skkn phân loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10

Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bàitoán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quátrình khảo sát hàm số… Và được sử dụng nhiều trong

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Giải phương trình là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Toánhọc Có nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ vào đặcthù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bàitoán giải phương trình có thể áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giảikhác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợplí

Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bàitoán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quátrình khảo sát hàm số… Và được sử dụng nhiều trong quá trình ôn tập,đặc biệt là trong quá trình học THPT… Vì vậy học sinh cần phải nắmđược những kiến thức cơ bản về giải phương trình

Trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Đại số

10 nói riêng chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn Tuy nhiêncác em học sinh mới gặp các phương trình bậc bốn dạng đơn giản nhưphương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài phép biến

đổi học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng Tuy vậy, khi gặp cácphương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng vàhầu như đều không giải được.

Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phảibiết vân dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹnăng biến đổi từ dạng phức tạp và dạng đơn giản một cách linh hoạt.Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duylôgíc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích

đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng nhất cũng như các kiến thức về bấtđẳng thức

Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng tưởngtượng, phát huy được cao độ tính tích cực, chủ động và vận dụng kiếnthức vào thực tiễn

Trong quá trình tìm tòi, tôi đã tìm đọc một số sách của các tác giả viết

về vấn đề phương trình bậc bốn, tuy nhiên vấn đề mà tôi trình bày còn

khá mới mẻ và chưa được tìm hiểu cụ thể Sau đây tôi xin giới thiệu vài

cách giải các phương trình bậc bốn dạng x4 ax3 bx2 cx d  0 (Trong đó

a, b, c, d là các số thực khác 0)

Từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài “ Phân loại và phương pháp

giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán” Tôi xin trình bày để các độc giả tham khảo.

2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua đề tài này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn cácphương pháp giải phương trình bậc bốn Từ đó nghiên cứu tìm tòi sángtạo nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán trong trường THPT, đặcbiệt đạt kết quả cao trong các cuộc thi học sinh giỏi

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Học sinh lớp 10A1, 10A2, 10A3 THPT Đinh Chương Dương – HậuLộc

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc bốn,đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các dạng bài tập củng cố và rèn luyện

kỹ năng cho học sinh

- Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giải phương trìnhbậc bốn nhằm đưa ra phương pháp giải và dạng tổng quát cho các dạngbài tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh và giáo viên thamkhảo và học tập

Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu cách giảiphương trình bậc bốn dạng tổng quát x4 ax3 bx2 cx d  0(Trong đó a, b,

c, d là các số thực khác 0)

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bản thântôi đã tìm hiểu và tích luỹ được

- Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm

để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh

- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng trong các đềkiểm tra, các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong tất cả các tài

liệu nâng cao và nó cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề tài nghiên cứukhoa học cũng như các tạp chí toán học hiện nay.

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Kỹ năng giải phương trình bậc bốn của học sinh còn nhiều hạn chế,

chưa được rèn luyện thường xuyên Học sinh mới tiếp cận các phương

trình bậc bốn dạng đơn giản, như phương trình trùng phương, phươngtrình quy hồi qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách

dễ dàng Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặcbiệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được

Các tài liệu viết về dạng toán giải phương trình bậc bốn còn tản mạn,tuỳ thuộc nhiều vào người viết cũng như cách hướng dẫn học sinh Do

đó chưa có những phương pháp cụ thể, rõ ràng và chưa khắc sâu đượckiến thức cho học sinh

Từ thực trạng như trên việc chọn chuyên đề “ Phân loại và phương

pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao

kết quả học tập môn Toán” là cần thiết để góp phần nâng cao chất

lượng giảng dạy và học tập của giáo viên cũng như của học sinh

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Vấn đề nghiên cứu được trình bày thông qua nội dung 3 bài:

Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn

BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Do đó việc giải phương trình bậc bốn quy về việc giải phương trình bậchai Đây cũng chính là cách để giải mọi phương trình bậc bốn.

Ta thấy a + b + c + d + e = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 Do đó phương trình(1) có nghiệm x 1 Khi đó phương trình (1) viết được dưới dạng:

Ta thấy phương trình (1) không áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm,

nên ta vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1 13 2

x x

Giải phương trình (3) vô nghiệm

Ta thấy hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng

nhau, đây là phương trình đối xứng bậc bốn.

Chia cả hai vế cho x2 ( khác không ) ta có:

2

2

2 2

Ta được phương trình:

2

2 2

-o0o -BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1 Dạng 1: Phương trình trùng phương

Giải phương trình: ax 4 bx2  c 0 (1)

Phương pháp:

 Bước 1: Đặt t = x2 với t  0

Khi đó (1)  at2 bt c  0 (2)

Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t

 Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Nếu (2) có nghiệm t0  0 thì (1) có nghiệm x  t0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  5

2 Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng

Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Chia

cả hai vế của phương trình cho x2  0 ta được:

Đây là phương trình bậc hai quen thuộc

 Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1).

*Chú ý:

- Trong trường hợp đặc biệt e a 1 tức là đối với những phương trình

có dạng: ax 4  bx 3  cx 2  bx a 0   ta cũng có cách giải tương tự

- Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là phương trình hồiquy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể đưa chúng vềdạng phương trình hồi quy Từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải.

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai

vế của phương trình cho x ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = 2; x = 4

Đây là phương trình bậc hai quen thuộc

 Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình (x 1)(x 2)(x 4)(x 5) 10 

2 2

( 1)( 2)( 4)( 5) 10 ( 6 5)( 6 8) 10

2 4

2 2 2

12

2

Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải

 Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

* Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất phong phú và

đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù mỗi bài toán, phương pháp được trình bày

ở trên chỉ minh hoạ được một vài dạng thường gặp

Bài 4: Cho phương trình x – 2x 4 3  6x – 5 m 

a) Giải phương trình với m = -1

b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m

c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1

-o0o -BÀI 3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn

Như vậy với việc tìm ra số h từ công thức (2) ta có thể giải cácphương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt như đã phân loại ở bài 1 vàbài 2.

I Những kết quả đạt được

Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy, đề tài “Phân

loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán” đã tác động tích cực đến

học sinh Phát huy được tính tích cực, sáng tạo tư duy logic của các em.Học sinh không cảm thấy lung túng khi gặp các phương trình bậc bốnkhông có dạng đặc biệt, từ đó các em các em thích thú hơn với bài toángiải phương trình, đặc biệt là phương trình bậc bốn

Đối với bản thân, nhờ quá trình thường xuyên trau dồi, học hỏi đồngnghiệp, nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã thường xuyên nâng caochất lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệu quả

và chất lượng

* Thống kê kết quả lớp bồi dưỡng

XÕp lo¹i

Như vậy rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả học tập củahọc sinh có sự tiến bộ rõ rệt

II Bài học kinh nghiệm

Qua quá trình trực tiếp giảng dạy do đối tượng học sinh trong mộtlớp không đồng đều về mức độ nhân thức nên giáo viên nên đưa ra cácdạng đi từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra họcsinh

Nội dung kiến thức về đề tài là kiến thức mở do đó giáo viên nênđưa vào cuối các giờ luyện tập, hoặc buổi học phụ đạo bồi dưỡng

Sau khi hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinhnhững kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh những kĩnăng làm bài tập cho học sinh.

Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, mỗi giờ học chỉ nên giớithiệu một dạng toán, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cáchthụ động mà kết quả đạt được không cao

III Những kiến nghị và đề xuất

Học sinh cần có đầy đủ dụng cụ học tập,sách giáo khoa, sách thamkhảo và các bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán

Với giáo viên cần có nhiều nguồn tài liệu nghiên cứu, học hỏi trênnhiều kênh thông tin, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinhnghiệm cho bản thân Thường xuyên quan tâm đến việc giải các bài tậptheo các dạng ở trên

Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểunhững cách giải mới, các lời giải hay Biết khắc sâu kiến thức cơ bản,các bài tập thường gặp nhằm đưa về dạng tổng quát hoá

Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên đi học tậpcác lớp nâng cao trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡng thường xuyên nângcao chuyên môn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư việntrường các đầu sách có giá trị, đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệutham khảo.

Đề tài này đã được các đồng nghiệp góp ý bổ sung, nhưng chắc chắnkhông tránh khỏi thiếu sót Trong pham vi khuôn khổ, đề tài còn ít ví dụminh hoạ cũng như chưa đi hết các cách giải Tôi rất mong nhận được sựđóng góp ý kiến cũng như các nhận xét của tất cả các thầy, cô và các bạnđồng nghiệp để tôi sửa chữa nhưng chỗ sai, những chỗ còn thiếu sótnhằm nâng cao chất lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên

đề thiết thực và có hiệu quả cao

Tôi xin chân thành cảm ơn!

của mình viết, không sao chép nộidung của người khác.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Toán bậc THPT, NXB GD, 2006

[2] Sách giáo viên Toán bậc THPT, NXB GD, 2006

[3] Phạm Văn Điều, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ

cấp, NXB ĐHQGHN, 2000.

[4] Thiết kế bài giảng toán bậc THCS

[5] Tạp chí toán học tuổi trẻ

MỤC LỤC

Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ 1

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

I Cơ sở lý luận 3

II Thực trạng vấn đề 3

III Giải pháp và tổ chức thực hiện 3

Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử………… 4

Bài 2: Phương pháp đặt ẩnphụ……….