Một số phương pháp giải phương trình bậc 4 cho học sinh lớp 10

Mặt khác khi giải các bài toán liên quan đến phơng trình, hệ phơng trình: vô tỷ, lợng giác, mũ và lôgarit, chúng ta cũngthờng phải quy về giải phơng trình bậc cao, trong đó có ph- ơng tr

1 mở đầu

- Lý do chọn đề tài

Trong chương trỡnh toỏn phổ thụng núi chung và chương trỡnh Đại số 10 núi

riờng chỳng ta đó làm quen với phương trỡnh bậc bốn Tuy nhiờn cỏc em họcsinh mới gặp cỏc phương trỡnh bậc bốn dạng đơn giản như phương trỡnh trựngphương, phương trỡnh quy hồi qua vài phộp biến đổi học sinh cú thể giải quyếtmột cỏch dễ dàng Tuy vậy, khi gặp cỏc phương trỡnh bậc bốn khụng cú dạng đặcbiệt cỏc em tỏ ra lỳng tỳng và hầu như đều khụng giải được

Mặt khác khi giải các bài toán liên quan đến phơng trình,

hệ phơng trình: vô tỷ, lợng giác, mũ và lôgarit, chúng ta cũngthờng phải quy về giải phơng trình bậc cao, trong đó có ph-

ơng trình bậc bốn Một số bài toán trong hình học, trong vật

lý sau khi trải qua một số bớc, cuối cùng cũng đều đi đến việcphải giải một phơng trình bậc bốn Cho dù đó chỉ là một bớcnhỏ trong một bài toán nhng nếu không giải quyết đợc bớc nhỏnày thì chúng ta cũng cha thể đa ra kết luận của bài toán đó.Quỏ trỡnh giải cỏc bài toỏn giải phương trỡnh bậc bốn đũi hỏi học sinh phảibiết võn dụng cỏc kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trỡnh, cỏc kỹ năng biếnđổi từ dạng phức tạp và dạng đơn giản một cỏch linh hoạt Học sinh cần cú tưduy lụgớc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo cỏc kiến thức về phõn tớch đathức thành nhõn tử, biến đổi đồng nhất cũng như cỏc kiến thức về bất đẳng thức

Từ đú giỳp học sinh rốn luyện tư duy lụgớc, khả năng tưởng tượng, phỏt huyđược tớnh tớch cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạngtrên, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bàitập về phơng trình bậc bốn, giúp các em phát huy đợc khảnăng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ,cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm

giảng dạy, tôi đa ra sáng kiến kinh nghiệm “Một số phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Sáng

kiến kinh nghiệm này đã đợc bản thân tôi áp dụng trong quátrình giảng dạy tại trờng THPT Hàm Rồng.

- Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hiểu sâu và nắm

chắc hơn các phơng pháp giải phơng trình bậc 4 Từ đónghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất lợng học môntoán trong trờng THPT, góp phần đạt kết quả tốt cho việc giảicác bài toán Hình học, vật lý, các bài toán về phơng trình vô

tỉ, lợng giác, mũ, logarit…

- Đối tợng nghiên cứu: Phơng pháp giải phơng trình bậc 4

đối với học sinh khối 10 trờng THPT Hàm Rồng

Bài toán giải phơng trình bậc 4 rất đợc chú trọng trong các

đề thi học sinh giỏi các cấp, cũng nh trong các tài liệu nângcao và nó cũng xuất hiện rất nhiều trong các tạp chí toán họchiện nay

2.2 Thực trạng vấn đề trớc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

- Trong chơng trình THPT, do thời lợng chơng trình có hạn mà

mảng phơng trình bậc bậc bốn cha đợc trình bày rõ ràng,

đầy đủ Ngợc lại còn rất sơ lợc, chỉ mang tính chất giới thiệuqua một số bài tập đơn giản

- Do cha đợc hệ thống kiến thức và cha đợc học đầy đủ cácphơng pháp để giải từng dạng phơng trình bậc bốn nên khigặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng và không có hớng giải.

- Tuy nhiên, các dạng bài tập về phơng trình bậc bốn thì rấtphong phú, đa dạng và phức tạp

- Đa số học sinh cha có phơng pháp để giải từng dạng phơngtrình bậc bốn nên rất nhiều em thờng "bỏ qua" hoặc "bỏ dở"bài toán khi đã quy về phơng trình dạng này

2.3 Các phơng pháp giải phơng trình bậc 4 :

2.3 1 Ph ơng pháp đ a ph ơng trình về dạng tích.

Cho phơng trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a≠0)(1)

+ Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1

+ Nếu a-b+c-d+e=0 thì (1) có nghiệm x = -1

+ Nếu a, b, c, d, e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ q p thì p, qtheo thứ tự là ớc của e và a

+ NÕu a+b1+c1+d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = 1.

+ NÕu a-b1+c1-d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = -1

+ NÕu a, b1, c1 ,d1 nguyªn vµ (1.1) cã nghiÖm h÷u tØ q p th×

x0bn- x0bi x0b0

x =

x0

1=an

bn-bn-2 bi-1 0

b) VÝ dô:

VÝ dô 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 (1.2)

Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1.2) ⇔(x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0

⇔(x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 ⇔(x+4)x(x2+2x-4)=0

0 4

1 5

x x x

Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x=0, x= -4, x= − ± 1 5.

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 (1.3)

Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phơng trình có 1 nghiệm x=

x x

x x

2.3.2 Ph ơng pháp đặt ẩn phụ.

Dạng 1 (PT trùng phơng): ax4 + bx2+c =0 (a≠0) (2)

a) Ph ơng pháp:

- Đặt t = x2 (t ≥0), đa (2) về phơng trình bậc hai: at2+bt+c=0(2')

- Giải (2'), nếu (2') có nghiệm t0 ≥ 0 thì (2) có nghiệm x= ± t0

* Chú ý:

- (2) vô nghiệm ⇔(2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t1 ≤ t2<0

- (2) có nghiệm duy nhất ⇔(2') có nghiệm t1 ≤ 0 =t2

- (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm t1 < 0 <t2 hoặc t1=t2>0

- (2) có 3 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm 0=t1 <t2

- (2) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm 0< t1 <t2

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân

biệt:

mx4-2(m-1)x2+m-1=0 (2.1)

mt2 -2(m-1)t+m-1 =0 (2.2)

Vậy không tồn tại m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân

biệt lập thành cấp số cộng: x4 -2(m+1)x2+2m+1 =0(2.3)

t2 -2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4)

(2.3) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2.4) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn : 0< t1 <t2

2 ' ( 1) 2 1 0

Ta ®a (3) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t: t(t-a2b2+c2d2)=m

* §Æc biÖt: Khi a1=b1=c1=d1=1, ph¬ng tr×nh cã d¹ng :

⇔t2 + 8t - 9 = 0 ⇔ 1

9

t t

t(t-10)=-9⇔t2-10t+9=0 1

9

t t

x x

at2+bt +c - 2ad

b =0 Đây là phơng trình bậc hai quen thuộc

* Đặc biệt: Khi a=e, phơng trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 ±

(4.3)

Nhận thấy y=0 không là nghiệm của phơng trình (4.3), chia 2

vế của (4.3) cho y2≠ 0 ta đợc phơng trình :

(lo¹i)

- NhËn thÊy x=0 kh«ng lµ nghiÖm cña (6), chia hai vÕ cho x2

b) VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2

(6.1) Gi¶i: (6.1) ⇔4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2

§Æt t = x + 16 + 60

x , ph¬ng tr×nh trë thµnh:

4t ( t + 1) = 3⇔4t2 + 4t – 3 = 0 ⇔

1 2 3 2

t t

x x

a) Ph ơng pháp:

- Chia hai vế cho B(x)≠0 rồi đặt t = C x B x( )( )

- Phơng trình (7) trở thành: at2+ct+b=0

b) Ví dụ: Giải phơng trình : -x3+2x2-4x +3 - (x2+x+1)2=0 (7.1)

x

− + + , phơng trình trở thành: 2

2t − − =t 1 0

1 1 2

t t

x

− + + =1 2

x

− + + = 1

(loại) (t/m)

( )

2 2

2

2

2 2

= + +

= +

d b b

c b a b a

b b b a a

a a a

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1 2 1

3 13 2

x x

* Nhận xét: Từ b1b2=-1 ta thử ngay với b1=-1, b2=1, từ đây có

thể dễ dàng tìm đợc a1=3, a2=1

Ví dụ 2: Tìm a, b để phơng trình x4 - 4x3 +(4+a)x + b = 0(10.2)

0 ) 4 (

2

2 2

0 4 2

2

x x

Giải: Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (11.2)

Xét các giá trị còn lại của x:

0 < 9 – x < 1 => (x-9)4= (9-x)4 < 9-x ⇒ ( ) (4 )4

x− + −x < x – 8 + 9 – x = 1 nên (11.2) vô nghiệm.Vậy phơng trình có 2 nghiệm : x = 8, x = 9

BàI TậP CủNG Cố.

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

1) 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 2) x4-8x3+7x2+36x-36=0

3) x4 -4x2 + 12x -9 = 0 4) x4+(x-1)(x2+2x+2)=0

5) (x2-4)(x2-2x)=2 6) 1)(3x+2)(x+1)=4

(4x+1)(12x-7) 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1) 8) x4 -4x3 + 8x

=5

9) x4+(x-1)4=97 10) x4 -5x3 +8x2-10x+4 =0

Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:(x2-1)(x+3)(x+5)=m

Bài 3: Tìm k để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4

-k2x2+2kx-1=0

Bài 4: Cho phơng trình: x4 -4mx3 +(m+1)x2-4mx+1=0

a) Giải phơng trình với m =1

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm

Bài 5: Giải và biện luận phơng trình: 2x4+mx2+2=0

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

- Thông qua bài dạy trong chơng trình SGK lớp 10 nângcao, qua quá trình làm bài tập trong SGK và SBT nâng cao để

đánh giá năng lực của học sinh

- Trớc khi học và sau khi học: "Các phơng pháp giải

ph-ơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", cho học sinh làm

bài kiểm tra và thống kê kết quả để thấy hiệu quả đạt đợccủa sáng kiến kinh nghiệm.

- Đối tợng đánh giá: học sinh lớp 10A1 và 10A2 - Trờng THPTHàm Rồng

Đề kiểm tra số 1 (Thời gian: 90 phút) (Trớc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu 1 (6 điểm): Giải các phơng trình sau:

2

5 5

1 29 2

x x

1 1 g(x)=x m 1 x 1=0 (2)

2 g(x)=x 1=0

x

x x

KÕt qu¶ cña bµi kiÓm tra sè 1:

Lo¹i Giái Kh¸ Trung

b×nh

KÐm

(Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu 1( 8 điểm): Giải các phơng trình sau:

a) (x+3)4+(x+5)4=2 b) x4 -3x2 -4x -3 = 0 c) 2(x2-x+1)2+x3+1=(x+1)2 d) x4 + x3 -17x2 +6x +2 = 0

Câu 2 (2 điểm) : Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm

1.001.c

1 1

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=1, x=

Phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt⇔(1)

và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt nhng chúng

0.25

Kết quả của bài kiểm tra số 2.

Loại Giỏi Khá Trung

bình

Kém

Yếu-Tỷ lệ

(%)

So sánh kết quả trớc và sau khi học chuyên đề:

Sau khi học chuyên đề này học sinh rất hứng thú khi gặp các

bài toán cần giải phơng trình bậc 4 Đối tợng học sinh giỏi rấtsay mê, và nhiều em là tìm tòi ra nhiều cách giải hay cho bàitoán, một số em đã viết thành báo cáo kinh nghiệm học tập tại

“Hội nghị báo cáo kinh nghiệm học tập”, trờng THPT hàm Rồng

tổ chức vào tháng 11 hàng năm cho học sinh

- Trong quá trình dạy học về phơng trình, hệ phơng trình vàbất phơng trình nói chung, tôi thấy các phơng pháp giải ph-

ơng trình bậc bốn cha đợc trình bày một cách đầy đủ Vìvậy, không chỉ học sinh lớp 10 mà ngay cả học sinh lớp 11, 12vẫn thấy lúng túng khi gặp loại phơng trình này Rất mong cóthêm nhiều tài liệu hơn nữa viết về đề tài này để góp phầncho việc dạy và học đạt hiệu quả cao hơn

- Việc giảng dạy trên lớp cần ra dạng bài từ mức độ dễ đếnkhó, kết hợp ôn tập với giao bài tập về nhà, và kiểm tra họcsinh, tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu những phơngpháp giải mới, những cách giải hay Biết khắc sâu những kiếnthức cơ bản, các bài tập thờng gặp để đa về dạng tổng quát.Tuy nhiên đây là đề tài khó nên chỉ đa ra cuối tiết học họctheo buổi học phụ đạo chuyên đề riêng

Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi

những thiếu sót Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của cácthầy giáo, cô giáo và bạn đọc

Xin trân trọng cảm

ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Húa, ngày 03 thỏng 5 năm 2016

Tụi xin cam đoan đõy là SKKN của mỡnh viết,khụng sao chộp nội dung của người khỏc

Người thực hiện

Nguyễn Bích Thuỷ