Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 10 Người thực hiện: Lại thị Hương Lan Chức vụ: Giáo Viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2016 -1- MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục Mở đầu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị Tài liệu tham khảo 3 3 13 14 15 -2- MỞ ĐẦU * LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giảng dạy đại số 10, chương VI : “ Góc lượng giác công thức lượng giác” có 15 tiết song đóng vai trò có ý nghĩa quan trọng kết học tập học sinh Trong trình giảng dạy nhận thấy học chương (đây chương mở đầu phần lượng giác mà em học tiếp lớp 11) nhiều học sinh tỏ bỡ ngỡ, lúng túng thường mắc phải số sai lầm, từ dẫn đến lời giải sai, mà kết học tập chưa cao Qua thực tế giảng dạy nhận thấy rõ yếu điểm học sinh chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu vào vấn đề này, đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục Vì mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10” Trong phạm vi đề tài đề cập đến phần nhỏ chương trình sách giáo khoa nâng cao 10, chương trình ôn thi THPT Quốc gia năm 2015 phạm trù biến đổi biểu thức lượng giác * MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với đề này, mong muốn phần giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường mắc phải có kỹ tốt biến đổi biểu thức lượng giác Và đặc biệt tạo tiền đề tốt để sau lên lớp 11, em dễ dàng giải tốt toán biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác, toán thiếu kỳ thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, thi thử THPH Quốc gia…Từ giúp học sinh đạt kết tốt trình học tập thi cử * ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu, tổng kết số sai lầm thường mắc phải học sinh biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10 *PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Để thực đề tài lựa chọn ví dụ, tập cụ thể, phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh, để từ đưa lời giải toán + Thực nghiệm sư phạm -3- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng” ( Nguồn tài liệu:“ Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán Nhà xuất Đại học Sư phạm), nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Một số học sinh tỏ lúng túng, sợ sệt học lượng giác thường mắc phải số sai lầm biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10, từ kết học tập chưa cao 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề NỘI DUNG CỤ THỂ “ Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10” Một số ví dụ tập tương tự: Ví dụ 1: Cho sin α = Tính giá trị biểu thức P = (1 − cos 2α )(2 + cos 2α ) ( Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015) *Lời giải sai lầm thường gặp Ta có cos 2α = sin α −1 = − 3 Từ P = (1 + ) (2 − ) = 20 *Nguyên nhân sai lầm Đây sai lầm đáng tiếc học sinh, học sinh nhớ nhầm công thức nhân đôi cos 2α = sin α −1 Lưu ý: cos 2α = − sin α = cos α − *Lời giải Ta có cos 2α = − sin α = 3 Từ P = (1 − ) (2 + ) = 14 *Chú ý với học sinh: Qua ví dụ học sinh thấy học lượng giác thật không khó ta nắm vững công thức lượng giác biết sử dụng chúng cách hợp lí * Bài tập tương tự: Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 trường chuyên Vĩnh Phúc – Lần -4- Cho tan α = Tính giá trị biểu thức M = sin α − cos α ; sin α + cos α Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 trường THPT Hàn Thuyên (Bắc Ninh) Cho cos 2α = Tính giá trị biểu thức P =1− tan α ; π Ta có trường hợp: -6- π TH1: Với x ∈ (0; ] cos x ≥ π Ta có A = 2(cos x + sin x) = 2sin( x + ) π TH2: Với x ∈ ( ; π ) cos x < π Ta có A = 2(− cos x + sin x) = 2sin( x − ) Vậy:  π π 2sin(x + ) x ∈(0; ] A= 2sin(x − π ) x ∈(π ;π )  *Chú ý học sinh: a a ≥ a2 = a =  − a a < Bài tập tương tự Rút gọn biểu thức + + cos x với x ∈ [0; π ] ; + sin x − sin x + B= ; − sin x + sin x A= C = sin x(1 + cot x) + cos x(1 + tan x) Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức x A = cos cosx.cos2x.cos4x *Lời giải sai lầm thường gặp Ta có sin x x x A = sin cos cosx.cos2x.cos4x 2 = sinx.cosx.cos2x.cos4x = sin2x.cos2x.cos4x = sin4x.cos4x = sin8x 16 -7- sin x Suy A = 16sin x *Lời giải Xét trường hợp x x ≠ kπ ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ Ζ , ta có x x x sin A = sin cos cosx.cos2x.cos4x 2 = sinx.cosx.cos2x.cos4x = sin2x.cos2x.cos4x = sin4x.cos4x = sin8x 16 sin x Suy A = 16sin x x TH2: Nếu sin = ⇔ x = k 2π , k ∈ Ζ , ta có x 1khi k = 2l A = cos =  với l ∈ Ζ - k = 2l +1 TH1: Nếu sin ≠ ⇔ Vậy:  sin 8x x ≠ k2π  x 16 sin  A= với k , l ∈ Ζ k = 4lπ    − k = 6lπ *Chú ý học sinh: Khi nhân vế biểu thức với biểu thức biểu thức phải khác không làm thay đổi tập xác định biểu thức ban đầu Bài tập tương tự Rút gọn biểu thức -8- A = sinx + sin2x + sin3x+… + sin2016x B = cosx.cos2x cos4x…cos2nx π Ví dụ 5: Biết x, y ∈ (0; ) tan x = , tan y = Tính x + y *Lời giải sai lầm thường gặp + tan x + tan y =1 = Ta có tan( x + y ) = − tan x.tan y 1− Suy ra: x + y = 450 *Phân tích sai lầm π 1, Bài toán cho x, y ∈ (0; ) tức đơn vị đo góc x, y rađian Do kết x + y = 450 sai Đây sai lầm đáng tiếc học sinh 2, Ngoài lời giải thiếu lập luận quan trọng Đó từ tan(x + y) = suy x + y = 450 lập luận phải từ tan(x + y) = ta có π + kπ , k ∈ Ζ (1) π Do x, y ∈ (0; ) nên x + y ∈ (0; π ) (2) π Từ (1) (2) suy x + y = x+ y = *Lời giải + tan x + tan y =1 tan( x + y ) = = Ta có − tan x.tan y 1− π ⇔ x + y = + kπ , k ∈ Ζ (1) π Do x, y ∈ (0; ) nên x + y ∈ (0; π ) (2) π Từ (1) (2) suy x + y = π Vậy x + y = Ví dụ 6: Cho góc lượng giác α , < α < π tan α + cot α = m Tính sin 2α , cos 2α theo m *Lời giải sai lầm thường gặp -9- sin α cos α + =m cos α sin α sin α + cos α ⇔ =m sin α cos α ⇔ =m sin 2α 2 ⇔ sin 2α = m m −4 m2 − Ta có cos 2α = − = ⇒ cos α = ± m m m2 Ta có tan α + cot α = m ⇔ *Lời giải khác π tan α , cot α dương Do m > sin α cos α + =m + Ta có tan α + cot α = m ⇔ cos α sin α sin α + cos α ⇔ =m sin α cos α ⇔ =m sin 2α 2 ⇔ sin 2α = m m −4 Từ cos 2α = − = m m2 π π TH1: Nếu < α ≤ < 2α ≤ Khi cos 2α > 2 m −4 Vậy cos 2α = m (do tan α , cot α dương mà tan α cot α = nên tan α + cot α = m ≥ ) π π π TH2: Nếu < α ≤ < 2α < π Khi cos 2α < 2 m −4 Vậy cos 2α = − m + Với < α < Vậy: sin 2α = m - 10 - cos 2α   m − < α < π  =  m −4  m π − < α < π  m Như thông qua cách giải trên, thân tự em học sinh nhận sai lầm không để ý đến giả thiết < α < π lời giải lập luận chưa chặt chẽ từ em học sinh tự kinh nghiệm để gặp toán tương tự em không mắc phải làm tốt Bài tập tương tự π 3π C A = B – C ⇔ B = A + C Suy B = Vậy tam giác ABC vuông B vuông C Từ ta có ĐPCM Bài tập tương tự 1, Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn: sinA= 2sinB.cosC tam giác ABC cân 2, Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B, C ba cạnh a, b, c thỏa mãn: a (1- 2cosA)+ b(1- 2cosB) + c (1 – cosC) = tam giác ABC Ví dụ 8: Tìm số C y cho: sinx + cosx = Csin (x+ y) , với x *Lời giải sai lầm thường gặp Ta có sinx + cosx= Csin (x+ y), ∀ x ⇔ sinx + cosx= C(sinx.cosy + siny.cosx), ∀ x ⇔ sinx (1- Ccosy)+ cosx (1- C siny) = 0, ∀ x 1 − C cos y = ⇔ ⇔ 1 − C sin y = 1 = C cos y  1 = C sin y ⇒ C (cos y + sin y ) = ⇔ C = ⇔ C = ± + Nếu C = ta có  sin y = π ⇔ y=  cos y =  + Nếu C = − ta có  sin y = −  cos y = −  −3π ⇔y= π −3π Vậy C = , y = C = − , y = 4 *Lời giải Ta có sinx + cosx = Csin (x+ y), ∀ x ⇔ sinx + cosx = C(sinx.cosy + siny.cosx), ∀ x ⇔ sinx (1- Ccosy)+ cosx (1- C siny) = 0, ∀ x - 12 - 1 − C cos y = 1 = C cos y ⇔ ⇔ 1 − C sin y = 1 = C sin y ⇒ C (cos y + sin y ) = ⇔ C = ⇔ C = ± + Nếu C = ta có  sin y = π ⇔ y = + k 2π , k ∈ Ζ  cos y =  + Nếu C = − ta có  sin y = −  cos y = −  −3π ⇔y= + k 2π , k ∈ Ζ π −3π + k 2π , k ∈ Ζ Vậy C = , y = + k 2π , k ∈ Ζ C = − , y = 4 Bài tập tương tự Tìm số A y cho: sinx + cosx = Asin (x - y), với x 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm * Kết từ thực tiễn: Vì phần kiến thức nằm chương phần lượng giác mà em tiếp tục học lớp 11 nên bước đầu học sinh gặp phải khó khăn định việc biến đổi biểu thức lượng giác Tuy nhiên hướng dẫn tỉ mỉ lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận từ giúp em khắc phục sai lầm đến lời giải * Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2015 – 2016 lớp 10I 10D trường THPT Ba Đình Nga Sơn Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải tập dạng sách giáo khoa lớp 10 số đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải làm lượng lớn tập Có nhiều em ban đầu tỏ ngại gặp đến tập dạng tỏ thích thú, tự tin say mê với tập Trong trình dạy học thân nhận thấy rõ thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú, em nhận thấy số sai lầm mà bạn thường mắc phải qua tự rút ý quan - 13 - trọng, kinh nghiệm quý biến đổi biểu thức lượng giác để từ khắc phục sai lầm không đáng có Vì mà kết học tập em nâng lên rõ rệt Cụ thể: Kết khảo sát chương VI : “ Góc cung lượng giác “ đạt sau: Mặc dù chất lượng đầu vào lớp 10I, 10D không cao thuộc tốp gần cuối khối 10 trường Điểm trung bình Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm Điểm yếu 10 D 43 6,98% 20 46,51% 18 41,86% 4,65% 10 I 43 18,6% 18 41,86% 16 37,21% 2,33% - 14 - KẾT LUẬN * KẾT LUẬN Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh biến đổi biểu thức lượng giác có ý nghĩa quan trọng trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp em nhìn điểm yếu, sai lầm hiểu biết chưa thấu đáo vấn đề này, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực, chủ động Củng cố trau dồi thêm kiến thức biến đổi biểu thức lượng giác Qua giúp học sinh làm chủ kiến thức đạt kết cao trình học tập kỳ thi THPT Quốc gia * KIẾN NGHỊ Nhà trường cần trang bị thêm sách tham khảo viết sai lầm thường gặp học sinh giải toán, để qua học sinh tìm hiểu, trao đổi khám phá sai lầm thường mắc phải giải toán từ em tự rút kinh nghiệm quý khắc phục sai lầm làm tập Trên số kinh nghiệm nhỏ thân rút trình dạy học sinh biến đổi biểu thức lượng giác Trong trình thực sáng kiến hẳn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong hội đồng khoa học cấp, Quý thầy cô giáo trao đổi góp ý kiến để đề tài hoàn chỉnh có tính hiệu Xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SNKN viết, không chép nội dung người khác Lại Thị Hương Lan - 15 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao Nhà xuất Giáo dục Sách tập đại số 10 nâng cao Nhà xuất Giáo dục Giải toán lượng giác 10 Nhà xuất Giáo dục Sai lầm phổ biến giải toán Nhà xuất Giáo dục Chuyên đề luyện thi vào Đại học Lượng giác Nhà xuất Giáo dục Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán Nhà xuất Đại học sư phạm Một số đề thi thử THPT Quốc Gia số trường THPT năm 2016 - 16 - ... DUNG CỤ THỂ “ Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10 Một số ví dụ tập tương tự: Ví dụ 1: Cho sin α = Tính giá trị biểu thức P = (1 − cos... kết số sai lầm thường mắc phải học sinh biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10 *PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Để thực đề tài lựa chọn ví dụ, tập cụ thể, phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh thường. .. 2015 phạm trù biến đổi biểu thức lượng giác * MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với đề này, mong muốn phần giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường mắc phải có kỹ tốt biến đổi biểu thức lượng giác Và đặc biệt