Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 10 sử dụng trục số để tìm phép toán tập hợp

MUC LUC Nụi dung M u Trang Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu C s lý lun ca sỏng kin kinh nghim Thc trang ca võn Gii phỏp v t chc thc hin 3-17 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim 18 Kt lun v xuõt 19 1-M U 1.1 Lý chn ti Tp hp l khỏi nim khụng cú nh ngha c th, ch c nh ngha thụng qua cỏc vớ d v hỡnh nh thc t Nhng khỏi nim v phộp toỏn hp hu nh c s dng thng xuyờn v c gp bõt c dang toỏn c bn no nh gii phng trỡnh, gii h phng trỡnh, gii bõt phng trỡnh v c gp bõt c mụn hc no nh vt lý, húa hc, sinh hc v cuục sng thng ngy khỏi nim ny cng tn tai song hnh Vỡ vy hc sinh nm vng c khỏi nim cng nh phộp toỏn ca hp l mụt võn c bn v then cht ca vic gii toỏn trng THPT Khỏi nim toỏn hc ny hc sinh cng ó c tip cn t nm hc lp 7, nhng n u lp 10 hc sinh mi c hc sõu hn, rụng hn v y hn Chớnh vỡ vy khỏi nim ny cng ó gõy khụng ớt khú khn cho hc sinh mi bc chõn vo trng THPT, tao tõm lý bõt n cho nhng hc sinh cú kh nng tip nhn kin thc han ch Vỡ vy trờn cng v ca giỏo viờn ó ging day nhiu nm tụi rỳt c kinh nghim i vi hc sinh lp 10 ú l hng dn hc sinh s dng trc s gii cỏc bi toỏn v phộp toỏn hp Vi kinh nghim ny tụi tin rng hc sinh s tip nhn mụt cỏch d dng, toỏn hc s tr thnh n gin hn rõt nhiu Gúp phn nõng cao chõt lng day hc mụn toỏn núi riờng v cỏc bụ mụn khỏc núi chung 1.2 Mc ớch nghiờn cu -Lm rừ võn m hc sinh cũn lỳng tỳng v mc nhiu sai lm vic s dng cụng c tin hnh vic gii toỏn -Lm cho hc sinh thõy c tm quan trng ca chng hc, l võn then cht cho vic tip nhn v gii cỏc dang toỏn tip theo -Nõng cao chõt lng bụ mụn toỏn theo tng chuyờn khỏc gúp phn nõng cao chõt lng day hc 1.3 i tng nghiờn cu -Tp hp v cỏc phộp toỏn hp -Hc sinh lp 10 1.4 Phng phỏp nghiờn cu -Nghiờn cu v vic day v hc Toỏn trung THPT theo tng ch -Nghiờn cu kh nng nm bt ca hc sinh qua tng tit hc -Tỡm hiu qua phiu thm dũ ca hc sinh -Tỡm hiu qua ng nghip NI DUNG CA SNG KIN 2.1 C s lý lun ca sỏng kin kinh nghim -Võn i mi phng phỏp day hc, rốn luyn tớnh tớch cc, t sỏng tao ca hc sinh luụn tr thnh ni trn tr i vi nhng giỏo viờn cú tõm vi ngh Lm cho giỏo dc ỏp ng c yờu cu ngy cng cao ca xó hụi vic o tao ngi thc hin c nhng quan im ch ao ny cn dng nhng tri thc khoa hc giỏo dc, trc ht l nhng quan im v PPGD tớch cc - S phỏt trin khụng ngng ca khoa hc v cụng ngh lm cho nụi dung mụn hc ngy cng gia tng c v chiu rụng v chiu sõu, xuõt hin mõu thun vi thi gian v iu kin day hc c th (ụi ng GV, c s vt chõt, qun lớ chõt lng o tao trng PT) 2.2 Thc trang ca võn i vi hc sinh - i tng hc sinh lp 10 l mụt i tng mi trờn nhiu phng din khỏc nhau, cỏc em cũn nhiu b ng bc chõn vo trng THPT Lng kin thc nhiu cụng vi phng phỏp hc khỏc so vi THCS nờn nhiu em lỳc ban u cm giỏc b ngp, hi ui so vi nng lc ca bn thõn vỡ vy d gõy tõm lý bõt an cho hc sinh -Tõm lý x hi sau mụt thi cng c th hin qua mụt s i tng hc sinh nờn tip nhn kin thc mi ụi hi ht dn n hiu qu khụng cao i vi giỏo viờn - Mụt s giỏo viờn cha tht tớch cc vic i mi cỏch truyn th day hc, tõm lý ngai khai thỏc v i phú cũn -Cỏch day hc truyn thng n sõu vo t tng mụt s giỏo viờn, khin chng hc khụng c ci thin l bao i vi mụi trng xung quanh -Tõm lý thớch chi nhiu hn chi phi manh n vic tip nhn kin thc, lm cho mụn toỏn ó khú lai cng thõy khú hn -Tõm lý ỏm ụng li hc tỏc ụng khụng nh n bụ phn hc sinh yờu thớch mụn toỏn 2.3 Gii phỏp v t chc thc hin 2.3.1 Giỏo viờn gii thiu lai phn lý thuyt v hp v phộp toỏn hp a.Tp hp Tp hp l khỏi nim c bn ca Toỏn hc Ta hiu khỏi nim hp qua cỏc vớ d nh: Tp hp tõt c cỏc hc sinh lp 10 ca trng em, hp cỏc s nguyờn t Thụng thng mi hp gm cỏc phn t cú chung hay vi tớnh chõt no ú Nu a l phn t ca hp X, ta vit aX Nu a khụng phi l phn t ca X, ta vit aX Ta thng cho mụt hp bng hai cỏch sau õy + Lit kờ cỏc phn t ca hp + Ch rừ cỏc tớnh chõt c trng cho cỏc phn t ca hp b Tp v hp bng - Tp Tp A c gi l ca B v kớ hiu l AB nu mi phn t ca hp A u l phn t ca hp B AB(x,xAxB) T nh ngha con, d thõy cú tớnh chõt bc cu sau: (AB&BC)(AC) D thõy mi hp l ca chớnh nú -Tp hp bng Hai hp A v B c gi l bng v ký hiu A=B nu mi phn t ca A l mụt phn t ca B v mi phn t ca B cng l mụt phn t ca A T nh ngha ny ta cú A=B (AB) v (AB) Hai hp A v B khụng bng ( khỏc ) c kớ hiu l :AB c, Biu Ven Cỏc hp cú th c minh trc quan bng hỡnh v nh biu Ven nh toỏn hc ngi Anh Giụn Ven ln u a vo nm 1981 Trong biu Ven, ngi ta dựng nhng hỡnh gii han bi ng khộp kớn biu din hp Vớ d 1:Chỳng ta ó bit hp s t nhiờn khỏc l N, hp s t nhiờn N, hp s nguyờn Z, hp s hu t Q, v hp s thc R Ta cú cỏc mi quan h sau: NNZQR S Ven: d Cỏc ca R Tờn gi, ký hiu (-;+) Tp s thc Tp hp oan [a ; b] {xR, a x b} Khong (a ; b ) {xR, a < x < b} Khong (- ; a) {xR, x < a} Khong(a ; + ) {xR, a< x } Na khong [a ; b) {xR, a x < b} Hỡnh biu din //////////// [ a ////////////( a ]/////// b )///////// b )////////////////// a ///////////////////( a /////////[ a )///// b Na khong (a ; b] {xR, a < x b} Na khong (- ; a] {xR, x a} Na khong [a ;+ ) {xR, a x } ////////////( a ] ///////// b ]///////////////////// a ///////////[ a 2.3.2 S dng trc s tỡm phộp toỏn hp Trc tiờn giỏo viờn cn gii thiu cho hc sinh nm vng phn lý thuyt cỏc phộp toỏn v hp t ú mi nờu phng phỏp thc hnh 1.Phộp giao a.nh ngha: Phộp giao: A B = {x|x A v x B} x A x B x A B b,Tớnh chõt A A=A A = A B=B A -Biu din bng s Ven A B c.Phng phỏp tỡm giao ca hai hay nhiu hp: +V trc s, sp xp u mỳt ca cỏc hp th t t n ln +Biu din A, gach b phn khụng thuc A (Dựng kiu gach) +Biu din B, gach b phn khụng thuc B (Dựng kiu gach khỏc hoc mu khỏc ) +c kt qu: phn khụng b gach (Phn trng) l giao ca hai hp A v B d.Cỏc VD VD1: Cho A= [ 1;5) , B= ( 3;1) Tỡm A I B GV hng dn hc sinh lm tng bc, hc sinh cú th chun b bỳt mu, phõn mu v C th nh sau: -V trc s, sp xp cỏc u mỳt ca A, B theo th t tng dn \\\\\\\(///////////////////////[ -3 -1 )\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)//////////// \\\\\\\\\\\\\\\\\ -Biu din A= [ 1;5) , B= ( 3;1) -Gach b phn khụng thuc A (gach chộo mu ) -Gach b phn khụng thuc B (gach chộo phn mu xanh) -c kt lun: Phn khụng b gach (phn trng) l na khong [ 1;1) Vy A I B = [ 1;1) VD2: Cho A= [ 0; + ) , B= ( ; ) , C= ( 2;5) Tỡm A B C GV hng dn hc sinh lm tng bc, c th nh sau -V trc s, sp xp cỏc u mỳt ca A, B,C theo th t tng dn ||||||||(///////////////////////[ -2 ]|||||||||||||||||\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| x -Biu din A= [ 0; + ) , B= ( ; ) , C= ( 2;3] -Gach b phn khụng thuc A(gach chộo mu ) -Gach b phn khụng thuc B (gach chộo phn mu xanh dng) -Gach b phn khụng thuc C (gach ng phn mu xanh lỏ cõy) -c kt lun: Phn khụng b gach (phn trng) l oan [ 0;3] Vy A B C = [ 0;3] e Chỳ ý Giỏo viờn yờu cu hc sinh phi chỳ ý mụt s thao tỏc sau: - V trc s v chia u khong cỏch hp lý - Lm dt im tng hp v nờn dựng cỏc loai gach khỏc phõn bit (trong bi kim tra khụng dựng mu) - Chỳ ý cỏc u mỳt (hc sinh rõt d sai sút phn ny ) 2: Phộp hp hai hp a nh ngha A B = {x| x A hoaởc x B} x A x A B x B b,Tớnh chõt A A=A A =A A B= B A Biu din bng s Ven A B c.Phng phỏp tỡm hp ca hai hay nhiu hp: +V trc s, sp xp cỏc u mỳt ca cỏc hp t n ln +Biu din A, tụ m phn thuục A +Biu din B, tụ m phn thuục B (cú th cựng tụ mu ) +c kt qu: phn b tụ m l hp ca hai hp d Cỏc VD c th: VD1: Cho A= [ 4;0 ) , B= ( 2;6 ) Giỏo viờn hng dn hc sinh lm c th nh sau: V trc s, sp xp cỏc u mỳt t n ln [ -4 ( -2 ) ) Biu din A= [ 4;0 ) tụ m A (mu ) Biu din B= ( 2;6 ) tụ m B (mu ) c kt qu: Phn b tụ mu m l na khong [ 4;6 ) Vy A B = [ 4;6 ) VD2: Cho A= [ 1; + ) , B= ( ;0 ) , C= ( 2;3) Tỡm A B C Giỏo viờn hng dn V trc s, sp xp cỏc u mỳt t n ln ( -2 [ -1 ) ) Biu din A= [ 1; + ) tụ m A (mu xanh) Biu din B= ( ;0 ) tụ m B (mu xanh) Biu din C= ( 2;3) tụ m C (mu xanh) c kt qu: Phn c tụ mu xanh l khong ( ; + ) = R Vy A B C = R VD3: Cho A= [ 4;0 ) , B= ( ; ) , C= ( 5; + ) Tỡm A B C [ -4 ) -2 ) ( Tụ m A (mu tớm) Tụ m B (mu tớm) Tụ m C (mu tớm) Kt lun: Phn c tụ mu tớm l hp cỏc hp A B C = ( ;0 ) ( 5; + ) e, Chỳ ý Giỏo viờn yờu cu hc sinh phi chỳ ý mụt s thao tỏc sau: - V trờn cựng 1trc s v chia u khong cỏch hp lý - Lm dt im tng hp v cú th dựng cựng mụt mu (hoc khỏc mu) - Cú th hp ca cỏc l cỏc ri rac v lu ý vit kt qu - Chỳ ý cỏc u mỳt c kt qu (hc sinh rõt d sai sút phn ny ) - Lm trờn bng cú th dựng bỳt mu hoc phõn mu phõn bit d hn nhng lm bi kim tra ch c dựng mụt loai mc (khụng phi mu ) 3: Hiu hai hp a; nh ngha : A\ B = {x| x A vaứ x B} { x A x A\B x B b;Tớnh chõt A\ =A A\A= A\BB\A A B Biu din bng s Ven c; Phng phỏp tỡm hiu ca hai hp A\ B: -V trc s, sp xp cỏc u mỳt th t t n ln -Biu din A, gach b phn khụng thuc A (Dựng kiu gach) -Biu din B, gach b phn thuc B (Dựng kiu gach khỏc hoc mu khỏc ) -c kt qu: Phn khụng b gach(Phn trng) l hiu ca hai hp A\ B d;Cỏc vớ d VD1: Cho A= [ 4;0 ) , B= ( ; ) Tỡm A \ B ////////[ ) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ -4 -2 )////////////////////////////////////////// -V trc s, sp xp cỏc u mỳt th t t n ln -Biu din A, gach b phn khụng thuc A (gach mu xanh) -Biu din B, gach b phn thuc B (gach mu ) -c kt qu: Phn khụng b gach l hiu ca A v B.Vy A \ B = [ 2;0 ) VD2: Cho A= ( ;1) , B= [ 3;5] Tỡm A \ B [\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ )//////////////////////]////////////////////////////// -3 -V trc s, sp xp cỏc u mỳt th t t n ln -Biu din A, gach b phn khụng thuc A (gach mu en) -Biu din B, gach b phn thuc B (gach mu ) -c kt qu: Phn khụng b gach l hiu ca B v A.Vy A \ B = ( ; 3) Phộp lõy phn bự a; nh ngha : Neỏu A E thỡ CEA = E\A = {x ,xE vaứ xA} b;Tớnh chõt Biu din bng s Ven E A c; Phng phỏp tỡm phn bự ca B A -V trc s, sp xp cỏc u mỳt th t t n ln -Biu din A, gach phn khụng thuc A -Biu din B, gach b phn thuc B -c kt qu: Phn khụng b gach(Phn trng) l phn bự ca B A d.Cỏc vớ d VD1: Cho A= [ 4;0 ) , B= ( 2;0 ) Tỡm A \ B ////////[ -4 (\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)////////////////////////////////////////// -2 -V trc s, sp xp cỏc u mỳt th t t n ln -Biu din A, gach b phn khụng thuc A (gach mu xanh) -Biu din B, gach b phn thuc B (gach mu ) -c kt qu: Phn khụng b gach l hiu ca A v B.Vy A \ B = [ 4; 2] S dng trc s tỡm nhiu phộp toỏn hp Trong thc t gii toỏn khụng ch mi vic tỡm giao, hp, hay hiu ca hai hp m hc sinh s i mt vi nhiu phộp toỏn khỏc trờn cựng mụt bi toỏn Vỡ vy giỏo viờn cn gii thiu v hng dn hc sinh cỏch lm i vi dang bi ny T ú nõng cao nng lc t duy, sỏng tao cng nh rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh VD1: Cho A= ( ; 1) , B= [ 3; 2] C = [ 1; + ) , a; Tỡm ( A B ) C b; Tỡm ( A B ) \ C c; Tỡm ( A \ B ) C d; Tỡm ( A B ) \ C Giỏo viờn hng dn hc sinh cỏch gii trờn trc s nh sau: a;Tỡm ( A B ) C x A B x C Phõn tớch: x ( A B ) C Ta cú th tỡm giao ca A v B trc ri sau ú lõy hp vi C sau Nhng nu khụng bit biu din trờn mụt trc s s ln lụn ch lõy v khụng lõy khin hc sinh lỳng tỳng, nhõt l cỏc em cha thnh thao k nng ny Vy cỏc bc lm c th nh sau: -V trc s, sp xp cỏc u mỳt theo th t tng dn 10 -Biu din C v tụ m C (mu ) -Biu din A v gach phn khụng thuc A(tr nhng ch ó tụ m ca C)- gach chộo mu tớm -Biu din B v gach b phn khụng thuc B (tr nhng ch ó tụ m ca C) gach chộo mu en -c kt qu: L phn khụng b gach v phn tụ m ca C ////////[ -3 )\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\[ -1 ] Da vo trc s trờn ta cú kt qu l ( A B ) C = [ 3; 1) [ 1; + ) b; Tỡm ( A B ) \ C x A B x C Phõn tớch: x ( A B ) \ C Vy ta cú th tỡm hp ca A v B trc ri sau ú tr i C sau Vy cỏc bc lm c th nh sau: -V trc s, sp xp cỏc u mỳt theo th t tng dn -Biu din A v tụ m A= ( ; 1) (mu cam) -Biu din B v tụ m B= [ 3; 2] (mu cam) -Biu din C v gach b C = [ 1; + ) (gach chộo mu en) -c kt qu: L phn tụ m khụng b gach [ -3 ) -1 [//////////////]//////////////////////////// Da vo trc s trờn ta cú kt qu l ( A B ) \ C = ( ;1) c; Tỡm ( A \ B ) C x A \ B x C Phõn tớch: x ( A \ B ) C Vy ta cú th tỡm hiu ca A v B trc ri sau ú hp vi C sau Vy cỏc bc lm c th nh sau: -V trc s, sp xp cỏc u mỳt theo th t tng dn -Biu din C v tụ m C = [ 1; + ) (mu cam) 11 -Biu din A v gach b phn khụng thuc A= ( ; 1) (tr phn thuục C) gach chộo mu tớm -Biu din B v gach b B= [ 3; 2] (tr phn thuục C)- gach chộo mu en -c kt qu: L phn tụ m v phn khụng b gach [\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ) //////////////////////[ -3 -1 ] Da vo trc s trờn ta cú kt qu l ( A \ B ) C = ( ; 3) [ 1; + ) d; Tỡm ( A B ) \ C x A B x C Phõn tớch: x ( A B ) \ C Vy ta cú th tỡm giao ca A v B trc ri sau ú tr i C sau Vy cỏc bc lm c th nh sau: -V trc s, sp xp cỏc u mỳt theo th t tng dn -Biu din C = [ 1; + ) v gach b C = [ 1; + ) (gach chộo mu ) -Biu din A = ( ; 1) v gach b phn khụng thuc A( gach chộo mu en) -Biu din B = [ 3; 2] v gach b phn khụng thuc B (gach ng mu xanh) -c kt qu: L phn khụng b gach |||||||||[ -3 ) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\||||||||||||||||||||||||||||||||||||\\\\\\ [///////////////]//////////////////////////// -1\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\1 Da vo trc s trờn ta cú kt qu l ( A B ) \ C = [ 3; 1) Nhn xột: - Da vo trc s ta cú th tin hnh nhiu phộp toỏn hp cựng mụt lỳc Tõt nhiờn nhiu hc sinh cú th tỏch thnh nhiu bc lm khỏc nhng s võt v hn Da trờn vic phõn tớch hng i ỳng, quan trng l nm vng phộp toỏn thỡ khụng cú bi no l ta phi u hng -Phng phỏp trờn giỏo viờn thng ch hng dn i vi hc sinh mi tip cn kin thc ny v sau ó thnh thao ri cỏc em s chng cn dựng n 12 trc s lm gỡ, tõt c cỏc bc hc sinh cú th nhm tớnh u, hc sinh cú th ch a kt qu ỳng 2.3.3 Cỏc vớ d ng dng ca phộp toỏn hp Phộp toỏn hp hu nh c tõt cỏc cỏc mụn hc ỏp dng, nhõt l toỏn hc phộp toỏn hp cú mt cỏc bi toỏn v phng trỡnh, h phng trỡnh, bõt phng trỡnh, h bõt phng trỡnh Sau õy giỏo viờn gii thiu mụt s vớ d hc sinh lm quen v nhn thc ỳng n v tm quan trng ca chng hc ny Vớ d 1: Cho A= [ 0;1] ; B = a ; Tỡm iu kin ca a A B = Gv hng dn hc sinh lm nh sau: V trc s: Biu din A= [ 0;1] , gach b phn khụng thuục A /////////////////[ A ]//////////[//////////////]////////////////////////////// a2 B A B = thỡ B phi nm vựng b gach Vy cú hai kh nng a > a < Hoc B l ca ( 1; + ) (hỡnh trờn) tc l a > Hoc B l ca ( ;0 ) (loai a2 ) Vớ d 2: Cho A = [ a; a + 2] , B = [ b; b + 1] Tỡm iu kin ca a, b A B Giỏo viờn cú th nh hng cho hc sinh hai cỏch lm khỏc nhau: -Lm trc tip: Vi cỏch lm ny hs phi xột nhiu trng hp hn, bi toỏn s ri hn -Lm giỏn tip: Ta tỡm iu kin A B = sau ú tỡm c a,b tha bi toỏn A B = thỡ A, B phi ri rac tc l cú hai kh nng xy + Trng hp 1: Hỡnh v sau A B /////////////////[ ]//////////[//////////////]////////////////////////////// \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ a a+2 b b+1 Vi trng hp ny ta cú iu kin ca a, b nh sau: a+2