Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ VÀ VÔ TỈ Người thực hiện: Phạm Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU …………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu …………………………………… … NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm … 2.3 Một số sai lầm thường gặp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ ………………………………………………… 2.3.1 Sai lầm không nắm vững định nghĩa tích phân …………… 2.3.2 Sai lầm sử dụng bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp ……………………………………………………………………… 2.3.3 Sai lầm biến đổi hàm số dấu nguyên hàm …………… 2.3.4 Sai lầm biến đổi hàm số dấu tích phân ……………… 2.3.5 Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến số ………………… 2.3.6 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần ……… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm ……………………………… KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………… Tài liệu tham khảo Trang 2 2 2 3 11 14 17 17 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Toán học tảng ngành khoa học, chìa khóa vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế, quân sống Giải tích toán học nghiên cứu khái niệm: Giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, Phép toán giải tích “Phép lấy giới hạn”, yếu tố nghiên cứu giải tích thường trừu tượng đại số Chính mà phần lớn học sinh THPT lúng túng gặp khó khăn học giải tích nói chung nguyên hàm, tích phân nói riêng Bên cạnh đề thi THPT Quốc Gia, toán nguyên hàm, tích phân thiếu Trong thực tế, đa số học sinh tính nguyên hàm, tích phân đặc biệt nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ cách máy móc là: Tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến hàm số có xác định miền lấy nguyên hàm, tích phân hay không ? Phép biến đổi hàm số dấu nguyên hàm, tích phân có tương đương không ? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không ? Sử dụng phương pháp tích phân phần có hợp lí không ? Vì trình tính nguyên hàm, tích phân học sinh mắc phải nhiều sai lầm mà chưa có tài liệu giúp em tránh sai lầm Với hy vọng giúp học sinh khắc phục nhược điểm nói đạt kết cao kì thi THPT Quốc Gia, mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: − Giúp thân tự học hỏi, tự nâng cao kiến thức phần − Vận dụng vào trình giảng dạy, đặc biệt ôn cho học sinh thi THPT Quốc gia − Giúp học sinh nắm vững kiến thức, đạt kết cao trình học tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Một số sai lầm thường gặp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ 1.4 Phương pháp nghiên cứu: − Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, lựa chọn ví dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh để từ đưa lời giải toán − Thực nghiệm sư phạm − Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Dạy học trình luôn vận động phát triển không ngừng Sự vận động phát triển mang tính quy luật thống hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Người giáo viên, với vai trò chủ thể tác động sư phạm phải biết thiết kế tổ chức quy trình dạy học như: xác định mục tiêu, nhiệm vụ dạy học, lựa chọn nội dung, vận dụng phương pháp, phương tiện hình thức tổ chức dạy học Trong trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc kiến thức quan trọng để truyền thụ cho học sinh Đồng thời phải dẫn dắt học sinh biết tìm tòi, phát tri thức bước giải vấn đề thông qua phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với đối tượng học sinh Trong trình dạy học, học sinh không ngừng phát huy tính tích cực nhận thức, tự rèn luyện thao tác trí tuệ Vì giáo viên phải giúp học sinh tự khám phá sở tự giác tự suy nghĩ, tranh luận, đề xuất vấn đề cần giải Khi học sinh phát toán hay, điều giúp em học toán có hiệu hưởng trọn niềm vui tự giải toán Vậy dạy học toán phải biết phát huy tính sáng tạo khả tư toán học sẵn có học sinh, tạo cho em niềm tin vào môn học Đặc trưng toán học tính trừu tượng cao độ, tính lôgic tính thực nghiệm Vì thế, người giáo viên phải ý đến tất phương diện hướng dẫn học sinh học toán, khai thác đầy đủ tiềm môn toán để thực mục tiêu giáo dục toàn diện 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng nội dung chương III sách giáo khoa giải tích 12 Đây nội dung khó, học sinh chương trước, học sinh làm quen với đạo hàm, chương tính nguyên hàm, tích phân giống “bài toán ngược” tính đạo hàm Bởi học sinh lúng túng làm toán tính nguyên hàm, tích phân hàm số phức tạp hàm số hữu tỉ, hàm số vô tỉ thường gặp phải khó khăn sau: − Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân − Không nắm vững phương pháp đổi biến số − Không nắm vững phương pháp tính tích phân phần 2.3 Một số sai lầm thường gặp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ 2.3.1 Sai lầm không nắm vững định nghĩa tích phân: 3x + dx x − 5x + − Học sinh giải sau: 3x + = A + B ⇔ 3x + = A(x − 2) + B(x − 3) Ta có: x − 5x + x − x − Ví dụ Tính tích phân: I = ∫ Sử dụng phép đồng thức, ta có: A + B = A = 10 ⇔  −2A − 3B = B = −7 4 ⇒ I = ∫  10 − ÷dx = ( 10ln x − − 7ln x − ) = −17ln  x −3 x − 2 − Phân tích sai lầm: Học sinh không xét tính liên tục hàm số y = 3x + đoạn [ 1; 4] đa số học sinh cho đề yêu cầu tính x − 5x + tích phân mặc định tồn phép tính tích phân 3x + − Lời giải đúng: Hàm số y = không xác định x = x = x − 5x + thuộc đoạn [ 1; 4] suy hàm số không liên tục đoạn [ 1; 4] , tích phân không xác định b − Như vậy, cần lưu ý: Khi tính tích phân ∫ f (x)d(x) cần xét xem hàm số a y = f (x) có liên tục đoạn [ a; b ] không Nếu có sử dụng phương pháp học để tính tiếp, không kết luận tích phân không tồn 2.3.2 Sai lầm sử dụng bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp: Ví dụ Tính tích phân: I = ∫ x ( + x ) dx n − Học sinh giải sau: 1 ( x3 + 1) n+1 I = ∫ x2 ( + x3 ) dx = ∫ ( + x3 ) d( + x3 ) = 30 ( n + 1) n n n+1 = −1 ( n + 1) − Phân tích sai lầm: Học sinh không xét trường hợp n = −1 − Lời giải đúng: +) Trường hợp 1: Với n = −1, ta có: 1 d( + x3 ) x I=∫ dx = ∫ = ln + x = ln 3 1+ x 1+ x 3 0 +) Trường hợp 2: Với n ≠ −1 , ta có: ( 1 ) ( x3 + 1) n+1 I = ∫ x2 ( + x3 ) dx = ∫ ( + x3 ) d( + x3 ) = 30 ( n + 1) n n n+1 = −1 ( n + 1) − Như vậy, cần lưu ý: Với toán chứa tham số, cần α uα +1 + C u du = thận trọng công thức ∫ α ≠ −1 Còn α +1 α = −1 ∫ du = ln u + C u n Ví dụ Tính nguyên hàm: I = ∫ − Học sinh giải sau: Đặt x x2 dx + x n +2 n+2 + + x n+2 = t  n + n2 (n + 2)x n +1  ⇒  x + ÷dx = dt + x n +2 ÷   n n+2 ⇔ n + x 1+ x + x + x n +2 n +2 dx = dt n ⇔ x dx = dt t n+2 + x n +2 ⇒ I = ∫ dt = ln t + C n+2 t n+2 n +2 = ln x + + x n + + C n+2 − Phân tích sai lầm: Học sinh không xét trường hợp n = −2 − Lời giải đúng: 1 dx = ln x + C +) Trường hợp 1: Với n = −2 , ta có: I = ∫ x n+2 +) Trường hợp 2: Với n ≠ −2 , đặt x + + x n + = t n  (n + 2)x n +1  ⇒  n + x + ÷dx = dt n +2 ÷ 2 1+ x   n n+2 ⇔ n + x 1+ x + x + x n +2 n +2 dx = dt n x dx = dt t n+2 + x n +2 ⇒ I = ∫ dt = ln t + C n+2 t n+2 ⇔ n +2 = ln x + + x n + + C n+2 − Như vậy, cần lưu ý: Khi tính nguyên hàm hàm số chứa tham số, cần lưu ý xét trường hợp riêng tham số sử dụng bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp 2.3.3 Sai lầm biến đổi hàm số dấu nguyên hàm: dx Ví dụ Tính nguyên hàm: I = ∫ x(1 + x) − Học sinh giải sau: dx dx I=∫ =∫ x(1 + x) x + x   x + 1+ x = t ⇒  + ÷dx = dt  x 1+ x  dx ⇒ x + + x dx = dt ⇒ = 2dt t x + x x + x ⇒ I = 2∫ dt = 2ln t + C = 2ln x + + x + C t 1 = − Phân tích sai lầm: Phép biến đổi không tương x(1 + x) x + x đương Do đó, giải học sinh trường hợp x > − Lời giải đúng: x > Điều kiện tồn hàm số f (x) = là: x(1 + x) > ⇔  x(1 + x)  x < −1 Ta xét hai trường hợp: +) Trường hợp 1: Với x > , ta có: dx dx I=∫ =∫ x(1 + x) x + x Đặt ( )   x + 1+ x = t ⇒  + ÷dx = dt  x 1+ x  dx ⇒ x + + x dx = dt ⇒ = 2dt t x + x x + x ⇒ I = 2∫ dt = 2ln t + C = 2ln x + + x + C t +) Trường hợp 2: Với x < , ta có: dx dx I=∫ =∫ x(1 + x) − x −1 − x Đặt ( )   − x + −1 − x = t ⇒  − − ÷dx = dt − x − − x   dx ⇒ − − x + −1 − x dx = dt ⇒ = − 2dt t − x −1 − x − x −1 − x Đặt ( ) ⇒ I = −2∫ dt = −2ln t + C = −2ln − x + −1 − x + C t − Như vậy, cần lưu ý: Trước biến đổi hàm số f (x) dấu nguyên hàm cần tìm điều kiện tồn hàm số f (x) x + dx Ví dụ Tính nguyên hàm: I = ∫ x x4 + − Học sinh giải sau: x + dx I = ∫ x + dx = ∫ x x4 + x x + 12 x + 12 + 12 x dx = x =∫ dx ∫ 2 x + x− +2 x x ( ) ( )(   + 12 x − x x Đặt x − + x − + = t ⇒ 1 + 12 +  x x x x− +2  x     ÷ x− x  ÷dx = dt ⇒ 1+ 1+  ÷ x x− +2÷  x     1 1+  x − +2+x− 1÷ x  x x÷  dx = dt ⇒ ( ⇒ ) ( ) ( ) ( ) ( x − 1x ) ( + 12 x ( x − 1x ) +2 ( ) )  ÷ ÷dx = dt ÷ ÷  ) +2 dx = dt t ⇒ I = ∫ dt = ln t + C = ln x − + t x ( x−1 x ) +2 +C = ln x − + x + + C x − Phân tích sai lầm: Khi đưa x khỏi bậc hai học sinh không ý đến dấu x − Lời giải đúng: +) Trường hợp 1: Với x > , ta có: x + dx I = ∫ x + dx = ∫ x x4 + x x + 12 x + 12 + 12 x dx = x =∫ dx ∫ 2 x + x− +2 x x ( ) ( )(   + 12 x − x x Đặt x − + x − + = t ⇒ 1 + 12 +  x x x x − +2  x     ÷ x− x  ÷dx = dt ⇒ 1+ 1+  ÷ x x− +2÷  x     1 1+  x − +2+x− 1÷ x  x x÷  dx = dt ⇒ ( ⇒ ) ( ) ( ) ( ) ( x − 1x ) ( + 12 x ( x − 1x ) +2 ( ) )  ÷ ÷dx = dt ÷ ÷  ) +2 dx = dt t ⇒ I = ∫ dt = ln t + C = ln x − + t x ( x−1 x ) +2 +C = ln x − + x + + C x +) Trường hợp 2: Với x < , ta có: x2 + I = ∫ x + dx = ∫ dx 2 x x4 + −x x + x = −∫ + 12 x x + 12 x dx = − ∫ + 12 x ( x − 1x ) dx +2 ( )(   + 12 x − x x Đặt x − + x − + = t ⇒ 1 + 12 +  x x x x− +2  x     ÷ x−1 x  ÷dx = dt ⇒ 1+ 1+ ÷ x  x− +2÷  x     1 1+  x − +2+x− 1÷ x  x x÷  dx = dt ⇒ ( ⇒ ) ( ) ( ) ( ) ( x − 1x ) ( + 12 x ( x − 1x ) +2 ( ) )  ÷ ÷dx = dt ÷ ÷  ) +2 dx = dt t ⇒ I = − ∫ dt = ln t + C = − ln x − + t x ( x− x ) +2 +C = − ln x − + x + + C x − Như vậy, cần lưu ý: Khi biến đổi hàm số dấu nguyên hàm, đặc biệt u x≥ x neá hàm số chứa bậc hai x =  u x< −x neá 2.3.4 Sai lầm biến đổi hàm số dấu tích phân: Ví dụ Tính tích phân: I = ∫ x − 8x + 16dx − Học sinh giải sau: 10 6 ( x − 4) I = ∫ x − 8x + 16dx = ∫ ( ) = x − 4x 2 dx = ∫ ( x − ) dx = 18 − 24 = −6 ( x − 4) − Phân tích sai lầm: Phép biến đổi = x − với x ∈ [ 0, 6] không tương đương − Lời giải đúng: 6 ( x − 4) I = ∫ x − 8x + 16dx = ∫ 0 dx = ∫ x − dx ( 6 = ∫ ( − x) dx + ∫ ( x − ) dx = 4x − x ) ( ) + x − 4x = ( 16 − ) + ( 18 − 24 ) − (8 − 16) = 10 − Như vậy, cần lưu ý: b I=∫ f 2n a 2n f n ( x) = f ( x) ( n ≥ 1, n∈ ¥ ) b 2n ( x) dx = ∫ f ( x) dx ta phải xét dấu hàm số f ( x) Do đó, tính đoạn [ a, b] sử a dụng tính chất tích phân tách I thành tổng tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Tính tích phân: I = ∫ x − 14 dx 1+ x −1 − Học sinh giải sau: 1 − 12 1 1− 2 x dx = x I = ∫ x − 14 dx = ∫ dx ∫ 1+ x −1 −1 + x −1 1+ −2 x x Đặt: x + = t ⇒ − 12 dx = dt x x Đổi cận: Với x = −1 t = −2 Với x = t = 2   dt ⇒I= ∫ = ∫  − ÷dt t − −2  t + t −  −2 ( ) ( )   =  ln t + ÷ = 2ln + 2−  t −  −2 11 − 12 x không tương đương − Phân tích sai lầm: Phép biến đổi: x − 14 = 1+ x + x2 x đoạn [ −1;1] chứa x = Nên chia tử mẫu cho x2 − Lời giải đúng: 2 x ln − x + Xét hàm số: F ( x) = 2 x + x +1 (x Ta có: )( ) ( )( + x + 2x − − x2 − x + 2x + (x F′ ( x) = × 2 ) + x +1 ) x2 − x + x2 + x + 2x2 − 2 ⇒ F′ ( x) = 2 x + x + x2 − x + ( ⇒ F′ ( x) = )( x2 − (x ( + 1) − x 2 ) ) = x4 − x +1   Do đó: I = ∫ x − 14 dx =  ln x2 − x + ÷ 1+ x 2  x + x +  −1 −1   =  ln − − ln + ÷ = ln − 2  2+ 2− 2 2+ − Như vậy, cần lưu ý: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 2.3.5 Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến số: Ví dụ Tính tích phân: I = ∫ − x dx ( + x) − Học sinh giải sau: Đặt: x = cos2t ⇒ dx = −2sin 2tdt 1 − x dx = −2 − cos2t × sin 2tdt ∫0 + cos2t ( + cos2t) ( + x) I=∫ 1 = −2∫ tan t.2sin t4cos tdt = − ∫ tan 2tdt = − ∫ tan td( tan t) 4cos t cos t 0 3 = − tan t = − tan 3 − Phân tích sai lầm: Đổi biến không đổi cận 12 − Lời giải đúng: Đặt: x = cos2t ⇒ dx = −2sin 2tdt π Đổi cận: Với x = t = Với x = t = 1 − x dx = −2 − cos2t × sin 2tdt ∫π + cos2t ( + cos2t) ( + x) I=∫ π π π = ∫ tan t.2sin t4cos tdt = ∫ tan 2tdt = ∫ tan td( tan t) 4cos t cos t 0 π = tan t = 3 − Như vậy, cần lưu ý: Khi đổi biến cần phải đổi cận x + 1) dx Ví dụ Tính tích phân: I = ( ∫0 3x + − Học sinh giải sau: t−1 Đặt: 3x + = t ⇒ x = Đổi cận: Với x = t = Với x = t = t −1 ( x + 1) dx + 1 t + I=∫ =∫ dt = ∫ dt 31 t 3x + 1 t 8 −1     = ∫  t3 + 2t ÷dt =  t3 + t3 ÷ = 46 31 3 1  − Phân tích sai lầm: Khi đổi biến 3x + = t , học sinh không lấy vi phân 3dx = dt − Lời giải đúng: t − ⇒ 3dx = dt Đặt: 3x + = t ⇒ x = Đổi cận: Với x = t = Với x = t = t −1 ( x + 1) dx + dt t + I=∫ =∫ × = ∫ dt 91 t 3x + 1 t 13 8 −1     = ∫  t3 + 2t ÷dt =  t3 + t3 ÷ = 46 1 95  15  − Như vậy, cần lưu ý: Khi đổi biến phải lấy vi phân hai vế xdx 2 2x − + x − − Học sinh giải sau: ⇒ dx = sin t dt Đặt: x = cos t cos t π Đổi cận: Với x = cost = ⇒ t = 1 Với x = cost = ⇒ t = arccos 4 1 × sin t dt arccos 4 cos t cos t xdx I=∫ = ∫ 2 − + 3tan t π 2x − + x − cos t Ví dụ 10 Tính tích phân: I = ∫ = arccos ∫ π ( + tan t) tan t 2 tan t + 3tan t + dt Đến học sinh thường lúng túng cận tích phân lẻ, em khó tìm đáp số − Phân tích sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa biểu thức 1 x2 − thông thường ta đặt x = cos t x = sin t Nhưng ví dụ 10, làm theo cách gặp khó khăn đổi cận Cụ thể x = ta tìm xác t − Lời giải đúng: Đặt: x2 − = t ⇒ x2 = t2 + ⇒ xdx = tdt Đổi cận: Với x = t = Với x = t = 15 xdx I=∫ = 2 2x − + x − 15 ∫ 2( t tdt + 1) − + 3t ( − 2t1+ + t +1 1) dt = ( − ln 2t + + ln t + ) 15 = ∫ tdt = 2t + 3t + 15 ∫ 15 14 ( ) ( ) ( ( ) ( )) = − ln 15 + + ln 15 + − − ln + + ln + 2 = ln 15 + − ln 15 + +1 2 +1 − Như vậy, cần lưu ý: Khi gặp tích phân hàm số có chứa biểu thức − x2 cận tích phân giá trị lượng giác góc đặc biệt ta 1 tính tích phân cách đặt x = x = không phải tìm cos t sin t phương pháp khác 2.3.6 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần: Ví dụ 11 Tính tích phân: I = ∫ ln2x dx x − Học sinh giải sau: du = − dx u =   x3 x2 ⇒ Đặt:  dv = ln xdx v =  x 2 I = ∫ ln2x dx = 13 + ∫ 14 dx =  − 1÷ − × 13 x x x 8  x 1 = − − × − 1÷ = − 8  24 − Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm phép lấy vi phân phép lấy đạo hàm − Lời giải đúng: du = dx  u = ln x   x ⇒ Đặt:  dv = x2 dx v = −  x 2 I = ∫ ln 2x dx = − ln x + ∫ 12 dx = − ln − 1 x x x x1 = − ln − + = − ( − ln ) 2 − Như vậy, cần lưu ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân hàm số có chứa ln x phải nghĩ đến đặt u = ln x Vì đặt dv = ln xdx không xác định v Đặc biệt không nhầm lẫn tính vi phân tính đạo hàm Tuy nhiên, có số tính tích phân hàm số chứa ln x mà đặt u = ln x tính tích phân ban đầu trở nên phức tạp Cụ thể: 15 2 Ví dụ 12 Tính tích phân: I = ∫ x3 ln x dx x2 + − Học sinh giải sau:  u = ln x  u = ln x   Đặt: dv = x2 xdx ⇔    2 dv = x + − d x +1     x +1  du = dx du = dx  x   x ⇔ ⇔  2 ( x + 1)  v = x − x2 + − x +1  v = ( 2 ) x ln x dx = x − x + 1ln x x2 + Cần tính tích phân: ∫ I= I′ = 2 ∫ 3 (x − ) x2 + 3x 2 2 − dx = 2 ∫ (x ( ∫ (x − ) ( x2 + 1) x ) − ) x2 + 3x dx × xdx x2 + xdx = dt x2 + Đổi cận thu tích phân bản: 2 t − t ( ) I′ = ∫ dt t −1 − Nhận xét: Cách giải trải qua hai bước lấy tích phân phần sau đổi biến số Như vậy, cách làm không đẹp hình thức, dài dòng nên dẫn đến nhầm lẫn tính toán Đặc biệt lấy tích phân xdx phần dv = x học sinh tìm v x +1 − Lời giải khác: xdx Đặt: t = x + ⇒ dt = x2 + Đổi cận: Với x = t = Với x = 2 t = x2 + = t ⇒ Đặt: 2 I= ∫ x3 ln x dx = x2 + 2 ∫x ln x xdx x2 + = ∫ ( t − 1) ln t − 1dt = ∫ ( t2 − 1) ln ( t2 − 1) dt 22 2 16 du = tdt  u = ln ( t2 − 1)   t2 − ⇒ Đặt:  dv = ( t − 1) dt v = t − t   3 3 I =  t − t ÷ln ( t2 − 1) − ∫  t − t÷ 2tdt 2  3  t −1 2 ( ) = 9ln − ln − ∫ t2 − + − dt 32 t +1 t −1 3 = 9ln − ln −  t − 2t + ln t + ÷ 3 t −1  = 9ln − ln −  13 + ln − ln ÷ = − 13 + 26 ln 3  − Như vậy, cần lưu ý: Khi gặp tích phân có chứa ln x , không thiết phải sử dụng phương pháp tích phân phần mà sử dụng phương pháp đổi biến trước để hình thức giải đẹp − Thông qua hai ví dụ trên, rút ra: Khi sử dụng tích phân phần để tính tích phân, ta cần phải tuân thủ nguyên tắc sau: Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định dễ dàng b Tích phân ∫ vdu xác định cách dễ dàng so với tích a phân ban đầu Các tập tương tự: Tính nguyên hàm tích phân sau: ∫x ∫ ∫ dx dx − 4x + dx x − 3x + dx ( x + 1) ( x + ) 3x + dx ∫ ( x + 1) −2 ∫ x3 − 2x2 + xdx 17 ∫ x3 dx − x2 ∫x x3 + 1dx ∫ ( 2xdx+ 1) ln ( x + 1) dx x ∫ 23 x4 dx ∫2 x3 + xdx 11 ∫ n x+1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với học sinh: − Năm học 2015- 2016 phân công giảng dạy lớp 12H 12I Ban đầu học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải dạng nguyên hàm, tích phân nêu Bởi vậy, đưa đề tài nghiên cứu vào trải nghiệm thực tế Tôi hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải − Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập sách giáo khoa Giải tích lớp 12 số tập đề thi thử THPT Quốc Gia thấy em thận trọng trình bày lời giải giải tốt lượng lớn tập − Và kết kiểm tra hai lớp 12H, 12I trường THPT Thiệu Hóa: +) Trước áp dụng đề tài: Giỏi Khá Trung bình Yếu, TT Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 12H 41 0 10 24,4 11 26,8 20 48,8 12I 46 0 12 26,1 13 28,3 21 45,6 +) Sau áp dụng đề tài: Giỏi Khá Trung bình Yếu, TT Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 12H 41 19,5 18 43,9 13 31,7 4,9 12I 46 10 21,7 21 45,7 12 26,1 6,5 10 18 2.4.2 Đối với giáo viên: − Giáo viên hệ thống số sai lầm dạng toán nguyên hàm, tích phân từ hướng dẫn học sinh học phần nguyên hàm, tích phân cách hứng thú, phát huy sáng tạo − Trên sở giáo viên tìm phương pháp giảng dạy nguyên hàm, tích phân cách hiệu quả, thú vị KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Nghiên cứu phân tích số sai lầm học sinh tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức, đạt kết cao trình học tập kì thi THPT Quốc Gia Những biện pháp việc làm trình bày trên, bước đầu đạt kết chưa thật mỹ mãn tâm ý thân Tuy nhiên, thực tốt nghĩ góp phần đổi phương pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo Mặt khác, với cách trình bày (nếu thành công) Tôi thiết nghĩ, áp dụng cho số phần khác như: Sai lầm tính đạo hàm, sai lầm giải số phương trình mũ, logarit …… Tôi tin kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đúc kết qua sách vở, thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp Vì vậy, thân mong góp ý, xây dựng quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy Từ đó, thân có điều kiện cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục mà toàn Đảng, toàn dân ta quan tâm Tôi xin chân thành cảm ơn ! 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với nhà trường: Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc để em tránh sai lầm giải tập 3.2.2 Đối với Sở GD&ĐT: Những sáng kiến có chất lượng cần giới thiệu phổ biến đến trường THPT để trao đổi áp dụng thực tế 19 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Phạm Thị Hằng Tài liệu tham khảo Giải tích 12 nâng cao- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- NXB Giáo dục Phương pháp giải toán tích phân- Lê Hồng Đức (Chủ biên)- NXB ĐHSP Giải toán Giải tích 12 tập 2- Lê Hồng Đức (Chủ biên)- NXB Hà Nội Phương pháp giải toán tích phân giải tích tổ hợp- Nguyễn Cam- NXB Trẻ Bài tập trọng tâm theo 19 chủ đề ôn thi đại học môn Toán- Nguyễn Thế Chinh- NXB Giáo dục 20 ... 2.3 Một số sai lầm thường gặp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ ………………………………………………… 2.3.1 Sai lầm không nắm vững định nghĩa tích phân …………… 2.3.2 Sai lầm sử dụng bảng nguyên hàm số. .. đặc biệt nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ cách máy móc là: Tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần... tích phân − Không nắm vững phương pháp đổi biến số − Không nắm vững phương pháp tính tích phân phần 2.3 Một số sai lầm thường gặp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ vô tỉ 2.3.1 Sai lầm không