Khắc phục một số sai lầm cho học sinh lớp 10 khi giải phương trình và bất phương trình 2

Những sai sót đó là do ở cấp hai các em giải phương trình hay bất phương trình thường có mẫu là hằng số nên các em rút gọn hoặc bỏ mẫu được… Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề

MỤC LỤC

2.3.1 SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

2.3.1.1 DẠNG 1: Sai lầm do thiếu điều kiện của mẫu 3 2.3.1.2 DẠNG 2: Sai lầm do thiếu điều kiện của căn thức bậc hai 4

2.3.1.4 DẠNG 4: Sai lầm do tách căn bậc hai 7 2.3.2 SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG

2.3.2.1 DẠNG 1: Sai lầm do quy đồng bỏ mẫu 8 2.3.2.2 DẠNG 2: Sai lầm do suy luận sai kiến thức 10 2.3.2.3 DẠNG 3: Sai lầm do bỏ sót trường hợp riêng 11 2.3.2.4 DẠNG 4: Sai lầm do thiếu điều kiện của căn thức bậc hai 12 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 13

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học vào giải một bài toán

cụ thể của học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp nào hợp lý để không mắc phải sai lầm là rất cần thiết và phù hợp

Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết vừa học Sai lầm thường gặp nhất của học sinh lớp 10 là khi giải một phương trình hay bất phương trình đó là rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào Những sai sót đó là do ở cấp hai các em giải phương trình hay bất phương trình thường có mẫu là hằng số nên các em rút gọn hoặc bỏ mẫu được…

Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “ Khắc phục một số sai

lầm cho học sinh lớp 10 khi giải phương trình và bất phương trình”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số dạng lời giải phương trình và bất phương trình với căn cứ chính xác, chặt chẽ Từ đó rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận để không mắc phải sai lầm khi đi giải một phương trình hay bất phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Hệ thống các bài tập về phương trình và bất phương trình mà học sinh thường gặp và mắc phải sai lầm Từ đó khái quát hóa thành bài toán tổng quát

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số đồng nghiệp trong trường

- Nghiên cứu tài liệu

- Xây dựng trên cơ sở lý thuyết

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới,

để củng cố hoặc để kiểm tra…

Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng

những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc

thực hiện các mục đích dạy học

2.2 Thực trạng của đề tài

Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi học sinh giải các bài toán

về phương trình hoặc bất phương trình thì học sinh vận dụng thường biến đổi tương đương mà không chú ý đến điều kiện xác định Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy tôi đã dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên học sinh cần nắm vững lý thuyết về phương trình tương đương và bất phương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn Do đó trong giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồi dưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương pháp giải toán đại số cho học sinh Như vậy khi giải bài toán về phương trình hay bất phương trình học sinh

có thể tự tin lựa chọn một phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm

2.3 Biện pháp thực hiện đề tài

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Xây dựng các bước giải

- Hướng dẫn một số bài toán giải phương trình và bất phương trình theo các bước trên

-Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh và phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sáng tạo

-Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam

mê phương pháp mới cho các em

-Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn

2.3.1 SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Ở LỚP 10

2.3.1.1 DẠNG 1

 

  0   0 ?

f x

f x

Ví dụ 1: Giải phương trình 22 12 0

5 4

 



 

Sai lầm thường gặp:

2

2 2

3 12

4

5 4

x

x





 

       

Nguyên nhân sai lầm: x 4 thì x2  4x  5 0 nên x 4loại

Lời giải đúng:

2 2

1 4

5 4 0 12

3 4

x x

x

x x





 



   













TỔNG QUÁT:

 

 

 

 

0 0

0

f x

f x





  





Bài tập tương tự: Giải phương trình 2 6 5 0

5

x

 





2.3.1.2 DẠNG 2

 

0

0

f x

f x g x

g x





  





Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3x2  x 6  0

Sai lầm thường gặp: x 3x2  x 12  0

12 0

4

x

x







 



Nguyên nhân sai lầm: với x 3 thì x  3 vô nghĩa

Lời giải đúng : x 3x2  x 12  0 2

3

3 0

3 0

3

x x

x

x





        

    







 

 Kết luận:

 

0

0

f x

f x g x

g x





  





Với x thuộc tập xác định của phương trình f x g x     0

Bài tâp tương tự: Giải phương trình   2

2.3.1.3 DẠNG 3

Ví dụ 1: Giải phương trình (x 2)(x2  x 2)  x 2 (3)

Sai lầm thường gặp: Pt (3)  (x 2)[(x+2)(x-1)]  x 2

2 ( 2) ( 1) 2

2 0

1 0

1 1

2 0

x x x x

  





 





 

 



 

  



1 1 2 2

x x x

  



 

 



Nguyên nhân sai lầm: Làm mất x = -2 là nghiệm của phương trình.

Lời giải đúng:

Pt (3)  (x 2)[(x+2)(x-1)]  x 2

2 ( 2) ( 1) 2

2 0

2 0 2

2

1 1

2 2

x

x x

x x

x x

 







     





 

















     



  



Vậy phương trình có các nghiệm là x = -2 và x = 2

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2 2

4 ( 1)

2

x

x



  

 (4) Sai lầm thường gặp:

pt (4) 2 ( 2)( 2) ( 1) 2

2

x

x





2 2 2 ( 1) 2

2

x

x





2(2 2 1 ) 0

2

x

x





2

2 2

2

5

x

x x

x x

x









Nguyên nhân sai lầm: Cách giải trên đã làm mất x=-2 là nghiệm của pt(4)

Lời giải đúng:

2 (4) 2 ( 2)( 2) ( 1)

2

x

x





2 2 22  1 2

2 2 2 ( 1) 2

 

2 2 2 ( 1) 0

2

x

x



      

2 2 ( 1) 0 2

0 2 2 0 2

x x x x

     





 



  





 



2( 2) ( 1) 0 2 0 2(2 ) ( 1) 0 2 0 2

2

2 0

x x x

        









  

  

  



 



2 2 2

x x x

     

    









  

  

 







 x x52





Vậy phương trình có các nghiệm là x 5và x 2

TỔNG QUÁT:

0, 0

0, 0

A

A B

B

B













Các bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:

3 25 (2 1)

5

x

x



 b 2 2

3

x

x



   



c (3x 1)(3x2  4x 1)  x 1 d (2x 3)(2x2  x 3)  x 1

2.3.1.4 DẠNG 4:

0

A



Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 2x3  3x  x2  2x (5)

Sai lầm thường gặp:

Pt (5) 2

(2 3) ( 2)

 x 2x2  3  x x 2

2

2

0

x

 



02

x





 

  



02

x





 

  



2

0 2

x x









 



   



2

0 2

x x









 







0 2 1 1 2

x x x x

















  



 



  



  



 x 0

Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi phương trình sau không phải là phép biến

đổi tương đương x x(2 2  3)  x x(  2)  x 2x2  3  x x 2

Lời giải đúng:

pt(5) x x(2 2  3)  x x(  2)

2

0

( 2) 0

x

x x







    







2

0

2 0

x

x x







   



 







   

  



0 1 2

x x









 



TỔNG QUÁT:

0

0; 0

A







   





2.3.2 SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10

2.3.2.1 DẠNG 1:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2

x





  (6) Sai lầm thường gặp:

Bpt(6)

2

2

6 0

   



 

   



( ) 0 ( )

( ) ( ) ( )

g x





  



 ; f x1( )g x( )1  f x f x( ) 0; ( ) 0( )g x( )g x 



2

2; 3 0



 

 



2; 3 1 0

x x





  



 





0 3 1 2

x x x x

  













 

 



 



Nguyên nhân sai lầm: Với x(-2;-1] và Với x[0;3) thì x2-x-6<0 nên khi nhân hai vế với biểu thức này thì bất phương trình đổi dấu

Lời giải đúng:

Bpt (6) 2

0

6 2

x



 

2 2 0

6



 

Lập bảng xét dấu:

x   -2 -1 0 3  2

x x + + 0 - 0 + +

x  x + 0 - - - 0 +

VT +  - 0 + 0 -  +

Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình:

S=( ;-2)[-1;0](3;)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1 1

1 2 3

Sai lầm thường gặp:

Bpt (7) (x x1 21)(2x x 33) 0

  

3 1;

2 4

x



 



 

 



 x 4

Nguyên nhân sai lầm: Với x ( 1; )3

2

  thì x+1>0>2x-3 và bất phương trình nghiệm đúng Cách giải trên đã làm mất nghiệm

Lời giải đúng:

Bpt(7) 1 1 0

1 2 3

2 3 ( 1) 0

( 1)(2 3)

  

4 0

( 1)(2 3)

x



Lập bảng xét dấu:

x - -1 3

2 4 +

x-4 - - - 0 +

x+1 - 0 + + +

2x-3 - - 0 + +

VT -  +  - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là: S=(-1; 3 2)[4;)

TỔNG QUÁT:

( ) ( ) 0 ( )[bf(x)-a.g(x)]>0 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( )[ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) f x a f x a b g x g x b g x b f x g x g x f x f x g x          2.3.2.2 DẠNG 2

Ví dụ 1: Giải bất phương trình x2  1 2 x2  x 6 0 (8)

Sai lầm thường gặp:

6 0

2

x

x





      



Nguyên nhân sai lầm: Với x  2 1 0  x 1 thì x2  1 2 x2  x 6 0 nên (8) thỏa mãn Cách giải trên đã làm mất nghiệm x 1

Lời giải đúng: Bpt (8)

2 2

1 0

( ; 2] [3; ) { 1}

6 0

x

x

  

  



2( ) ( ) 0 ( ) 0; 2( ) ( ) 0 ( ) 0

TỔNG QUÁT: 2 ( ) 0 2 ( ) 0

Bài tập tương tự: Giải bất phương trình:

2 2 2

(x 1) (x 3) (3x  5x 2) 0 

2.3.2.3 DẠNG 3

Ví dụ 1: Giải bất trình (x2  3 ) 2x x2  3x 2 0  (9)

Sai lầm thường gặp:

Bpt(9)

2 2

3 0



 



2 1 2 3 0

x x x x

  



 



 

 

 





3 1 2

x x









 



Nguyên nhân sai lầm: x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình (9)

Lời giải đúng:

Bpt(9)

( 3 ) 2 3 2 0 ( 3 ) 2 3 2 0







2 2 2 2 2

3 0

3 0





  





  



 

  



    

 

 

 



f (x).g(x) 0 ; f (x).g(x) 0

2 1 2 3 3 1 2

x x x x x

  

 

  

 





 

 

   

 



2 3 1 2

x x x



 



  









TỔNG QUÁT: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

f x g x

f x g x

f x g x

  



( ) ( ) 0;

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

g x

g x

f x

f x

g x





 



 



 











 



Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: 2

(2x 5) 2x  5x 2 0 

2.3.2.4 DẠNG 4:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:

2

2

4 4

2 4

x

x

  (10) Sai lầm thường gặp:

Bpt(10) 2 2 2 2

2

(2 4 )

x

 

2 0 2 2

x





 

      



2

0

6 0

x





 

  

 0



Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi x2  x 4  4  x2   2 4  x2 thành 2

6 0

x  x  là không tương đương

Lời giải đúng: ĐKXĐ: x  0; 2 x 2

2

(2 4 )

x

 

2 0 2 2

x





 

      



2

2

0

6 0

x x







   



  



0

x x x







   

  



 x20x 2

  



TỔNG QUÁT:

f x( ) g x( )  f x( ) h x( ) g x( ) h x( ) ;h(x)D với D là tập xác định của f x( ) g x( )

f x( )h x( )g x( )h x( ) f x( )g x( ) ;với x thuộc tập xác định của f x( ) h x( ) g x( ) h x( )

Bài tập tương tự: Giải bất phương trình:

2

2

5 25

x

x

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Để kiểm nghiệm kết quả cho đề tài nghiên cứu tôi đã chọn 2 lớp, học sinh đều có trình độ ngang nhau đó là các lớp 10C2, 10C3 năm học 2016-2017 của trường THPT Thạch Thành 2 Lớp thực nghiệm là lớp 10C2 được học về “ khắc phục một số sai lầm cho học sinh lớp 10 khi giải phương trình và bất phương trình” như trao đổi trong đề tài Lớp đối chứng là lớp 10C3 được học theo phương pháp thông thường chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong tiết dạy tôi đã kiểm tra kiến thức của các em ở hai lớp thông qua cùng một đề kiểm tra (đề 15 phút và

giao cùng một bài tập giải phương trình và bất phương trình) và thu được kết quả như sau:

Lớp Học sinh không giải được hoặc giải sai Học sinh giải đúng

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong tiết dạy tôi đã kiểm tra kiến thức của các em ở hai lớp thông qua cùng một đề kiểm tra (đề 15 phút và giao cùng một bài tập giải phương trình và bất phương trình) và thu được kết quả như sau:

Lớp Học sinh không giải được hoặc giải sai Học sinh giải đúng

Nhìn vào thống kê trên ta thấy rất rõ sự chênh lệch của số lượng học sinh giải đúng phương trình và bất phương trình ở lớp không được hướng dẫn và số học sinh ở lớp được hướng dẫn khắc phục một số sai lầm khi giải phương trình

và bất phương trình Tất nhiên, việc áp dụng “ kinh nghiệm” vừa học vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu, chưa quên và do vậy nhiều em sẽ áp dụng được hơn Nhưng không bởi vậy mà ta phủ nhận việc giúp học sinh, cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho những loại bài toán khó

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Được giảng dạy các lớp 10 nên tôi đã nhận thấy được một số khuyết điểm, sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài tập, nhất là những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai

Khi hướng dẫn học sinh sửa bài tập gặp những bài toán về phương trình

và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai tôi thường trăn trở phải làm sao cho các em thấu suốt một cách triệt để, biết phân loại các bài toán, phân tích mỗi loại và tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào mỗi loại bài.Trên cơ sở đó tôi luôn tích luỹ kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy, tìm tòi đổi mới và đưa các bài tập áp dụng vào một tiết học giải bài tập,luyện tập hoặc ôn tập chương nên phần nào các em đã hiểu đựơc Qua đó các

em phần nào tự tin hơn khi giải một bài toán mà không sợ mình mắc phải sai lầm nào

Trong bài viết này, tôi chỉ giới thiệu một số dạng toán cơ bản về phương trình và bất phương trình mà các em thường mắc sai lầm khi giải để cho các em nắm được một cách chắc chắn hơn Mong rằng có những ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm của đồng nghiệp để bài viết hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

Tôi kiến nghị lên BGH nhà trường và tổ bộ môn xây dựng thư viện có nhiều đầu sách tham khảo hay,cung cấp đầy đủ trang thiết bị dạy và học tốt hơn nữa

Bài viết của tôi chỉ trình bày theo những kinh nghiệm của cá nhân trong quá trình giảng dạy, do đó chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu xót và chưa thật hoàn chỉnh Vì vậy tôi rất mong được các đồng nghiệp góp ý chân thành cho bản sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân, không sao chép nội dung của người khác

Đoàn Mạnh Hùng

TÀI LIỆU TAM KHẢO

1, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán của Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

2, Đại số 10 cơ bản của các tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường,

Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), NXB giáo dục

3, Đại số 10 nâng cao của các tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông(2006), NXB giáo dục