CÁC bài TOÁN LIÊN QUAN đến TAM GIÁC TRONG KSHS

WWW.VNMATH.COM TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác Ví dụ ( DB-2004 ) Cho hàm số y  x  2m x   Cm  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m=1 Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) x  Ta có : y '  x3  4m2 x  x  x  m2     2 x  m  m  (*) - Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị : A  0;1 ; B   m;1  m  ; C  m;1  m  Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân , đỉnh A - Do tính chất hàm số trùng phương , tam giác ABC tam giác cân , để thỏa mãn điều kiện tam giác vuông , AB vuông góc với AC     AB    m;  m  ; AC   m;  m  ; BC   2m;  Tam giác ABC vuông : BC  AB  AC  4m  m  m8   m  m8   2m  m  1  0;  m   m  1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán * Ta có cách khác - Tam giác ABC tam giác vuông trung điểm I BC : AI = IB , với I   0; m     IA   0; m   IA2  m8 ; IB   m;   IB  m  IA2  IB  m8  m Hay m   m  1 Ví dụ : Cho hàm số y  x  2mx  (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2.Tìm giá trị tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Ta có y '  x  4mx x  y'    x  m - Hàm số có cực trị  y’ đổi dấu lần  phương trình y’ = có nghiệm phân biệt  m > Khi m > , đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A( m ;  m ) , B (  m ;  m ) , C (0 ; 1) - Gọi I tâm R bán kính đường tròn qua điểm A, B, C WWW.VNMATH.COM Vì điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trục tung  y0  Đặt I(0 ; y0) Ta có : IC = R  (1  y )     y0   I  O(0 ; 0) I (0 ; 2) * Với I  O(0 ; 0) m  m    2 1 m m m m m   (  )       m  IA = R   1 m   So sánh điều kiện m > 0, ta m = m = 1 * Với I(0 ; 2) IA = R  m  (1  m )   m  2m  m  (*) Phương trình (*) vô nghiệm m > Vậy toán thỏa mãn m = m = 1 BÀI TẬP Câu1 Cho hàm số y  x  2mx  m  (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  1 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích 2 Câu Cho hàm số y  x  2m x  (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích 32 Câu Cho hàm số y  x  2mx  m  m (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 1200 Câu Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1, (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 Câu Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + (1) Khảo sát hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị h/s (1) có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân Câu Cho hàm số y  x  2x   m có đồ thị (Cm) với m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).của hàm số m = WWW.VNMATH.COM Chứng minh với giá trị m tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị ( Cm ) tam giác vuông cân Câu Cho hàm số y  x  2(m  2) x  m  5m  Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Câu Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – (1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 Câu Cho hàm số y  x  2mx  2m  m (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =  Định m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông Câu 10 Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số (1) lập thành tam giác DẠNG : Hai điểm cực trị điểm khác tao thành tam giác Ví dụ Cho hàm số y   x3  3x   m2  1 x  3m2  1 Khảo sát vẽ đồ thị (1) với m=1 Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị Ta có : y '  3x  x   m2  1 - Để hàm số có cực đại , cực tiểu : y '  3x  x   m2  1 =0 có hai nghiệm phân biệt   '    m  1   9m  0;  m  (*) 3  3m   x1  3  m    x  3  3m  m  3  - Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu Gọi A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  hai điểm cực đại ,cực tiểu hàm số Nếu A, B với O tạo thành tam giác vuông O OA   OA.OB  vuông gócvới OB :      - Ta có : OA  x1 ; y1  ; OB  x2 ; y2   OA.OB  x1 x2  y1 y2  1 - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm , ta có :    x 1  x  x   m  1 x  3m      3 x  x   m  1  2m x   m  1  3 WWW.VNMATH.COM - Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị : y  2m x   m  1 - Do : y1  2m x1   m  1 ; y2  2m x2   m  1  y1 y2  4m  x1 x2    m  1  x1  x2    m  1  x1  x2  - Áp dụng Vi-ét cho (1)  , thay vào : x x   m   y1 y2   m 1  m   2(m  1)  (m  1)    m  11  m  m  - Vậy : x1 x2  y1 y2   (1  m2 )   m2  11  m2  m4     m  1  1  m  m   1   m  1  m  1  m   2  3 * Hay :  m  1  4m  4m   0;   m      m  m m     4    Kết luận : Với m thỏa mãn (*) hai điểm cực đại , cực tiểu hàm số với O tạo thành tam giác vuông O Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  1  m  x   3m  Cm  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m = Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Để hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt  x – 2x + (1 – m) = có nghiệm phân biệt   '   – (1 – m) >  m > (*) - Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT Gọi A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  hai điểm cực trị Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình ( x  x   m) = (1) - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm , ta :  x 1  y     y '2mx  2m  Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị  3 d : y = -2mx + 2m +  y1  2mx1  2m  2; y2  2mx2  2m   - Ta có : AB   x2  x1 ; 2m( x1  x2 )   AB   x2  x1   4m2  x2  x1   x2  x1 4m2  - Gọi H hình chiếu vuông góc O (AB), h khoảng cách từ O đến AB : h 2 - S  AB.h  | x  x1 |  4m | 2m  |  4m 2 | 2m  |  4m | x  x1 || m  |  m   m m   4;  m  m  1   m  2m  m     m  1 m  3m    m  - Theo giả thiết :   Kết luận : với m = thỏa mãn yêu cầu toán BÀI TẬP Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m , (1)  WWW.VNMATH.COM Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu , đồng thời điểm cực đại, cực tiểu gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích y  x  3mx  3(m  1) x  m3  m (1) Bài Cho hàm số 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O 3 Câu Cho hàm số y  x  x  3x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho tam giác MAB có diện tích Câu Cho hàm số y   x3  3x   m  1 x  3m  (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vuông O Câu Cho hàm số y  x  3x  mx  (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân DẠNG : Giao điểm đồ thị điểm khác tao thành tam giác Ví dụ 1.Cho hàm số y  x3  3x   C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C ( B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k , có phương trình : y = k(x+1) = kx+ k - Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k 2  x – 3x – kx + – k =  (x + 1)( x – 4x + – k ) =  x  1  có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + – k = có hai  g ( x)  x  x   k   '  k     k  (*) nghiệm phân biệt khác -    g (1)  9  k  Với điều kiện : (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C Với A(-1;0) , B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình g(x) = - Gọi B  x1 ; y1  ; C  x2 ; y2  với x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x  x   k  Còn y1  kx1  k ; y2  kx2  k  - Ta có : BC   x2  x1 ; k  x2  x1    BC   x2  x1  1  k   x2  x1 1  k  WWW.VNMATH.COM k - Khoảng cách từ O đến đường thẳng d : h  1 k - Vậy theo giả thiết : S 1 k h.BC  k 2 1 k 1 k  k3   k3  Đáp số : k  Ví dụ Cho hàm số y  1  k3   k  4 , thỏa mãn yêu cầu toán mx x2  Hm  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) với m = Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= cắt  H m  hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (H) 2 Đường thẳng d viết lại : y   x Để d cắt  H m  hai điểm phân biệt A, B mx   x ( x  2)  g ( x)  x  x  2m   có hai nghiệm phân x2 17  1  8(2m  2)    m    biệt khác -   (*) 16 4  m   g (2)  m  2 phương trình: - Gọi 2      A  x1 ;  x1  ; B  x2 ;  x2   AB   x2  x1 ; x1  x2   AB   x2  x1    x2  x1   x2  x1     1 - Khoảng cách từ O đến d h , : h  2  2 2 1 1  17  16m    - Theo giả thiết : S  AB.h  x2  x1 2 2 a 17  17  16m m  Hay :  ;  17  16m    16  m  , thỏa mãn điều kiện (*) 16m  - Đáp số : m = Ví dụ Cho hàm số y  2x 1 C  x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) WWW.VNMATH.COM Nếu d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình : 2x   2 x  m ( x  1)  g ( x)  x  (m  4) x   m  (1) có hai nghiệm phân biệt x 1   (m  4)  8(1  m)  m    m2    m  R khác -1     g (1)   g (1)  1  Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A,B - Gọi : A  x1; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m  Với : x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1)    - Ta có : AB  x2  x1 ;  x  x2   AB   x2  x1    x2  x1   x2  x1 - Gọi H hình chiếu vuông góc O d , khoảng cách từ O đến d h : m m h  22  1 - Theo giả thiết : S  AB.h  x2  x1  5  m2   2 Vậy : m2   42.3  m2   42.3  m2  40  m  10 (*) Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ Cho hàm số y  x3  2mx   m  3 x   Cm  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m = Tìm m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác MBC có diện tích ( Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ) GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Đồ thị (1) cắt d ba điểm A,B,C có hoành độ nghiệm phương trình : x   x3  2mx   m  3 x   x  4;  x  x  2mx  m       x  2mx  m     '  m  m    m  1  m  (*) Với m thỏa mãn (*) d cắt (1) ba điểm A(0; 4) , hai điểm B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình :  '  m2  m    x  2mx  m      m  1  m  2; m  2 m    - Ta có :  B  x1 ; x1   ; C  x2 ; x2    BC   x2  x1 ; x2  x1   BC   x2  x1    x2  x1  2  x2  x1 -Gọi H hình chiếu vuông góc M d h khoảng cách từ M đến d : h 1   2S 1 BC.h  x2  x1 2 2  x2  x1 - Theo giả thiết : S =  x2  x1  4;   '  4;  m  m    m  m   Kết luận : với m thỏa mãn : m  2  m   m  ( chọn ) Bài Cho hàm số y  x3  2mx  3(m  1) x  (1), m tham số thực WWW.VNMATH.COM 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với () là: x3  2mx  3(m  1) x    x  x   y    g ( x)  x  2mx  3m   0(2) Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;2), B, C  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác m   m  m  3m    '       g (0)  3m   m  Gọi B  x1 ; y1  C  x2 ; y2  , x1 , x2 nghiệm (2); y1   x1  y1   x2  1 2 S MBC 2.2  4 h 2 Mà BC  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )  ( x2  x1 )  x1 x2  = 8(m2  3m  2) Ta có h  d  M ;()    BC  Suy 8(m  3m  2) =16  m  (thoả mãn) m  (thoả mãn) BÀI TẬP Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích Bài Cho hàm số y  x3  2mx  3(m  1) x  (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Bài Cho hàm số y = 2x  x 1 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Định k để đường thẳng d: y = kx + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm M, N cho tam giác OMN vuông góc O ( O gốc tọa độ) Bài Cho hàm số y  mx có đồ thị ( H m ) , với m tham số thực x2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m  2.Tìm m để đường thẳng d : x  y   cắt ( H m ) hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S  Câu Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số WWW.VNMATH.COM Gọi dk đường thẳng qua điểm A(1; 0) với hệ số góc k (k  ¡ ) Tìm k đểđường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Câu Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB Câu Cho hàm số y  2x  x 1 (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O DẠNG 4: Tiếp tuyến với trục tọa đô tạo thành tam giác Ví dụ (KA-2009) Cho hàm số y  x2 1   x  2  x  3 C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành , trục tung tai hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2.Gọi d tiếp tuyến (C) M  x0 ; y0   d : y   - d cắt trục Oy B : yB   - d cắt trục Ox A :    x0  3  x0  3  x0   y0    x0  3 x0  x0  3  x  x0   y0  x A  x0   A - Tam giác OAB cân  OA  OB  x02  x0   x0  3 2  x  x0   y0 x0  2 x  x0    x0  3  x0  32 x0  2 x  x0   xA  x0  x0   x0  1 x0  3  x0  1 x02  x0  ;   2 x0  x0   x0  3  x0    x0   y0     ;   x0  3   x0  1 x0  3 ;   x0  x0   0;   x0   x0    (2 x0  3) x0   x0  2  y0  Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M  0;  ; M  2;0   3 Ví dụ (KD-2007) Cho hàm số y  2x x 1 C  WWW.VNMATH.COM Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến M cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi M  x0 ; y0    C   y0  - Tiếp tuyến M d : y  x0 x0   x0  1  x  x0   x0  x   x0  1 y  x02  x0  - d cắt Ox tạiA 0 x0 ( x A  x0 )   x A  x0  x0 ( x0  1)   x A   x02  A( x02 ; 0) x0  ( x  2) - d cắt Oy điểm B : yB   x0  1  x0     x0 x02 x02  B  yB   0;     x  12  x0   x0  1   - Gọi H hình chiếu vuông góc O d, h khoảng cách từ O đến d : h  x02 AB   x02 ; ( x0  1)  1 Vậy : S  AB.h  2 ( x0  1)  4  x04  ( x  1)     AB  x 04   x    ( x0  1)   ( x0  1)   x0  1  x04  2  x0  1  x0  1 x02  x0  1 | x02 | 4 x  x   y0   x02  x0   x02  x0     Cho nên  x   x0  1      x0   x0   x0  x0    x0    y0  2  Do có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M 1;1 ; M   ; 2    Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B tam giác OAB cân O GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Gọi M ( x0 ; y )  (C )  y  x03  x02  - Tiếp tuyến M d: y  (3x02  x0 )( x  x0 )  ( x03  x02  1) 10 WWW.VNMATH.COM - d cắt trục Ox A :  (3x02  x0 )( x A  x0 )  ( x03  x02  1)  x A  x03  x 02  3x02  x0  2x  x    A ;   x0  x0  - d cắt trục Oy B: y B  (3x0  x0 )(0  x0 )  ( x0  x0  1)  y B  2 x03  x02   B(0 ;  x03  x02  1) - Tam giác OAB cân O nên OA = OB   x 03  x02   2 x03  x02   x0  x0    2x  x  0   x0  x0   x0  x 2 x03  x 02    (1)   3x  x0   x03  x02    x 03  x02  3x0  x0   (2 x0  x  1)  x0   (2 x  x  1)  3x     1  (1)  x0    1  (2)  x0   x0  VN   x0  2 x03  x02     (2)    x0  , x0      x x   Tứ (1) (2) ta có : x0  x0   * Với x0   A  B  O(0;0) (loại) 32 * Với x0    d : y  x  27  x0    x0    Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  3x  m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB GIẢI: Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Với x0   y  m  M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y  (3x02  x0 )( x  x0 )  m   d: y = -3x + m + m2 m2   A ; 0   - d cắt trục Oy B : y B  m   B(0 ; m  2) 3 m2 - S OAB   | OA || OB | | OA || OB |  m    (m  2)  2 m   m    m   3 m  5 - d cắt trục Ox A:  3x A  m   x A  11 WWW.VNMATH.COM Vậy : m = m = - BÀI TẬP Câu Cho hàm số y = 2x  x 1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Bài Cho hàm số: y  x 1 2( x  1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2.Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Câu Cho hàm số y  x  (2m  1) x  (m  2) x  có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2 Gọi A giao điểm (Cm) với trục tung Tìm m cho tiếp tuyến (Cm) A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích DẠNG : Tiếp tuyến với tiệm cận tạo thành tam giác Ví dụ Cho hàm số y  2x  x2 C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ Với I giao hai tiệm cận GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C)     x  x0      x  2  x0    1 2  x0     2 - d cắt tiệm cận đứng : x = -2 A  y A   x0  x0   x0   2.Tiếp tuyến (C) M ( x0 ; y ) d : y   - d cắt tiệm cận ngang : y = B    - Như vậy: A  ;    x0    xB  x0     xB  x0  x0    ; B (2 x  ; 2) ; I (2 ; 2) x0   - Ta có :        1 IA  0; x0    ; IB  2 x0  4;0  ; AB  x0  4;   ;  S  IA.IB  x  x  x  2 2 0     Do : S IA.IB AB IA.IB AB R 4R 12 WWW.VNMATH.COM | x0  | 4( x0  2)  ( x0  2) 1   1 4( x0  2) | x0  | ( x0  2) Dấu xáy :   x0     x0   ;   x0     x0  2  1  ;  x0      x0  2   y0   2  y0   2 -Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán 1     M1   ;   ; M 2  ; 2 2 2     Ví dụ 2.(DB-2007) Cho hàm số y  x  1 x 1 x 1 C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận cắt tạo thành tam giác cân GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2.Gọi d tiếp tuyến (C) điểm M  x0 ; y0  , d : y  x0  1  x  x0   y0    y0    x0    - Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 điểm B : yB   x0  1  1  x0   y0    x x 1 x 1     B  1;   x0  1   x0  1 x0   x0  1  - Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 điểm A , : 1  x0  1  xA  x0   y0  xA  x0   A  x0  1;1 - Goi giao hai tiệm cận I(-1;1) Tam giác IAB tam giác cân : IA = IB  x 1   IA  IB  (2 x0  2)    1  x0    x0 x   x0   x0 1   x0  1 1   2 x0  1 x   y0   x02  x0   (VN )      x0  2  y   x0  x0   Với x = y = , ta có tiếp tuyến : y = x Với x = -2 y = 2/3 , ta có tiếp tuyến : y = x+8/3 13 Ví dụ Cho hàm số y  2x  x 2 WWW.VNMATH.COM Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C)   1 2x  Ta có: M x ; , x  , y' (x )  x0   x0  2  Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng:  : y  1 2x  (x  x )  x0  x0    2x   ; B2x  2;2  Toạ độ giao điểm A, B   hai tiệm cận là: A 2;  x0   Ta thấy y  y B 2x  x A  x B  2x    yM   x0  xM , A x0  2 suy M trung điểm AB Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích   2x      S = IM  (x  2)        (x  2)2   2 2 (x  2)    x0     Dấu “=” xảy (x  2)2  x  1   (x  ) x  Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) BÀI TẬP Bài Cho hàm số y  2x  x 2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Bài Cho hàm số y  3x  có đồ thị (C) x2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2.Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ 14 [...]... cho tiếp tuyến của (Cm) tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 3 DẠNG 5 : Tiếp tuyến cùng với các tiệm cận tạo thành tam giác Ví dụ 1 Cho hàm số y  2x  3 x2 C  1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2 Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất Với I là giao hai tiệm cận... tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất Bài 2 Cho hàm số y  3x  2 có đồ thị (C) x2 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường... trung điểm của AB Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2   2x 0  3     1 2 S = IM  (x 0  2)    2     (x 0  2)2   2 2 (x 0  2)    x0  2    2 Dấu “=” xảy ra khi (x 0  2)2  x 0  1 1   (x 0  2 ) 2 x 0  3 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) BÀI TẬP Bài 1 Cho hàm số y  2x  3 x 2 1 Khảo... - 5 BÀI TẬP Câu 1 Cho hàm số y = 2x  1 x 1 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng Bài 2 Cho hàm số: y  x 1 2( x  1) 1 6 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác. .. 1   x0  1 x0  1  x0  1  - Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì : 1 1  x0  1 2  xA  x0   y0  xA  2 x0  1  A  2 x0  1;1 - Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB  x 1   IA 2  IB 2  (2 x0  2) 2   0  1  x0  1  2  x0 x 0   x0   x0 1  1  2 x0  2 1 1  1  2 x0  2 1 x  0  y0  0  x02  2 x0  2  0... x 2 WWW.VNMATH.COM 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất GIẢI 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C)   1 2x  3 2 Ta có: M x 0 ; 0 , x 0  2 , y' (x 0 )  x0  2  x0... hàm số y  x 3  3x 2  m (1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0 2 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 2 GIẢI: 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2 Với x0  1  y 0  m  2 M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến tại M là d: y  (3x02  6 x0 )( x  x0 )  m  2  d: y = -3x... 2  2 2 1  y0  2  2 2 -Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán 1 1     M1  2  ; 2  2  ; M 2 2  ; 2 2 2 2     Ví dụ 2.(DB-2007) Cho hàm số y  x 1  1 x 1 x 1 C  1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2 Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân GIẢI 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2.Gọi d là tiếp tuyến của...  1 3x02  2 x0  2x 3  x 2  1   A 0 2 0 ; 0   3 x0  2 x0  2 3 2 - d cắt trục Oy tại B: y B  (3x0  2 x0 )(0  x0 )  ( x0  x0  1)  y B  2 x03  x02  1  B(0 ;  2 x03  x02  1) - Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB   2 x 03  x02  1  2 x03  x02  1  2 3 x0  2 x0   3  2x  x 2  1 3 2 0 0   2 x0  x0  1 2  3 x0  2 x 0 2 x03  x 02  1  0  (1)   2 3x 0  2 x0... (C) của hàm số 2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất 14