Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THCS và THPT nghi sơn khắc phụ

PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng, đặc biệt đề thi Tốt nghiệp THPT quốc gia, em gặp lớp toán phương trình vô tỷ mà có số em biết phương pháp giải lúng túng gặp toán có nhiều điều kiện, trình bày chưa rõ ràng, sáng sủa chí mắc số sai lầm không đáng có trình bày Tại lại vậy? Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10, phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai giới thiệu đơn giản thông qua vài ví dụ nhẹ nhàng, lượng tập rèn luyện kĩ giải phương trình cho học sinh chưa đa dạng Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ phải có lực biến đổi nhanh nhẹn, thục II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Từ lý tính cấp thiết đề tài, từ thực tế giảng dạy toán lớp 10, nhận thấy việc số sai lầm rèn luyện kĩ giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai cho học sinh cần thiết Chính chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THCS & THPT Nghi Sơn khắc phục sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai.” Qua sáng kiến kinh nghiệm, mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai để học sinh biết trình bày toán xác, logic, tránh sai lầm biến đổi III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai số toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 • Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán • Thực nghiệm sư phạm PHẦN II NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Trong sách giáo khoa Đại số 10 giới thiệu phương trình dạng : f ( x ) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f ( x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện cần để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN Tôi số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai đưa cách giải dạng phương trình bản, số toán không mẫu mực giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai II.THỰC TRẠNG-GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: A Một số sai lầm học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai Thông qua việc dạy học quan sát việc làm tập hàng ngày em học sinh, nhận thấy học sinh thường không giải trình bày có nhiều sai lầm Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x − = 16 (1) Học sinh giải sau : ĐK : x ≥ (*) (1) ⇔ x − = 16 − x ⇔ x − = 256 − 64 x + x ⇔ x − 65 x + 259 = x = ⇔ 37 x =  Vậy phương trình có nghiệm x = 7, x = Sai lầm : Lấy x = 37 37 nghiệm phương trình, nghiệm ngoại lai thay vào phương trình không thỏa mãn B ≥ A=B⇔ A = B Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 3x + = x + (2)  x + 3x + ≥ Học sinh giải sau : ĐK:  2 x + ≥ (2) ⇔ x + 3x + = x + Chú ý rằng: ⇔ x3 + x = ⇔ x=0 Sai lầm: điều kiện x + ≥ điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện A = B  Chú ý rằng: A = B ⇔   A ≥  B ≥  Ví dụ : Giải phương trình: ( x − x − 6) x − = (3) Học sinh giải sai sau:  x = −2  x − x − = (3) ⇔  ⇔  x =  x − =  x = Sai lầm: Chưa đặt điều kiện x ≥ nên lấy nghiệm ngoại lai x = −2 B ≥  Chú ý rằng: A B = ⇔  A =  B =  Ví dụ : Giải phương trình : − x + x − = x − (4) Học sinh giải sai sau : (4) ⇔ − x + x − + 33 (1 − x)( x − 2)(31 − x + x − 2) = x − ⇔ 33 (1 − x)( x − 2)(31 − x + x − 2) = x − (4') Thay 31 − x + x − = x − Vào (4’) ta (4') ⇔ 33 (1 − x)( x − 2)( x − 3) = x − (4'') ⇔ 27(1 − x)( x − 2)( x − 3) = ( x − 2)3 x = ⇔  28 ± 21  x = 14 Sai lầm chỗ : Phương trình (4’’) phương trình hệ phương trình (4) nên sau giải ta phải thử nghiệm để loại bỏ nghiệm ngoại lai 28 − 21 Chú ý : Khi thử nghiệm thí ta nghiệm x = 2; x = 14 Ví dụ : Tìm m để phương trình x − x + x − x + − m = (5) có nghiệm Học sinh giải sai sau : Đk : x − x + ≥ (5) ⇔ x2 − x + + x2 − x + − m − = (5') Đặt t = x − x + (t ≥ 0) Phương trình (5’) trở thành : t + 2t − = m (5'') Để phương trình (5’) có nghiệm phương trình (5’’) có nghiệm t ≥ Sai lầm chỗ: t = x − x + = ( x − 1) + ≥ t ≥ Chú ý: Để phương trình (5’) có nghiệm phương trình (5’’) có nghiệm t ≥ Ta có : Số nghiệm (5’’) số nghiệm ( P ) : y = t + 2t − với đường thẳng y = m Bảng biến thiên: t - ∞ -1 +∞ y +∞ +∞ -6 Suy : Để phương trình (5) có nghiệm m ≥ Ví dụ : Giải phương trình : ( x − 2)( x + 1) + 4( x − 2) x +1 + = (6) x−2  x ≤ −1 Học sinh giải sai sau : ĐK :  x > ( x + 1)( x − 2) (6) ⇔ ( x − 2)( x + 1) + − 12 = x−2 ⇔ ( x − 2)( x + 1) + ( x + 1)( x − 2) − 12 = (6') t = 2 Đặt t = ( x + 1)( x − 2) ≥ 0; (6') ⇔ t + 4t − 12 = ⇔  t = −6(loai) x = t = ⇒ ( x − 2)( x + 4) = ⇔ x − x − = ⇔  (tmđk)  x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = 4; x = −2  A2 ; A ≥ x +1 = ( x − 2)( x + 1) A =  Sai lầm chỗ: Biến đổi ( x − 2) x−2 − A2 ; A <  x ≤ −1 Lời giải : ĐK :  x > x +1 x +1 ⇒ t = ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1) x−2 x−2 t = 2 Phương trình (6) trở thành : t + 4t − 12 = ⇔  t = −6 Đặt t = ( x − 2)  x =   ( x − 2)( x + 1) = ⇒ ⇔  x = −2 (tmđk)  ( x − 2)( x + 1) = −6   x = ± 152  ± 152 Vậy phương trình (6) có nghiệm : x = 4; x = −2; x = Ví dụ : Giải phương trình : x − x + − x2 − x + = (4) Học sinh giải sau : (4) ⇔ x − x + = x2 − x +  x − x + ≥ ⇔  4( x − x + 3) = ( x − x + 5)2 Sai lầm : Dùng cách giải học sinh đưa phương trình bậc nên khó giải kết quả, nên dùng phương pháp đặt ẩn phụ nhanh gọn Ví dụ 8: Giải phương trình : x − 3x + + x − x + = x − x + (5) HS có lời giải sai sau: (5) ⇔ ( x − 1)( x − 2) + ( x − 1)( x − 3) = ( x − 1)( x − 5) ⇔ x − 1( x − + x − ) = ( x − 1)( x − 5)  x -1 = ⇔  x − + x − = x − (*) x = ⇔ PT (*) vô nghiêm x − + x − > x−5 ⇔ x =1 Sai lầm chỗ : A.B = A B  A B A ≥ 0, B ≥ Chú ý rằng: A.B =   − A − B A < 0, B < Ví dụ 9: x − = x − 3x + (6) Học sinh giải sai sau: ĐK: x ≥ (6) ⇔ x + x − = x − x + x − (2 x − 1) ⇔ = x − 2x + x − 2x −1 x2 − 2x +1 x =  ⇔ ⇔ =  x = +  x − x −  Sai lầm chỗ: Nhân vào mẫu với x − x − mà quên x − x − = x =1 B.Giải pháp khắc phục: Từ sai lầm học sinh trình giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai, để rèn luyện kĩ giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai cho học sinh cần ý phân dạng toán, hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi tương đương phương trình *Dạng : f ( x ) = g(x)  g ( x ) ≥ f ( x ) = g(x) ⇔   f ( x ) = g ( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x − = 16 (1) (1) ⇔ x − = 16 − x x ≤ ⇔   x − = 256 − 64 x + x  x ≤ ⇔  4 x − 65 x + 259 = x ≤  x=7 ⇔  ⇔ x=7  x = 37   Vậy pt có nghiệm x = Ngoài ra, Học sinh đặt ĐK x ≥ giải phương trình, nhiên sau tìm nghiệm phải ý thử lại để loại nghiệm ngoại lai Ví dụ 2: Giải phương trình : x − x − x − x + = (3) Bài toán đưa dạng f ( x ) = g(x) , nhiên bình phương hai vế phương trình ta gặp phương trình bậc bốn lúc dễ giải Vì tập nên quan sát kĩ đề đưa phương trình dạng phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ (3) ⇔ ( x − x + 3) − x − x + − = Đặt x2 − x + = t (t ≥ 0) ta có : t = −1(loai ) t − 2t − = ⇔  t = 3(tm) x =  x = −2 2 + t = 3⇔ x − x+3= ⇔ x − x−6 = ⇔  Vậy pt có nghiệm x = 3; x = -2 Chú ý : gặp toán có dạng : a f ( x ) + b f ( x) + c = ta nên đặt t= f ( x) (t ≥ 0) đưa pt pt bậc hai ẩn t để giải f( x) = g( x) * Dạng 2:  f ( x) = g ( x)  ⇔   f ( x) ≥   g ( x) ≥  x + 3x + = x + (2)  2 x + ≥ x ≥ − (2) ⇔  ⇔  x + 3x + = x +  x +x=0 Ví dụ : Giải phương trình:   x ≥ − ⇔ ⇔ x=0 x =  Trong toán ta chọn đk x + ≥ để giải đk đơn giản dễ giải * Dạng 3: f ( x) =  f ( x) ≥  g ( x) + h( x) (đk :  g ( x) ≥ )  h( x) ≥  ⇔ f ( x) = ( g ( x ) + h( x )) Ví dụ1: Giải phương trình: 3x + − x + = x + (1) 3x + ≥  ĐK: 2 x + ≥ ⇔ x ≥ − x + ≥  ⇔ 3x + = x + + x + ⇔ 3x + = 3x + + (2 x + 1)( x + 3) ⇔ (2 x + 1)( x + 3) =  x = −3 (l ) ⇔  x = − (tm)  Vậy pt có nghiệm x=- Ví dụ2: Giải phương trình 3x + - 3 x + ≥ Điều kiện  x +1 ≥ pt(2) ⇔ x + = (2)  x ≥ − ⇔ ⇔ x ≥ −1 (**)   x ≥ −1 3x + = + x +1 ⇔ 3x + = x + + x +1 ⇔ x +1 = x + ⇔ 4x + = x2 + 2x + ⇔ x2 -2x - =  x = −1 (thoả mãn điều kiện (**)) x = Vậy nghiệm phương trình x = -1 ; x = ⇔  *Dạng :Một số phương trình không mẫu mực Những toán thường toán khó phương pháp chung để giải giải toán cần ý điều kiện xác định toán, quan sát đề tư suy luận nhanh nhạy Ví dụ 1: Sử dụng đẳng thức biển đổi thức Giải phương trình : x + + x + - x + = (1) ĐK x ≥ -1 , (*) (1) ⇔ x + +2 - x + = ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn ĐK (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ 2: Giải phương trình (3) − x + x x + = − 2x − x 7 − x + x x + ≥   Đk 3 − x − x ≥ (*) x + ≥   Hệ điều kiện (*) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể ta giải phương trình trước sau đố thay nghiệm tìm vào hệ ĐK để kiểm tra Từ ĐK (*) nên hai vế không âm, bình phương hai vế ta pt(3) ⇔ - x2 + x x + = - 2x - x2 ⇔ x x + = - 2x -  x(2 x + 4) ≤ ⇔  2  x ( x + 5) = x + 16 x + 16  −2 ≤ x ≤ ⇔   x + x − 16 x − 16 =  −2 ≤ x ≤  −2 ≤ x ≤  ⇔  ⇔   x = −1 ⇔ x = -1(thoả mãn hệ ĐK ( x + 1)( x − 16) =    x = ±4  (*)) Vậy nghiệm phương trình x = -1 Ví dụ 3: Giải phương trình : x − = x − 3x + PT ⇔ x + x − = x − x + Nhận xét: x − x − = ⇔ x = (không thỏa mãn phương trình) x ≠ 1: PT ⇔ x + x − = x − x + x − (2 x − 1) ⇔ = x2 − 2x + x − 2x −1 ⇔ =1 x − 2x −1 ⇔ x − 2x −1 = ⇔ x −1 = x −1 x ≥ ⇔  x − 4x + =  ⇔ x = 2+ Vậy phương trình cho có nghiệm : x = + Ví Dụ 4: Sử dụng bất đẳng thức để giải pt Giải phương trình: x + x + + x + = ( x + 2) Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có: VT ≤ (12 + 12 )( x + x + + x + 6) ⇔ VT ≤ 2( x + 2) = VP Dấu “=” xảy ⇔ x + x + = x + ⇔ x = (t/m) Vậy PT có nghiệm x = 10 Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, Học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai phương pháp Thực tế sử dụng thêm phương pháp đạo hàm lớp 11 học sinh học kiến thức đạo hàm nên chưa đưa vào đề tài III.KẾT QUẢ THỰC HIỆN : Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vô tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 trường THCS & THPT Nghi Sơn sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số Học sinh hiểu có kỹ giải dạng toán nói Năm học 2015 - 2016 phân công dạy lớp10C Lớp Sĩ số Điểm Điểm đến Điểm 10C 42 19 20 Kết kiểm tra 45 phút sau : 11 PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Thiết kế thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Trong trình giảng dạy môn Toán trường THCS & THPT Nghi Sơn, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải toán cho học sinh có kết rõ rệt, thân rút nhiều học kinh nghiệm phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải toán cho học sinh : – Trình bày giải mẫu – Trình bày giải bước xếp chưa hợp lý - Đưa toán có gợi ý giải - Đưa giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai sửa lại cho Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện Toán học nói chung Vấn đề thấy học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề KIẾN NGHỊ Với Sở giáo dục đào tạo - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh Với Ban Giám Hiệu nhà trường - Nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo môn Toán để học sinh tìm tòi, học tập giải toán để em tránh 12 sai lầm làm tập nâng cao hứng thú, kết học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung Với Phụ huynh học sinh - Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường Phương trình nội dung quan trọng chương trình môn toán lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Vì mạnh dạn đưa phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai Đối với học sinh lớp 10, việc phân dạng toán phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai giúp em học sinh định hướng làm tốt hơn,từ rèn luyện kĩ giải toán nhanh nhạy hơn, xác Trong sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong quan tâm, đóng góp ý kiến đồng nghiệp để sáng kiến thực hữu ích 13 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Sáu 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD 2.Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường,Đỗ Mạnh Hùng,Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10 bản, NXBGD 3.Nguyễn Huy Đoan,Phạm Thị Bạch Ngọc,Đoàn Quỳnh,Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình.(2006),Bài Tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD 4.Nguyễn Thái Hòe (1998), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXBGD 5.G.Polia (1975), Giải toán nào, NXBGD 6.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội 15 ... dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 trường THCS & THPT Nghi Sơn sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số Học. .. (5’) có nghi m phương trình (5’’) có nghi m t ≥ Sai lầm chỗ: t = x − x + = ( x − 1) + ≥ t ≥ Chú ý: Để phương trình (5’) có nghi m phương trình (5’’) có nghi m t ≥ Ta có : Số nghi m (5’’) số nghi m. .. giải ta phải thử nghi m để loại bỏ nghi m ngoại lai 28 − 21 Chú ý : Khi thử nghi m thí ta nghi m x = 2; x = 14 Ví dụ : Tìm m để phương trình x − x + x − x + − m = (5) có nghi m Học sinh giải sai