Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong tam giác

1 MỞ ĐẦU - Lí chọn đề tài Từ đề thi đại học năm gần cho thấy toán phương pháp tọa độ mặt phẳng nội dung khó lấy điểm học sinh đồng thời nội dung khó để giáo viên giảng dạy đem lại hứng thú cho học sinh Đặc biệt từ năm 2014 giáo dục đưa nội dung vào mức điểm đề thi dại học đến năm 2015 phần đánh giá mức độ lấy điểm 8,5 đến đề thi THPT quốc gia thêm vào phần lại học từ lớp 10 sau năm em thi nên khó khăn Trong phần có đối tượng đường thẳng, đường tròn elíp, nội dung đường thẳng coi nội dung số vừa nội dung khó vừa nội dung xuất nhiều đề thi Trong phần đường thẳng toán tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình cạnh tam giác biết trước số yếu tố tam giác dạng toán hay tương đối khó, để giải toán dạng đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ yếu tố tam giác điểm đặc biệt tam giác như: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tính chất khác hình học phẳng cấp THCS Hiện có nhiều tài liệu viết nội dung này, nhiên tài liệu phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT Lê Lai chưa nhiều chất lượng học sinh nhà trường thấp có lớp mũi nhọn có khả tiếp thu phần kiến thức để phục vụ cho việc thi đại học Do năm học 2015 – 2016 giao nhiệm vụ đảm nhiệm lớp mũi nhọn 10A1, trăn trở tìm hiểu tài liệu phân loại tập phần đường thẳng tam giác đồng thời chọn làm nội dung làm sáng kiến kinh nghiệm năm học với tên gọi “Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao kỹ giải toán liên quan đến đường thẳng tam giác” - Mục đích nghiên cứu Với mục đích giúp học sinh không cảm thấy khó khăn gặp dạng toán đưa phương pháp phân loại tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bước giúp học sinh hình thành lối tư giải vấn đề Qua giúp em học tốt phần phương pháp tọa độ mặt phẳng nói chung phần đường thẳng nói riêng, tạo cho em tự tin làm tập hình học tạo tâm lý không “sợ " giải tập hình tọa độ mặt phẳng - Đối tượng nghiên cứu Phân dạng tập phương pháp giải dạng toán phương trình đường thẳng tìm điểm tam giác Đề tài thực phạm vi lớp 10A1, 10A2 trường THPT Lê Lai - Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa hình học 10 chuẩn nâng cao, sách tập - Các tài liệu tham khảo khác phương pháp tọa độ mặt phẳng Điều tra: - Thực dạy kết kiểm tra: Trong trình nghiên cứu đề tài, tiến hành kiểm tra lớp 10B8, 10B7 năm học 2014-2015 thực dạy lớp 10A1, 10A2 năm học 2015- 2016 Năm học 2015-2016: Lớp 10A1,10A2: thực nghiệm - Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải toán lập phương trình đường thẳng dạng toán liên quan đến đường thẳng tam giác cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn + Trao đổi với em học sinh toán lập phương trình đường thẳng dạng toán liên quan đến đường thẳng tam giác để biết cách tìm hướng giải toán em, từ có cách dạy tốt 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nhằm giúp học sinh có kiến thức, kỹ làm tập phần phương trình đường thẳng kỳ thi đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia Bản thân nghiên cứu chương trình SGK, tài liệu tham khảo phân thành dạng toán gắn với phương pháp giải cụ thể Trong toán viết phương đường thẳng phương pháp chung xác định véc tơ phương vetơ pháp tuyến đường thẳng toạ độ điểm mà đường thẳng qua sau áp dụng dạng phương trình đường thẳng để viết phương trình, tùy theo kỹ đề người đề mà họ dấu yếu tố hay hai buộc học sinh phải vận dụng kiến thức dã học để tìm yếu tố giải toán Ví dụ đề toán năm 2015 sau: Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu A cạnh BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vuông góc C đường thẳng AD Giả sử H (-5;-5), K (9;-3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng : x - y + 10 = Tìm tọa độ điểm A Hoặc đề khối D năm 2014 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với chân đường phân giác góc A D(1; –1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0; tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học 2014 – 2015 tiến hành kiểm tra kiến thức phần lớp khối 10 năm học lớp 10B8 10B7 nhận két không khả quan cụ thể Bài 1:Tìm tọa độ đỉnh A, B tam giác ABC biết đỉnh C ( −1; −2 ) ; đường trung tuyến kẻ từ A có phương trình: 5x + y − = đường cao kẻ từ B có phương trình là: x + 3y − = Bài 2: Lập phương trình cạnh ∆ABC cho C ( −4; −5 ) đường cao xuất phát từ A B có phương trình 2x − y + = 3x + 8y + 13 = Bài 3: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C ( 4; −1) ; đường trung tuyến hạ từ A có phương trình là: 2x + 3y = ; đường cao hạ từ đỉnh A có phương trình là: 2x − 3y + 12 = Số liệu cụ thể trước thực đề tài : Kết lớp 10B7 ( sĩ số 45) Làm Làm sai Không có lời giải Bài 20 18 Bài 19 17 Bài 16 Kết lớp 10B8 ( sĩ số 38) Làm Bài Bài Bài 25 27 25 20 Làm sai Số h/s lời Lời giải 3 10 10 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Nội dung đề tài thể qua dạng toán tam giác vài ví dụ minh họa từ đề thi giáo dục đào tạo năm gần đây, phần tác giả trình bày theo trình tự: Dạng toán phương pháp giải, số ví dụ có lời giải cụ thể tập tương tự A.Tiến hành dạy lý thuyết: 1.Giáo viên dạy kiến thức phần đường thẳng cần coi trọng phương pháp giảng dạy trước có liên quan đến phần Đó dạy kiến thức về: a Véc rtơ r phương đường thẳng d r Vectơ u ≠ có giá song song trùng với d u vectơ phương d r r Nếu u vectơ phương d k u vectơ phương d ( k ≠ ) b Véc rtơ pháp tuyến đường thẳng d r r Vectơ n ≠ có giá vuông góc với d n vectơ pháp tuyến d r r Nếu n vectơ pháp tuyến d k n vectơ pháp tuyến d ( k ≠ ) c Phương trình đường thẳng r Nếu đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ) có véc tơ phương u ( a;b ) với a + b ≠ thì:  x = x + at + Phương trình tham số đường thẳng d :  ( t ∈ R tham số)  y = y0 + bt x − x y − y0 = + Phương trình tắc đường thẳng d : ( a.b ≠ ) a b +Phương trình tổng quát đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = r + Phương trình đường thẳng d qua M ( x ; y ) , có vectơ pháp tuyến n ( A;B ) với A + B2 ≠ là: A ( x − x ) + B ( y − y ) = +Phương trình đường thẳng d qua M ( x ; y ) có hệ số góc k: y = k ( x − x ) + y0 x y + Phương trình đoạn thẳng chắn trục tọa độ: + = a b (đi qua điểm A ( a;0 ) ∈ Ox; B ( 0;b ) ∈ Oy ) + Phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = có dạng Ax + By + m = ( m ≠ C ) + Phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = có dạng Bx − Ay + m = + Công thức góc hai đường thẳng d, Các kiến thức khác Cho A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; yB ) ; C ( x C ; yC ) uuur - Véc tơ AB ( x B − x A ; y B − y A )  x + x B yA + yB  ; - Toạ độ trung điểm I AB I  A ÷ 2   uuur uuur 2 - Độ dài vectơ AB AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) - Nếu điểm M ( x M ; y M ) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ x A − kx B  x = M uuuu r uuur  1− k MA = kMB ⇔   y = y A − ky B  M 1− k uuur uuur  x B − x A = k ( x C − x A ) ⇔ AB = kAC ⇔ - A, B, C thẳng hàng   y B − y A = k ( y C − y A ) - Nếu A, B, C đỉnh tam giác, gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có:  x + x B + x C yA + yB + yC  G A ; ÷ 3   r Quy ước: Véc tơ pháp tuyến đường thẳng ký hiệu n r V éc tơ phương đường thẳng ký hiệu u 2.Phần hướng dẫn tập nhà phải dành thời gian định,hướng dẫn chu đáo,cụ thể có yêu cầu cao với học sinh B.Các dạng tập thường gặp: Tôi phân loại tập cho học sinh phương pháp giải dạng Sau xin đề cập tới số dạng tập hay gặp đề thi đại học cao đẳng Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A đường cao BH, CK Tìm tọa độ đỉnh B; C, lập phương trình cạnh tam giác ABC Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AB qua A vuông góc với CK Lập phương trình cạnh AC qua A vuông góc với BH B2: Tìm toạ độ điểm B, C B3: Lập phương trình cạnh BC Ví dụ Lập phương trình cạnh ∆ABC biết A ( 2; −1) đường cao xuất phát từ B C có phương trình là: 2x − y + = 3x + y + = Bài giải: Vì BH ⊥ AC nên cạnh AC có phương trình x + 2y + m = , AC qua A nên − + m = ⇔ m = Phương trình cạnh AC là: x + 2y = Vì CK ⊥ AB nên cạnh AB có phương trình x − 3y + n = , AB qua A nên + + n = ⇔ n = −5 Phương trình cạnh AB là: x − 3y − =  x=−   x + 2y =   2 ⇔ ⇒ C − ; ÷ Tọa độ điểm C nghiệm hệ   5 3x + y + =  y =   x = −  x − y − =   11  ⇔ ⇒ B − ;− ÷ Tọa độ điểm B nghiệm hệ   5 2 x − y + =  y = − 11  uuu r  13  uuur BC = ; = 4;13 ) nên vectơ pháp tuyến BC n BC = ( 13; −4 ) Khi  ÷ ( 5  8  11   Phương trình cạnh BC có dạng: 13  x + ÷−  y + ÷ = ⇔ 13x − 4y + 12 = 5  5  Ví dụ Tam giác ABC có A ( 1;2 ) phương trình hai đường cao BH: x + y + = CK: 2x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài giải: Cạnh AB qua A ( 1;2 ) vuông góc với CK: 2x + y − = nên AB có 1( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − 2y + = phương trình: Tương tự cạnh AC qua A ( 1;2 ) vuôn`g góc với BH: x + y + = nên AC có phương trình: 1( x − 1) − 1( y − ) = ⇔ x − y + =  x = −  x − y + =   2 ⇔ ⇒ B − ; ÷ Toạ độ điểm B nghiệm hệ:   3 x + y + = y =   x =  x − y + = 1 4 ⇔ ⇒ C ; ÷ Toạ độ điểm C nghiệm hệ:  3 3 2x + y − =  y =  Bài tập tương tự: 1, Lập phương trình cạnh ∆ABC cho A ( 1;3) đường cao xuất phát từ B C có phương trình 5x + 3y − = 3x − 2y − = 2, Cho ∆ABC có phương trình cạnh AB: 5x − 3y + = đường cao xuất phát từ A B có phương trình 4x + y − = 7x − 3y − 12 = Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ đỉnh lại BM, CN Tìm toạ độ B; C, viết phương trình cạnh tam giác Phương pháp:Cách 1: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) ABC B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phương trình BM, CN B3: Tìm toạ độ B, C: áp dụng công thức: x + xB + xC y + yB + yC xG = A ; yG = A 3 B4: Viết phương trình cạnh Cách 2: B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) ABC B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm Khi tứ giác BGCH hình bình hành B3: Lập phương trình đường thẳng HC qua H song song với trung tuyến BM C giao điểm HC với CN B4: Lập phương trình đường thẳng HB qua H song song với trung tuyến CN B giao điểm HB với BM B5: Viết phương trình cạnh Ví dụ: Cho tam giác ABC có A ( −2;3) hai đường trung tuyến BM: x − 2y + = CN: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phương trình: 2x − y + =  x = ⇔ ⇒ G ( 1;3)  x + y − = y =   Vì B thuộc đường thẳng BM nên giả sử B ( x B ; y B ) thì: x +1 x +1  x B − 2y B + = ⇔ y B = B ⇒ B x B; B ÷ Tương tự C ( x C ;4 − x C ) 2   Mặt khác G ( 1;3) trọng tâm tam giác ABC nên ta có: −2 + xB + xC   1 = xB =  x + x =    B C ⇔ ⇔  x B +1 3+ + − xC xB − xC =  x = 13 C =      5  13 1 Vậy B  ; ÷; C  ; − ÷  6  3 Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC có A ( −3;1) hai đường trung tuyến BM: 2x + y − = CN: x + y − = Lập phương trình cạnh tam giác ABC Dạng 3: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC biết trọng tâm G Xác định tọa độ đỉnh, lập phương trình cạnh lại Phương pháp: B1 (Chung cho cách): Tìm toạ độ điểm A giao điểm AB AC uuuu r uuur uuur uuuu r Suy toạ độ điểm M trung điểm BC nhờ : AG = 2GM AM = AG Cách 1: B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phương trình AB, AC B3: Tìm toạ độ B; C nhờ: xB + xC  x = M    y = yB + yC  M B4: Lập phương trình BC Cách 2: B2: Viết phương trình đường thẳng MN qua M song song với AC với N trung điểm AB uuurcủa u uur Tìm tọa độ điểm N B3: Từ AB = 2AN suy tọa độ điểm B Phương trình cạnh BC qua B nhận uuur BM làm vectơ phương Từ tìm tọa độ C Ví dụ Tam giác ABC biết phương trình AB: 4x + y + 15 = ; AC: 2x + 5y + = trọng tâm G ( −2; −1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, viết phương trình BC Bài giải Toạ độ điểm A nghiệm hệ: 4x + y + 15 =  x = −4 ⇔ ⇒ A ( −4;1)  2x + 5y + = y =   Gọi M ( x; y ) trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC nên:  x − x = ( x G − x A )  x = −1 M A  uuuu r uuur  ⇔ M ⇒ M ( −1; −2 ) AM = AG ⇔  y = − 2  M y − y = ( y − y ) M A G A  Gọi N trung điểm AB Phương trình đường thẳng MN // AC có dạng: 2x + 5y + m = Điểm M ∈ MN ⇒ −2 − 10 + m = ⇔ m = 12 Phương trình MN là: 2x + 5y + 12 =  2x + 5y + 12 =  x = −   ⇔ ⇒ N  − ; −1÷ Tọa độ điểm N nghiệm hệ    4x + y + 15 =  y = −1 uuur uuur  x B − x A = ( x N − x A )  x = −3 ⇔ B ⇒ B ( −3; −3) Ta có AB = 2AN ⇒  y = − y − y = y − y ( )  B  B A N A uuur Đường thẳng BC qua B nhận BM = ( 2;1) làm vectơ phương có dạng: x+3 y+3 = ⇔ x − 2y − =  x − 2y − = x = ⇔ ⇒ C ( 1; −1) Tọa độ điểm C nghiệm hệ:  2x + 5y + =  y = −1 Ví dụ Tam giác ABC biết phương trình AB: x + y − = ; AC: x − y + = trọng tâm G ( 1;2 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài giải Toạ độ điểm A nghiệm hệ: x + y + =  x = −2 ⇔ ⇒ A ( −2;1)  x − y + = y =   Gọi M ( x; y ) trung điểm BC, G trọng tâm nên:  x=  = x −  ( )  uuur uuuu r  5 5 ⇔ ⇒ M ; ÷ AG = 2GM ⇔  2 2 y = 1 = ( y − )  Vì B thuộc AB nên toạ độ B ( x B ; y B ) với x B + y B − = ⇔ y B = − x B nên B ( x B ;1 − x B ) Tương tự C ( x C ; x C + 3) 5 5 Mà M  ; ÷ trung điểm BC nên ta có: 2 2 xB + xC   xB + xC  x M =  = x B + x C = x B = 2 ⇔ ⇔ ⇔  − x B + x C =  x C =  y = yB + yC  = − xB + xC + M   2 nên B ( 1;0 ) ; C ( 4;7 ) Bài tập tương tự: Tam giác ABC biết phương trình AB: 2x − 3y − = ; AC: x + 9y + 28 = trọng tâm G ( 4; −2 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Dạng 4: Tam giác ABC biết đỉnh A, phương trình đường cao BH trung tuyến xuất CK Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phương trình cạnh Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AC qua A vuông góc với BH Từ tìm tọa độ điểm C giao điểm AC trung tuyến CK B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; K ( x K ; y K ) (với K trung điểm AB) xA + xB   x K = theo phương trình BH, CK Tìm toạ độ B nhờ:   y = yA + yB  K B3: Lập phương trình cạnh AB; BC Ví dụ 1: Xác định tọa độ đỉnh A; C ∆ABC biết B(0; −2) đường cao (AH) : x − 2y + = ; trung tuyến (CM) : 2x − y + = Bài giải: Theo BC qua B(0; −2) vuông góc với (AH) : x − 2y + = nên phương trình cạnh BC là: 2x + y + = Suy toạ độ C nghiệm hệ: 2 x + y + =  x = −1 ⇔ C ( −1;0 )  x − y + = y =   xA + xB xA +   x = x = M M   2 ⇔ Giả sử A ( x A ; y A ) ta có:   y = yA + yB  y = yA − M   M 2 x y −2 + = ⇔ 2x A − y A + = Vì M thuộc trung tuyến CM nên A − A 2 Tọa độ điểm A nghiệm hệ: 11  x = − A   x A − 2y A + =  11  ⇔ ⇒ A − ;− ÷  11  3  Vậy A  − ; − ÷; C ( −1;0 ) 2x A − y A + =  x = −  3  A Ví dụ Xác định tọa độ đỉnh B; C ∆ABC biết A(4; −1) đường cao (BH) : 2x − 3y = ; trung tuyến (CK) : 2x + 3y = Bài giải: Theo AC qua A(4; −1) vuông góc với (BH) : 2x − 3y = nên phương trình cạnh AC là: 3x + 2y − 10 = 3 x + y − 10 = x = ⇔ ⇒ C ( 6; −4 ) Suy toạ độ C nghiệm hệ:  x + y = y = −     Giả sử B ( x B ; y B ) ta có: 2x B − 3y B = Tương tự toạ độ K  x K ; − x K ÷   10 Vì K trung điểm AB nên ta có: + xB  xA + xB xK =    x K =  ⇔    y = yA + yB  2x K −1 + x B =  K − 2  11  x = K  2x − x B =  5 ⇔ K ⇔ ⇒ B − ; − ÷  6 4x K + 2x B =  x = − B  Bài tập tương tự: Lập phương trình cạnh ∆ABC biết C(3; −2) phương trình đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh 5x + 2y − = 4x + 3y − = Dạng 5: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC trực tâm H Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, viết phương trình cạnh BC Phương pháp: B1: Tìm toạ độ điểm A giao điểm AB AC B2: Tham số hoá toạ độ B(xB ; yB) theo AB B3: Tìm toạ độ B: uuur uuur uuur Vì H trực tâm nên HB vectơ pháp tuyến AC Vậy HB.u AC = uuur B4: Phương trình cạnh BC qua B có HA véc tơ pháp tuyến Ví dụ: Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: 5x − 2y + = cạnh AC: 4x + 7y − 21 = H ( 0;0 ) trực tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh BC Bài giải: Toạ độ A nghiệm hệ phương trình: 5x − 2y + = x = ⇔ ⇒ A ( 0;3)  4x + 7y − 21 = y =   5x B + 5x +   ⇒ B  x B; B ÷ 2   uuur Mặt khác H trực tâm nên HB ⊥ AC Suy HB vectơ pháp tuyến uuur uuur 5x B + HB.u = ⇔ x B = −4 ⇒ B ( −4; −7 ) AC Suy ra: AC = ⇔ 7x B − uuur Tương tự, HA vectơ pháp tuyến BC Vậy phương trình cạnh BC là: ( x + 4) + 3( y + ) = ⇔ y + = Vì B ( x B ; y B ) ∈ AB ⇒ 5x B − 2y B + = ⇔ y B = 35  y + = x =  35  ⇔ ⇒ C  ; −7 ÷ Tọa độ đỉnh C nghiệm hệ:    4x + 7y − 21 =  y = −7 11 Bài tập tương tự: Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: 3x + y − = cạnh AC: x + 2y − = H ( 2; −4 ) trực tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh BC Dạng 6: Tam giác ABC biết đỉnh A, hai đường phân giác góc B góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Tìm điểm A1 điểm đối xứng A qua đường phân giác góc B Suy A1 thuộc đường thẳng BC B2: Tìm điểm A2 điểm đối xứng A qua đường phân giác góc C Suy A2 thuộc BC B3: Lập phương trình đường thẳng BC qua A1;A B4: Tìm tọa độ B giao điểm BC với đường phân giác góc B Tìm tọa độ C giao điểm BC với đường phân giác góc C Chú ý: Bài toán: Tìm điểm đối xứng M’ M qua đường thẳng ∆ Phương pháp: B1: Lập phương trình d qua M d vuông góc với ∆ B2: Gọi I giao điểm d với ∆ Tìm I B3: Gọi M’ điểm đối xứng với M qua ∆ Khi I trung điểm MM’ xM + xM'   x I = Vậy tìm M’ nhờ:   y = yM + yM '  I Ví dụ 1: Cho ∆ : x + 3y + = M ( −1;3) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆ Bài giải: uu r uur Gọi d đường thẳng qua M vuông góc với ∆ Ta có n d = u ∆ = (3; −1) Vậy phương trình tổng quát d: ( x + 1) − 1( y − 3) = ⇔ 3x − y + = Gọi I giao điểm d với ∆ , toạ độ I nghiệm hệ:  x + 3y + =  x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 )  3x − y + = y = Giả sử M ' ( x M ' ; y M ' ) điểm đối xứng với M qua ∆ Ta có: xM + xM' −1 + x M '   x = − = I    x M ' = −3 2 ⇔ ⇔ ⇒ M ' ( −3; −3)    y + y + y y = − M' M'  M' y = M 0 =  I   Ví dụ 2: Tam giác ABC biết A ( 2; −1) phương trình hai đường phân giác góc B ( d B ) : x − 2y + = góc C ( d C ) : 2x − 3y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Bài giải: 12 Gọi A1 điểm đối xứng A qua ( d B ) : x − 2y + = Vì AA1 qua A vuông góc với d B nên AA1 có phương trình: ( x − ) + 1( y + 1) = ⇔ 2x + y − = Khi tọa độ giao điểm I d B AA1 nghiệm hệ: 2x + y − =  x = ⇔ ⇒ I ( 1;1) I trung điểm A A1   x − 2y + = y = Từ suy A1(0;3) Gọi A2 điểm đối xứng A qua ( d C ) : 2x − 3y + = Phương trình đường thẳng AA2 qua A vuông góc với dC có dạng: ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ 3x + 2y − = Khi tọa độ giao điểm J d C AA2 nghiệm hệ: 3x + 2y − =  x = ⇔ ⇒ J ( 0;2 ) Toạ độ A ( −2;5 )  2x − 3y + = y = Khi A1và A2 thuộc BC Vậy phương trình cạnh BC: (A1A2) là: 1( x − ) − 1( y − 3) = ⇔ x − y + = x − y + =  x = −5 ⇔ ⇒ B ( −5; −2 ) Suy toạ độ B nghiệm hệ  x − 2y + = y = −   x − y + = x = −3 ⇔ ⇒ C ( −3;0 ) toạ độ C nghiệm hệ  2x − 3y + = y =   Bài tập tương tự: Tam giác ABC biết A ( 2; −1) phương trình hai đường phân giác góc B ( d B ) : x − 2y + = góc C ( d C ) : x + y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Dạng 7: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh BC Phương pháp: B1: Tìm toạ độ điểm A giao AB AC Gọi M trung điểm cạnh AB Vì I trực tâm nên IM ⊥ AB ⇒ M Tìm toạ độ B nhờ M trung điểm AB B2: Gọi N trung điểm AC Vì I trực tâm nên IN ⊥ AC ⇒ N Tìm toạ độ C nhờ N trung điểm AC B3: Lập phương trình cạnh BC Ví dụ: Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: x + y − = ; cạnh AC: 2x − y − = I ( 1;1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh Bài giải: x + y − = x = ⇔ ⇒ A ( 1;0 ) Tọa độ điểm A nghiệm hệ  2x − y − = y =   Gọi M ( x M ; y M ) trung điểm AB Ta có 13 x M + y M − = ⇔ y M = − x M ⇒ M ( x M ;1 − x M ) uuu r uuur 1 1 IM.u ⇒ M ; ÷ Vì IM ⊥ AB nên AB = ⇔ −1( x M − 1) + ( − x M ) = ⇔ x M = 2 2 Tương tự N ( x N ;2x N − ) trung điểm AC uur uuur 7 4 IN.u ⇒ N ; ÷ Ta có: AC = ⇔ 1( x N − 1) + ( 2x N − ) = ⇔ x N = 5 5 Mặt khác M trung điểm AB nên suy B ( 0;1) 9 8 Tương N trung điểm AC nên suy C  ; ÷ 5 5 Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đường cao BH, đường phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Lập phương trình cạnh AC vuông góc với BH qua A Suy toạ độ điểm C B2: Tìm điểm đối xứng A’ A qua đường phân giác góc C Suy A’ thuộc BC B3: Lập phương trình cạnh BC qua điểm C, A’ B4: Tìm toạ độ điểm B giao điểm BH BC Lập phương trình cạnh AB Ví dụ Cho tam giác ABC biết A ( −1;3) , đường cao BH: x − y = Đường phân giác góc C nằm đường thẳng ∆ : x + 3y + = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Bài giải: Theo AC vuông góc với BH Vậy phương trình cạnh AC: 1( x + 1) + 1( y − 3) = ⇔ x + y − =  x + 3y + = x = ⇔ ⇒ C ( 4; −2 ) Toạ độ C nghiệm hệ:  x + y − =  y = −2 Gọi A’ điểm đối xứng A qua đường phân giác ∆ : x + 3y + = Phương trình đường thẳng AA’: ( x + 1) − 1( y − 3) = ⇔ 3x − y + = Ta có trung điểm I AA’ giao AA’ với ∆ 3x − y + = x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) Tọa độ trung điểm I nghiệm hệ:   x + 3y + = y = Vậy I ( −2;0 ) nên A ' ( −3; −3) A’ thuộc BC Vậy phương trình BC phương trình CA’: 1( x + 3) − ( y + 3) = ⇔ x − 7y − 18 = x − y = x = −3 ⇔ ⇒ B ( −3; −3) ≡ A '  x − 7y − 18 =  y = −3 Suy toạ độ B nghiệm hệ  14 Phương trình cạnh AB: 3x − y + = Ví dụ Cho tam giác ABC biết B ( 2; −1) , đường cao AH: 3x − 4y + 27 = Đường phân giác góc C nằm đường thẳng ∆ : 2x − y + = Tìm tọa độ đỉnh C lập phương trình cạnh BC, AC tam giác Bài giải: Theo BC vuông góc với AH Vậy phương trình cạnh BC: ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ 4x + 3y − = 4x + 3y − =  x = −1 ⇔ ⇒ C ( −1;3) Toạ độ C nghiệm hệ:  2x − y + = y = Gọi K điểm đối xứng B qua đường phân giác ∆ : 2x − y + = Phương trình đường thẳng BK: 1( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + 2y = Ta có trung điểm I BK giao BK với ∆  x + 2y = x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;1) Tọa độ điểm I nghiệm hệ  2x − y + = y =   Vậy I ( −2;1) nên K ( −6;3) K thuộc AC Vậy phương trình AC phương trình CK: ( x + ) − ( y − ) = ⇔ y − = Bài tập tương tự: Lập phương trình cạnh tam giác MNP biết N ( 2; −1) ; đường cao hạ từ M xuống NP có phương trình là: 3x − 4y + 27 = ; đường phân giác hạ từ đỉnh P có phương trình là: x + 2y − = Dạng 9: Tam giác ABC biết đỉnh A, đường trung tuyến hạ từ đỉnh B, đường phân giác góc C Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Phương pháp: B1: Tìm A’ điểm đối xứng A qua đường phân giác góc C B2: Tham số hoá toạ độ C ( x C ; yC ) theo đường phân giác góc C ( ) Tham số hoá toạ độ B1 x B1 ; y B1 theo đường trung tuyến hạ từ B B3: Tìm toạ độ C nhờ B trung điểm AC Ví dụ Tam giác ABC biết A ( 4;4 ) ; trung tuyến BB1: x − 3y − = , đường phân giác góc C có phương trình: ∆ : x − 2y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài giải: Gọi A’ điểm đối xứng A qua ∆ : x − 2y − = Phương trình đường thẳng AA' ( x − ) + 1( y − ) = ⇔ 2x + y − 12 = Trung điểm I AA' nghiệm hệ: 2x + y − 12 =  x = ⇔ ⇒ I ( 5;2 ) Ta có A ' ( 6;0 )  x − 2y − = y =   Giả sử C ( x C ; y C ) C ∈ ∆ nên: x C − 2y C − = ⇒ C ( 2y C + 1; y C ) 15 ( ) ( ) Tương tự điểm B1 x B1 ; y B1 thuộc BB1: x − 3y − = nên B1 3y B1 + 2; y B1 Mà B1 trung điểm AC nên: xA + xC + 2y C +   x = 3y + =  B B   6y B1 − 2y C =  y B1 = − 2 ⇔ ⇔ ⇔  y + y + y 2y − y = A C C  B C y = y =  yC = −11  B B    17  Vậy B1  − ; − ÷ C ( −21; −11)  2 Phương trình cạnh BC qua C A1 có dạng: ( x + 21) − ( y + 11) = ⇔ 3x − 5y + = 17  x = −   x − 3y − = ⇒ B  − 17 ; −  ⇔ Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ:    ÷  2 3x − 5y + =  y = −  Ví dụ Tam giác ABC biết C ( 4;3) ; đường phân giác đường trung tuyến góc A có phương trình x + 2y − = 4x + 13y − 10 = Tìm tọa độ đỉnh lập phương trình cạnh tam giác Bài giải: Ta có AD ∩ AM = { A} nên tọa độ điểm A nghiệm hệ:  x + 2y − = x = ⇔ ⇒ A ( 9; −2 )  4x + 13y − 10 =  y = −2 Phương trình cạnh AC là: 1( x − ) + 1( y − 3) = ⇔ x + y − = Gọi N ( x1; y1 ) điểm đối xứng với C qua phân giác AD Suy N ∈ AB Phương trình đường thẳng CN là: 2x − y − = CN ∩ AD = { I} nên tọa độ điểm I nghiệm hệ: 2x − y − = x = ⇔ ⇒ I ( 3;1)   x + 2y − =  y = Vì I trung điểm CN nên N ( 2; −1) Phương trình cạnh AB qua A N nên có phương trình là: 1( x − ) + ( y + ) = ⇔ x + 7y + = xB + xC xB +  x = = M  2 M trung điểm BC nên   y = y B + yC = y B +  M 2 B ( x B ; y B ) ∈ AB M thuộc đường trung tuyến nên ta có hệ phương trình: 16  x B + 7y B + =  x B + 7y B = −5  x B = −12  ⇔ ⇔ ⇒ B ( −12;1) x + y +   B     B  + 13 − 10 = 4x + 13y = − 35 y =  ÷  B B  B   ÷      Phương trình cạnh BC là: 1( x − ) − ( y − 3) = ⇔ x − 8y + 20 = Bài tập tương tự: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C ( −1;3) ; đường trung tuyến hạ từ A có phương trình là: x + 2y − = ; đường phân giác hạ từ đỉnh A có phương trình là: 4x + 13y − 10 = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đây mảng kiến thức đòi hỏi tư cao, nên nội dung đề tài tác giả thực nghiệm sư phạm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Kết cho thấy: 1) Sau giảng dạy chuyên đề học sinh nắm sâu kiến thức lập phương trình đường thẳng tam giác nói riêng phần phương pháp tọa độ mặt phẳng nói chung… 2) Cách phân dạng tập giúp học sinh dể hiểu, định hướng vấn đề, giải vấn đề cách lôgic Học sinh vận dụng làm tốt số đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi năm gần Các toán phương trình đường thẳng dạng toán có liên quan loại toán khó, đòi hỏi tư cao Vì vậy, trình giảng dạy, giáo viên cần phải phân dạng tập cách có hệ thống trình bày rõ ràng Để kiểm nghiệm SKKN tổ chức cho em học sinh lớp 10A1, 10A2 kiểm tra 45 phút với nội dung toán viết phương trình đường thẳng thuộc dạng có SKKN Kết đa số em nắm vững phương pháp giải dạng tập nhiều em có lời giải xác, điểm tối đa với 10A1 Với lớp 12C1 ôn lại kiến thức lớp 10 giúp em nhận thức phần kiến thức quan trọng thi THPT quốc gia xét tuyển đại học, em thực tương đối tốt hoàn chỉnh lời giải toán Các em có thêm hứng thú tự tin vào thân chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng Đồng thời nội dung sáng kiến đồng nghiệp tổ đánh giá cao chất lượng chuyên môn chọn tài liệu cho chuyên đề hình giải tích phẳng ôn học sinh giỏi luyện thi đại học KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận Để tiết học thành công học sinh biết vận dụng kiến thức vào giải toán giáo viên cần soạn chu đáo, có hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh xây dựng Các câu hỏi khó chẻ nhỏ để học sinh yếu nhận biết kiến thức.Cần 17 quan tâm tới tất đối tượng học sinh lớp Sau phần lý thuyết giáo viên cần có ví dụ minh hoạ cho học sinh củng cố lại phương pháp dạng Với phương pháp cụ thể mà nêu SKKN giúp em phân loại tập, nắm vững phương pháp làm trình bầy bài, giúp em tự tin học tập thi Mong muốn lớn thực SKKN học hỏi, đồng thời giúp em học sinh bớt khó khăn gặp toán tìm tọa độ đỉnh viết phương trình cạnh tam giác, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh mối quan hệ đường thẳng, từ em say mê học toán Qua cách phân loại hình thành phương pháp giải trình bày sáng kiến thấy học sinh chủ động kiến thức, nắm Học sinh yêu môn toán thích học toán hình Giáo viên nhà trường nắm nghiên cứu sâu chuyên đề cụ thể Có thêm kinh nghiệm giảng dạy môn Từ việc phân dạng gắn với phương pháp giải thấy học sinh nắm kiến thức,không lúng túng giải tập Học sinh phát huy tính tự lực, phát triển khả sáng tạo em Qua em hiểu rõ chất kiến thức phần tập tìm toạ độ đỉnh viết phương trình đường thẳng mặt phẳng Giáo viên thấy rõ điểm mạnh, điểm yếu học sinh để giúp em điều chỉnh có điểm cao kỳ thi - Kiến nghị Với sở: Phổ biến rộng rãi SKKN có giải để giáo viên tỉnh tham khảo học tập Với trường: Tổ chức lớp ôn tập theo chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra, đánh giá việc ôn tập học sinh Mặc dù cố gắng, thời gian trình độ lực thân hạn chế, nguồn tài liệu tham khảo chưa nhiều Chính SKKN chắn nhiều thiếu sót Rất mong nhận động viên, chia sẻ quý thầy cô bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm hoàn thiện SKKN hoàn chỉnh trình giảng dạy thân 18 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Trần Hữu Hải Thanh Hóa, ngày 29 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Đức Quang Tài liệu tham khảo Dùng tài liệu, sách tham khảo sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chương trình - Sách tập Hình học lớp 10 - Chương trình - Hướng dẫn thực Chuẩn kiến thức, kỹ môn Toán - Đề thi đại học năm từ 2009 - 2015 19 ... với phân môn + Trao đổi với em học sinh toán lập phương trình đường thẳng dạng toán liên quan đến đường thẳng tam giác để biết cách tìm hướng giải toán em, từ có cách dạy tốt 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN... 10A1, 10A2 năm học 2015- 2016 Năm học 2015-2016: Lớp 10A1,10A2: thực nghiệm - Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải toán lập phương trình đường thẳng dạng toán liên quan đến đường. .. sinh mối quan hệ đường thẳng, từ em say mê học toán Qua cách phân loại hình thành phương pháp giải trình bày sáng kiến thấy học sinh chủ động kiến thức, nắm Học sinh yêu môn toán thích học toán