Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CHO HỌC SINH LỚP Người thực : Bùi Thị Hiền Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN thuộc (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2018 MỤC LỤC Nội dung Mục lục Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp A) Hệ thống hoá kiến thức liên quan B) Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa dạng A2 + B2 = A.B = PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp C) Vận dụng việc giải hệ phương trình vơ tỷ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Phần 3: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN đánh giá Trang 3 4 4 11 12 14 15 18 18 20 21 Phần 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Giải phương trình dạng tốn chương trình tốn THCS Trong phương trình vơ tỉ dạng mới, khó, trừu tượng học sinh lớp Dạng toán thường xuất đề thi tuyển sinh vào THPT, đề thi học sinh giỏi cấp, tảng cho toán lớp Trong trình giảng dạy lớp 9, tơi thấy gặp phương trình vơ tỉ học sinh lúng túng khơng tìm cách giải hay mắc sai lầm Phương trình vơ tỉ phương trình khơng có cách giải tắc Người làm tốn phải định hướng nên giải theo cách cho phù hợp nhanh gọn Trong bồi dưỡng học sinh giỏi ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo để tìm cách giải phương trình vơ tỉ đạt hiệu Mặt khác đa số học sinh trường THCS Trần Mai Ninh tiếp thu nhanh, làm hết tập sách giáo khoa, sách tập, có nguyện vọng thi vào trường chuyên Muốn đạt điểm cao kì thi học sinh giỏi, vào lớp 10 PTTH, trường chuyên phải giải tốn khó (trong có tốn giải phương trình vơ tỉ) Vì dạy phần đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn nhiều tập, nhiều dạng khác nhau, để học sinh tìm “chiếc chìa khố” giải dạng cụ thể phương trình vơ tỉ Qua q trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp học hỏi kinh nghiệm, mạnh dạn phân dạng phương trình vơ tỉ cách giải dạng, giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vơ tỉ nhiều góc độ, làm đơn giản phương trình vơ tỉ phức tạp Đề tài tơi nghiên cứu từ năm học 2011-2012 đến Trong năm học 2015 – 2016 viết thành sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp xếp loại B cấp tỉnh Năm học áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy lớp 9A 9H trường THCS Trần Mai Ninh thấy hiệu quả, em có hứng thú học tập mơn tốn hơn, kết giáo dục tăng rõ rệt Tuy nhiên năm học quan tâm tới hệ phương trình vơ tỉ nên tơi bổ sung vào sáng kiến kinh nghiệm năm trước để hồn chỉnh Đề tài giúp tơi củng cố nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến thức cho thân giúp em yêu thích mơn tốn Qua tơi xin trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp phương pháp dạy học, mong đề tài mở rộng phát triển 1.2 Mục đích nghiên cứu: Sáng kiến kinh nghiệm việc củng cố kiến thức sách giáo khoa cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng rèn luyện kỹ giải dạng phương trình cho học sinh Với phương trình học sinh phát dạng tìm cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát toán đặt đề toán tương tự Từ học sinh phát triển tư logic, hiểu sâu kiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học nâng cao hiệu giáo dục 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp 9, đại số tập phương trình vơ tỉ, kiến thức thức… 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: So với sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016 – 2017 bổ sung thêm phần: Vận dụng việc giải hệ phương trình vơ tỷ Trong dạy phần học sinh giải hệ phương trình vơ tỷ cách linh hoạt thuận tiện Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận: Xuất phát từ đặc trưng mơn tốn mơn Tốn trường THCS mơn “khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh kiến thức phổ thơng bản, vững có hệ thống Rèn luyện phát triển kĩ giải toán ứng dụng vào thực tế, khả tư logic, sử dụng ngơn ngữ xác Bồi dưỡng phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh Căn vào thực tế dạy học phương trình vơ tỉ chương trình Đại số thấy hệ thống tập sách giáo khoa, sách tập Bộ giáo dục Đào tạo ấn hành đáp ứng cho học sinh đại trà Đối với học sinh khá, giỏi dạng tập phong phú đa dạng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: a) Đối với học sinh: Trường THCS Trần Mai Ninh đa số em nắm kiến thức khả suy luận tốt, chăm chỉ, làm hết tập cô giao Song em làm cách định lượng, chưa suy nghĩ tìm cách giải khác, chưa có khả phân biệt dạng tốn, chưa tự giác tìm tòi dạng phương trình vơ tỉ Khảo sát thực tiễn đề tài: *) Số liệu thống kê Khi chưa áp dụng đề tài, tập giải phương trình vơ tỉ qua khảo sát 75 học sinh lớp 9A, 9H trường THCS Trần Mai Ninh nhận kết sau: Số học sinh Tỷ lệ Kết 20 26% Giải phương trình cho 27 36% Chưa giải phương trình cho 28 37% Khơng biết cách giải phương trình *) Ngun nhân: Học sinh khơng giải giải sai kết do: + Chưa biết cách áp dụng kiến thức học vào giải phương trình như: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức + Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình vơ tỉ + Chưa nắm kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình thiếu nghiệm thừa nghiệm 2) Đối với giáo viên *) Thuận lợi: - Hầu hết thầy có trình độ, đào tạo bản, tâm huyết với nghề cầu tiến - Nhà trường có sở vật chất tốt phòng học có máy chiếu, giáo viên soạn giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt công nghệ thông tin dạy - Các tổ, nhóm chun mơm hoạt động tích cực, thường xun dự giờ, trao đổi, góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ *) Khó khăn: - Các tập phương trình vơ tỉ vừa khó vừa khơng có phương pháp giải chung cho tất phương trình - Mức độ rèn luyện phát triển tư logic phương trình vơ tỉ khác nhau, chủ yếu dựa vào kinh nghiệm người giáo viên Đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, có tổng hợp, có liên hệ vấn đề, có thời gian, có tâm huyết có tinh thần học hỏi cao đáp ứng chuyên mơn cơng việc giảng dạy 2.3 Các giải pháp: A) Hệ thống hoá kiến thức liên quan Khi giải phương trình vơ tỉ học sinh cần nắm vững kiến thức sau: 1) Khái niệm phương trình, cách giải, tập xác định, nghiệm phương trình 2) Phương trình vơ tỉ - Định nghĩa phương trình vơ tỉ, bước giải phương trình vơ tỉ nói chung - Các kiến thức thức 3) Các tính chất luỹ thừa bậc 2, bậc 3, luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ 4) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức 5) Các kiến thức bất đẳng thức: Côsi, Bunhiacopski B) Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình (thường dùng vế có luỹ thừa bậc) Trong chương trình đại số 9, giải phương trình vơ tỉ học sinh thường quen dùng phương pháp nâng luỹ thừa hai vế để làm dấu Trong trình giải học sinh thường mắc phải số sai lầm phép biến đổi tương đương dẫn đến thừa thiếu nghiệm Có số phương trình sau làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc nhất, bậc để giải lại khó khăn Vì học sinh lúng túng khơng tìm lời giải �g(x) �0;f (x) �0 Dạng 1: f (x)  g(x)  � �f (x)  [g(x)] Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x  (1)  x 1  x 1  x 1   Giải: (1)     2  x   x  1  x 3  x  3x 0   Vậy phương trình cho có nghiệm x = * Nhận xét Khi giải phương trình dạng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện cho g(x) 0 Chẳng hạn ví dụ khơng đặt điều kiện x - 0 , dẫn đến phương trình x - 3x = có hai nghiệm x = 0; x2 = thay x1 = vào phương trình ta thấy VT ≠ VP Sở dĩ có sai lầm học sinh chưa nắm tính chất lũy thừa bậc hai Dạng f (x)  g(x)  h(x) f (x)  g(x)  h(x) f (x)  g(x)  h(x)  k(x) - Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa: f (x) �0; g(x) �0; h(x) �0; k(x) �0 - Biến đổi để vế phương trình khơng âm (với phương trình chứa bậc hai) ta bình phương hai vế phương trình tương đương Sau đưa phương trình dạng biết cách giải Ví dụ 1: Giải phương trình: x    x  (1) + Ở phương trình hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm bình phương hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải hai vế phương trình khơng dấu Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh tính chất luỹ thừa bậc hai: a = b  a2 = b2 ( Khi a, b dấu ) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (1)  x   x     x   x   52  2x   (x  3)(x  2)  25  (x  3)(x  2)  12  x �x �12 � �x �12 � � �x6 � 25x  150 � �x  x   144  x  24x  �2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x   3x   x  b) x   x   x   x  Dạng 3: Sử dụng lập phương hai vế Ví dụ 1: Giải phương trình x    x 2 (1) Đối với phương trình có chứa bậc lẻ ta không cần điều kiện để biểu thức dấu khơng âm n1 A có nghĩa với A Ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b  a2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu hai vế 2 Giải: Lập phương hai vế x    x  33 x  1  x  x  1.3  x  8 (1’) Đến học sinh lúng túng sau lập phương hai vế, vế trái nhìn phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức: ( a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) Khi (1’) viết x    x  33 ( x  1)(7  x) 3 x    x  8 Đặc biệt x    x 2 nên thay vào phương trình ta được:  33 ( x  1)(7  x) 8  ( x  1)(7  x) 0 Giải ra: x1  1; x 7 ; Thay vào (1) ta thấy nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x1= -1; x2 = Như phương trình (1) ngồi việc lập phương hai vế cần sử dụng đẳng thức cách linh hoạt để đưa phương trình dạng a.b = giải Bài tập áp dụng: Giải phương trình : a)  x   x  3 x ; b) x   3  x 4 ; c) x   x  3 10 x PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Khi gặp phương trình mà biểu thức viết dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức A  A để làm dấu đưa phương trình đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình: x   2 x   x  13  x  5 (1) Nhận xét: + Ở phương trình (1) học sinh nhận xét vế trái có bậc hai nên bình phương hai vế Nhưng phương trình sau bình phương (lần 1) chứa phức tạp +Ta xét xem biểu thức viết dạng bình phương biểu thức khơng? Từ có có hướng giải sau: Giải : ĐKXĐ x  0  x  ; x   2 x   x  13  x   � (2 x3)2 x3 1  (2 x3)2 x3.416  �   x3 1   x3 4  5� x3 1  x3 4   x  16 19   x Nếu x   0    x  x    x   5  2 x  8  x  4 Giải x  (Không thỏa mãn ĐKXĐ) 19 + Nếu x     x  x    x   5  x 0 2 19 Có vơ số nghiệm x thoả mãn x  2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x  20x  25  x  6x   10x  20 (2) ( Đề thi khảo sát đầu năm trường Trần Mai Ninh 2009 - 2010) Đối với tập học sinh phát biểu thức bình phương tổng biến đổi dạng: 4x  20x  25  x  6x   10x  20 � 2x   x   10 (x  2) Đa số học sinh giải phương trình cách xét khoảng x ≤ -3; -3 < x < - 2,5; x � 2, Tuy nhiên quan sát kỹ hai vế ta có vế trái không âm nên vế phải không âm, suy x ≥ từ có cách giải ngắn gọn Với x �2 2x   x   phương trình trở thành 2x + + x +3 = 10x – 20 Từ ta tìm nghiệm phương trình x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x   x   x   x  1 ; b) x  x   x  x   PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ Việc giải phương trình vơ tỉ thường gây nhiều khó khăn, phức tạp Nếu nâng lên luỹ thừa để làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao khó tìm nghiệm Tuy nhiên, đặt ẩn phụ cách thích hợp chuyển phương trình vơ tỷ cho phương trình đơn giản, hệ phương trình đại số có cách giải quen thuộc Cách đặt ẩn phụ tuỳ thuộc vào tốn cụ thể, phải xem xét vận dụng linh hoạt Ta đặt ẩn phụ, hai ẩn phụ, nhiều ẩn phụ 3.1) Cách đặt ẩn phụ: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình phương trình có ẩn Giải phương trình tìm ẩn phụ, từ tìm ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 6x+ 12+ x  3x  = (1) Nhận xét: Ở phương trình bình phương vế đưa phương trình bậc mà việc tìm nghiệm khó Ta tìm mối liên biểu thức dấu 2x2+ 6x+ 12 = 2(x2 + 3x + 2) + Giải: ĐKXĐ: x2+3x + 0  ( x+1) (x+2) 0  x ≤ 2; x ≥ -1 Đặt : x  3x  = y ( y 0 ) (1)  2y2 + y + =  2y2 + y - 1= Giải ta y1= 0,5 ( Thỏa mãn ĐKXĐ); y2= - ( Loại) Với y1= 0,5 ta tìm x =  3 nghiệm phương trình (1) Ví dụ 2: Giải phương trình: x    x  (x  1)(3  x)  (2) (Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) Đối với ví dụ bình phương vế phức tạp Khi quan sát so sánh kỹ biểu thức dấu học sinh nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ  x  0 Giải: ĐKXĐ   x 0 -1  x   Đặt y  x 1  3 x ( Điều kiện y  0) Khi y2 = + ( x  1)(3 x ) ( x  1)(3 x ) = y2 - (2’) (Điều kiện y2  ) Phương trình trở thành 2y – (y2- 4) = y2 - 2y = y( y - 2) = y = (không thỏa mãn y2  4) (loại) ; y = (thỏa mãn y2  4) Thay y = vào (2’) ta ( x  1)(3 x ) = 22 – ( x + 1) ( – x) = Ta thấy x = - 1; x = ( Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phương trình là: x = -1; x = Ví dụ 3: Giải phương trình 12  16x  16x  4x  4x  33 (3) (Đề thi HSG Thành Phố Thanh Hóa năm học 2012- 2013 vòng 2) Trong ví dụ đặt biểu thức 12  16x  16x  y phức tạp ta nên biến đổi thành biểu thức đơn giản trước đặt ẩn phụ Giải: ĐKXĐ – 0,5 �x �1,5 Biến đổi phương trình: 12  16x  16x  4x  4x  33 16  4x  4x  4x  4x  33 Đặt  4x  4x  y (y �0) Suy + 4x – 4x2 = y2 => 4x - 4x2 = y2 – (3’) Phương trình cho trở thành: 16y + y2 - = 33 y2 + 16y – 36 = ( y – 2) ( y + 18) = Do y = y = –18 Ta thấy y = – 18 (không thỏa mãn ĐKXĐ) + Thay y = vào (3’) ta có: 4x – 4x2 = 22 – 4x2 – 4x + = (2x – 1)2 = x = 0,5 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,5 Ví dụ 4: Giải phương trình x  3x x2  6 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2011- 2012) Với ví dụ ta đặt ẩn phụ không hiệu nên phải kết hợp hai phương pháp bình phương hai vế đặt ẩn phụ Giải : ĐKXĐ x > 3; x < - + Nếu x > bình phương hai vế phương trình ta được: 9x2 x2 x4 x2 x    72 �   72  x 9 x 9 x2  x2  x2 (t  0) , phương trình: t  6t  72  � t  Đặt t  x 9 Khi đó: x2 x2  � x3   x4 – 36x2 + 324 =  x2 = 18 � � x  3 � x  (Thoả mãn ĐKXĐ); x  3 (Không thoả mãn ĐKXĐ); + Nếu x < –3 x  3x x2    => phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x  3.2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn: Ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x  2002  2002 ( Đề thi vào lớp 10 PTTH năm 2002- 2003) Nhận xét: Nếu bình phương hai vế đưa phương trình bậc khó nhẩm nghiệm vơ tỷ Hãy tìm cách đưa hệ phương trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ từ đưa phương trình đơn giản Giải: ĐKXĐ x ≥ - 2002 Cách 1: Đặt � x  2002  y � x  2002  y ( y ≥ 0) ta có hệ phương trình � � x  y  2002 � x  y � � x  2002   x �� giải ta có: � x  y  � � x  2002  x  Từ sử dụng phương pháp để giải tiếp Cách 2: � x   x  2002  � 1 � 1� � 1� 2 x  x   x  2002  x  2002  � �x  � � x  2002  �� � 4 � 2� � 2� � 1 x    x  2002 � 2 2 Đến tiếp tục giải theo phương pháp Chú ý: Cách thường sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x  1) x  x  x  3x  (2) ( Đề thi vào lớp 10 chun tốn Lam Sơn 2014 – 2015) Đối với ví dụ ta linh hoạt đặt ẩn phụ giải ngắn gọn Giải: Điều kiện: x  x �0 Phương trình cho tương đương: x  x  ( x  1) x  x  x   (2’) Đặt t  x  x , (t �0) Ta có (2’) trở thành: t2 – (x +1)t – x – =  t = - (loại), t = x + �x �2 � x  � 13 (thỏa mãn ĐKXĐ) �x  x   Với t  x  � x  x  x  � � Vậy nghiệm phương trình là: x  � 13 Ví dụ 3: Tìm nghiệm dương phương trình y  y  y 9 28 (Đề thi thử vào lớp 10 Trần Mai Ninh năm 2015- 2016) Ví dụ khó chỗ đặt ẩn cho phù hợp cần phải quan sát kỹ đề hơn, ta đặt ẩn để đưa hai phương trình đối xứng sau: 4y   x Giải: Với y > đặt (ĐKXĐ x � ) 28 2 Ta có y 9 2  ( x  ) � x  x  y  7(x2 – y2) + 8(x – y) = 28 2 (x – y)(7x + 7y + 8) = Vì x � ; y  nên (7x + 7y + 8) > = > x = y Khi y  y  y  => 14y2 + 12y - = Giải ta có nghiệm dương phương trình y = 3.3) Đặt ẩn phụ: 6  50 14 Trong số phương trình đặt ẩn phụ phương trình phức tạp Ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ đưa phương trình đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình:  x  x  1 Nhận xét: Ở vế trái có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó + Hai biểu thức có mối quan hệ: – x + x – = (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đưa hệ phương trình khơng chứa giải Giải: ĐKXĐ x 1  u  v 1 Đặt 2 x  u; x 1  v ( v ≥ 0) Ta có hệ phương trình:  3  u  v 1 Giải ta u1 = 0; u2 = 1; u3 = - Từ ta tìm nghiệm x1=1; x2 = 2; x3 = 10 ( thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm x1= 1; x2= 2; x3 =10 Tổng quát: Đối với phương trình có dạng: n a  f ( x )  m b  f ( x ) c (n, m N; n, m>0) Ta thường đặt: u n a  f ( x) ; v m b  f ( x) Khi ta hệ phương trình:  u  v c  u  v c  n  n m m  u  v a  b  u  v a  b Giải hệ tìm u, v sau tìm x Ví dụ 2: Giải phương trình: 97  x  x  15 4 (2) Đây phương trình chứa bậc 4, ta thấy hai biểu thức dấu có tổng 82 nên đặt hai ẩn phụ để chuyển hệ đối xứng sau: Giải: ĐKXĐ: 15 < x < 97 Đặt u = 97  x ; v = x  15 (u, v > 0) �u  v  Khi ta có hệ phương trình: �4 �u  v  82 Mặt khác u4 + v4 = [(u + v)2 - 2uv]2 - 2u2v2 Vì u + v = nên u4 + v4 = (16 - 2uv)2 - 2u2v2 Đặt t = u.v (t > 0) ta có: (16 - 2t)2 - 2t2 = 82 t1 = 3; t2 = 29 Từ ta tìm nghiệm phương trình x = 96 ; x = 16 Ví dụ 3: Giải phương trình: (5  ) x  (5  ) x 10 (3) (Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm 2005 - 2006) Phương trình khơng quen thuộc phương trình trên, ẩn x nằm lũy thừa, gặp phương trình học sinh lúng túng Giáo viên cần giúp học sinh tìm thấy mối quan hệ hai biểu thức dấu căn, từ có cách đặt ẩn phụ phù hợp Giải: ĐKXĐ: x  R Ta thấy (5  6)(5  6)  Đặt x (5  6) x  u (u  0) (5  )  u 10 � u 5 Khi đó: (3) u   10 u2 - 10u + = � � u u 5 � Nếu u = - (5  ) x 5  (5  ) x  (5  ) x = x Nếu u = + (5  ) 5   x (5  )  5     5  x 2 5 1  x  0 x = - Vậy nghiệm phương trình x = + Ngồi cách có số tốn đặt ẩn phụ khơng đưa hệ phương trình ta tìm quan hệ ẩn phụ, thay vào hệ thức đặt lúc đầu để đưa phương trình đơn giản Ví dụ 4: Giải phương trình: 2( x  2) 5 x  (4) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2015-2016) Nhận xét: Nếu bình phương hai vế phương trình đưa phương trình bậc khó giải Đa số học sinh khơng làm tập Nếu quan tâm biểu thức x3+1 Ta sử dụng đẳng thức: x3 + 1= (x + 1)(x2 – x + 1) + Tìm mối quan hệ x2 + x3 + ta có x2 +2 = (x2 – x + 1)+( x + 1) + Từ đặt ẩn phụ: a  x  1; b  x  x  tìm mối quan hệ a, b từ tìm x Giải: ĐK XĐ x  Đặt a  x  ; b  x  x  Ta có: a2 = x + ; b2 = x2 – x + ; x2 + = a2 + b2  a 2b (4) 2( a2 + b2) = 5ab (2a – b)(a – 2b) =   b  a Từ ta tìm nghiệm phương trình ban đầu Ở dạng việc tìm mối quan hệ biểu thức hai vế quan trọng Vì trước giải phải quan sát nhận xét để tìm cách giải phù hợp 3.4) Đặt nhiều ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình x   x  3x   x  x   x  x  Nhận xét: + Phương trình nhìn phức tạp, dùng phương pháp bình phương vế khơng hiệu + Việc đặt điều kiện để thức có nghĩa phức tạp, nên ta giải phương trình tìm x thử lại + Quan sát nhận xét biểu thức dấu căn: (2 x  1)  ( x  3x  2) (2 x  x  3)  ( x  x  2) Nên nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ: Giải: ĐKXĐ x ≥ 2; x ≤ Đặt x  u; x  3x  v; x  x   z; x  x  t ( u, v, z, t ≥ 0) 11  u  v z  t Ta có hệ :  2 2x   2x  x  2 Từ suy ra: u t   u  v z  t Giải ta x = - (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm x= - PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa dạng A2 + B2 = A.B = Ở phương pháp ta sử dụng A2 + B2 = A = B = �A  B0 � A.B =0 � Ví dụ: Giải phương trình x  + y  2009 + z  2010 = ( x  y  z ) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2009 - 2010) Đối với phương trình ta khơng thể làm cách bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ được, nhiên quan sát kỹ ta thấy xuất đẳng thức bậc hai, từ có cách giải sau: Giải: ĐKXĐ: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với: x  y  z  2 2 y  2009  z 2010  ( x  - 1)2+( y  2009 - 1)2 + ( z  2010 - 1)2 = Vì ( x  - 1)2 ≥ 0; ( y  2009 - 1)2 ≥ 0; ( z  2010 - 1)2 ≥ nên � x   1 � � � y  2009 1  � � � z  2010 1  � x  1 � � � y  2009  � � � z  2010 1 x 3 � � y   2008 � � z  2011 � Vậy nghiệm phương trình x = 3; y = - 2008; z = 2011 PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức Ta dùng bất đẳng thức đánh giá vế phương trình để từ suy nghiệm phương trình Khi giải phương trình vơ tỉ thường dùng phương pháp bất đẳng thức nhiều dạng khác 5.1 Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt để chứng tỏ tập giá trị vế rời nhau, phương trình vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình x   5x   3x  Cách Điều kiện x ≥ Với x ≥ vế trái: x   5x   vế trái âm Vế phải 3x  ≥  vế phải ln dương Vậy phương trình cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x   5x   3x   x   8x   (5x  1)(3x  2)   7x  (5x  1)(3x  2) Với x ≥ vế trái số âm, vế phải dương nên phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x  x   x  10 x  14 4  x  x Nhận xét: +Ở phương trình ta khơng nên bình phương hai vế,đặt ẩn phụ + Xét biểu thức 12 3x2+ 6x +7 = 3(x+1)2+ 4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; - 2x - x2= -(x+1)2+5 Từ có lời giải: Giải: VT = 3x  x   x  10 x  14 4  x  x   5 VP =  x  x 5  ( x  1) 5 Vậy vế 5, x + = x = - Kết luận phương trình có nghiệm x = - Ví dụ 3: Giải phương trình: x    x  x  10 x  27 (3) Nhận xét: Nếu bình phương vế ta có phương trình bậc 4, khó giải, phức tạp Ta sử dụng bất đẳng thức so sánh vế Giải: ĐKXĐ: x 6 Ta thấy: x2 - 10x + 27 = (x – 5)2+ ≥ Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có (1 x    x)) �(12  12 )( x    x)  2.2  � x   6 x �2 ’ Suy x - 10x + 27 = (3 ) x    x 2 (3’’) Giải (3’) ta x = thay vào (3’’) ta thấy vế Vậy phương trình có nghiệm x = Tổng quát cách giải + Biến đổi phương trình dạng f(x)= g(x) mà f(x)≥ a; g(x)≤ a với a số Nghiệm phương trình giá trị x thoả mãn f(x)= a g(x) = a + Biến đổi phương trình dạng h(x)=m (m số) mà ta ln có h(x) m h(x) m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + Áp dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpxki 5.1 Đốn nghiệm, chứng minh nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình  x  3x  1 Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp khó giải nên suy nghĩ để tìm cách giải khác Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm phương trình + Chứng minh nghiệm Giải: Nhận thấy x = 1; x = -1 nghiệm phương trình   x    x  3x   phương trình vơ nghiệm   3x     x    x  3 x   phương trình vơ nghiệm + Xét |x| 1   3x   Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x7   2x  2x  x 1 (Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa 2011-2012) Đối với ví dụ ta khơng thể dùng phương pháp 1,2,3 dùng bất đẳng thức Trước hết ta nhẩm nghiệm phương trình, ngồi nghiệm ta có nghiệm khác khơng? Sau ta chứng minh nghiệm 13 Giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta thấy x = nghiệm phương trình �x  : VT =    Mà: VP >  x 1 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x  > 2.22 + =  VT <  6 x  2�x 1 21 �1 1 3 x 1 1 – Nếu 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x    x  x  x  11 ; b) x  x    x  x   x  x  5.2 Sử dụng phương trình bậc hai: Ngồi phương pháp ta vận dụng kiến thức phương trình bâc để giải phương trình vơ tỉ Đưa phương trình cho dạng tắc ax2 + bx +c = (a 0) Rồi tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x  7x  2( x  2) x   24 (*) Giải: ĐKXĐ: x  -3 Khi (*) x  x  x  24   x   x     x  3 +2  x   x   x  x  = Đặt y = x  (y > 0) , (2) - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = ' = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2  x   3x   x  x   3x  x 1  , y2 =  8 8  x  x Với y1 = ta có x   x + x  0 x +3 + x   0 4 Đặt x   u (u ≥ 0) ta có phương trình u2 + 4u – = ' = + = 7> => u1= 2  < (loại); u2  2  > y1 = x +3 = + - x = - < -3 (loại) Với y2 = x 1 ta có x 3  x 1 x  1- x   x   x    Đặt x   v (v ≥ 0) ta có phương trình v2 – 2v – = ' = + = => v1    (loại); v2    (TMĐK) x + = + + x = + (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy x = + nghiệm phương trình PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp Ví dụ 1: Giải phương trình   x3 x4 14 (Đề thi giáo viên giỏi Thành Phố Thanh Hóa 2015-2016) Đối với tốn ta bình phương hai vế khơng, ta phương trình bậc khơng có nghiệm ngun, khó khăn việc tìm nghệm, dùng biểu thức liên hợp ta có cách giải độc đáo sau Giải: ĐKXĐ x > - � 2 Khi phương trình cho tương đương với � � � �� �   � � � � x3 � x4 � �� � 4 x  11 x  11 x3  x4 0�  0 � � � � 2 2 2  x  3 �2  �  x  4 � � x3 x4 x3 � x4 � � � 4 1  0 � � � � 2  x  3 �2  �  x  4 � � x3 � x4 � � � 11 Do 4x + 11 = � x =  ( thỏa mãn ĐKXĐ) � 11 � Vậy tập nghiệm phương trình là: S  � � � Vì x > - nên Ví dụ 2: Giải phương trình x  12   x  x  (2) Giải: ĐKXĐ: x � Ta có x = nghiệm phương trình Như phương trình cho phân tích dạng  x   Q  x   Phương trình cho tương đương với: x  12   x   x   � 2 x2   3 x  2  x2  x  12  x2   � x2 � x2 �  x  2 �   � x2   � � x  12  x2 � � � � x2 x2  3  (2' ) � x2   � x  12  1 x2 x2  �   nên (2’) vô nghiệm Do 2 2 x  12  x 5 3 x  12  x 5 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = C) Vận dụng việc giải hệ phương trình vơ tỷ Thường học sinh giải phương trình vơ tỷ em thấy khó khăn gặp hệ phương trình vơ tỷ em hay lo ngại dễ bỏ qua Tuy nhiên hướng dẫn em sử dụng phương pháp giải đạt kết cao 15 1) Dạng hệ phương trình khử ẩn dẫn tới phương trình � � x 1   y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình � Giải: ĐKXĐ: x �1; y � � y 1   x  � � x    y  (1) (*) � y    x  (2) � Lấy (1) trừ (2) ta có x    y  y 1   x sau chuyển phương trinh, bình phương hai vế ta x  y   ( x  1)(7  y )  y  x   ( y  1)( x  7) � ( x  1)(7  y )  ( y  1)(7  x) � x  y Khi thay vào (1) ta có x    x  Dùng phương pháp giải phương trình vơ tỷ ta giải nghiệm hệ x 9 ;y  16 16 � � y ( x  x  3)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � � x  y  x 1 Giải: ĐKXĐ: x �0; y �0 Đối với hệ phương trình em thấy phức tạp dùng phương pháp hay cộng đại số giáo viên yêu cầu học sinh cần quan sát kỹ đề bài, áp dụng phương pháp giải phương trình vơ tỷ để làm Từ phương trình thứ ta có y x  x 3 vào phương trình thứ hai phức tạp nên ta cần trục thức mẫu để chuyển dạng đơn giản y  x   x Khi ta có phương trình x   x  Đây giải phương trình dạng quen thuộc em học sinh, em tự giải x = 1; y = nghiệm hệ cho � x � x  1  y y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: � � � xy  y    x  Giải: ĐKXĐ: �x �0; y  Nếu khơng quan sát kỹ học sinh gặp khó khăn chán nãn giải toán Trong hệ phương trình giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm mối quan hệ hai phương trình chuyển phương trình dạng xy  y   x từ thay vào phương trình ta phương trình quen thuộc x   x  Các em tự giải x = 1; y = nghiệm hệ cho 2) Dạng hệ phương trình đặt ẩn phụ để khử thức a) Đặt ẩn phụ 16 � 2x 2y  3 � x Ví dụ: Giải hệ phương trình � y �x  y  xy  � Giải: ĐKXĐ: xy >0 Với hệ phương trình ta dùng phương pháp được, quan sát kĩ phương trình thứ ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển phương trình đơn giản Đặt 2x = t ( (t �0) phương trình thứ trở thành: t   � t  3t   y t Sau giải phương trình ta tìm t vào phương trình thứ tìm 3 nghiệm hệ (2; 1); (-1; -2); (-3;  ); ( ; 3) b) Đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình � �x x  y y  35 Ví dụ: Giải hệ phương trình: � �x y  y x  30 Giải: ĐKXĐ: x �0; y �0 � �x  y u (u �0; v �0) � xy  v � u (u  3v )  30 Hệ phương trình trở thành � uv  35 � Quan sát kĩ ta đặt � Từ giải nghiệm hệ (9; 4); (4; 9) 3) Dạng hệ phương trình chứa giải nhờ sử dụng bất đẳng thức � �x   y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình � � �y   x  Đối với hệ phương trình ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ giải song dài gặp nhiều khó khăn quan sát điều kiện xác định ta có nhận xét hai vế từ có lời giải ngắn gọn Giải: ĐKXĐ:  �x, y � 2 � �x   x �2 � x   x  y   y �4 Từ ĐKXĐ:  �x, y � suy � � �y   y �2 Mà theo x   x  y   y  � �x   x  Suy � � �y   y  �x  Giải ta � hệ phương trình cho �y  �x  y  4z-1 � � Ví dụ 2: Giải hệ phương trình �y  z  x  � �z  x  y  17 11 42 ĐKXĐ: x; y; z � Với toán ta dùng bất đẳng thức để đánh giá hai vế hệ phương trình sau: x-1+1 y -1+1 4x �  � x-1 x; y 2 4z-1+1 4z-1 � 4z-1 2z nên 2( x  y  z ) � 4z-1  y -1  x-1 �2( x  y  z) Từ suy ra: x = y = z = Vì y -1 y Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải tốn phương trình vơ tỉ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết quả, đánh giá Qua trình thực sáng kiến kinh nghiệm học sinh lớp giảng dạy năm qua (lớp 9E, 9F năm 2011- 2012 lớp 9C, 9G năm 2015-2016, lớp 9C, 9B năm 2016 -2017, lớp 9A, 9H năm học 2017-2018) cho thấy kết rõ rệt - Các em tự tin giải phương trình vơ tỉ - Biết lựa chọn phương pháp phù hợp cho ngắn gọn, dễ hiểu - Khắc phục lỗi giải phương trình làm toán - Khả tư logic vấn đề đời sống ngày toán cải thiện nhiều - Học sinh có hứng thú học tập, tích cực học toán - Qua khảo sát học kỳ I, kiểm tra chương I kết có nhiều khả quan sau: Số học sinh u thích mơn đại số Số học sinh giải tốt phương trình vơ tỉ Trước vận Sau vận Trước vận Sau vận dụng đề tài dụng đề tài dụng đề tài dụng đề tài 45/75 65/75 20/75 55/75 học sinh học sinh học sinh học sinh Tính ứng dụng đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài vận dụng với đại số nói chung, luyện tập tốn nói riêng áp dụng vào mơn học khác Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vòa lớp 10 PTTH Nếu cho phép, thực chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho học sinh Phần 3: KẾT LUẬN 3.1 Kết luận: 18 Sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm học sinh rèn luyện tốt kĩ giải phương trình Nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kĩ vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Đề tài khắc sâu nhiều kiến thức, có nhiều kiến thức mở rộng, nâng cao giúp học sinh có tầm nhìn xa phương trình, hiểu rõ nguồn gốc Là cầu nối kiến thức loại phương trình học (từ cấp tiểu học đến cấp THCS), tảng để nghiên cứu dạng phương trình khác cấp PTTH, đại học, cao đẳng Đề tài tác động đến việc phát triển tiềm lực trí tuệ, nâng cao lực tư độc lập khả tìm tòi, sáng tạo cho học sinh Ngoài đề tài giúp tập mơn khác như: vật lí, hóa, sinh cách linh hoạt, sáng tạo 3.2 Kiến nghị Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy học Trong trình làm đề tài tơi cố gắng để phân dạng phương trình vơ tỷ nhằm áp dụng có hiệu Tuy nhiên q trình thực có thiếu sót, vướng mắc mong đồng chí đồng nghiệp góp ý để hồn thiện đề tài tốt Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết Bùi Thị Hiền 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán Toán nâng cao phát triển toán – Vũ Hữu Bình - Các chun đề chọn lọc tốn – Tôn Thân, Phạm Thị Lệ Hằng, Nguyễn Đức Trường - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên - Tài liệu chuyên toán trung học sở - Toán – Đại số - Vũ Hữu Bình – Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Bá Đang – Lê Quốc Hân – Hồ Quang Vinh - Rèn luyện tư qua việc giải toán - Nguyễn Thái Hòe - Kinh nghiệm dạy tốn học tốn - Vũ Hữu Bình - Phương pháp dạy học tốn trường phổ thơng trung học sở - Hồng Chúng - Báo tốn tuổi thơ, tốn học tuổi trẻ - Mạng Internet - 20 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Thị Hiền Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Trần Mai Ninh TT Tên đề tài SKKN - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại B 2013 - 2014 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại B 2015 - 2016 hình học Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học Năm học đánh giá xếp loại Rèn luyện, phát triển tư logic luyện tập Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) sinh lớp Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học - Phòng GD - Loại A 2016 - 2017 sinh lớp 21 22 ... sát 75 học sinh lớp 9A, 9H trường THCS Trần Mai Ninh nhận kết sau: Số học sinh Tỷ lệ Kết 20 26% Giải phương trình cho 27 36% Chưa giải phương trình cho 28 37% Khơng biết cách giải phương trình. .. cấp, tảng cho toán lớp Trong trình giảng dạy lớp 9, tơi thấy gặp phương trình vơ tỉ học sinh lúng túng khơng tìm cách giải hay mắc sai lầm Phương trình vơ tỉ phương trình khơng có cách giải tắc... hình học Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học Năm học đánh giá xếp loại Rèn luyện, phát triển tư logic luyện tập Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) sinh