Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi tính nguyên hàm, tích phân trong chương III lớp 12 trường THPT quảng xương 4

A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong nhiều năm gần đây, giáo dục có nhiều thay đổi chuyển biến mạnh mẽ như: Điều chỉnh nội dung mơn học, giảm tải chương trình môn học, thay đổi cách đánh giá học sinh, thay đổi cách thi cử, thay đổi tuyển sinh, thay đổi môn thi, thay sách giáo khoa, thay đổi ban học tới áp dụng trương trình giáo dục tổng thể chuyển biến địi hỏi học sinh phải thay đổi cách học đồng thời kéo theo giáo viên phải tự thay đổi cách dạy cho phù hợp Để làm điều địi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian tự trau dồi chuyên môn đáp ứng yêu cầu trình dạy học Giáo viên khơng đơn dạy phương pháp cho học sinh mà phải lỗi thường mắc học sinh giải toán Từ học sinh hiểu rõ nguồn gốc vấn đề Hơn mơn tốn học mơn học vơ khó với nhiều học sinh Trong thâm tâm em thường sợ học mơn tốn lí sau: Mơn tốn địi hỏi tư cao, học sinh khơng nhớ kiến thức học mà cịn phải biết vận dụng kiến thức cách thành thạo Các em cịn cho mơn tốn mơn học khơ khan, đơn phép tính máy móc với số nên khơng tạo hứng thú cho em học Hơn em thấy học tốn khơng có tác dụng nhiều cho học môn khác không ứng dụng nhiều vào sống Vì vậy, để nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục mơn tốn nói riêng trước hết phải làm thông tư tưởng học sinh Từ em có thái độ u thích mơn tốn thấy vai trị mơn tốn với mơn học khác sống Đặc biệt đề thi tốt nghiêp trung học phổ thông quốc gia nội dung nguyên hàm, tích phân tốn ứng dụng chiếm tỉ lệ cao nhu cầu giải tốn tích phân thiết yếu với đa số học sinh Trong tốn tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: Tìm ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến ngun hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? q trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Phân tích lỗi thường gặp học sinh tính nguyên hàm, tích phân chương III lớp 12 trường THPT Quảng Xương " để nghiên cứu Tơi mong đóng góp ý kiến hội đồng khoa học trường THPT Quảng Xương hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến hồn chỉnh II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Chỉ cho học sinh thấy lỗi thường mắc phải tính tích phân ứng dụng tính tích phân vào tính diện tích, thể tích Từ giúp học sinh hiểu chất nguồn gốc vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn tích phân Từ nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh - Đề tài tài liệu để học sinh đồng nghiệp nghiên cứu tham khảo III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu cách tính tích phân ứng dụng tích phân (chương III, giải tích lớp 12) - Đề tài lỗi thường mắc học sinh tính tích phân cách khắc phục lỗi - Áp dụng cho học sinh lớp 12B 12I trường THPT Quảng xương IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài định nghĩa, định lí quy tắc làm sở lý thuyết cho trình làm đề tài Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Điều tra thực nghiệm từ học sinh đồng nghiệp nhằm thu thập thông tin, bổ sung cho kết nghiên cứu để tăng độ tin cậy Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Các kết quả, số liệu thu thống kê, xử lý, so sánh nhằm thấy hiệu đề tài nghiên cứu Phương pháp đối chứng So sánh chất lượng giáo dục trước thực nghiệm đề tài sau thực nghiệm đề tài So sánh đối tượng thực nghiệm đề tài với (lớp 12B 12I) Phương pháp nghiên cứu tài liệu Tìm hiểu chắt lọc thơng tin qua: Sách nâng cao, sách tham khảo, mạng internet B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở pháp lí liên quan đến nguyên hàm tích phân G.Polya viết "Con người phải biết học từ sai lầm thiếu sót mình"[2] Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Những kiến thức nguyên hàm tích phân kiến thức hoàn toàn mẻ học sinh hình thành nhiều liên quan đến kiến thức đạo hàm, em dựa vào cơng thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, đa phần em hay nhầm lẫn hai loại công thức Những em có lực học trung bình, yếu bị gốc phần kiến thức em thường bế tắc thực lời giải Còn với đa phần em có học lực khá, giỏi tâm lí chung gặp tốn nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm phương pháp vội vàng trình bày lời giải, tìm đáp số, thấy kết gọn, đẹp yên tâm mà quên thao tác quen thuộc: Phân tích đề, kiểm tra điều kiện, kiểm tra phép tính…Vì sai sót xảy điều tất yếu Kinh nghiệm cho thấy việc phát lỗi sai người khác dễ cịn việc phát lỗi sai khó Trong q trình dạy phần kiến thức này, tơi cho em chủ động tự làm theo lối tư logic riêng mình, để em theo dõi nhận xét lời giải từ phát lỗi sai từ phân tích để em hiểu chất vấn đề khắc phục sai sót tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, lúc sai lầm học sinh dễ khiến em thấy nhàm chán, hứng thú học tập Vì vậy, tơi vận dụng linh hoạt tiết dạy có gợi ý cần thiết hỗ trợ cho em tìm kiếm lời giải Một khó khăn mà tơi gặp trình giảng dạy nội dung nguyên hàm - tích phân lực em lớp hay lớp với khơng đồng đều, có phân hóa rõ nét gây khó khăn cho thực nghiệm đề tài giáo án, ví dụ tập phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên ưu tiên em diện trung bình yếu sau nâng cao lên tốn mở rộng với tính chất khó phức tạp dành cho học sinh khá, giỏi Cơ sở thực tiễn kiến thức liên quan đến nguyên hàm tích phân 2.1 Nguyên hàm a Định nghĩa: [1] Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F'  x  = f  x  với x thuộc K b Định lí: [1] + Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) +C nguyên hàm f(x) K + Ngược lại, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x)+C với C số f  x  dx Kí hiệu họ nguyên hàm f(x) � f  x  dx =F  x  +C (C: số) Khi đó: � c Tính chất ngun hàm [1] f'  x  dx =f  x  +C Tính chất 1: � Tính chất 2: kf  x  dx =k � f  x  dx (k số khác 0) � � f  x  ±g  x  � dx = � f  x  dx ± � g  x  dx � � � Tính chất 3: d Sự tồn nguyên hàm [1] Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K e Bảng cơng thức tính ngun hàm số hàm thường gặp [3] x α+1 x dx = +C � α+1 dx =ln x +C � x α x x e dx =e +C � a x dx = � ax +C lna cosx.dx =sinx+C � sinx.dx =-cosx+C � dx = � (1+tan x)dx=tanx+C � cos x dx= � (1+cot x)dx =-cotx+C � sin x (ax+b)α+1 (ax+b) dx = +C � aα+1 1 dx = ln ax+b +C � ax+b a eax+b dx = eax+b +C � a a mx+n mx+n a dx = +C � m lna cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C � a sin(ax+b)dx =- cos(ax+b)+C � a 1 dx = tan(ax+b)+C � cos (ax+b) a 1 dx =cot x+C � sin (ax+b) a α f Phương pháp tính nguyên hàm + Phương pháp đổi biến số [3] f  t  dt = F  t  +C t = u  x  hàm số có đạo hàm liên tục Định lí: Nếu � f  u  x   u'  x  dx = F  u  x   +C � + Phương pháp nguyên hàm phần [3] Định lí: Nếu hai hàm số u = u  x  v = v  x  có đạo hàm liên tục K u  x  v'  x  dx = u  x  v  x  - � u'  x  v  x  dx � udv = uv- � vdu Hay viết gọn � 2.2 Tích phân a Định nghĩa tích phân [1] Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a ; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a ; b] Hiệu số F(b) − F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a ; b]) hàm số f(x), kí hiệu b f  x  dx � a b f  x  dx = F  x  a = F  b  - F  a  (Cơng thức Newton – Leibnitz) Khi đó: � b a b Tính chất tích phân [1] Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3: b b a b a kf  x  dx = k � f  x  dx � (k số) b b � f  x ± g x � dx = � f  x  dx ± � g  x  dx � � � a b c a b a a a c f  x  dx = � f  x  dx + � f  x  dx � với a