Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề Hàm Số CHƯƠNG I :CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS @@@@@@@ VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f ( x) ( C ) Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có cách : Cách : dùng ý nghĩa hình học đạo hàm Định lý : Đạo hàm hàm số y = f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị điểm M ( xo ; yo = f ( xo )) : k Dạng Tiếp Tuyến (u cầu tốn) = f '( xo ) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) y = f '( xo ).( x − xo ) + yo k = f '( xo ) :hệ số góc Tiếp tuyến M ( xo ; yo ) ∈ (C ) _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _Giải pt : f '( xo ) _Áp Dụng (1) = k ⇒ xo ⇒ yo Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : y = kd x + b _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) trước : y = kd x + b _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) _Giải pt : f '( xo ) = _Áp Dụng (1) _Giải pt : f '( xo ) = − kd ⇒ xo ⇒ yo ⇒ xo ⇒ yo kd _Áp Dụng (1) _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) ,tt M (∆) : (1) _ (∆) qua A: thay tọa độ A vào (1) ⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước  y = f ( x) Cách : dùng đk tiếp xúc :hai đths  tiếp xúc với  y = g ( x) Dạng Tiếp Tuyến (u cầu tốn)  f ( x) = g ( x) ⇔  f '( x) = g '( x) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) y = f '( xo ).( x − xo ) + yo k = f '( xo ) :hệ số góc Tiếp tuyến M ( xo ; yo ) ∈ (C ) (1) _PTTT có dạng y = kx + C (*)  f ( x) = kx + C _ĐKTX   f '( x) = k _Giải hệ ⇒ C Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước http://www.xuctu.com (1) quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề Hàm Số Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho_PTTT có dạng y = ax + C (*) trước : y = ax + b  f ( x) = ax + C _ĐKTX   f '( x) = a _Giải hệ ⇒ C Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) cho _PTTT có dạng y = − x + C (*) trước : y = ax + b a   f ( x) = − a x + C _ĐKTX   f '( x) = −  a _Giải hệ ⇒ C _PTTT có dạng: y = k ( x − xA ) + y A Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước  f ( x) = k ( x − x A ) + y A _ĐK TX   f '( x) = k _Thế pt vào ⇒ x ⇒ k ứng với giá trị x có giá trị k  y = k1 x + c1 Lưu ý : hai đt :  vng góc với ⇔ k1.k2 = −1 ,song song ⇔ k1 = k2  y = k2 x + c2 Với k1 , k2 hệ số góc Bài tập có HD x − 3x + Bài toán 1: Cho hàm số (C) y = M điểm tuý ý (C) Tiếp 2x − tuyến (C) M cắt đường tiệm cận xiên đứng A B Chứng tỏ rằg M trung điểm AB, tam giác IAB (I giao điểm hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M x − 3x + x = −1 + (x ≠ 1) (C) Giải: y = 2x − 2 x −1 M (a; b ) ∈ (C ) ⇒ tiếp tuyến M (d) y = y(′a ) ( x − a ) + b a   b = −1+  a −1  1 a  −1+ ⇔ y= − ( x − a ) + a −1  (a − 1)     +  a −1 x 3  Tiệm cận xiên (C) (d2) : y = − ⇒ (d ) ∩ (d ) = B 2a − 1; a −  2  Tiệm cận đứng (C) (d1) : x = ⇒ (d ) ∩ (d1 ) = A1;− http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Ta có : Các chun đề Hàm Số ( x A + xB ) = (1 + 2a − 1) = a = xM 2 ( y A + yB ) = − + + a −  = a − + = yM 2  a −1 2 a −1 Vậy M trung điểm AB   1 2 Giao điểm tiệm cận I 1;−  ⇒ S IAB = y A − y I xB − xI 2 2a − = = a −1 Vậy SIAB không phụ thuộc vào M Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + (C) Tìm tiếp tuyến đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ Giải : Gọi M(x0; y0) ∈ (C ) : hệ số góc tiếp tuyến M : k = f’(x0) = x0 + x0 − Ta có k = 3( x0 + 1) − 12 ≥ −12 Dấu “=” xảy x0 = – Vậy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16) Do tất tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + (Cm) Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến Cm) B C vuông góc Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) (Cm) x3 + mx2 + = – x + ⇔ x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x + mx + (d) cắt (Cm) điểm phân biệt ⇔ g(x) = có nghiệm phân biệt khác ∆g = m − > m > ⇔ ⇔ m < −2  g (0) = ≠ Vì xB , xC nghiệm g(x) = S = xB + xC = − m ⇒  P = xB xC = Tiếp tuyến B C vuông góc ⇔ f ′( xC ) f ′( x B ) = −1 ⇔ xB xC (3 xB + 2m )(3 xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC [9 xB xC + 6m( xB + xC ) + 4m ] = −1 ⇔ 1[9 + 6m(− m ) + 4m ] = −1 ⇔ 2m = 10 http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh ⇔m=± Các chun đề Hàm Số (nhận so với điều kiện) Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – (H) Xét điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1, C1 lần lït giao điểm (H) với tiếp tuyến (H) A, B, C Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H) Phương trình tiếp tuyến (H) M (d ) y = 3(x02 − 1)( x − x0 ) + x − 3x0 − = 3(x02 − 1)x − 2(x + 1) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (H) x − 3x − = 3(x02 − 1)x − 2(x + 1) ⇔ ( x − x0 ) ( x + x0 ) =  x = x0 (nghiệm kép ) ⇔  x = −2x0 Gọi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC) ⇒ giao điểm A1, B1, C1 tiếp tuyến A, B, C với (H) A1 = (− 2a;−8a + 6a − 2) B1 = (− 2b;−8b + 6b − 2) C1 = (− 2c;−8c + 6c − 2) * A, B, C thẳng hàng : b − a b − a − 3(b − a ) ⇔ = c − a c − a − 3(c − a ) b + a + ab − ⇔1= c + a + ac − ⇔ c + ac = b + ab ⇔ (c − b )(a + b + c ) = ⇔ a+b+c = (c ≠ b) * A1, B1, C1 thẳng hàng : 2a − 2b 8(a − b ) − 6(a − b ) ⇔ = 2a − 2c 8(a − c ) − 6(a − c ) 4(a + ab + b ) − ⇔1= 4(a + ac + c ) − ⇔ c + ac = b + ab ⇔ (b − c )(a + b + c ) = ⇔ a+b+c = (c ≠ b) Vậy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A1, B1, C1 thẳng hàng Bài Tập : Bài : Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) Tìm hệ số góc viết pttt với ( C ) điểm M o http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề Hàm Số x + 3x + với M o ∈ (C ) có hồnh độ xo = x −1 2) ( C ) : y = x3 + x + với M o (−2; −9) ∈ (C ) 1) ( C ) : y = 3) ( C ) : y = x − x + với M o ∈ (C ) có tung độ yo = x+2 , M o giao điểm ( C ) Oy 4) ( C ) : y = − x −1 x − 3x + 5) ( C ) : y = , M o giao điểm ( C ) Ox x−3 6) ( C ) : y = x3 − x + 2, M o giao điểm ( C ) với đt y = 7) ( C ) : y = x − x, với M o giao điểm ( C ) Oy 8) ( C ) : y = x − x + với M o ∈ (C ) giao điểm ( C ) Ox x−3 ( C ),viết pttt với đths : Bài : Cho hàm số y = x+2 1) Tại giao điểm ( C ) với trục tọa độ 2) Biết tiếp tuyến song song với đt y = x + Bài : Cho hàm số y = x3 − x + ( C ),viết pttt với đths : 1) Tại M o ∈ (C ) có hồnh độ xo = −2 2) Biết tiếp tuyến ( C ) qua điểm A(2; 0) Bài : Viết pttt trường hợp sau : x + 3x + , biết tiếp tuyến vng góc với đt y = x 1) y = x +1 2) y = x + x, biết tiếp tuyến qua A(1; 4) 3) y = x − x , biết tiếp tuyến vng góc với đt y = x x − 2x + 4) y = , biết tiếp tuyến song song với đt y = x + 15 x −1 x 5) y = − x + x − , biết tiếp tuyến qua K (0; −1) x − 3x + 6) y = , biết tiếp tuyến song song với đt y = x + x−2 x2 − 4x Bài : cho ( C ) : y = , tìm pttt với ( C ) trường hợp sau : x −1 1) Tiếp xúc với ( C ) A(2; −4) 2) Song song với (d1 ) : y = 13 x + 1 3) Vng góc với (d ) : y = − x 4) Vẽ từ M (1;5) Bài : cho ( C ) : y = x3 − x + 1) Lập pttt với ( C ) điểm có hòanh độ xo = −3 2) Lập pttt ( C ) qua i A(2; −2) ii B(0;3) http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề Hàm Số 3) Lập pttt với ( C ) biết tt vng góc với đường thẳng y = − x + 19 4) Lập pttt điểm uốn ( C ) Hệ số góc lớn hay nhỏ 5) (khó) Tìm đt y = điểm mà từ vẽ tiếp tuyến vng góc x−2 Bài : cho ( C ) y = Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến : x +1 1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm A(2;1) Bài : cho ( C ) y = − x + 3x − x + Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến : 3) Vng góc với đt : x − 29 y + = 2) Song song với đt : x + y − = 2x2 Viết phương trình tiếp tuyến trường hợp sau : 2x −1 1) Tại điểm có hồnh độ xo = 2) Song song với đt x − y + = 3) Vng góc với đt 25 x + 24 y − = Bài 10 : cho ( C ) : y = x3 + x + x + điểm A ∈ (C ) với xA = −1 Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến qua A x3 Bài 11 : cho ( C ) : y = − x + x có đồ thị ( C ) Viết pttt với ( C ) điểm uốn Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ m 1 Bài 12 : (Cm ) : y = x3 − x + Gọi M điểm thuộc (Cm ) có hồnh độ -1 Tìm m để 3 tiếp tuyến (Cm ) tai điểm M song song với đt x − y = Bài : y = x2 − x + ( C ) Viết pt đường thẳng qua M (1; 0) tiếp xúc với đths ( C ) x −1 Bài 14 : cho hàm số (Cm ) y = x3 + x + m(m + 1) x + Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với parabol (P) Bài 13 : y = : y = x + x + ( đs : m = ∨ m = −2 ) x2 − x + (P) y = x + a Định a để ( C ) tiếp xúc với (P) x −1 Bài 16 : Định tham số m để đồ thị 1) y = x + x + y = x + 2m − tiếp xúc 2) y = − x + 3x − x y = mx tiếp xúc 3) y = x3 − (2m + 3) x + (m + 2) x + m tiếp xúc với trục hồnh ( Ox ) x+2 4) y = y = −3 x + a tiếp xúc x −1 x + (1 − m) x + m + *Bài 17 : (Cm ) : y = , CMR với m ≠ −1 đths ln tiếp xúc với x−m đường thẳng cố định điểm cố định *Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung hay đồ thị sau : 1) (C1 ) : y = x (C2 ) : y = x − x − Bài 15 : ( C ) : y = 2) (C1 ) : y = x − x + (C2 ) : y = − x + x − 11 Lưu ý : http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề Hàm Số • Hai đồ thị tiếp xúc phương trình hòanh độ giao điểm chúng có nghiệm kép • Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn nhỏ x −3 Bài 19 : ( C ) : y = Viết pttt với ( C ) biết : x +1 1) Tại M giao điểm ( C ) Oy 2) Tại K có hồnh độ -2 3) Tiếp tuyến song song với đt y = x + 4) Vng góc với đt x + y − = *Bài 20 : Tìm đt y = mà qua có ba tiếp tuyến với ( C ) : y = − x + x − Bài 21 : Tìm Ox điểm mà qua có tiếp tuyến với ( C ) trường hợp sau : x2 − x + x2 + x − 2) (C ) : y = 1) (C ) : y = x −1 x+2 VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ Lý Thuyết : cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) y = g ( x) có đồ thị (C’) Muốn xét tương giao đồ thị ta xét phương trình hồnh độ giao điểm : f ( x ) = g ( x ) (*) số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị C) (C’), hình bên cho ta thấy giao điểm Nhận xét : đồ thị (C) (C’) tiếp xúc M điểm xM nghiệm kép pt (*) , điểm M đồ thị có chung tiếp tuyến Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + (D) đường thẳng qua A(2; 4) có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm (C) (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + (C) : y = x3 – 3x + * Phương trình hoành độ giao điểm (C) (D) x3 – 3x + = m(x – 2) + (x – 2)( x2 + 2x + – m) = (1) * Số giao điểm (C) (d) số nghiệm phương trình (1) - Phương trình (1) luôn có nghiệm x = - Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + – m = (2) Nếu g(x) = có nghiệm x = – m = ⇔ m = Do : m = (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – Nếu m ≠ g(x) = có nghiệm x ≠ quoctuansp@gmail.com http://www.xuctu.com Nguyễn Vũ Minh - Các chun đề Hàm Số Ta có ∆′ = m m : (2) có nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 3( − m) >  m ≠ ⇔ m > ( )  m ≠ Kết luận : ⇔  (D) cắt đồ thò (C) điểm phân biệt thuộc m > nhánh (C) x2 Bài toán 3:Cho hàm số y = Tìm điểm A , B nằm đồ thò (C) đối x −1 xứng qua đường thẳng (d) y = x – Giải: Vì A , B đối xứng qua đường thẳng (d) y = x – Suy A, B thuộc đường thẳng (d’) y = –x + m Phương trình hoành độ giao điểm (d’) (C) x2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1) ⇔ 2x2 – (m + 1)x + m = (*) quoctuansp@gmail.com http://www.xuctu.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề Hàm Số Ta có ∆ = (m + 1)2 – 8m > ⇔ m2 – 6m + > m < − ⇔ m > + Giả sử (d’) cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi I trung điểm A, B: x A + xB m +  x = = I  ⇒  y = − x + m = 3m − I  I A B đối xứng qua (d) ⇒ I thuộc (d): y = x – 3m − m + −1 ⇒ = 4 ⇒ m=–1 Lúc (*) thành trở thành : 2x2 – = ⇔ x = ± Vậy  −1 2  ;−1 + A 2    2  ;−1 − B 2   Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – đường thẳng (d) phương đường y = 2x cho (d) cắt (P) điểm A, B a) Viết phương trình (d) tiếp tuyến (P) A B vuông góc b) Viết phương trình (d) AB = 10 Giải: Gọi (d): y = 2x + m đường thẳng phương với đường y = 2x Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) x2 – 2x – = 2x + m ⇔ x2 – 4x – – m = (d) cắt (P) điểm phân biệt A B ∆′ = + m > ⇔ ⇔ m > –7 Lúc gọi xA , xB nghiệm (1) ta có S = xA + xB = P = xA xB = – – m a) Tiếp tuyến (P) A, B vuông góc f’(xA )f’(xB) = –1 ⇔ (2 xA –2)(2 xB –2) = – ⇔ 4P – 4S + = ⇔ 4(–3 –m) –16 + = ⇔ m =− 23 (nhận m > –7) b) A, B thuộc (d) ⇒ yA = xA + m yB = xB + m http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Ta có AB2 = 100 Các chun đề Hàm Số ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100 (xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100 (xA – xB)2 = 20 S2 – 4P = 20 16 + 4(3+m) = 20 m = – (nhận m > –7) Bài toán : Cho hàm số y = f ( x ) = x + − m + x+m (H ) Tìm a để đường thẳng (∆ ) : y = a(x+1) + cắt (H) điểm có hoành độ trái dấu Giải:Phương trình hoành độ giao điểm (C) (∆ ) : = a( x + 1) + (đk : x ≠ −1) x +1 ⇔ x + x + = a (x + x + 1) + x + (*) ⇔ g ( x ) = (1 − x )x + 2(1 − a )x + − a = (∆ ) cắt (C) điểm có hoành độ trái dáu ⇔ (*) có nghiệm phân biệt x1 , x2 ≠ −1 Λ x1 < < x2 (1 − a )g (0) < (1 − a )(2 − a ) <  ⇔  g (− 1) ≠ ⇔ ⇔1< a < ( ) ( ) − a − − a + − a = ≠  1 − a ≠  x+2+ Bài : tìm tọa độ giao điểm ( có ) đồ thị hàm số sau a) (C) : y = x + x + (d) : y = x + b) (P1) : y = − x + (P2) : y = x + x x +1 c) (C) : y = (d) : y = x − x −3 d) (C) : y = x3 − x + x + (d) : y = x − Bài : định m để a) y = ( x − 2)( x + mx + m − 3) cắt trục hồnh điểm phân biệt b) y = x3 − x + cắt (d) : y = mx + điểm phân biệt Bài : 1)cho hàm số y = x − x − có đồ thị (C), đt (d) : y = kx − Tìm k để (C) cắt (d) đểm phân biệt có điểm có hồnh độ dương 2)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k y=x2+(k+1)x+2 cắt điểm 3)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x điểm mà trong giao điểm tiếp tuyến (1) song song với Bài : a) cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị (C), đt (d) qua A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để (C) cắt (d) điểm phân biệt http://www.xuctu.com 10 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh (1)  x = −3 (khô ng thỏ a đk) ⇔ log ( x − 5)( x + )  = ⇔ ( x − 5)( x + ) = ⇔ x − 3x − 18 = ⇔   x = (thỏa đk) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình log x + log x + log8 x = 13 Điều kiện: x > log ⇔ x + log x + log8 x = 13 ⇔ log x + log 22 x + log 23 x = 13 ⇔ log2 x + log2 x + log2 x = 13 22 13 log x = 13 ⇔ log x = ⇔ x = (Thỏ a điề u kiện) Vậy phương trình có nghiệm nhất: x = BÀI TẬP: Giải phương trình sau : 1) log x ( x + 6) = 3) log ( x − 1) + log ( x + 4) = log (3 − x) 2 5) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) 2) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) 4) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 6) log4x + log2x + 2log16x = 7) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = Phương pháp đặt ẩn phụ: Hướng giải: Biến đổi để phương trình hàm lơgarit nhất, sau ta đặt làm ẩn phụ (Chú ý điều kiện), chuyển phương trình cho thành phương trình đại số Ví dụ1: Giải phương trình + =1 − lg x + lg x Phân tích: Ta nhận thấy phương trình có hàm số lơgarit nhất, lg x Vì ta giải pt cách đặt t = lg x Đặt t = lg x đk t ≠ t ≠ −1 Ta phương trình: −t + 11 = ⇒ −t + 11 = − 4t − t + =1 ⇔ − t 1+ t − t + t ( )( ) t = ( thỏa điề u kiệ n ) ⇔ t − 5t + = ⇔  t = ( thỏ a điều kiệ n ) F Với t = ta có lg x = ⇔ x = 100 F Với t = ta có lg x = ⇔ x = 1000 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 100; x = 1000 Ví dụ 2: Giải phương trình log 22 ( x − 1)2 + log ( x − 1)3 = Điều kiện: x > log 22 ( x − 1)2 + log ( x − 1)3 = ⇔ log 22 ( x − 1) + 3log ( x − 1) − = http://www.xuctu.com 51 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh t = Đặt t = log ( x − 1) , ta phương trinh: 4t + 3t − = ⇔  −7 t =  F Với t =1 ta có log ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = F Với t = −7 −7 −7 −7 ta có log ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = + Kết 4 luận: BÀI TẬP: Giải phương trình sau : 1) log x + log x = 3) + =1 − ln x + ln x 5) log 2 x + 3log x + log x = 2) log 32 x + log 32 x + − = 4) log2x + 10 log x + = Phương pháp biến đổi phương trình dạng tích: Ví dụ: Giải phương trình sau : log x + 2.log x = + log x.log x Giải: Điều kiện: x > log x + 2.log x = + log x.log x ⇔ log x − log x.log x + 2.log x − = 1 − log x = log x = ⇔ log x(1 − log x) − 2(1 − log x) = ⇔ (1 − log x)(log x − 2) = ⇔  ⇔ log x − = log x =  x = (Thỏ a điề u kiện) ⇔  x = (Thỏa điề u kiện) Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = x = Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Ta thường sử dụng tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khoảng (a;b) ( Do tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) • Tính chất : Nếu hàm f tăng khoảng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) ( Do tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ: Giải phương trình: log ( x − 1) − log (2 x − 3) = Phân tích: Trước tiên ta cần đặt điều kiện cho phương trình Do hai hàm số lơgarit khơng số biến đổi cho vế trái tổng hai hàm số đồng biến( số lớn 1) Áp dụng tính chất http://www.xuctu.com 52 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh x > x −1 >  ⇔ Giải: Điều kiện:  3⇔x> 2 x − >  x >  Ta có: log ( x − 1) − log (2 x − 3) = ⇔ log ( x − 1) + log (2 x − 3) = Dễ thấy phương trình có nghiệm x = Do số lớn nên hàm số y = log ( x − 1); y = log (2 x − 3) 3  đồng biến khoảng  ; +∞  Do hàm số: y = log ( x − 1) + log (2 x − 3) đồng 2  biến khoảng  ; +∞  2  Mặt khác y = hàm Do phương trình cho có nghiệm x = Bài tập chung : Giải phương trình sau: a log5 x = log5 ( x + ) − log5 ( x + ) b log5 x + log25 x = log0,2 ( ) c log x x − x + = d lg( x + x − 3) + lg x+3 =0 x −1 e .lg(5 x − 4) + lg x + = + lg 0,18 Phần 3: BẤT PHƯƠNGTRÌNH MŨ, LƠGARIT Bất phương trình mũ: Xét bất phương trình dạng: a x > b ( a > 0; a ≠ 1) Nếu b ≤ : Bất phương trình có tập nghiệm T = ! Nếu b > : a >1 a > b ⇔ x > log a b 01 0 g ( x ) • a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x ) • a f ( x ) ≥ a g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) Tổng qt ta có:  a > • a f ( x) > a g ( x) ⇔  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > • a f ( x ) ≥ a g ( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x )  a > • a f ( x) ≥ a g ( x) ⇔  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 1.Phương pháp đưa số: Hướng giải: Ta biến đổi hàm số mũ bpt số, sau đưa dạng (Nếu nên đưa số a >1) http://www.xuctu.com 53 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh x +5 Giải bất phương trình: a) x − x +8   3+ x b)   ≥ 2 x +1 2 >1 Giải: x < > 60 ⇔ x − x + > ⇔  x > Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; 2) ∪ (4; +∞) b) Điều kiện: x ≠ −3 a) x −6 x +8 > ⇔ 6x − x +8 x +5 x+5 x+5 3x + 3x + −   3+ x x +1 −1 + x x +1 x +1 3+ x ≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔− ≥ 2x +1 ⇔ 2x +1 + ≤0 ( ) ( )   3+ x 3+ x 2 x + + (2 x + 1)(3 + x ) x + 10 x + ⇔ ≤0⇔ ≤ ⇔ x ∈ ( −∞; −4] ∪ ( −3; −1] 3+ x 3+ x Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là: T = ( −∞; −4] ∪ ( −3; −1] BÀI TẬP : Giải bất phương trình sau : 1 x − x −1 ≥ x −1 2) 1) x − x ≥ ( ) x − x 2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Hướng giải: Biến đổi bất phương trình cho bpt hàm số mũ (nhưng khơng thể biến đổi đưa dạng biết) Ta giải cách đặt làm ẩn phụ Ví dụ: Giải bất phương trình: 16 x + 16 x + x+ x+ − ≤ − ≤ ⇔ ( 42 ) + 4x.4 − ≤ ⇔ ( x ) + 2.4x − ≤ Đặt t = 4x (t > 0) Ta x bất phương trình: t + 2t − ≤ ⇔ −4 ≤ t ≤ So với điều kiện, ta có: < t ≤ hay: x ≤ ⇔ x ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm: T = ( −∞;1] BÀI TẬP: 1.Giải bất phương trình sau: 2) + 21+ x − x + 21+ x > 4) 1) 22 x − 3.(2x+ ) + 32 < 3) x + 23− x ≤ 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 1 +1 5) ( ) x + 3.( ) x > 12 3 Giải bất phương trình: x–4 a) 16 d) ≥8 x2 − x + >1 http://www.xuctu.com 6) 2.14 x + 3.49 x − x ≥ 1 b)    3 x+ 1 e)   2 c) ≤ 5x quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Giải bất phương trình: 2x + x+7 2x – x -2 a) +2 > 17 b) – 2.5 ≤ d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x c) −1 x >2 −2 x +3 Bất phương trình lơgarit: Dạng bản: log a x > b ( a > , a ≠ ) Điều kiện : x > a >1 log a x > b ⇔ x > ab 01) Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a log (2 x + x − 3) > b log ( x + 1) + log3 (11 − x) < Giải:  x < −3 a.Điều kiện: x + x − > ⇔  x >   x ⇔ x + 5x − > ⇔ x + x − > ⇔  x > 7  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) 2  x +1 > b.Điều kiện:  ⇔ −1 < x < 11 11 − x > log ( x + 1) + log (11 − x) < ⇔ log3 ( x + 1)(11 − x ) < ⇔ ( x + 1)(11 − x ) < 33 ⇔ − x + 10 x + 11 < 27 x < ⇔ x − 10 x + 16 > ⇔  x > Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ( −1; ) ∪ ( 8;11) Phương pháp đặt ẩn số phụ: Hướng giải: Biến đổi bất phương trình cho bpt hàm số lơgarit (nhưng khơng thể biến đổi đưa dạng biết) Ta giải cách đặt làm ẩn phụ http://www.xuctu.com 55 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Ví dụ: Giải bất phương trình: log 22 (2 − x) − log (2 − x) ≥ Giải: Điều kiện: x < log 22 (2 − x) − 8log (2 − x) ≥ ⇔ log 22 (2 − x) − 8log 2−2 (2 − x) ≥ ⇔ log 22 (2 − x) + log (2 − x ) − ≥ t ≤ −5 Đặt: t = log (2 − x) , ta thu bất phương trình: t + 4t − ≥ ⇔  t ≥ 1 63 ⇔ x≥ F Với t ≤ −5 ta có: log (2 − x) ≤ −5 ⇔ − x ≤ −5 ⇔ − x ≤ 32 32 F Với t ≥ ta có: log (2 − x) ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện đề bài, ta tập nghiệm bất phương trình là: 63 ( −∞;0] ∪  ;   32  BÀI TẬP: Bài 1: Giải bất phương trình: 1) log4(x + 7) > log4(1 – x) 2) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 3) log2( x – 4x – 5) < 4) log1/2(log3x) ≥ 3x − >1 5) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 6) log x + Bài 2: Giải bất phương trình: 1 1) + >1 − log x log x 3) log3(x + 2) ≥ – x 3x − )≤ 16 4) log5(2x + 1) < – 2x 2) log (3 x − 1).log ( MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC- MŨ & LƠGARIT (Từ 2002 đến 2008) 2 A02 Cho phương trình: log x + log x + − 2m − = (2) a.Giải phương trình (2) m=2 b.Tìm m để pt có nghiệm thuộc [1;3 ] ( ) B02 Giải bất phương trình : logx log3 ( 9x − 72) ≤  23 x = y − y  D02 Giải hệ phương trình:  x + x+1 =y  x  +2 2 B03 Giải phương trình : x − x − 22+ x − x =  log ( y − x ) − log4 = y A04 Giải hệ phương trình :   x + y2 = 25  http://www.xuctu.com 56 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh B04 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = ln2 x x đoạn [1; e ]  x −1 + − y = B05 Giải hệ phương trình :  3log9 (9 x ) − log3 y = B06 Giải bất phương trình :log5(4x + 144) – 4log52 < + log5(2x – + 1) HD: Bất phương trình cho tương đương : log5 x + 144 < log5 5(2x − + 1) 16 x + 144 < 80(2x − + 1) 4x + 144 < 5(2x − + 1) 16 < 2x < 16 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x A06 Giải phương trình: 3.8 + 4.12x - 18x - 2.27x = D06 Giải phương trình: 2x + x − 4.2x − x − 22x + = 26 x+4 x+4 x − 3x + D08 Giải bất phương trình : log ≥0 x HD: ⇔0< HD: x − 3x + ≤ ds:[2- 2;1) ∪ (2;2 + 2] x http://www.xuctu.com 57 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Chun Đề : SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Theo năm gần dạng phổ biến, em nên ý thật kĩ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x ∈ X Các bước giải tổng qt: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) GTLN (max f(x)) f(x) X ii) Bước 2: f(x) ≤ g(m) ≤ max f(x) Chú ý: i) Nếu tốn khơng hạn chế khoảng nghiệm ta xem X = D f( x) (miền xác định f(x)) ii) Nếu hàm f(x) khơng đạt max ta phải dùng giới hạn, ta thay bước 2) bảng biến thiên (BBT) f(x) iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ nghiệm phân biệt trở lên ta phải dùng BBT 4i) Đơi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) nhớ tìm điều kiện t (miền giá trị t) II CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP 58 http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + 2x − m = 2x − (1) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm thực, 3) có nghiệm thực phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI 1   x≥ x≥   (1) ⇔  ⇔ 2  x + 2x − m = (2x − 1)2  m = − 3x + 6x −   Đặt y = − 3x + 6x − , với x ≥ ta có: Bảng biến thiên x −∞ +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 5 1) m ≤ , 2) m < ∨ m = , 3) ≤ m < 4 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + x+ + x+ = m (2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x+ 1 ≥ ⇔ x = t − , (2) trở thành: 4 t − + 2  1   t + t + = m ⇔ t + t + = m ⇔  t +  = m  4 2 2   1  Do t ≥ ⇒  t +  ≥ nên (2) có nghiệm m ≥  2 4 Bài Tìm điều kiện m để phương trình 16 − x − m 16 − x − = (3) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI m − = ⇔ t − 4t = m Đặt t = 16 − x ⇒ t ∈ (0; 4] , (3) trở thành t − t Lập BBT hàm số y = t2 – 4t, ta có − ≤ m ≤ Chú ý: Nếu giải 2, ta loại m = Do nên lập BBT để tránh sai sót http://www.xuctu.com 59 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh x− x+ − m + = (4) có x+ x− Bài Tìm điều kiện m để phương trình nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x− m ⇒ t ∈ (0; + ∞ ) \ {1} , (4) trở thành t − + = ⇔ t + 2t = m x+ t Lập BBT hàm số y = t + 2t, ta có < m ≠ Đặt t = Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + − m x − + x − = (5) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x ≥ + x = 1: (5) vơ nghiệm + x > 1: (5) ⇔ Đặt t = x+ x− − m4 + = x− x+ x+ = x− 1+ ⇒ t ∈ (1; + ∞ ) , (5) trở thành x− m + = ⇔ t + 2t = m t Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có m > t− Bài Tìm điều kiện m để phương trình x − 2x − = x + m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) ⇔ x − 2x − − x = m Đặt y = x − 2x − − x, x ≤ − ∨ x ≥ ⇒ y' = Bảng biến thiên x− x − 2x − x −∞ y’ – y +∞ − 1= –1 x − 1− x − 2x − x − 2x − +∞ + Dựa vào bảng biến thiên: 1) − ≤ m < − ∨ m ≥ , −1 –3 2) khơng có m Bài Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x+ 1+ − x = m (7) HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) = 1+ x + http://www.xuctu.com − x, x ∈ [− 1; 1] ⇒ f / (x) = 60 1− x − 1+ x − x2 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Bảng biến thiên x −∞ f’(x) f(x) –1 + 0 +∞ – − Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m < ∨ m > : (7) vơ nghiệm + m = 2: (7) có nghiệm + ≤ m < : (7) có nghiệm phân biệt Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + − x = − x + 9x + m (8) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI  x + − x ≥  ≤ x ≤  (8) ⇔  ⇔  2  + 9x − x = 9x − x + m  − (9x − x ) + 9x − x + = m  x + (9 − x) = , ∀x ∈ [0; 9] , ta có (8) trở thành: Đặt t = 9x − x ⇒ ≤ t ≤ 2 − t + 2t + = m Lập BBT hàm số y = − t + 2t + [0 ; 9/2] ta có − ≤ m ≤ 10 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + x − + x + nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − ≥ ⇒ x = t + Ta có (9) trở thành: x − = m (9) có t + 4t + + t + + t = m ⇔ t + 2t + = m Lập BBT hàm số y = t + 2t + 6, t ≥ ta có m ≥ Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x+ x− 9+ x− x− = x+ m (10) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − ≥ ⇔ x = t + Ta có (10) trở thành: t2 + + m t + 6t + + t − 6t + = ⇔ 6( t + + t − ) = t + + m − t + 12t − = m, t ≥ (*) ⇔  − t + 27 = m, ≤ t < (**) + Lập BBT hàm số y = − t + 12t − 9, t ≥ ta suy (*) có nghiệm thực ⇔ m ≤ 27 + Do 18 < − t + 27 ≤ 27, ∀t ∈ [0; 3) nên (**) có nghiệm thực ⇔ 18 < m ≤ 27 http://www.xuctu.com 61 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Vậy với m ≤ 27 (10) có nghiệm thực Bài 11 Tìm m để phương trình x − + − x − (x − 1)(3 − x) = m (11) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − + − x ≥ ⇒ t = + x − − x ≥ ⇒ t ≥ Mặt khác t = + x − − x ≤ + [(x − 1) + (3 − x)] = ⇒ ≤ t ≤ Ta có (11) trở thành: t2 − t− = m ⇔ − t + t + = m 2 Lập BBT hàm số y = − t + t + 1, t ∈  2;  ta có ≤ m ≤   Chú ý: Nên lập BBT t = x − + − x để tìm miền giá trị t Bài 12 Tìm m để phương trình thực Đáp số: ≤ m ≤ Đặt t = 8− x + (1 + x)(8 − x) = m có nghiệm 9+ Bài 13 Tìm m để phương trình thực 1+ x + x + 4x + m + x + 4x + m = (13) có nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI x + 4x + m ≥ Ta có: (13) ⇔ t + t − = ⇔ t = ⇔ x + 4x + m = ⇔ − x − 4x + 16 = m Lập BBT hàm số y = − x − 4x + 16 ¡ ta có m ≤ 19 Bài 14 Tìm điều kiện m để phương trình − x + − x = m (14) 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy x0 nghiệm (14) – x0 nghiệm (14) Suy x = − x ⇔ x = nghiệm (14) Thế x0 = vào (14) ta m = Thử lại ta thấy (14) có nghiệm Vậy m = 2) Đặt t = − x ⇒ ≤ t ≤ Ta có (14) trở thành t + 2t = m Lập BBT hàm số y = t + 2t [0 ; 1] ta suy ≤ m ≤ Bài 15 Chứng tỏ phương trình 3x − 2x − = 2x − + mx (15) ln có nghiệm thực với giá trị m HƯỚNG DẪN GIẢI http://www.xuctu.com 62 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh     x >  x >  2x − > (15) ⇔  3x − ⇔ 2 ⇔   3x − 2x  3x − − 2x − = mx = m = mx  2x −    2x −  2x − 3x − 3x − Xét hàm số f(x) = , x > ⇒ f / (x) = 2x − (2x − 1) 2x − Mặt khác lim 3x − 2x − x →+ ∞ = + ∞ , lim+ x→ 3x − 2x − = −∞ Suy hàm số f(x) có tập giá trị ¡ Vậy (15) ln có nghiệm thực với m Bài 16 Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x+ = m (16) có nghiệm x− thực HƯỚNG DẪN GIẢI x+ ≥ ⇔ x ≤ −1∨ x > x− + Với x ≤ − : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) − (x − 3)(x + 1) = m Điều kiện Đặt t = (x − 3)(x + 1) ≥ 0, ∀x ≤ − , (16) trở thành t − 4t = m ⇒ m ≥ − + Với x > : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) + (x − 3)(x + 1) = m ⇒ m ≥ Vậy m ≥ − − x + + x = m (17) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI  1 1  Xét hàm số f(x) = − x + + x ⇒ f / (x) =  −  3  (1 + x)2 (1 − x)  ⇒ f / (x) = ⇔ (1 + x)2 = (1 + x)2 ⇔ x = ⇒ f(0) = − x + + x 3 (1 − x)2 − − x + (1 − x)2    lim f(x) = lim x →∞ x →∞ 3 (1 − x)2 − − x + (1 − x)2    = lim = 2  x →∞      1   x 3  −  − − +  +         x x x     Suy tập giá trị f(x) (0; 2] Vậy < m ≤ Bài 17 Tìm m để phương trình ( ) Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: m + x − − x + = − x + + x − − x (18) có nghiệm thực ( ) HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = + x − − x , − ≤ x ≤ 63 http://www.xuctu.com 2 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh ⇒ t' = x ( + x2 + − x2 )= 0⇔x= + x2 − x2 t(± 1) = 2, t(0) = ⇒ t ∈ 0; , ∀x ∈ − 1;    −t + t + (18) trở thành m(t + 2) = − t + t ⇔ m = t+ − t2 + t + − t − 4t ⇒ y' = ≤ 0, ∀t ∈ 0;  Xét hàm số y =   t+ (t + 2) Bảng biến thiên x −∞ +∞ y’ – y 2− Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực ⇔ − ≤ m ≤ Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình m x + = x + m (19) HƯỚNG DẪN GIẢI x x + − > 0, ∀x ∈ ¡ (19) ⇔ m x + − = x ⇔ m = x + 2− x Xét hàm số y = x + 2− x2 x2 + − − − x2 + x2 + = = ⇔ x = ± ⇒ y' = 2 x2 + x2 + − x2 + − ( ) ( ( ) Giới hạn lim y = lim x →∞ x →∞ ) ( x   x  + −   x  x ) ⇒ lim y = ± x →± ∞ Bảng biến thiên x −∞ y’ y –1 – − 2 + − +∞ – Dựa vào bảng biến thiên, ta có + m < − ∨ m > : (19) vơ nghiệm + − ≤ m ≤ ∨ m = ± : (19) có nghiệm + − < m < −1∨ < m < : (19) có nghiệm phân biệt Bài tốn 20 Tìm m để phương trình x ≠ − http://www.xuctu.com 2x − x − = mx + m (20) có nghiệm thực 64 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh HƯỚNG DẪN GIẢI (x ≠ − 1) Điều kiện 2x − x − ≥ ⇔ x < − ∨ x ≥ 2x − x − = m Ta có (20) ⇔ x+ Lập BBT hàm số y = http://www.xuctu.com 2x − x − ta suy m < − ∨ ≤ m < x+ 65 quoctuansp@gmail.com [...]... Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số VẤN ĐỀ 5 : BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = các phương pháp tìm cực trị của hàm số Phương pháp 1 • Tìm f ' ( x ) Tìm các điểm xi ( i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm • lập bảng xét dấu f ' ( x ) nếu f ' ( x ) đổi dấu khi x qua xi thì hàm số đạt cực trị... x1 < x2 < 2 Bài 5 : tìm m để hàm số y = http://www.xuctu.com 27 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số Bài 6 : CMR hàm số 2 a) y = x3 − (m + 2) x 2 + (m − 3) x + 2m2 ln ln có 2 cực trị 3 x 2 − m(m + 1) x + m3 + 1 b) y = ln ln có 1 cực đại và 1 cực tiểu x−m Bài 7 : tìm các hệ số a,b,c sao cho hàm số f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị hàm số đi qua điểm... > 2 Bài 1 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x3 − 3 x 2 − 1 b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 3 x 2 − 1 = m (*) Bài 2 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x3 − 12 x 2 + 5 b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 12 x 2 + 5 = m + 3 (*) 1 Bài 3 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x + x +1 http://www.xuctu.com 18 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số b)...  P > 0 S > 0  x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 Bài 1 : tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 1): x2 − 2x + 2 x −1 u ( x) u '( x) CMR nếu hàm số đạt cực trị tại x0 và v '( x0 ) ≠ 0 thì y ( x0 ) = Bài 2 : cho hàm số y = v( x) v '( x) a) y = − x 2 + 6 x + 1 b) y = −2 x3 + 3x 2 + 12 x − 5 c) y = x 4 − 2 x 2 + 3 d) y = − x 2 + 3x + m tìm m để ymax − ymin = 4 x−4 Bài 3 : cho hàm số bậc ba : y = f ( x) = ax 3 + bx 2... −5 < ϕ ( m) < −1 2 nghiệm khi ϕ ( m ) = −1 ∨ ϕ ( m ) = −5 1 nghiệm khi ϕ ( m) > −1  ϕ ( m) < −5 Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C) http://www.xuctu.com 11 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số a) Khảo sát và vẽ đồ thò 3 b) Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = − sin 3 x − 3 sin x Giải: a) Đồ thò (C) y 4 2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -4 b) y = − sin 3 x −... điểm cực trị Bài 11 : Đònh m để hàm số có cực trò : Bài 10 : cho hàm số y = Kết quả: m 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C) Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là hồnh độ của điểm cực trị  f ' ( x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0  f '' ( x0 ) < 0 − Nếu   f ' ( x0 ) = 0 thì hàm. .. < 0 − Nếu   f ' ( x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0  f '' ( x0 ) > 0 − Nếu  Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp a ≠ 0 ⇔ ∆ y ' > 0 − Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh ⇔ yCĐ yCT < 0 − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía... Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số x2 (C) Bài toán 5: Cho hàm số y = f ( x ) = x −1 a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) b) Biện luận số nghiệm của phương trình (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0 Giải: a) Đồ thò (C) 2 y 6 y=-3x+1 4 2 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 b) (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0 (*) 2 x2 Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có (*) ⇔ = mx + 1 x −1 Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1) Số nghiệm