- Trong quá trình dạy học về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình nói chung, tôi thấy các phương pháp giải phương trình bậc bốn chưa được trình bày một cách đầy đủ.. Vì vậy,[r]
(1)SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" A đặt vấn đề I lêi nãi ®Çu Giải phương trình là dạng toán chương trình THPT Học sinh đã trang bị cách giải phương trình bậc và bậc hai từ bậc THCS và nhắc lại lớp 10 Tuy nhiên, phương trình bậc cao nói chung và phương trình bậc bốn nói riêng thì học sinh chưa học cách đầy đủ các phương pháp để giải dạng phương trình Nhưng đây lại là nội dung quan trọng các đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trước đến Trong giải các phương trình, hệ phương trình: vô tỷ, lượng giác, mũ và lôgarit, chúng ta thường phải quy giải phương trình bậc cao, đó có phương trình bậc bốn Một số bài toán hình học, vật lý sau trải qua số bước, cuối cùng đến việc phải giải phương trình bậc bốn Cho dù đó là bước nhỏ bài toán không giải bước nhỏ này thì chúng ta chưa thể đưa kết luận bài toán đó Nói đến phương trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ái ngại, lúng túng vì các em nắm sơ qua cách giải số phương trình bậc bốn đơn giản Vì vậy, việc trang bị đầy đủ cho học sinh các phương pháp giải phương trình bậc bèn lµ ®iÒu cÇn thiÕt II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thùc tr¹ng - Trong chương trình THPT, thời lượng chương trình có hạn mà mảng phương trình bậc bậc bốn chưa trình bày rõ ràng, đầy đủ Ngược lại còn sơ lược, mang tính chất giới thiệu qua số bài tập đơn giản - Do chưa hệ thống kiến thức và chưa học đầy đủ các phương pháp để giải dạng phương trình bậc bốn nên gặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng và không có hướng giải Trường THPT Thống Nhất -1- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (2) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" - Tuy nhiên, các dạng bài tập phương trình bậc bốn thì phong phú, đa d¹ng vµ phøc t¹p KÕt qu¶, hiÖu qu¶ cña thùc tr¹ng trªn - Đa số học sinh chưa có phương pháp để giải dạng phương trình bậc bốn nên nhiều em thường "bỏ qua" "bỏ dở" bài toán đã quy phương tr×nh d¹ng nµy Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung và từ thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin gặp các bài tập phương trình bậc bốn, giúp c¸c em ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp nhá, cïng víi sù tÝch luü kinh nghiÖm cña b¶n th©n qua nh÷ng n¨m gi¶ng dạy, tôi đưa sáng kiến kinh nghiệm “Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Sáng kiến kinh nghiệm này đã và phục vụ đắc lùc cho t«i viÖc gi¶ng d¹y B Giải vấn đề I C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu chương trình SGK THPT, nghiên cứu tài liệu phương trình bậc cao Phân tích, đánh giá, tổng hợp lời giải các bài toán, dạng toán Theo dõi, đánh giá kết học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm II Các phương pháp giải phương trình bậc bốn Phương pháp đưa phương trình dạng tích Cho phương trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) (1) a) Phương pháp: Cách 1: Nhóm các hạng tử, sau đó đặt thừa số chung để đưa vế trái dạng tích C¸ch 2: - Bước 1: Đoán nghiệm x0 phương trình dựa vào các kết sau: + NÕu a+b+c+d+e=0 th× (1) cã nghiÖm x = + NÕu a-b+c-d+e=0 th× (1) cã nghiÖm Trường THPT Thống Nhất x = -1 -2- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (3) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" + NÕu a, b, c, d, e nguyªn vµ (1) cã nghiÖm h÷u tØ p th× p, q theo thø tù lµ íc q cña e vµ a - Bước 2: + Bằng cách chia đa thức dùng lược đồ Hoócne, phân tích (1) thành: x x0 (x- x0)(ax3 +b1x2 +c1x+d1) = ax b1 x c1 x d1 (1.1) + Giải phương trình (1.1) cách: - Đoán nghiệm x1 phương trình (1.1) dựa vào các kết sau: + NÕu a+b1+c1+d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = + NÕu a-b1+c1-d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = -1 + NÕu a, b1, c1 ,d1 nguyªn vµ (1.1) cã nghiÖm h÷u tØ p th× p, q theo thø tù lµ q íc cña d1 vµ a c b1 + NÕu ac13 b13 d1 (a, b1 0) th× (1.1) cã nghiÖm x = - Ph©n tÝch (1.1) thµnh: (x- x1)(ax2 +b2x +c2) = b»ng c¸ch chia ®a thøc hoÆc dùng lược đồ Hoócne * Lược đồ Hoócne : NÕu f(x) cã nghiÖm x=x0 th× f(x) chøa nh©n tö (x-x0), tøc lµ : f(x) =(x-x0).g(x) Trong đó : f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 g(x)= bn-1xn-1 + bn - 2xn - + + b1x + b0 víi : b n – a n b n – x 0bn – a n – bi – x bi a i b x b1 a1 xi x = x0 an Ta có bảng sau ( Lược đồ Hoócne) an - a0 x0bn-1 x0bi x0b0 bi-1 bn-1=an bn-2 Trường THPT Thống Nhất -3- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (4) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" b) VÝ dô: Ví dụ 1: (Đề đại học Ngoại thương - 2000) Giải phương trình: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 (1.2) Giải: Phương trình (1.2) (x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0 (x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 x (x+4)x(x2+2x-4)=0 x 4 x 1 Vậy phương trình có nghiệm : x=0, x= -4, x 1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 (1.3) Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phương trình có nghiệm x= Đưa phương trình dạng: (x-1)(x3-3x2-4x+12)=0 Phương trình x3-3x2-4x+12=0 có nghiệm x = nên x x 1 x (1.3) (x-1)(x-2)(x -x-6)=0 x x 2 x x x Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= * Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình dạng tích là phương pháp thường nghĩ đến đầu tiên giải phương trình Nhưng việc đưa dạng tích gặp khó khăn, chúng ta nên nghĩ đến việc sử dụng các phương pháp khác Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1 Dạng (PT trùng phương): ax4 + bx2+c =0 (a 0) (2) a) Phương pháp: - Đặt t = x2 (t 0), đưa (2) phương trình bậc hai: at2+bt+c=0 (2') - Gi¶i (2'), nÕu (2') cã nghiÖm t0 th× (2) cã nghiÖm x t0 * Chó ý: - (2) v« nghiÖm (2') v« nghiÖm hoÆc (2') cã nghiÖm t1 t2<0 - (2) cã nghiÖm nhÊt (2') cã nghiÖm t1 =t2 Trường THPT Thống Nhất -4- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (5) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" - (2) cã nghiÖm ph©n biÖt (2') cã nghiÖm t1 < <t2 hoÆc t1=t2>0 - (2) cã nghiÖm ph©n biÖt (2') cã nghiÖm 0=t1 <t2 - (2) cã nghiÖm ph©n biÖt (2') cã nghiÖm 0< t1 <t2 b) VÝ dô: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: mx4-2(m-1)x2+m-1=0 Gi¶i: (2.1) Đặt t = x2 (t 0) Phương trình trở thành: mt2 -2(m-1)t+m-1 =0 (2.2) Phương trình (2.1) có nghiệm phân biệt (2.2) cã nghiÖm ph©n biÖt t1, t2 tho¶ m·n: 0=t1<t2 m 1 m m m ' m 1 m (kh«ng cã m tho¶ m·n) P m m S 2(m 1) m Vậy không tồn m để phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt lập thành cấp số céng: x4 -2(m+1)x2+2m+1 =0 (2.3) Giải: Đặt t = x2 (t 0) Phương trình trở thành: t2 -2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4) (2.3) cã nghiÖm ph©n biÖt (2.4) cã nghiÖm t1, t2 tho¶ m·n : 0< t1 <t2 ' (m 1) 2m b 2(m 1) m0 a c a 2m Khi đó nghiệm (2.3) là : - t2 ; - t1 ; t1 ; t2 Bèn nghiÖm trªn lËp thµnh cÊp sè céng Trường THPT Thống Nhất -5- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (6) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" t2 t1 2 t1 t2 t1 t2 9t1 (*) t1 t2 t1 t t2 2(m 1) (**) t1t2 2m Theo định lý Viét ta có: Thay (*) vµo (**) ta ®îc: m 5t1 m t1 9t1 2(m 1) 9m 32m 16 m t t m t m 1 VËy víi m = hoÆc m = - thì phương trình đã cho có nghiệm phân biệt lập thµnh cÊp sè céng 2.2 Dạng 2: Phương trình có dạng : ( a1x +a2)(b1x+b2)(c1x+c2)(d1x+d2) = m, a1b1 c1d1 a1b2 a2b1 c1d c2 d1 víi (3) a) Phương pháp: - Viết lại phương trình dạng: [a1b1x2+( a1b2 a2b1 )x+a2b2].[ c1d1 x2+( c1d c2 d1 )x+c2d2]=m - §Æt t = a1b1x2+( a1b2 a2b1 )x+a2b2, suy c1d1 x2+( c1d c2 d1 )x+c2d2=t-a2b2+c2d2 Ta đưa (3) phương trình bậc hai ẩn t: t(t-a2b2+c2d2)=m * Đặc biệt: Khi a1=b1=c1=d1=1, phương trình có dạng : (x +a2)(x+b2)(x+c2)(x+d2) = m víi b2 a2 d c2 ta có cách giải tương tự b) VÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)= (3.1) Giải: Phương trình (3.1) (x-1)(x+5)(x+1)(x+3)= ( x2 + 4x-5)(x2+4x+3) = Đặt t = x2 + 4x-5, phương trình (3.1) trở thành: t(t+8) = Trường THPT Thống Nhất -6- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (7) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" t t2 + 8t – = t Víi t=1 th× x2 + 4x – = x2 + 4x - = x= 10 Víi t= th× x2 + 4x – = -9 x2 + 4x + = x = - Vậy phương trình có nghiệm : x = 10 ; x = 10 ; x = -2 Ví dụ 2: Giải phương trình: (2x-1)(x-1)(x-3)(2x+3)=-9 Gi¶i: (3.2) Phương trình (3.2) (2x2-3x+1)(2x2-3x-9)=-9 Đặt t = 2x2-3x+1, suy 2x2-3x-9=t-10, phương trình (3.2) trở thành: t t t(t-10)=-9 t2-10t+9=0 Víi t=1 th× 2x2-3x+1=1 x x Víi t = th× 2x2-3x+1=9 2x2-3x-8=0 x 73 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x=0, x , x 73 2.3 Dạng : Phương trình có dạng: ax4 + bx3+cx2+dx+e e d =0 (a 0), víi ; e a b (4) a) Phương pháp: - NhËn xÐt x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (4), chia hai vÕ cho x2 0, ta ®îc: e d a ( x ) b( x ) c a x b x - §Æt t= x d e d , suy x t , phương trình (4) trở thành: bx a x b d b at2+bt +c - 2a =0 Đây là phương trình bậc hai quen thuộc * Đặc biệt: Khi a=e, phương trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 bx+a =0 (a 0) ta có cách giải tương tự Trường THPT Thống Nhất -7- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (8) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" b) VÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 - 21x3 +74x2 -105x + 50 = (4.1) Gi¶i: NhËn thÊy x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (4.1), chia hai vÕ cña (4.1) cho x2 0, ta phương trình: 2( x x §Æt t = x ( t ), suy x 25 ) 21( x ) 74 x x 25 t 10 Phương trình (4.1) trở thành: x2 t 2t 21t 54 (tháa m·n ®k) t 2 x x 5 x Víi t = th× x =6 x x x 9 Víi t = th× x = x x 10 x x Vậy phương trình có nghiệm phân biệt là: x=1, x=2, x=5, x= Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-2)4+(x-2)(5x2-14x+13)+1=0 (4.2) Giải: Đặt y=x-2 Phương trình trở thành: y4+5y3+6y2+5y+1=0 (4.3) Nhận thấy y=0 không là nghiệm phương trình (4.3), chia vế (4.3) cho y2 ta phương trình : ( y2 1 ) 5( y ) y y y Đặt t = y ( t ) Phương trình trở thành: t 1 (lo¹i) t2 + 5t +4 = t 4 (t/m) y Víi t 4 th× y 4 y y y 2 x Vậy phương trình có nghiệm : x= * Nhận xét: Phương trình ban đầu không phải là phương trình dạng với phép đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể Trường THPT Thống Nhất đưa phương trình dạng -8- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (9) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" 2.4 Dạng : Phương trình có dạng : ( x + a)4 + ( x + b)4 = c (5) a) Phương pháp: - Đưa (5) dạng phương trình trùng phương cách đặt t= x + ab b) Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 (5.1) Giải: Đặt t = x + 2, phương trình (5.1) trở thành: ( t-1)4 + ( t+1)4 = 16 2t4 + 12t2 + = 16 t4 + 6t2 – = ( Phương trình trùng phương) t t 7 (lo¹i) Với t2 = thì t = t = -1 Từ đó suy x= -1 x= -3 Vậy phương trình có nghiệm là : x = - 1; x = -3 2.5 Dạng 5: Phương trình có dạng : m( x +a)(x+b)(x+c)(x+d) = nx2 , víi ab = cd 0, m 0, n (6) a) Phương pháp: - NhËn thÊy x=0 kh«ng lµ nghiÖm cña (6), chia hai vÕ cho x2 0, ta ®îc: m(x + a+b + - §Æt t = x +a+b+ ab cd ) (x + c+d + )= n x x ab , ta đưa (6) phương trình bậc hai ẩn t: mt(t-a-b+c+d)=n x b) Ví dụ: Giải phương trình: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 Gi¶i: (6.1) (6.1) 4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2 4(x2+16x+60)(x2+17x+60) = 3x2 NhËn thÊy x=0 kh«ng lµ nghiÖm cña (6.1), chia hai vÕ cho x2 0, ta ®îc: 4(x + 16 + §Æt t = x + 16 + 60 60 ) (x + 17 + )= x x ( 6.2) 60 , phương trình trở thành: x Trường THPT Thống Nhất -9- Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (10) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" t 2 4t ( t + 1) = 4t + 4t – = t x 8 Víi t= th× 2x + 31x + 120 = x 15 Víi t=- 35 265 th× 2x2 + 35x + 120 = x Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x=-8, x=- 15 35 265 , 2.6 Dạng 6: Phương trình có dạng: a.A(x) +b.B(x) + c.C(x) =0 víi A(x).B(x) = C2(x), B(x) (7) a) Phương pháp: - Chia hai vế cho B(x) đặt t = C ( x) B( x) - Phương trình (7) trở thành: at2+ct+b=0 b) Ví dụ: Giải phương trình : -x3+2x2-4x +3 - (x2+x+1)2=0 (7.1) Giải: Phương trình (7.1) 2(x-1)2-(x2+x+1)2 - (x3-1) =0 Chia hai vÕ cña (7.1) cho (x2+x+1)2 ta ®îc: 2.( x 1 x 1 ) 1 0 x x 1 x x 1 t x 1 §Æt t = , phương trình trở thành: 2t t t x x 1 Víi t=1 th× x 1 =1 x (v« nghiÖm) x x 1 Víi t = th× 3 13 x 1 = x 3x x x x 1 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x Trường THPT Thống Nhất 3 13 - 10 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (11) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" 2.7 Dạng 7: Phương trình có dạng tổng quát: ax4 + bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) a) Phương pháp: - Bước 1: Biến đổi phương trình dạng a(x2+b1x+c1)2+ B(x2+b1x+c1) +C=0 - Bước 2: Đặt t= x2+b1x+c1, phương trình trở thành: at2+Bt+C=0 b) VÝ dô: Giải phương trình: x4 -4x3+3x2+2x-20 =0 (8.1) Giải: Phương trình (8.1) x4 -4x3+4x2-(x2- 2x) -20 =0 (x2- 2x)2-( x2- 2x)-20=0 Đặt t = x2- 2x (t -1), phương trình trở thành: t 4 (lo¹i) t2 - t -20 =0 t (t/m) Víi t =5 th× x2- 2x =5 x Vậy phương trình có nghiệm : x Phương pháp đưa hai luỹ thừa cùng bậc a) Phương pháp: Đưa phương trình dạng: [f(x)]2 = [g(x)]2 f(x) = g(x) b) VÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (9.1) Giải: Phương trình (9.1) x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 x2 2x (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 x (2 x 6) x2 2x x 1 x x Vậy phương trình có nghiệm : x = ; x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + 4x -1=0 (9.2) Giải: Phương trình (9.2) x4 +2x2+1 = 2(x2-2x+1) Trường THPT Thống Nhất - 11 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (12) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" x x 1 x 1 x 1 x x 1 2 x x (VN ) 2 x x x Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x 2 Phương pháp dùng hệ số bất định: a) Phương pháp: Xét phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (10) - Bước1: Giả sử (10) phân tích thành (x2 + a1x + b1)( x2 + a2x + b2)=0 Khi đó ta có: a1 a a a a b b b 2 a1b2 a b1 c b1b2 d - Bước 2: Xuất phát từ b1b2 = d, tiến hành nhẩm tìm các hệ số b1; b2; a1 ; a2 x a1x b1 - Bước 3: Phương trình (10) x a x b * Chú ý: Phương pháp này thường áp dụng việc nhẩm tìm các hệ số a1; b1; a2; b2 là đơn giản b) VÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 + 4x3 +3x2 + 2x - = (10.1) Gi¶i: Gi¶ sö (10.1) ph©n tÝch ®îc thµnh : (x2 + a1x + b1)( x2 + a2x + b2) = a1 a2 a a b b 2 Khi đó: a b a b b1b2 1 b1 1 b a1 a2 Phương trình (10.1) (x2 +3x -1)( x2 + x +1) = Trường THPT Thống Nhất - 12 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (13) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" 3 13 x x 3x 3 13 x x 1=0 (VN ) x 2 Vậy phương trình có nghiệm: x 3 13 * NhËn xÐt: Tõ b1b2=-1 ta thö víi b1=-1, b2=1, tõ ®©y cã thÓ dÔ dµng t×m ®îc a1=3, a2=1 Ví dụ 2: Tìm a, b để phương trình x4 - 4x3 +(4+a)x + b = (10.2) cã nghiÖm kÐp ph©n biÖt Giải: Phương trình (10.2) có nghiệm kép phân biệt x1, x2 nên: x4 - 4x3 +(4+a)x + b = (x-x1)2(x-x2)2 x4 - 4x3 +(4+a)x + b = x4-2(x1+x2)x3+(x12+x22 +4x1x2)x2-2x1x2(x1+x2)x+x12x22 §ång nhÊt vÕ, ta cã: x1 x2 (1) 4 2( x1 x2 ) 2 0 x1 x 4x1x (x1 x ) 2x1x (2) 4 a 2x1x x1 x 2x1x x1 x 4 a (3) b x x x x b (4) x1 x x1,2 x1x 2 Tõ (1), (2) ThÕ vµo (3), (4) ta ®îc a=b=4 Vậy với a= b =4 thì phương trình có nghiệm kép phân biệt Phương pháp đánh giá: a) Phương pháp: Sử dụng các đẳng thức, các bất đẳng thức để đánh giá vế phương trình Từ đó đưa kết luận nghiệm phương trình b) VÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình x4 + 8x2 – 8x + 17 = (11.1) + 16 + 16x2– 8x + = Giải: Phương trình (11.1) x4 - 8x2 Trường THPT Thống Nhất - 13 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (14) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = x 2 x ( x 4) x nªn (2) (4 x 1) 4 x V× Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 4 (11.2) Giải: Dễ thấy x = ; x = là nghiệm (11.2) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x: +) Víi x < 8, ta cã x 9 x , x 4 Suy vÕ tr¸i cña (11.2) lín h¬n nªn (11.2) v« nghiÖm +) Víi x > 9, ta cã x x , x 4 Suy vÕ tr¸i cña (11.2) lín h¬n nªn (11.2) v« nghiÖm +) Víi < x < th×: < x – < => (x-8)4< x-8 < – x < => (x-9)4= (9-x)4 < 9-x x 8 x < x – + – x = nªn (11.2) v« nghiÖm 4 Vậy phương trình có nghiệm : x = 8, x = III c¸c biÖn ph¸p tæ chøc thùc hiÖn Tæ chøc thùc hiÖn - Thông qua bài dạy chương trình SGK lớp 10 nâng cao, qua quá trình làm bài tập SGK và SBT nâng cao để đánh giá lực học sinh - Trước học và sau học: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", cho học sinh làm bài kiểm tra và thống kê kết để thấy hiệu đạt sáng kiến kinh nghiệm - Đối tượng đánh giá: học sinh lớp 10A1 và 10A2 - Trường THPT Thống Nhất §Ò kiÓm tra sè (Thêi gian: 90 phót) (Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Trường THPT Thống Nhất - 14 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (15) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Câu (6 điểm): Giải các phương trình sau: a) x4 +2x3 +10x -25 = b) (x2+3x+2)(x2+7x+12)=24 c) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = Câu (4 điểm): Cho phương trình: x4+(2m-1)x3+(m2-2m)x2-(m2-m+1)x-m+1=0 a) Giải phương trình với m = -1 b) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt Đáp án và thang điểm đề kiểm tra số C©u Néi dung chÝnh §iÓm 1.a Phương trình x4 +2x3+x2 = x2-10x+25 0.50 (2®) x2 x x 2 x x x x x x x (VN ) x 1 x x 0.75 0.75 Vậy phương trình có nghiệm x= 1 1.b (2®) Phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24 0.50 (x2+5x+4)(x2+5x+6)=24 §Æt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2 t Phương trình trở thành: t(t+2)=24 t 6 x 0.50 Víi t=4 th× x2+5x+4 =4 x 5 0.50 Víi t=-6 th× x2+5x+4 =-6 x2+5x+10=0 (VN) 0.50 Vậy phương trình có nghiệm x=0, x= -5 1.c (2®) Phương trình (x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7) = 17 x x 5x 1 29 x x 7=0 x 2 Trường THPT Thống Nhất - 15 - Lop10.com 1.00 1.00 GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (16) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Vậy phương trình có nghiệm: x 17 1 29 ,x 2 Phương trình (x-1)(x3+2mx2+m2x+m-1)=0 (4®) (x-1)(x+m-1)[x2+(m+1)x+1]=0 (1) 1.00 x x 1 m g(x)=x m 1 x 1=0 (2) x x a) Víi m=-1 : (1) x x g(x)=x 1=0 1.50 b) Phương trình có nghiệm phân biệt 1-m vµ (2) cã nghiÖm ph©n biÖt kh¸c vµ kh¸c 1-m m 1 m m m 3 m 3 m m 2m g 3 m 1 g (1) m m 3 2 g (1 m) 3 2m m 0.50 1.00 3 Vậy với m ; 3 1; ; thì phương trình có 2 2 nghiÖm ph©n biÖt KÕt qu¶ cña bµi kiÓm tra sè 1: Lo¹i Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu- KÐm Tû lÖ (%) 10 20 70 §Ò kiÓm tra sè (Thêi gian: 90 phót) (Sau ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm vµo gi¶ng d¹y) Câu 1( điểm): Giải các phương trình sau: a) (x+3)4+(x+5)4=2 Trường THPT Thống Nhất b) x4 -3x2 -4x -3 = - 16 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (17) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" c) 2(x2-x+1)2+x3+1=(x+1)2 d) x4 + x3 -17x2 + 6x +2 = Câu (2 điểm) : Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 - x2 + 2mx -m2 = Đáp án và thang điểm đề số C©u Néi dung chÝnh §iÓm 1.a Đặt t = x+4 Phương trình trở thành: (2®) (t-1)4+(t+1)4=2 t4+6t2=0 t=0 1.00 Víi t=0 th× x= -4 1.00 Vậy phương trình có nghiệm x=-4 1.b (2®) Phương trình x4 -2x2+1 = x2+4x+4 0.50 x2 1 x x ( x 2) 0.50 x 1 x 2 x2 x 13 x x x (VN ) 1.c Phương trình 2(x2-x+1)2+x3+1-(x+1)2=0 (2®) Chia hai vÕ cho (x2-x+1)2 0, ta ®îc: 1.00 0.50 x 1 x 1 2 0 x x 1 x x 1 §Æt t = x 1 , phương trình trở thành: x x 1 t 1 t t2 t Víi t=-1 th× 0.50 x 1 =-1 x (VN) x x 1 0.50 x x 1 Víi t = th× =2 x 3x x x x 1 0.50 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1, x= Trường THPT Thống Nhất - 17 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (18) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" 1.d Phương trình (x2 +5x +1)( x2 -4x +2) = 1.00 (2®) 5 21 x 5x+1 x x -4x 2=0 x 1.00 (2®) Phương trình x4=x2-2mx+m2 x4=(x-m)2 0.50 x x m (1) x2 x m x x m (2) x m x Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt (1) và (2) có 0.25 nghiÖm ph©n biÖt nhng chóng kh«ng cã nghiÖm chung + (1) và (2) có nghiệm phân biệt 1 4m 1 m 4 1 4m 0.50 x x m + NÕu (1) vµ (2) cã nghiÖm chung x0 th×: 02 x0 x0 m 0.50 Céng tõng vÕ: x02 x0 Suy m=0 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m ;0 0; 4 0.25 KÕt qu¶ cña bµi kiÓm tra sè Lo¹i Giái Kh¸ Tû lÖ (%) 30 Trung b×nh YÕu- KÐm 40 25 Bµi tËp cñng cè Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + = 2) x4 -8x3+7x2+36x-36=0 3) x4 -4x2 + 12x -9 = 4) x4+(x-1)(x2+2x+2)=0 5) (x2-4)(x2-2x)=2 6) (4x+1)(12x- 1)(3x+2)(x+1)=4 Trường THPT Thống Nhất - 18 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (19) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" 7) 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1) 8) x4 -4x3 + 8x =5 (§Ò 38) 9) x4+(x-1)4=97 10) x4 -5x3 + 8x2-10x+4 =0 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: (x2-1)(x+3)(x+5)=m Bài 3: Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4-k2x2+2kx-1=0 Bài 4: Cho phương trình: x4 -4mx3 +(m+1)x2-4mx+1=0 a) Giải phương trình với m =1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Giải và biện luận phương trình: 2x4+mx2+2=0 C kÕt luËn KÕt qu¶ nghiªn cøu Thông qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 10A1, 10A2 và ôn luyện cho đối tượng học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận chính xác cách giải phương trình bậc bốn - Học sinh tự tin phân tích để lựa chọn phương pháp giải hay, ngắn gọn cho dạng phương trình bậc bốn - Hình thành tư logic, kỹ giải các phương trình bậc bốn Đồng thêi t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh Cụ thể, qua hai bài kiểm tra trước và sau học: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", tôi đã thống kê kết và thấy hiÖu qu¶ râ rÖt cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy Kiến nghị và đề xuất - Trong quá trình dạy học phương trình, hệ phương trình và bất phương trình nói chung, tôi thấy các phương pháp giải phương trình bậc bốn chưa trình bày cách đầy đủ Vì vậy, không học sinh lớp 10 mà học sinh lớp 11, 12 thấy lúng túng gặp loại phương trình này Rất mong có thêm Trường THPT Thống Nhất - 19 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (20) SKKN: "Các phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" nhiều tài liệu viết đề tài này để góp phần cho việc dạy và học đạt hiệu qu¶ cao h¬n - Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này hữu ích giáo viên và đã mang lại kết khả quan dạy học sinh Hy vọng nó trở thành tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và người quan tâm đến vấn đề này Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến người đọc Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thµnh s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy! D tµi liÖu tham kh¶o vµ môc lôc Tµi liÖu tham kh¶o - C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n to¸n- NXB Gi¸o dôc - Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10- Hà Văn Chương NXB ĐHQG Hà Nội - Đại số sơ cấp- Trần Phương - Lê Hồng Đức NXB Hà Nội - T¹p chÝ to¸n häc tuæi trÎ - §Ò thi tuyÓn sinh m«n to¸n- NXB Gi¸o dôc 1996 Môc lôc: Trang A- Đặt vấn đề .1 B- Giải vấn đề I C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn II Các phương pháp giải phương trình bậc bốn .2 Phương pháp đưa phương trình dạng tích 2 Phương pháp đặt ẩn phụ .4 Phương pháp đưa hai luỹ thừa cùng bậc 11 Trường THPT Thống Nhất - 20 - Lop10.com GV: Lª ThÞ Thanh Hoa (21)