điểm cực đại f ''(x 0) = Lí điều kiện f ''(x 0) < điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), đó: ïìï f '(x) > f '(x ) = 0, " x Ỵ (x - h; x ) Þ x điểm cực đại hàm số í ïïỵ f '(x) < f '(x ) = 0, " x Ỵ (x ; x + h ) + Lời giải là: Xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) - Với m = 0: Ta có y = f(x) = hàm nên hàm số khơng có cực trị - Với m > 0: Ta có y ' = 4mx , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x điểm cực tiểu hàm số - Với m < 0: Ta có y ' = 4mx , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = Û m < Nên đáp án C Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? 12 A m =Ỉ B C m> m< + Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx D ìï f '(0) = Û Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: ïíï ïỵ f ''(0) > m =0 ïìï 4.03 +3m.0 = í ïï 12m.02 + 6m.0 > ỵ hệ vơ nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Nên chọn A + Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x - ¥ y' - +¥ y +¥ + +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = + Lời giải là: Xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) - Với m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: +¥ - ¥ x y' + y +¥ +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = 3m - Với m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = Û x = x = Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = - Với m < 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m), y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: Với m =0 hàm số cho đạt cực tiểu x = 13 Nên chọn đáp án là: D  Kết luận: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập liên quan tới cực trị hàm số là: Khi sử dụng định lí để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần, ngược lại nói chung khơng Mắc lỗi giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc lỗi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D * Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos x + æ 1 ữ + 2ỗ cosx + - ỗ ữ ỗ ữ ố cos x cosx ứ A f (x) =- B f (x) =- C f (x) =- D f (x) =- + Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx + 1 Þ cos x + = t2 - cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - ³ - 4, " t Ỵ ¡ Vậy f (x) =- , t = - Nên chọn đáp án: D + Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), " t Ỵ ¡ Có thể thấy t = - khơng tồn giá trị x để cosx + = - cosx  f(x) ≥ m , ∀x∈ D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m in f(x) ⇔  Nhớ rằng, số m= mD + Lời giải là: ü ïì p ï , với x Ỵ D = ¡ \ íï + kp , k Ỵ Â ý ùỵ cosx ù ợù 1 ị t = cosx + = cosx + ³ Dấu "=" xảy cosx = cosx cosx Đặt t = cosx + Khi đó: cos x + = t2 - 2 cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ ): - ¥ t g '(t) g(t) +¥ -1 -2 - + +¥ + +¥ 14 -3 g(t) = - f(x) = Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m= t≥2 D =- Û cosx =- cosx x =p+k 2p , k ẻ Â Nên chọn đáp án là: C  Như vậy: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập liên quan tới tìm GTLN GTNN hàm số là: Các em thường mắc lỗi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Hay đặt ẩn phụ khơng tìm điều kiện tương đương ẩn phụ Đạt t = - Û cosx + Mắc lỗi viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số * Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) y =4 y =4 A y =- 9x - B é C y = 9x + D é ê ê ê ëy = 9x + ê ëy =- 9x - + Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = - 3x2 + 6x Ta có điểm A(-1;4) Ỵ đồ thị (C) Suy phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 Û y =- 9(x +1) + Û y =- 9x - Nên chon A + Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm + Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: ìï - x3 + 3x = k (x +1) + ìï x3 - 3x - = éx = 2, k = ï ï ê Û Û í í ê ïï ïï k =- 3x + 6x k =3 x + x ëx =- 1, k =- ỵ ỵ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y = y = -9x -5 Nên đáp án D  Kết luận: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập viết phương trình tiếp tuyến hàm số là: Chưa phân biệt tiếp tuyến điểm hay tiếp tuyến qua điểm( qua điểm có nhiều tiếp tuyến) * Bài tập tương tự: 15 Bài tập 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: y = 2x + 2- x A Hàm số đồng biến (- ¥ ; 2) È (2; +¥ ) B Hàm số nghịch biến (- ¥ ; 2) È (2; +¥ ) C Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; 2) (2; +¥ ) D Hàm số nghịch biến khoảng (- ¥ ; 2) (2; +¥ ) Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y = A - B 3 m giá trị nhỏ hàm số y = ex + A B C x2 - x + cosx là: D 16 Bài tập 9: Cho hàm số y = x - (m - 1)x +( m - 3) x + (m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + ba điểm phân biệt A m Ỵ (0; ) È (3; +¥ ) 3 C m ẻ (- Ơ ; 0) ẩ (0; ) B m ẻ (- Ơ ; 0) ẩ (0; ) ẩ (3; +Ơ ) D m ẻ (- ¥ ;0) È (3; +¥ ) Bài tập 10: Với giá trị tham số m phương trình: x - x = m( x - 1) có nghiệm thực phân biệt A m>0 B m ³ C m< D m £ IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG Tác dụng SKKN đến chất lượng giảng dạy giáo dục thân: Qua trình áp dụng sáng kiến vào thực tế dạy học rút số phương pháp dạy học hiệu cho thân sau: a Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải b Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh, - Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: Phương pháp giải toán c Đổi phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng d Đổi việc kiểm tra, đánh giá 17 - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: Nhận biết - thơng hiểu - vận dụng sau phân tích - tổng hợp - đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh e Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học phù hợp Tức giáo viên phải tích cực tìm phương pháp cho phù hợp với đối tượng học sinh, cho học sinh sai lầm thường mắc phải giải toán Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập f Giáo viên phải phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm đến đồng nghiệp: SKKN tài liệu để đồng nghiệp trường tham khảo nghiên cứu từ định hình phương pháp dạy học thân SKKN tài liệu ban đầu để đồng nghiệp trường tham khảo nghiên cứu sâu chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm đến thân học sinh: Giúp học sinh có thêm phương pháp học hiệu để giải toán hàm số đề thi trung học phổ thông quốc gia Giúp học sinh rèn luyện khả tư sáng tạo, rèn luyện kĩ phân tích tìm lời giải kĩ trình bày tốn Góp phần bổ sung, nâng cao kiến thức cho học sinh Giúp học sinh tự tin gặp tốn khó cơng việc khó sống, hình thành em tính kiên trì sáng tạo công việc * Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo dục nhà trường Nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn nhà trường Góp phần nâng cao chất lượng thi THPT quốc gia mơn tốn nói riêng chất lượng giáo dục nhà trường nói chung Điều thể rõ qua kết khảo sát sau áp dụng SKKN vào dạy học sau: Áp dụng với khối 12 gồm lớp 12B lớp theo khối A,B lớp 12I lớp theo khối C Cả hai lớp có 73 học sinh (Đề hình thức trắc nghiệm mã đề gồm 50 câu, thời gian làm 90 phút) Sau chấm tổng hợp, thu kết sau: Từ 6,5 Từ 3,5 đến Từ đến Từ trở Điểm Dưới 3,5 đến dưới 6,5 lên Sĩ số Năm/Lớp SL % SL % SL % SL % SL % 24 12B 41 0 0 10 15 36.6 16 39.0 20182019 43 12I 32 0 6.3 14 11 34.4 15.6 18 32 * Qua kết khảo sát phân tích bảng số liệu cho thấy: Tổng 12 73 0 2.7 24 26 35.6 21 28.8 So sánh mức điểm tổng thể hai lớp: Số học sinh đạt điểm không nhiều có học sinh (chiếm 2.7%) học sinh lớp 12I Đồng thời số học sinh đạt điểm cao có 21 học sinh (chiếm 28.8%) Đặc biệt số học sinh đạt điểm giỏi nhiều có 47 học sinh (chiếm 64.4%) Như kết giáo dục nâng lên rõ rệt Nguyên nhân có kết là: Giáo viên có phương pháp thực nghiệm đề tài nên học sinh dễ hiểu nắm rõ chất vấn đề So sánh chất lượng hai lớp với nhau: Chất lượng học sinh lớp 12B cao chất lượng học sinh lớp 12I Kết phản ánh thực tế lớp 12B lớp theo khối A,B lớp 12I theo khối C cụ thể: Số học sinh giỏi lớp 12B 31 học sinh (chiếm 75.6%) khơng có học sinh yếu Số học sinh giỏi lớp 12I 15 học sinh (chiếm 46.8%) có học sinh yếu Tuy nhiên so sánh với kết khảo sát đầu năm chất lượng đại trà hai lớp nâng lên rõ rệt Điều thể hiên sáng kiến phù hợp với nhiều đối tượng học sinh C PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Trong sống người phải biết học sai lầm thiếu sót Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng Người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán Hơn nữa, toán giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp từ học sinh có phương án lựa chọ xác Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm 19 Ở trường trung học phổ thông Quảng Xương đề tài áp dụng để: + Cải thiện phần chất lượng môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học + Giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học + Giúp em tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Quảng Xương 4, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa để sáng kiến hồn thiện II KIẾN NGHỊ Để nâng cao chất lượng mơn tốn trường phổ thơng đề nghị phịng giáo dục phổ thơng nên tổ chức nhiều buổi sinh hoạt chuyên mơn cho Giáo viên dạy tốn Tỉnh trao đổi tìm nội dung khó dạy nội dung khó tiếp thu học sinh Tổ chức cách cho trường nghiên cứu mảng kiến thức cụ thể để đưa kinh nghiệm dạy nội dung thơng qua buổi sinh hoạt chuyên môn liên trường Đề nghị chuyên môn nhà trường bổ xung, mua nhiều sách tham khảo thư viện để giáo viên nghiên cứu học sinh mượn học tập Kiến nghị với đồng nghiệp trường cần làm tốt cơng tác xã hội hóa giáo dục để lôi học sinh đến trường đến lớp XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 22 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Phạm Văn Tình 20 .. .hàm để giải tập liên quan đến hàm số, từ rèn luyện cho học sinh kỹ ứng dụng đạo hàm giải tốn nên tơi lựa chọn đề tài: "Phân tích lỗi thường gặp học sinh sử dụng đạo hàm để giải tốn liên quan. .. cho học sinh thấy lỗi thường mắc phải sử dụng đạo hàm để giải tốn liên quan đến hàm số Từ giúp học sinh hiểu chất nguồn gốc vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán ứng dụng đạo. .. Với m =0 hàm số cho đạt cực tiểu x = 13 Nên chọn đáp án là: D  Kết luận: Các lỗi thường gặp học sinh giải tập liên quan tới cực tr? ?? hàm số là: Khi sử dụng định lí để xác định cực tr? ?? hàm số em