Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC trang A : MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III.Đối tượng nghiên cứu 3 IV Phương pháp nghiên cứu -4 B : NỘI DUNG I Cơ sở lí luận II Thực trạng III.Giải pháp thực IV Hiệu sáng kiến PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 4-10 10 10-11 A: MỞ ĐẦU I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN năm toán tích phân thiếu học sinh THPT toán tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân” II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung III ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CỨU -Học sinh : Trường THPT Triệu Sơn -GV: Giảng dạy môn Toán -Phạm vi nghiên cứu: Tính tích phân thường gặp IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán +Thực nghiệm sư phạm B: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÍ LUẬN Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Học sinh tính tích phân cách máy móc theo định nghĩa,các tính chất phương pháp tính tích phân III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: dx ∫ (x + 1) ; [ 2] Bài 1: Tính tích phân: I = −2 2 dx * Sai lầm thường gặp: I = ∫ = − (x + 1) d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −2 =- x +1 −2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = [ − 2;2] không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục ( x + 1) nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = [ − 2;2] không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục ( x + 1) tích phân không tồn * Chú ý học sinh: b Khi tính f ( x)dx cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục [ a; b] không? có ∫ a áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự: [ 1] Tính tích phân sau: dx ∫ (x − 4) 1/ 2/ ∫ x( x − 1) dx −2 3/ π ∫ cos x dx − x e x + x dx x3 −1 4/ ∫ π Bài :Tính tích phân: I = dx ∫ + sin x ; [ 6] * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan ⇒ 2dt dx ∫ + sin x = ∫ (1 + t ) = ∫ 2(t + 1) −2 d(t+1) = −2 dx ⇒ I= ∫ x = tan + 1 + sin x π tan 2dt 1+ t2 x dx = ; = + t + sin x (1 + t ) 2 π +c t +1 −2 π = tan + tan + π không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x ∈ [ 0; π ] x = π tan nghĩa 2 * Lời giải đúng: x π d −  dx dx π 4 x π −π  =∫  = tan  −  π0 = tan − tan   = I= ∫ =∫ π π + sin x 4 4     2 x 0 + cos x −  cos  −  2  2 4 π π π * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π dx ∫ sin x 1/ π dx ; [ 1] + cos x 2/ ∫ Bài 3: Tính I = x − 6x + dx; [ 6] ∫ * Sai lầm thường gặp: I= ∫ ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3) d ( x − 3) = ( x − 3) 4 x − 6x + dx = ∫ 2 = − = −4 2 * Nguyên nhân sai lầm: ( x − 3) Phép biến đổi = x − với x ∈ [ 0;4] không tương đương * Lời giải đúng: I= ∫ x − 6x + dx =∫ ( x − 3) =- ( x − 3) 2 4 0 dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) + ( x − 3) 2 = + =5 2 * Chú ý học sinh: 2n ( f ( x ) ) 2n b I= ( n ≥ 1, n ∈ N ) = f ( x) ∫ ( f ( x) ) 2n 2n b = a ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) [ a; b] dùng tính chất tích a phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: [ ] π 1/ I = ∫ − sin x dx ; 2/ I = ∫ x − x + x dx 3/ I = ∫ π 4/ I = ∫ π    x + −  dx x   tan x + cot x − dx Bài 4: Tính I = ∫x −1 dx ; [ 6] + 2x + * Sai lầm thường gặp: I= d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctan( x + 1) −1 = arctan − arctan = π * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant ⇒ dx = (1 + tan t ) dt với x=-1 t = với x = t = π π Khi I = ∫ (1 + tan t )dt = tan t + π ∫ dt = t π = π * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng b phương pháp Vì gặp tích phân dạng ∫1+ x dx ta dùng phương pháp a đổi biến số đặt t = tanx t = cotx ; b ∫ a 1− x2 dx đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự: [ ] x − 16 dx x ∫ 1/ I = 2x + 2x + ∫0 x + dx 2/ I = 3/ I = ∫ x dx − x8 Bài 5: [ 3] Tính :I = ∫ x3 − x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt ∫ x3 − x2 dx = ∫ sin t dt cos t Đổi cận: với x = t = với x= t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm xác t =? * Lời giải đúng: Đặt t = − x ⇒ dt = x − x2 dx ⇒ tdt = xdx t = Đổi cận: với x = t = 1; với x = I= ∫ 15 x3 1− x = dx 15 (1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t  ∫ ∫  t   15 15  15 15 15  33 15 − = =  − − 192  192  * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đếnphương pháp khác *Một số tập tương tự: [ ] ∫ 1/ tính I = 2/tính I = ∫x x3 + x2 dx dx x2 + x2 −1 dx ; [ 5] Bài 6: tính I = ∫ −1 + x   1−   x   x2 = dx * Sai lầm thường mắc: I = ∫ ∫ 2   −1 − +x x +  − x2 x    x 1−  dx x2  Đặt t = x+ ⇒ dt = 1 − Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 dt 1 − )dt =(ln t + -ln t − ) I=∫ = ∫( t− −2 t − −2 t + = ln 2+ 2− − ln −2+ −2− = ln −2 = ln t+ t− 2 −2 2+ 2− 1− x2 x −1 = sai [ − 1;1] chứa x = nên không 1 + x4 +x x2 * Nguyên nhân sai lầm: thể chia tử mẫu cho x = * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = ’ F (x) = 2 ln 2 x2 − x + x2 + x + (ln x2 − x + x2 + x +1 )′ = x2 −1 x2 − x +1 dx ln Do I = ∫ = 2 x2 + x + −1 + x x2 −1 x4 +1 −1 = ln 2− 2+ *Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = IV.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1.Kết từ thực tiễn: 10 Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận,trong bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập 2/Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2015-2016 Bài kiểm tra hai đối tượng lớp 12A2(43học sinh) không áp dụng sáng kiến 12A4(44 học sinh) áp dụng sáng kiến sau: xếp loại giỏi tb yếu đối tượng 12A4 50% 40% 10% 0% 12A2 0% 0% 40% 60% Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh C.KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN: Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ 11 phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng , THCN II KIẾN NGHỊ: Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc giải toán để em tránh sai lầm làm tập XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Lê Thị Hương 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Kiến thức giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) Phương pháp giải toán Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD – 2000) Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) 13 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả:Lê Thị Hương Chức vụ đơn vị công tác:Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn TT Tên đề tài SKKN Nhìn nhận toán bất Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Tỉnh C Năm học đánh giá xếp loại 2013-2014 đẳng thức “ Con mắt” lượng giác 14 ... phương pháp tính tích phân III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: dx ∫ (x + 1) ; [ 2] Bài 1: Tính tích phân: I = −2 2 dx * Sai lầm thường gặp: I = ∫ = −... giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm giúp học sinh. .. đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận,trong bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích