sáng kiến khắc phục một số sai lầm cho học sinh khi giải bài toán tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI *** Mã SKKN: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN Lĩnh vực: Toán học Cấp học: Trung học phổ thông NĂM HỌC: 2014 – 2015 PHẦN I: MỞ ĐẦU I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Trong chương trình toán trung học phổ thông, mà cụ thể môn giải tích lớp 12, em học sinh tiếp cận với toán tính tích phân tiếp cận với vài cách giải thông thường toán tích phân đơn giản Tuy nhiên với khả nhận thức em học sinh vấn đề khó có số em biết phương pháp giải trình bày lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa đặc biệt mắc số sai lầm giải toán tính tích phân Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình sách giáo khoa giải tích lớp 12 hành phần kiến thức tính tích phân với thời lượng giới thiệu sơ lược đưa cách giải khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế nên giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Mặt khác khả nhận thức đa số học sinh chậm mà để tính toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn kĩ thục - Các toán tính tích phân có ý nghĩa quan trọng học sinh bậc học Để giải toán tích phân, người làm toán phải sử dụng phép biến đổi tích phân , phải biến đổi sử dụng nhiều công thức bảng nguyên hàm từ dạng đơn giản dạng phức tạp Bởi , nói toán tính tích phân lớp 12 tạo khả giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ biến đổi tích phân sử dụng thành thục bảng nguyên hàm Về mặt tư tưởng toán tích phân giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , mong muốn công việc đạt hiệu cao , tốt Tóm lại toán tích phân chương trình toán lớp 12 toán tổng hợp kiến thứcvà kỹ tính toán rèn khả tư cho học sinh , có vai trò quan trọng việc bồi dưỡng học sinh giỏi Bồi dưỡng cho học sinh thi vào trường đại học, cao đẳng, THCN Chúng ta biết nhiều năm gần đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông , đề thi đại học , cao đẳng, THCN năm toán tích phân thiếu học sinh THPT toán tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Khắc phục số sai lầm cho học sinh giải toán tích phân” nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung II- MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy lớp 12 trường trung học phổ thông , với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi mạnh dạn làm đề tài để khắc phục hạn chế - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 12 số phương pháp tổng quát số kỹ giúp học sinh nắm kiến thức toán tính tích phân Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi, lựa chọn phương pháp cho phù hợp để lời giải ngắn gọn Hy vọng đề tài giúp em học sinh lớp 12 có nhìn toàn diện phương pháp giải lớp toán tính tích phân III- NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Xuất phát từ lý chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên trực tiếp giảng dạy thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp toán tính tích phân,từ dạng phức tạp đưa dạng đơn giản, chọn phương pháp cho phù hợp giải cách dễ dàng Muốn giáo viên phải hướng cho học sinh biết dạng toán tìm phương pháp giải đơn giản ngắn gọn - Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc phù hợp với đối tượng học sinh lớp 12 trung học phổ thông , có sáng tạo đổi Giới thiệu cách giải đơn giản ngắn gọn nhất,đưa giải pháp số ví dụ minh hoạ - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 12 hệ trung học phổ thông Trong đề tài đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau toán tác giả có cách giải giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng xác IV- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Tính tích phân - Thực nghiệm với học sinh lớp 12A7,A8,A9 V- PHẠM VI NGHIÊN CỨU : - Nội dung số sai lầm mà học sinh hay mắc phải giải toán tính tích phân cách khắc phục sai lầm VI- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp 12A7,A8,A9 năm học 20142015 - Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm PHẦN II: NỘI DUNG Tên đề tài: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN I- QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI , KHẢO SÁT THỰC TẾ : Qua việc khảo sát ,thực tế số lớp 12 lớp 12A7,12A8,12A9,trong trình giảng dạy nhận thấy: a, Thiếu tài liệu nghiêm trọng Về đa số học sinh có sách giáo khoa sách tham khảo bồi dưỡng thêm tập tính tích phân ít,có số em chưa mua sách giáo khoa, hiểu chưa hết tầm quan trọng việc đọc sách việc giải thêm toán sách tham khảo ,bởi khó cho người giáo viên trực tiếp giảng dạy lẽ mà giáo viên trực tiếp giảng dạy khôi,lớp 12 mà không sưu tầm cá sách tham khảo để bồi dưỡng thêm kiến thức tìm hiểu phương pháp để truyền đạt tới học sinh kiến thức cách trơn chu, dễ hiểu học sính coi toán tính tích phân dạng toán trừu tượng khó hiểu b, Sự hiểu biết hạn chế: - Phần tập tính tích phân trừu tượng học sinh, số học sinh có lực học trung bình lúng túng lựa chọn phương pháp để giải toán tích phân.có thể lựa chọn phương pháp lại trình bày dài lủng củng - Đa số học sinh lớp 12 A7,A8,A9 em nông thôn, gia đình vất vả sống nên em chưa quan tâm nhiều, chư đầu tư tốt việc mua trêm sách hay dành lượng thời gian thỏa đáng cho học toán mà hiểu biết em nhiều hạn chế Số liệu điều tra: Về tình hình sử dụng sách giáo khoa tài liệu phục vụ cho việc giải toán tích phân theo điều tra sau: Lớp 12A7 12A8 12A9 Sĩ số 38 40 42 Sách giáo khoa Số lượng Tỉ lệ 32 84% 35 87% 36 86% Tài liệu tham khảo Số lượng Tỉ lệ 05 13% 04 10% 07 17% II/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI A Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: −2 * Sai lầm thường gặp: I = dx ∫ (x + 1) Bài 1: Tính tích phân: I = dx ∫−2 (x + 1) = d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −2 =- x +1 −2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] tích phân không tồn * Chú ý học sinh: b Khi tính f ( x) dx cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục [ a; b] không? ∫ a có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: dx ∫ (x − 4) 1/ 2/ ∫ x( x − 1) dx −2 π 3/ ∫ dx cos x − x e x + x dx x3 −1 4/ ∫ π Bài :Tính tích phân: I = dx ∫ + sin x 2dt 1+ t2 x * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan dx = ; = + t + sin x (1 + t ) ⇒ 2dt dx ∫ + sin x = ∫ (1 + t ) ⇒ I= = ∫ 2(t + 1) −2 d(t+1) = −2 dx ∫0 + sin x = tan x + π π +c t +1 −2 = tan π + tan + π tan không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x∈ [ 0; π ] x = π tan nghĩa 2 * Lời giải đúng: x π d −  dx dx 4 π x π  −π =∫  = tg  −  π0 = tg − tg  I= ∫ =∫ π + sin x  x π  2 4 0 + cos x −  cos  −  2  2 4 π π π   =  * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π dx ∫0 sin x 1/ π dx + cos x 2/ ∫ Bài 3: Tính I = ∫ x − 6x + dx * Sai lầm thường gặp: I= ∫ x − 6x + dx = ∫ ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3) d ( x − 3) = ( x − 3) 2 = − = −4 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi ( x − 3) = x − với x ∈ [ 0;4] không tương đương * Lời giải đúng: I= ∫ x − 6x + dx 4 0 = ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) ( x − 3) =- ( x − 3) + = + =5 2 * Chú ý học sinh: 2n ( f ( x ) ) 2n b I= ( n ≥ 1, n ∈ N ) = f ( x) ∫ ( f ( x) ) 2n 2n b ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) [ a; b] = a dùng tính chất a tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: π 1/ I = ∫ − sin x dx ; 2/ I = ∫ x − x + x dx 3/ I = ∫ π 4/ I = ∫ π    x + −  dx x   tg x + cot g x − dx Bài 4: Tính I = ∫x −1 dx + 2x + * Sai lầm thường gặp: I= d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctan( x + 1) −1 = arctan − arctan = π * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant ⇒ dx = (1 + tan t ) dt với x=-1 t = với x = t = π với x= t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm xác t = ? * Lời giải đúng: Đặt t = − x ⇒ dt = x 1− x2 dx ⇒ tdt = xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = I =∫ 15 x3 1− x 15  t  (1 − t )tdt ∫ t = ∫ (1 − t )dt =  t −  15 = dx t = 15  15 15 15  33 15 − = =  − − 192  192  * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tgt cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đếnphương pháp khác *Một số tập tương tự: 1/ tính I = ∫ x3 + x2 dx 2/tính I = ∫x dx x2 + 1 x2 −1 dx Bài 6: tính I = ∫ −1 + x   1−   x   x2 = dx * Sai lầm thường mắc: I = ∫ ∫ 2   −1 − +x x +  − x2 x  1−  Đặt t = x+ ⇒ dt = 1 − x   dx x2  Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 dt 1 − )dt =(ln t + -ln t − ) I=∫ = ∫( t − t + t − −2 −2 = ln 2+ 2− − ln −2+ −2− = ln = ln t+ t− 2 −2 2+ 2− 1− x2 x −1 = sai [ − 1;1] chứa x = nên 1+ x4 +x x2 */Nguyên nhân sai lầm: −2 chia tử mẫu cho x = * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = 2 ln x2 − x +1 x2 + x + x2 −1 (ln )′ = F (x) = x +1 2 x + x +1 ’ x2 − x + 1 x2 −1 x2 − x +1 dx ln Do I = ∫ = 2 x2 + x + −1 + x −1 = ln 2− 2+ *Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = B Bài tập thực hành Bài tập 1: Tính tích phân sau: xdx a ∫ x + 1 e x dx b ∫ e x − e c ∫ 1 + ln x dx x Bài tập : Tính tích phân a π ∫ cosx sinxdx a sin x + b cos x b π ∫ cosxdx + cos x Bài tập 3: Tính tích phân : a π dx ∫ sin x + π cos xdx b ∫ π sin x π c xdx x ∫ sin π Bài tập 4: Tính tích phân sau: a ∫ xdx 1+ x ∫ x dx b c a ∫ ( 1+ x) 5dx a2 − x2 (a > 0) Bài tập có hướng dẫn lời giải Bài tập 5: Tính tích phân sau: ∫ a) − (1 − x ) dx = ∫ (1 − x ) dx − = − (1 − x ) − = 3 10 ( 33 − 1) π π b) ∫ sin π − x dx = cos π − x  = 4  4 0 2 1  1 dx = ∫  − dx x( x + 1) x +1 1 x ∫ c) = ( ln x − ln( x + 1)) 2 = = ln Bài tập 6: Tính tích phân a) ∫ x2 (1 + x ) dx đặt u = x+1 ⇒ du = dx x = 0⇒ u = x = 3⇒ u = ∫ x2 (1 + x ) dx = ∫ u − 2u + 1 u du = = ∫ b) − x dx đặt x = sint ⇒ dx = cos tdt − x = − sin t = cos t x = ⇒ sint = ⇒ t = π x = ⇒ sint = ⇒ t = Khiđó ∫ π − x dx = ∫ cos tdt = π (1 + cos 2t )dt ∫0 π 1 = ( t + sin 2t ) 2 = π Bài tập 7: Tính tích phân π a (1 + cos x) dx ∫ x3 b ∫ dx x +1 π III KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận,trong bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập Sau cố gắng, nỗ lực kết hợp đồng biện pháp thực hiên,đặc biệt đổi phương pháp vào giảng dạy cụ thể, thực tế cho thấy kết thu khả quan Cụ thể em khắc phục nhiều sai sót biến đổi tích phân em không lúng túng lựa chọ phương pháp phù hợp cho toàn tích phân Nhiều em thể hứng thú học tập rõ rệt môn toán học đặc biệt giải toán tích phân, yêu thích, hứng thú học tập động lực thúc đẩy em tìm tòi, sáng tạo, hăng hái phát biểu xây dựng giúp cá em tiến rõ rệt Lớp Sĩ số 12A7 12A8 12A9 38 40 42 Học kì I năm học 2014- 2015 Khá, giỏi Trung bình Yếu Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lượng 09 07 12 24% 17,5% 29% lượng 16 23 19 42% 57,5 45% lượng 13 10 11 lệ 34% 25% 26% Học kì II năm học 2014- 2015 Khá, giỏi Trung bình Yếu Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng 20 25 25 53% 62% 60% lượng 16 15 15 42% 38% 35% lượng 2 Sau bảng so sánh , đối chứng kết qua hai học kì Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Thời đại ngày thời đại công nghệ thông tin, khoa học kĩ thuật.Có nhiều vấn đề chi phối em mà nhiều học sinh ham chơi điện tử, chơi game internet bỏ bê việc học hành, không mặn mà với việc mua sách tham khảo, tự giải tập toán, tự tìm tòi điều dễ hiểu Trách nhệm nặng nề người giáo viên giảng dạy toán trường phổ thông đem tâm huyết nghề nghiệp đánh thức , khơi dậy niềm say mê, hứng thú học tập môn toán góp phần vào chiến lượcđào tạo người – chủ nhân tương lai đất nước PHẦN III : BÀI HỌC - KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT 5% 0% 5% 1/ Bài học: Qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm thấy học sinh nông thôn trường THPT dạy môi trường học tập, điều kiện kinh tế khả nhận thức học sinh yếu trình giảng dạy giáo viên nên tìm hiểu học sinh, nên chắt lọc kiến thức, phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh chất lượng môn nâng lên 2/ Kiến nghị đề xuất: Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng , THCN Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc giải toán để em tránh sai lầm làm tập - Đề nghị lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm trên viết, sai xin chịu trách nhiệm Chương Mỹ,ngày 20 tháng năm 2015 TÀI LIỆU THAM KHẢO Kiến thức giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) Phương pháp giải toán Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD – 2000) Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) MỤC LỤC Trang PHẦN I : MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu 5 VI Phương pháp nghiên cứu PHẦN II : NỘI DUNG I Quá trình thực đề tài, khảo sát thực tế II Nội dung đề tài III Kết thực có so sánh đối chứng 17 PHẦN III: BÀI HỌC - KIẾN NGHỊ- ĐỀ XUẤT 19 Ý kiến đánh giá, nhận xét hội đồng khoa học sở ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ……………………………… Ý kiến đánh giá, nhận xét hội đồng khoa học cấp …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ……………………………… ... lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Khắc phục số sai lầm cho học sinh giải toán tích phân nhằm giúp học sinh khắc phục. .. thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm PHẦN II: NỘI DUNG Tên đề tài: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM... CHỨNG Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa