SKKN rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 10” Tác giả sáng kiến: Nguyễn Minh Khánh Mã sáng kiến: 05.52 STT Vĩnh Phúc, tháng năm 2020 NỘI DUNG TRANG 1 10 11 12 13 Mục lục Lời giới thiệu Tên tác giả Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo gia sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến Những thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Đánh giá lợi ích thu Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Tài liệu tham khảo MỤC LỤC 2 2 3 17 18 18 18 19 Lời giới thiệu Qua trình công tác giảng dạy trường THPT , mà cụ thể phân môn Đại số 10 em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu căn, nhiên em làm quen với số cách giải thông thường, đơn giản Tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách tiếp cận toán để hướng dẫn cho học sinh chon lựa cách giải tốt Từ đòi hỏi người thầy cần phải khơng ngừng tìm tòi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học khó cần thiết chưa đủ Là giáo viên dạy toán trường THPT mong muốn có nhiều học sinh u q, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi Song để thực điều người thầy cần có say mê chun mơn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trò Khai thác sâu tốn phần việc giúp người thầy thành công nghiệp Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê tốn học tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 10” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho quý thầy cô công tác giảng dạy Tên sáng kiến: “Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 10” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Minh Khánh – Tổ phó tổ Tốn – Tin Trường THPT Nguyễn Thái Học - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0373000796 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: E-mail: khanhnth1978@gmail.com - Họ tên: Nguyễn Minh Khánh – Tổ phó tổ Tốn – Tin Trường THPT Nguyễn Thái Học - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0373000796 E-mail: khanhnth1978@gmail.com Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực: Toán học - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi học sinh ôn thi Đại học, học sinh khối 10 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 12 năm 2020 Mô tả chất sáng kiến: - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn toán hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp rút kết luận 7.1 Về nội dung sáng kiến: Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Mơn tốn học môn quan trọng cần thiết học sinh Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f (x) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực (dạng khơng tường minh) nâng cao f(x) = g(x) (1) * Dạng 1: phương trình Phương trình  g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔  điều kiện g(x) ≥ điều kiện cần  f(x) = g (x) đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2 (x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện g(x) ≥ để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm f (x) = g(x) (2) * Dạng 2: phương trình Phương trình  f(x) ≥ ( g(x) ≥ ) f (x) = g(x) ⇔   f(x) = g(x) Điều kiện f(x) ≥ ( g(x) ≥ ) điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý đâykhông thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) khơng âm f(x) = g(x) * Dạng 3: phương trình f(x) − g(x) = h(x) (3) Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Chuyển vế để vế dương f(x) = g(x) + h(x) Bước 3: Bình phương vế * Dạng tốn khơng mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm Học sinh trường THPT Nguyễn Thái Học lớp đặc biệt lớp 10 nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp tốn phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 khơng nêu cách giải tổng qt cho dạng, thời lượng dành cho phần kiến thức Sáng kiến kinh nghiệm khắc phục hạn chế học sinh - Để khắc phục hạn chế học sinh giải phương trình vơ tỉ, tơi làm sau: + Đầu tiên đưa cho học sinh toán đơn giản mà học sinh giải theo cách sách giáo khoa đưa cho học sinh thấy hạn chế cách giải + Tiếp đến tơi đưa cho học sinh ví dụ phức tạp để học sinh thấy sử dụng cách giải thông thường để giải 3.1 Một số tốn phương trình vơ tỉ Một tốn đơn giản : Giải phương trình 2x− = x− 1(1) Nếu giải theo cách sách giáo khoa, học sinh giải Điều kiện x≥ (1) ⇒ 2x− = ( x− 1) ⇒ 2x− = x2 − 2x+ ⇒ x2 − 4x+ = ⇒ x= Sau so sánh điều kiện thay vào phương trình xem nghiệm có thoả mãn khơng Theo tơi cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x≥ điều kiện cần đủ Trong tốn phức tạp cách giải khó khăn Hay tốn giải phương trình 5x2 + 6x− = x+  5x2 + 6x− ≥ Học sinh thường đặt điều kiện  sau bình phương vế để giải  x+ ≥ phương trình Cách làm rối khơng cần thiết, cần điều kiện x+ ≥ đủ Ví dụ tốn sau khơng thể giải theo cách thông thường Tôi xin đưa số cách giải tối ưu sau: Bài toán 1.Trong đề thi Đại học khối D năm 2006 có tốn sau Giải phương trình: 2x − + x − 3x + = (1) Lời giải : Dạng : f (x) = g(x) Tuy nhiên đưa số cách giải Cách 1: ĐK x≥ Khi đó: ⇔ 2x − − 2x + 1+ x2 − x = () Đặt 2x − = t , Phương trình cho trở thành: t − t + x2 − x = t = x ⇔ t =1 − x Trở lại phép đặt ta có  2x − = x   2x − = − x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x =  x = − Nhận xét: Cách phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách ĐK x≥ PT ⇔ x − x+ = 2x − − 2x − +  2x − = x 1 ⇔ ( x − ) = ( 2x − − ) ⇔  2  2x − = − x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x =  x = − Nhận xét: Cách phương pháp biến đổi tổng hiệu hai bình phương, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách Cô lập thức, đặt điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình bậc x = bốn ta tìm nghiệm là:  x = − Tuy nhiên Cách khơng thú vị, nên làm phương trình có nghiệm đẹp, có nghiệm đẹp nên suy nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp để xuất nhân tử chung Không thỏa mãn với cách tiếp tục suy nghĩ đến phương án đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II tìm Cách Cách ĐK x≥ (1) ⇔ (1− x) − x= − −(1− x) + x 1 − x = u  −(1 − x) + x = v Đặt  u − x = −v Theo ta có:  v − x = −u Đến ta hệ phương trình đối xứng loại II, giải hệ ta u = v u = − v ; trở lại phép đặt,  x = Giải phương trình, ta nghiệm phương trình là:  x = − Nhận xét: Trong Cách chủ động đề cập tới dạng tổng quát ( mx + n ) + b = a a ( mx + n ) − b Đây cách giải mà tâm đắc, với cách giải khiến tơi mở rộng tốn thành nhiều tốn thú vị, nhiều khơng làm theo cách gần bế tắc Với xu hướng đề thi trắc nghiệm nay, phần phương trình, hệ phương trình khơng gặp dạng trực tiếp mà gặp dạng gián tiếp câu dạng vận dụng để phân loại học sinh giỏi, đặc biệt thi học sinh giỏi lớp 10 dạng tốn gần khơng thể thiếu đề thi tỉnh Vĩnh Phúc Do dạy học phần phương trình vơ tỷ khơng cung cấp cho học sinh kiến thức bản, kĩ thành thạo phải hướng dẫn học sinh đào sâu suy nghĩ từ toán quan tâm đến tốn khó Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung khai thác sâu Cách 4, từ sáng tạo tốn thú vị Bài tốn Giải phương trình x − 11x + = ( − x ) x − x + Nhận xét: Bài tốn khơng có nghiệm đẹp việc nhân liên hợp hay bình phương hai vế khó khăn; Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn khơng đơn giản, với Cách ta có lời giải sau: Lời giải Điều kiện x ∈ R Phương trình cho tương đương với: ( − 3x ) − ( x − x + 3) = ( − x ) ( − x ) ( − 3x ) + ( x − x + 3)  − x = u Đặt   x − x + = v ta thu hệ u = x − x + + ( − x ) v ⇒ u − v2 = ( − x ) ( v − u )  2 v = ( − x ) u + x − x + u = v ⇔ ( u − v ) ( u + v − x + 1) = ⇔  u + v − x + = Xét hai trường hợp xảy u = v ⇔2 −3x = x −6 x +5  − 14 x ≤ ⇔ ⇔x = 5 x −6 x −1 =  u + v − x + = ⇔ 4x2 − 6x + = 4x − 3  + 33 x ≥ ⇔ ⇔ x= 12  x − x + = 16 x − 24 x +   − 14 + 33  ;  12    Kết luận tập nghiệm S =  Nhận xét: Mức độ phức tạp tăng thực sự, nguyên dạng tổng quát ( mx + n ) − b = a a ( mx + n ) + b Trong a; b lúc theo thứ tự nhị thức bậc tam thức bậc hai ( − 3x ) − ( x − x + 3) = ( − x ) ( − x ) ( − 3x ) + ( x − x + 3) Ngồi cách làm trên, đặt ẩn phụ khơng hồn tồn thu kết nhiên vất vả Sau mở rộng tiếp để toán phức tạp 16 x + 11x + Bài tốn Giải phương trình = x − 18 x − −x + Lời giải x ≠ Điều kiện  2 x − x − ≥ Phương trình cho tương đương với 16 x + 11x + = (− x + 4) x − 18 x − ⇔ (−4 x − 1) + x = (− x + 4) ( −4 x − 1)( − x + 4) − x Đặt −4 x − = u; x − 18 x − = v ta thu hệ phương trình u + 3x = (− x + 4)v ⇒ u − v = (− x + 4)(v − u )  v + x = (− x + 4)u  −4 x − = x − 18 x − 4(1) u = v ⇔ ⇔ u + v − x + =  x − 18 x − = x − 3(2)  Xét trường hợp  −4 x − ≥ 13 + 109 x ≤ − •(1) ⇔  ⇔ ⇔ x = −  12 16 x + x + = x − 18 x − 12 x + 26 x + =   5 x − ≥ x ≥ •(2) ⇔  ⇔ x − 18 x − = 25 x − 30 x +  21x − 12 x + 13 =  ( Hệ vơ nghiệm) Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x = − 13 + 109 12 Bài tốn Giải phương trình 2(x2 − x+ 6) = x3 + Khác với ví dụ biểu thức bậc 3, ta giải theo công thức A = B để thu phương trình bậc bốn 10 Lời giải 1:  x3 + ≥  x≥ −2 ⇔ ( *) ⇔   2  4(x − x+ 6) = 25(x + 8)  x − 33x + 52x − 48x− 56 =  x≥ −2  x≥ −2  ⇔ ⇔  x2 − 6x− = ⇔ x= ± 13 (x − 6x− 4)(4x − 9x+ 14) =  4x2 − 9x+ 14 = VN  Lời giải 2: Ta giải phương pháp đặt ẩn phụ ví dụ sau biến đổi phương trình dạng ( x+ ) + ( x2 − 2x+ ) = ( x+ ) ( x2 − 2x+ ) (1) Đặt u = x+ ≥ 0,v= x2 − 2x+ ≥ u u ( 1) ⇔ 2u2 + 2v2 = 5uv⇔ 2( )2 − + = v v u v=  u = 2v  x+ = x − 2x+ ⇔ ⇒ ⇔ u 2u = v  x+ = x2 − 2x+   =  v ⇔ x= ± 13 Bài tốn Giải phương trình 2x2 − x − = x2 − 5x + −2 x + Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình cho tương đương với x − x − = (−2 x + 3) x − x + ⇔ ( − x + 1) + x − = (−2 x + 3) (−2 x + 3)(− x + 1) − x + Đặt − x + = u; x − x + = v,(v > 0) ta thu 11 u + x − = (−2 x + 3)v u = v 2 ⇒ u − v = ( − x + 3)( v − u ) ⇔  u + v − x + =  v + x − = (−2 x + 3)u Xét trường hợp •u = v ⇔ − x + = x − x + x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅  x = x − x + = x − x +   •u + v − x + = ⇔ x − x + = x − 3 x ≥ 19 + 73 ⇔ ⇔ x= 16 8 x − 19 x + = Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x = 19 + 73 16 Nhận xét Đến nhiều bạn thắc mắc: dạng tổng quát: ( mx + n ) − b = a a ( mx + n ) + b “ Làm để tìm a, b, m, n” ? Câu trả lời sau: x − x − = ( −2 x + 3) x − x + ⇔ ( − x + n ) + x + a.x + b = (−2 x + 3) (−2 x + 3)(− x + n) − ( x + a.x + b) Đồng hệ số  n + b = −3 n =  n − b =   ⇔ a =  −2n + a = −2 b = −4  −2n − − a = −5 Bài toán Giải phương trình + = x2 + x + x Lời giải Điều kiện x ≠ Phương trình cho tương đương với x + = x x + x + ⇔ ( x + ) − x + x − = x x( x + 2) + x − x + 12 Đặt x + = u; x + x + = v,(v > 0) ta thu u − x + x − = xv u = v 2 ⇒ u − v = x ( v − u ) ⇔  u + v + x = v − x + x − = xu  Xét trường hợp  x ≥ −2 •u = v ⇔ x + = x + x + ⇔  2 x + 4x + = 2x + x +  x ≥ −2  − 21 + 21  ⇔ ⇔ x∈ ;  2 x − x − =       x ≤ −1 •u + v + x = ⇔ x + x + = −2 x − ⇔  2 2 x + x + = x + x +  x ≤ −1 ⇔ ⇔ x = −3 x + x + =   − 21 + 21  ; ; −3 Kết luận: Phương trình ban đầu có tập nghiệm x ∈    Nhận xét Đối với tốn ,phía ngồi thức có dạng nhị thức bậc nên tạm thời sử dụng : x + = x x + x + ⇔ ( x + n ) − ( x + a.x + b) = x x( x + n) + x + a.x + b Đồng hệ số n + b = n =  b =  ⇔  a = −1  n + a = b =  2n − a = ⇒ ( x + 2) − x + x − = x x ( x + 2) + x − x + Bài toán Giải phương trình = 2x + (2 x − 1)(4 x + 3) − Lời giải 13   x ≥  −3 Điều kiện   x ≤    (2 x − 1)(4 x + 3) ≠ 36 Phương trình cho tương đương với = (2 x + 1) ( ) (2 x − 1)(4 x + 3) − ⇔ 12 x + = (2 x + 1) x + x − ⇔ x + x + − x + x + = (2 x + 1) x + x + + x − x − ⇔ (2 x + 2) − x + x + = (2 x + 1) (2 x + 1)(2 x + 2) + x − x − Đặt x + = u; x + x − = v,(v ≥ 0) ta thu u − x + x + = (2 x + 1)v u = v 2 ⇒ u − v = (2 x + 1)( v − u ) ⇔  u + v + x + = v − x + x + = (2 x + 1)u  Xét trường hợp  x ≥ −1  x ≥ −1 •u = v ⇔ x + = x + x − ⇔  ⇔  2  x + x + = x + x − 4 x − x − =  ± 37  ⇔ x∈     4 x ≤ −3 x = − •u + v + x + = ⇔ x + x − = −4 x − ⇔  ⇔  x + 22 x + 12 =   x = −2 ± 37   Kết luận Phương trình cho có nghiệm x ∈ − ; −2;  4   Bài tốn Giải phương trình x − x + = ( −4 x − 1) x + x − Lời giải Bài chia vế cho -4x-1 có dạng: f(x) = g(x) Điều kiện x + x − ≥ 14 Phương trình cho tương đương với ( −2 x + 1) − x = ( −4 x − 1) ( −4 x − 1) ( −2 x + 1) + x Đặt −2 x + = u; x + x − = v ta thu hệ phương trình u − x = ( −4 x − 1) v u = v ⇒ u − v = ( −4 x − 1) ( v − u ) ⇔   u + v = + x v − x = ( −4 x − 1) u Xét hai trường hợp xảy −2x+ ≥ •u= v⇔ −2x+ = 8x2 + 3x− ⇔  2 4x − 4x+ = 8x + 3x−  1   x≤ ⇔ ⇔ x∈  ;−2  4  4x2 + 7x− =  x ≤ • u + v = + x ⇔ x = x + 3x − ⇔  2 36 x = x + 3x − x ≥ ⇔ (Hệ vô nghiệm) 28 x − x + =  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x = ; x = −2 Bài tốn Giải phương trình x + 19 x + = x x − x + Lời giải Điều kiện x − x + ≥ Phương trình cho tương đương với ( x + 3) + x − = x x ( x + 3) − x + Đặt x + = u; x − x + = v ta thu hệ phương trình  u = v u + x − = xv ⇒ u − v2 = x ( v − u ) ⇔    u + v = − x u + x − = xu Xét hai trường hợp xảy 15 2 x + ≥ • u = v ⇔ 2x + = 2x2 − 4x + ⇔  2 4 x + 12 x + = x − x + 3  x ≥ − ⇔ ⇔ x = −4 + 13 2 2 x + 16 x + =   x ≤ −1 −11 − 79 • u + v = − x ⇔ − x − x + = 3x + ⇔  ⇔ x= 7 x + 22 x + =  Vậy phương trình cho có hai nghiệm Nhận xét Các tốn bạn giải phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn nhân liên hợp, khơng đơn giản đòi hỏi phải có nhiều kinh nghiệm kĩ thật tốt giải Sau tiếp tục làm phức tạp hóa tốn lên, khiến cho phương pháp khác phải khó khăn x + x + 10 Bài toán 10 Giải phương trình = x3 + x + x 2 x + 3x + Biến đổi PT dạng: ( x + 2) + x + = (2 x + x + 3) (2 x + 3x + 3)( x + 2) − (5 x + 6)  x + = u Đặt:   (2 x + 3x + 3)( x + 2) − (5 x + 6) = v u + x + = (2 x + x + 3)v Ta thu hệ:  2 v + x + = (2 x + x + 3)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x + x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện ta tìm  x = −1 nghiệm:   x = −1 + Bài tốn 11 Giải phương trình x + 29 x + 26 = x + x + 15 x + 14 x + x+3 16 Biến đổi PT dạng: (3 x + 5) + − x = ( x + x + 3) ( x + x + 3)(3 x + 5) − (1 − x) 3 x + = u Đặt:   ( x + x + 3)(3x + 5) − (1 − x ) = v u + − x = ( x + x + 3)v  Ta thu hệ:  2  v + − x = ( x + x + 3)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x + x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện  x = −1 ta tìm nghiệm:  ± 37 x=  Bài tốn 12 Giải phương trình x2 + x + = x + x + x + 16 2x − x +1 Biến đổi PT dạng: ( x + 4) − x − 12 = (2 x − x + 1) (2 x − x + 1)( x + 4) + (7 x + 12)  x + = u Đặt:   (2 x − x + 1)( x + 4) + (7 x + 12) = v 2  u − x − 12 = (2 x − x + 1)v Ta thu hệ:  2  v − x − 12 = (2 x − x + 1)u u = v Giải hệ ta được:  u + v + x − x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x = ta tìm nghiệm:  −3 ± 17 x=  Bài toán 13 Giải phương trình x + 10 x + = x3 + x + x + x +1 Biến đổi PT dạng: ( x + 3) + x − = ( x + x + 1) ( x + x + 1)( x + 3) − (4 x − 6)  x + = u  ( x + x + 1)( x + 3) − (4 x − 1) = v Đặt:  u + x − = ( x + x + 1)v Ta thu hệ:  2 v + x − = ( x + x + 1)u 17 u = v Giải hệ ta được:  u + v + x + x + = Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x = ta tìm nghiệm:  −3 + 33 x=  3.2 Bài tập tham khảo Giải phương trình: x +4 x = x +3 2 Giải phương trình: x + x + = x + = x +1 Giải phương trình: ( x − 1)(2 x + 3) − Giải phương trình: x = + ( x − 1) x − x + x2 − x + =2 Giải phương trình: 6x − Giải phương trình: x − x = ( − x ) 3x − x + Giải phương trình: x + 11x + = ( x + 1) x + x + 5 x Giải phương trình: 2(2 x + ) = 2 x + x − x Giải phương trình: 2(2 x + + ) = x + x − 11 10 + = 2 x + 3x − x 13 11 Giải phương trình: x + = 18 + x − x 10 Giải phương trình: x + 12 Giải phương trình: 4( x − x + 12) = ( x + 3) x + 10 x − 48 13 Giải phương trình: ( x − 1)( x − 2) + 18 = ( 3x + 1) ( x − 2)(3x + 10) 14 Giải phương trình: 18 x + 13 = 18 + x − 2x 8x2 − x + =2 15 Giải phương trình: 12 x − 16 Giải phương trình: x + 13 = (2 x + 4) 2(2 x − 1)(2x + 3) = 5x + 17 Giải phương trình: (5 x − 1)(10 x + 3) − 18 18 Giải phương trình: ( x + 1) + 27 = ( x + 3) ( x − 2)(x + 9) 19 Giải phương trình: x + 11 = x ( x − 1)(2x + 7) 20 Giải phương trình: x + 13 = ( x + 4) 2( x − 1)(x + 3) 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh trường THPT Nguyễn Thái Học, nhận thấy em biết giải dạng tốn này, hứng thú với mơn học, có chủ động học tập, góp phần nâng cao chất lượng Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối tượng học sinh Lớp 10,11,12 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: Là tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả - Học sinh mở rộng thêm kiến thức phương trình vơ tỉ Qua theo dõi tiết dạy tơi thấy học sinh hứng thú, tích cực hoạt động thực nghiệm Điều thể cụ thể qua biểu cụ thể học sinh qua tiết học sau: + Sẵn sàng cho việc thực nhiệm vụ để giải vấn đề + Hăng hái tham ra, đưa ý tưởng, giải pháp giải vấn đề + Hợp tác với bạn bè để thực nhiệm vụ + Có ý thức sửa chữa quan niệm sai thân, giúp đỡ bạn bè sửa chữa quan niệm sai - Nội dung SKKN có hiệu giảng dạy cho giáo viên học sinh nội dung xây dựng từ lý thuyết đến hệ thống tập phong phú giúp học sinh có tảng kiến thức vấn đề 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự 19 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) Số TT Tên tổ chức/cá nhân Nguyễn Minh Khánh Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến THPT Lĩnh vực giáo dục- Nguyễn Thái Học Bộ mơn Tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số 10 [2] Đề thi tuyển sinh vào Đại Học năm từ 2001 đến 2015 [3] Chuyên đề phương trình, hệ phương trình thạc sỹ Lê Văn Đồn-.Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 nhiều trường THPT [5] Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục [6] Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) [7] Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải [8] Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục Vĩnh Yên, ngày tháng… năm 2020 Vĩnh Yên, ngày 25 tháng năm 2020 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến Nguyễn Minh Khánh 20 ... chế học sinh giải phương trình vô tỉ, làm sau: + Đầu tiên tơi đưa cho học sinh tốn đơn giản mà học sinh giải theo cách sách giáo khoa đưa cho học sinh thấy hạn chế cách giải + Tiếp đến đưa cho học. .. mê tốn học tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 10 mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh... x = x +3 2 Giải phương trình: x + x + = x + = x +1 Giải phương trình: ( x − 1)(2 x + 3) − Giải phương trình: x = + ( x − 1) x − x + x2 − x + =2 Giải phương trình: 6x − Giải phương trình: x −