Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề Hàm Số CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS @@@@@@@ VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f ( x) ( C ) Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có cách : Cách : dùng ý nghĩa hình học đạo hàm Định lý : Đạo hàm hàm số y = f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị điểm M ( xo ; yo = f ( xo )) : k Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu toán) = f '( xo ) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) y = f '( xo ).( x − xo ) + yo k = f '( xo ) :hệ số góc Tiếp tuyến M ( xo ; yo ) ∈ (C ) Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) _Giải pt : f '( xo ) _Áp Dụng (1) = k ⇒ xo ⇒ yo Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : y = kd x + b _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) trước : y = kd x + b _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) _Giải pt : f '( xo ) = _Áp Dụng (1) _Giải pt : f '( xo ) = − kd ⇒ xo ⇒ yo ⇒ xo ⇒ yo kd _Áp Dụng (1) _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) ,tt M (∆) : (1) _ (∆) qua A: thay tọa độ A vào (1) ⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước  y = f ( x) Cách : dùng đk tiếp xúc :hai đths  tiếp xúc với  y = g ( x) Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu toán)  f ( x) = g ( x) ⇔  f '( x) = g '( x) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) y = f '( xo ).( x − xo ) + yo k = f '( xo ) :hệ số góc Tiếp tuyến M ( xo ; yo ) ∈ (C ) (1) _PTTT có dạng y = kx + C (*)  f ( x) = kx + C _ĐKTX   f '( x) = k _Giải hệ ⇒ C Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước http://www.xuctu.com (1) quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề Hàm Số Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho_PTTT có dạng y = ax + C (*) trước : y = ax + b  f ( x) = ax + C _ĐKTX   f '( x) = a _Giải hệ ⇒ C Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) cho _PTTT có dạng y = − x + C (*) trước : y = ax + b a   f ( x) = − a x + C _ĐKTX   f '( x) = −  a _Giải hệ ⇒ C _PTTT có dạng: y = k ( x − xA ) + y A Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước  f ( x) = k ( x − x A ) + y A _ĐK TX   f '( x) = k _Thế pt vào ⇒ x ⇒ k ứng với giá trị x có giá trị k  y = k1 x + c1 Lưu ý : hai đt :  vuông góc với ⇔ k1.k2 = −1 ,song song ⇔ k1 = k2  y = k2 x + c2 Với k1 , k2 hệ số góc Bài tập có HD x − 3x + !"#$%&!'($) !"#$!#%&'!($)!*"+! y = !,!!-!.%&!'$/0!1234'!0567!67!0839:!*"+!!;23)%!*"+!0%?2!-!=%@0!1AB&:C!023/'!=%/:!D239:!E%&!1A7:C!0%?2!F!E%&!G!,!! "#A7:C!0$>!8%HC!-!.%&!085:C!1234'!=5>%!FGI!E%&!0%'!C2%7=!JFG!*J!.%&!C2%$!1234'!! =5>%!#%2!1AB&:C!023/'!=%/:+!=$7!K23/:!0L=#!M#$9:C!%!FG!!   1 2 N2%$!1234'!=5>%!Q!023/'!=%/:!.%&! I 1;−  ⇒ S IAB = ! ! R%/6!SJFG!M#$9:C!2 !N$?2!-*D\]!6\+!0#5$/=!*i+,!e#AB:C!08Y:#!023)%!*i+!0%?2!-! (d )!!! y = x02 − (x − x0 ) + x − 3x0 − = x02 − x − x + !! ! ( ! ! ! ! ! ! ! ) ( ( ) ⇔ ( x − x0 ) ( x + x0 ) = !  x = x0 (:C#23/'!M37< ) ⇔ ! = − x 2x  ( ) N$?2!F*%]!6F+!I!G*d]!6G+!I!"*=]!6"+! ⇒ !C2%$!1234'!FOI!GOI!"O!=5>%!=%7=!023)%!*"+!E%&!*`+!! ! !!!!!!DT!V!TD!U!Q!P!'*D!V!Q+!U!m! !*D!V!Q+*!DQ!!U!QD!U!O!V!'+!P!\!!!!!*O+! f!S$)!C2%$!1234'!=5>%!*"+!E%&!*K+!=#L:#!.%&!($)!:C#23/'!=5>%! !*Q+!=$7!Q!:C#23/'!!=%7=!C2%7!08[!'!134!1AB&:C!0#%k:C!*`+!6!P!'D!U!Q!V!'!!!=%@0!1$Z!0#[!! *"+!0%?2!Q!1234'!%!*"+!E%&!*`+! ! ! !!!!!!!DQ!U!mD!U!O!P!'DQ!U!QD!U!'D!U!m!V!Q'!!!!!!!*EB72!D!≠!V!Q+! ⇔ !*O!V!'+DQ!U!*Q!V!'+D!U!Q'!V!T!P!\!!!!!!*f+! ! ! *`+!=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!2 !RY!F!I!G!1$)2!DA7:C!:#%5!l5%!1AB&:C!0#%k:C!*K+!6!P!D!V!O,!S56!8%!FI!G!0#5$/=!! !!!!!!!!!!!1AB&:C!0#%k:C!*K_+!6!P!VD!U!'!! e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=5>%!*K_+!E%&!*"+!! ! ! DQ!P!*D!V!O+*!V!D!U!'+!!*1M! !D!≠!O+! ⇔ ! QDQ!V!*'!U!O+D!U!'!P!\!!*f+! quoctuansp@gmail.com http://www.xuctu.com Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề Hàm Số ;%!=$7!!! ∆ !P!*'!U!O+Q!V!r'!s!\!! ⇔ !'Q!V!c'!U!O!s!\! ! ! m < − ⇔ ! m > + N2%>!(A>!*K_+!=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!!0#%&:#! !QDQ!V!O!P!\! ⇔ !D!P! ± ! R%/6!!  −1  2 2  ! B  ! ;−1 + A ;−1 − 2 2     ! !"#$%&!'($, "#$!*e+!6!P!DQ!V!QD!V!T!E%&!1AB&:C!0#%k:C!*K+!=5&:C!%!*e+!0%?2!FI!G!E5$9:C!C$7=! !^_*DF!+^_*DG+!P!VO! ! ! ⇔ !! *Q!DF!VQ+*Q!DG!VQ+!P!V!O! ! ! ⇔ ! me!V!mS!U!X!P!\! ⇔ ! m*VT!V'+!VOc!U!X!P!\! ⇔! '!P − 23 !*:#%/:!EY!'!s!Vu+! d+!FI!G!0#5$/=!*K+! ⇒ 6F!P!Q!DF!U!'!! ! ! ! !!!6G!P!Q!DG!U!'! http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh ;%!=$7!FGQ!P!O\\! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Các chuyên đề Hàm Số ⇔! ⇔! ⇔! ⇔! ⇔! ⇔! *DF!V!DG+Q!U!*6G!V!6F+Q!P!O\\! *DF!V!DG+Q!U!*Q!DF!VQ!DG+Q!P!O\\! *DF!V!DG+Q!P!Q\! SQ!V!me!P!Q\! Oc!U!m*TU'+!P!Q\! '!P!V!Q!*:#%/:!EY!'!s!Vu+! ! !"#$%&!'($-$ !"#$!#%&'!($)! y = f ( x ) = x + − m + !!!!!!!!!!(i ) ! x+m ;Y'!%!134!1AB&:C!0#%k:C! (∆ ) ! !6!P!%*DUO+!U!O!!=%@0!*i+!0%?2!Q!1234'!=$7!#$%&:#!! 1$/!08%72!K%)5! N2%>2 e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=%>!*"+!E%&! (∆ ) ! ! ! ! ! !!!!! x + + ! ! ! ! ! = a( x + 1) + 1!!!!!!(1M D ≠ −1) ! x +1 ⇔ x + x + = a (x + x + 1) + x + 1! ⇔ g ( x ) = (1 − x )x + 2(1 − a )x + − a = 0!!!!!!!!(f) ! (∆ ) !=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!=$7!#$%&:#!1$/!08%72!K%75!! ⇔ !*f+!=$7!Q!:C#23/'! %!1M+ ⇔ log ( x − 5)( x + )  = ⇔ ( x − 5)( x + ) = ⇔ x − 3x − 18 = ⇔   x = (0#$>%!1M+ Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình log x + log x + log8 x = 13 Điều kiện: x > log ⇔ x + log x + log8 x = 13 ⇔ log x + log 22 x + log 23 x = 13 ⇔ log2 x + log2 x + log2 x = 13 22 13 log x = 13 ⇔ log x = ⇔ x = *;#$> %!123Z 5!M23/:+, Vậy phương trình có nghiệm nhất: x = BÀI TẬP: Giải phương trình sau : 1) log x ( x + 6) = 3) log ( x − 1) + log ( x + 4) = log (3 − x) 2 5) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) 2) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) 4) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 6) log4x + log2x + 2log16x = 7) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = Phương pháp đặt ẩn phụ: Hướng giải: Biến đổi để phương trình hàm lôgarit nhất, sau ta đặt làm ẩn phụ (Chú ý điều kiện), chuyển phương trình cho thành phương trình đại số Ví dụ1: Giải phương trình + =1 − lg x + lg x Phân tích: Ta nhận thấy phương trình có hàm số lôgarit nhất, lg x Vì ta giải pt cách đặt t = lg x Đặt t = lg x đk t ≠ t ≠ −1 Ta phương trình: −t + 11 = ⇒ −t + 11 = − 4t − t + =1 ⇔ − t 1+ t − t + t ( )( ) t = ( 0#$>%!123Z 5!M23/ : ) ⇔ t − 5t + = ⇔  t = ( 0#$> %!123Z5!M23/ : ) F Với t = ta có lg x = ⇔ x = 100 F Với t = ta có lg x = ⇔ x = 1000 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 100; x = 1000 Ví dụ 2: Giải phương trình log 22 ( x − 1)2 + log ( x − 1)3 = Điều kiện: x > log 22 ( x − 1)2 + log ( x − 1)3 = ⇔ log 22 ( x − 1) + 3log ( x − 1) − = http://www.xuctu.com 51 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh t = Đặt t = log ( x − 1) , ta phương trinh: 4t + 3t − = ⇔  −7 t =  F Với t =1 ta có log ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = F Với t = −7 −7 −7 −7 ta có log ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = + Kết 4 luận: BÀI TẬP: Giải phương trình sau : 1) log x + log x = 3) + =1 − ln x + ln x 5) log 2 x + 3log x + log x = 2) log 32 x + log 32 x + − = 4) log2x + 10 log x + = Phương pháp biến đổi phương trình dạng tích: Ví dụ: Giải phương trình sau : log x + 2.log x = + log x.log x Giải: Điều kiện: x > log x + 2.log x = + log x.log x ⇔ log x − log x.log x + 2.log x − = 1 − log x = log x = ⇔ log x(1 − log x) − 2(1 − log x) = ⇔ (1 − log x)(log x − 2) = ⇔  ⇔ log x − = log x =  x = *;#$> %!123Z 5!M23/:+ ⇔  x = *;#$>%!123Z 5!M23/:+ Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = x = Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Ta thường sử dụng tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f(x) = C có không nghiệm khoảng (a;b) ( Do tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) • Tính chất : Nếu hàm f tăng khoảng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) ( Do tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ: Giải phương trình: log ( x − 1) − log (2 x − 3) = Phân tích: Trước tiên ta cần đặt điều kiện cho phương trình Do hai hàm số lôgarit không số biến đổi cho vế trái tổng hai hàm số đồng biến( số lớn 1) Áp dụng tính chất http://www.xuctu.com 52 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh x > x −1 >  ⇔ Giải: Điều kiện:  3⇔x> 2 x − >  x >  Ta có: log ( x − 1) − log (2 x − 3) = ⇔ log ( x − 1) + log (2 x − 3) = Dễ thấy phương trình có nghiệm x = Do số lớn nên hàm số y = log ( x − 1); y = log (2 x − 3) 3  đồng biến khoảng  ; +∞  Do hàm số: y = log ( x − 1) + log (2 x − 3) đồng 2  biến khoảng  ; +∞  2  Mặt khác y = hàm Do phương trình cho có nghiệm x = Bài tập chung : Giải phương trình sau: a log5 x = log5 ( x + ) − log5 ( x + ) b log5 x + log25 x = log0,2 ( ) c log x x − x + = d lg( x + x − 3) + lg x+3 =0 x −1 e .lg(5 x − 4) + lg x + = + lg 0,18 Phần 3: BẤT PHƯƠNGTRÌNH MŨ, LÔGARIT Bất phương trình mũ: Xét bất phương trình dạng: a x > b ( a > 0; a ≠ 1) Nếu b ≤ : Bất phương trình có tập nghiệm T = ! Nếu b > : a >1 a > b ⇔ x > log a b 01 0 g ( x ) • a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x ) • a f ( x ) ≥ a g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) Tổng quát ta có:  a > • a f ( x) > a g ( x) ⇔  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > • a f ( x ) ≥ a g ( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x )  a > • a f ( x) ≥ a g ( x) ⇔  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 1.Phương pháp đưa số: Hướng giải: Ta biến đổi hàm số mũ bpt số, sau đưa dạng (Nếu nên đưa số a >1) http://www.xuctu.com 53 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh x +5 Giải bất phương trình: a) x − x +8   3+ x b)   ≥ 2 x +1 2 >1 Giải: x < > 60 ⇔ x − x + > ⇔  x > Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; 2) ∪ (4; +∞) b) Điều kiện: x ≠ −3 a) x −6 x +8 > ⇔ 6x − x +8 x +5 x+5 x+5 3x + 3x + −   3+ x x +1 −1 + x x +1 x +1 3+ x ≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔− ≥ 2x +1 ⇔ 2x +1 + ≤0 ( ) ( )   3+ x 3+ x 2 x + + (2 x + 1)(3 + x ) x + 10 x + ⇔ ≤0⇔ ≤ ⇔ x ∈ ( −∞; −4] ∪ ( −3; −1] 3+ x 3+ x Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là: T = ( −∞; −4] ∪ ( −3; −1] BÀI TẬP : Giải bất phương trình sau : 1 x − x −1 ≥ x −1 2) 1) x − x ≥ ( ) x − x 2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Hướng giải: Biến đổi bất phương trình cho bpt hàm số mũ (nhưng biến đổi đưa dạng biết) Ta giải cách đặt làm ẩn phụ Ví dụ: Giải bất phương trình: 16 x + 16 x + x+ x+ − ≤ − ≤ ⇔ ( 42 ) + 4x.4 − ≤ ⇔ ( x ) + 2.4x − ≤ Đặt t = 4x (t > 0) Ta x bất phương trình: t + 2t − ≤ ⇔ −4 ≤ t ≤ So với điều kiện, ta có: < t ≤ hay: x ≤ ⇔ x ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm: T = ( −∞;1] BÀI TẬP: 1.Giải bất phương trình sau: 2) + 21+ x − x + 21+ x > 4) 1) 22 x − 3.(2x+ ) + 32 < 3) x + 23− x ≤ 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 1 +1 5) ( ) x + 3.( ) x > 12 3 Giải bất phương trình: x–4 a) 16 d) ≥8 x2 − x + >1 http://www.xuctu.com 6) 2.14 x + 3.49 x − x ≥ 1 b)    3 x+ 1 e)   2 c) ≤ 5x quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Giải bất phương trình: 2x + x+7 2x – x -2 a) +2 > 17 b) – 2.5 ≤ d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x c) −1 x >2 −2 x +3 Bất phương trình lôgarit: Dạng bản: log a x > b ( a > , a ≠ ) Điều kiện : x > a >1 log a x > b ⇔ x > ab 01) Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a log (2 x + 5x − 3) > b log ( x + 1) + log3 (11 − x) < Giải:  x < −3 a.Điều kiện: x + x − > ⇔  x >   x ⇔ x + 5x − > ⇔ x + x − > ⇔  x > 7  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) 2  x +1 > b.Điều kiện:  ⇔ −1 < x < 11 11 − x > log ( x + 1) + log (11 − x) < ⇔ log3 ( x + 1)(11 − x ) < ⇔ ( x + 1)(11 − x ) < 33 ⇔ − x + 10 x + 11 < 27 x < ⇔ x − 10 x + 16 > ⇔  x > Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ( −1; ) ∪ ( 8;11) Phương pháp đặt ẩn số phụ: Hướng giải: Biến đổi bất phương trình cho bpt hàm số lôgarit (nhưng biến đổi đưa dạng biết) Ta giải cách đặt làm ẩn phụ http://www.xuctu.com 55 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Ví dụ: Giải bất phương trình: log 22 (2 − x) − log (2 − x) ≥ Giải: Điều kiện: x < log 22 (2 − x) − 8log (2 − x) ≥ ⇔ log 22 (2 − x) − 8log 2−2 (2 − x) ≥ ⇔ log 22 (2 − x) + log (2 − x ) − ≥ t ≤ −5 Đặt: t = log (2 − x) , ta thu bất phương trình: t + 4t − ≥ ⇔  t ≥ 1 63 ⇔ x≥ F Với t ≤ −5 ta có: log (2 − x) ≤ −5 ⇔ − x ≤ −5 ⇔ − x ≤ 32 32 F Với t ≥ ta có: log (2 − x) ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện đề bài, ta tập nghiệm bất phương trình là: 63 ( −∞;0] ∪  ;   32  BÀI TẬP: Bài 1: Giải bất phương trình: 1) log4(x + 7) > log4(1 – x) 2) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 3) log2( x – 4x – 5) < 4) log1/2(log3x) ≥ 3x − >1 5) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 6) log x + Bài 2: Giải bất phương trình: 1 1) + >1 − log x log x 3) log3(x + 2) ≥ – x 3x − )≤ 16 4) log5(2x + 1) < – 2x 2) log (3 x − 1).log ( MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC- MŨ & LÔGARIT (Từ 2002 đến 2008) 2 A02 Cho phương trình: log x + log x + − 2m − = (2) a.Giải phương trình (2) m=2 b.Tìm m để pt có nghiệm thuộc [1;3 ] ( ) B02 Giải bất phương trình : logx log3 ( 9x − 72) ≤  23 x = y − y  D02 Giải hệ phương trình:  x + x+1 =y  x  +2 Q Q B03 Giải phương trình : Q − − QQ+ − = T  #$% ( & − ' ) − #$%! = & A04 Giải hệ phương trình :  !  ' " + &" = "(  http://www.xuctu.com 56 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh B04 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số & = #)" ' ' đoạn [1; e ]  −O + Q − = O B05 Giải hệ phương trình :  Q T T.$CW *W + − $CT = T B06 Giải bất phương trình :log5(4x + 144) – 4log52 < + log5(2x – + 1) HD: Bất phương trình cho tương đương : $CX m D + Omm < $CX X*QD − Q + O+ Oc m D + Omm < r\*QD − Q + O+ mD + Omm < X*QD − Q + O+ Oc m < QD < Oc ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x A06 Giải phương trình: 3.8 + 4.12x - 18x - 2.27x = D06 Giải phương trình: 2x + x − 4.2x − x − 22x + = Qc 0+m 0+m Q − T0 + Q D08 Giải bất phương trình : $C O ≥\ Q HD: ⇔\< HD: Q − T0 + Q ≤ O!!!K( |Qn Q]O+ ∪ *Q]Q + Q} http://www.xuctu.com 57 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Chuyên Đề : SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Theo năm gần dạng phổ biến, em nên ý thật kĩ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán: Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x ∈ X Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) GTLN (max f(x)) f(x) X ii) Bước 2: f(x) ≤ g(m) ≤ max f(x) Chú ý: i) Nếu toán không hạn chế khoảng nghiệm ta xem X = D f( x) (miền xác định f(x)) ii) Nếu hàm f(x) không đạt max ta phải dùng giới hạn, ta thay bước 2) bảng biến thiên (BBT) f(x) iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ nghiệm phân biệt trở lên ta phải dùng BBT 4i) Đôi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) nhớ tìm điều kiện t (miền giá trị t) II CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP 58 http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + 2x − m = 2x − (1) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm thực, 3) có nghiệm thực phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI 1   x≥ x≥   (1) ⇔  ⇔ 2  x + 2x − m = (2x − 1)2  m = − 3x + 6x −   Đặt y = − 3x + 6x − , với x ≥ ta có: Bảng biến thiên x −∞ +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 5 1) m ≤ , 2) m < ∨ m = , 3) ≤ m < 4 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + x+ + x+ = m (2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x+ 1 ≥ ⇔ x = t − , (2) trở thành: 4 t − + 2  1   t + t + = m ⇔ t + t + = m ⇔  t +  = m  4 2 2   1  Do t ≥ ⇒  t +  ≥ nên (2) có nghiệm m ≥  2 4 Bài Tìm điều kiện m để phương trình nghiệm thực 16 − x − m 16 − x − = (3) có HƯỚNG DẪN GIẢI m − = ⇔ t − 4t = m Đặt t = 16 − x ⇒ t ∈ (0; 4] , (3) trở thành t − t Lập BBT hàm số y = t2 – 4t, ta có − ≤ m ≤ Chú ý: Nếu giải 2, ta loại m = Do nên lập BBT để tránh sai sót http://www.xuctu.com 59 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh x− x+ − m + = (4) có x+ x− Bài Tìm điều kiện m để phương trình nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x− m ⇒ t ∈ (0; + ∞ ) \ {1} , (4) trở thành t − + = ⇔ t + 2t = m x+ t Lập BBT hàm số y = t + 2t, ta có < m ≠ Đặt t = Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + − m x − + x − = (5) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x ≥ + x = 1: (5) vô nghiệm + x > 1: (5) ⇔ Đặt t = x+ x− − m4 + = x− x+ x+ = x− 1+ ⇒ t ∈ (1; + ∞ ) , (5) trở thành x− m + = ⇔ t + 2t = m t Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có m > t− Bài Tìm điều kiện m để phương trình x − 2x − = x + m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) ⇔ x − 2x − − x = m Đặt y = x − 2x − − x, x ≤ − ∨ x ≥ ⇒ y' = Bảng biến thiên x− x − 2x − x −∞ y’ – y +∞ − 1= –1 x − 1− x − 2x − x − 2x − +∞ + Dựa vào bảng biến thiên: 1) − ≤ m < − ∨ m ≥ , −1 –3 2) m Bài Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x+ 1+ − x = m (7) HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) = 1+ x + http://www.xuctu.com − x, x ∈ [− 1; 1] ⇒ f / (x) = 60 1− x − 1+ x − x2 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Bảng biến thiên x −∞ f’(x) f(x) –1 + 0 – − Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m < ∨ m > : (7) vô nghiệm + m = 2: (7) có nghiệm + ≤ m < : (7) có nghiệm phân biệt +∞ Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + − x = − x + 9x + m (8) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI  x + − x ≥  ≤ x ≤  (8) ⇔  ⇔  2  + 9x − x = 9x − x + m  − (9x − x ) + 9x − x + = m  x + (9 − x) = , ∀x ∈ [0; 9] , ta có (8) trở thành: Đặt t = 9x − x ⇒ ≤ t ≤ 2 − t + 2t + = m Lập BBT hàm số y = − t + 2t + [0 ; 9/2] ta có − ≤ m ≤ 10 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + x − + x + nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − ≥ ⇒ x = t + Ta có (9) trở thành: x − = m (9) có t + 4t + + t + + t = m ⇔ t + 2t + = m Lập BBT hàm số y = t + 2t + 6, t ≥ ta có m ≥ Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x+ x− 9+ x− x− = x+ m (10) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − ≥ ⇔ x = t + Ta có (10) trở thành: t2 + + m t + 6t + + t − 6t + = ⇔ 6( t + + t − ) = t + + m − t + 12t − = m, t ≥ (*) ⇔  − t + 27 = m, ≤ t < (**) + Lập BBT hàm số y = − t + 12t − 9, t ≥ ta suy (*) có nghiệm thực ⇔ m ≤ 27 + Do 18 < − t + 27 ≤ 27, ∀t ∈ [0; 3) nên (**) có nghiệm thực ⇔ 18 < m ≤ 27 http://www.xuctu.com 61 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Vậy với m ≤ 27 (10) có nghiệm thực Bài 11 Tìm m để phương trình x − + − x − (x − 1)(3 − x) = m (11) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − + − x ≥ ⇒ t = + x − − x ≥ ⇒ t ≥ Mặt khác t = + x − − x ≤ + [(x − 1) + (3 − x)] = ⇒ ≤ t ≤ Ta có (11) trở thành: t2 − t− = m ⇔ − t + t + = m 2 Lập BBT hàm số y = − t + t + 1, t ∈  2;  ta có ≤ m ≤   Chú ý: Nên lập BBT t = x − + − x để tìm miền giá trị t Bài 12 Tìm m để phương trình thực Đáp số: ≤ m ≤ Đặt t = 8− x + (1 + x)(8 − x) = m có nghiệm 9+ Bài 13 Tìm m để phương trình thực 1+ x + x + 4x + m + x + 4x + m = (13) có nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI x + 4x + m ≥ Ta có: (13) ⇔ t + t − = ⇔ t = ⇔ x + 4x + m = ⇔ − x − 4x + 16 = m Lập BBT hàm số y = − x − 4x + 16 ¡ ta có m ≤ 19 Bài 14 Tìm điều kiện m để phương trình − x + − x = m (14) 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy x0 nghiệm (14) – x0 nghiệm (14) Suy x = − x ⇔ x = nghiệm (14) Thế x0 = vào (14) ta m = Thử lại ta thấy (14) có nghiệm Vậy m = 2) Đặt t = − x ⇒ ≤ t ≤ Ta có (14) trở thành t + 2t = m Lập BBT hàm số y = t + 2t [0 ; 1] ta suy ≤ m ≤ Bài 15 Chứng tỏ phương trình thực với giá trị m 3x − 2x − = 2x − + mx (15) có nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI http://www.xuctu.com 62 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh     x >  x >  2x − > (15) ⇔  3x − ⇔ 2 ⇔   3x − 2x  3x − − 2x − = mx = m = mx  2x −    2x −  2x − 3x − 3x − Xét hàm số f(x) = , x > ⇒ f / (x) = 2x − (2x − 1) 2x − Mặt khác lim 3x − 2x − x →+ ∞ = + ∞ , lim+ x→ 3x − 2x − = −∞ Suy hàm số f(x) có tập giá trị ¡ Vậy (15) có nghiệm thực với m Bài 16 Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) thực x+ = m (16) có nghiệm x− HƯỚNG DẪN GIẢI x+ ≥ ⇔ x ≤ −1∨ x > x− + Với x ≤ − : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) − (x − 3)(x + 1) = m Điều kiện Đặt t = (x − 3)(x + 1) ≥ 0, ∀x ≤ − , (16) trở thành t − 4t = m ⇒ m ≥ − + Với x > : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) + (x − 3)(x + 1) = m ⇒ m ≥ Vậy m ≥ − − x + + x = m (17) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI  1 1  Xét hàm số f(x) = − x + + x ⇒ f / (x) =  −  3  (1 + x)2 (1 − x)  ⇒ f / (x) = ⇔ (1 + x)2 = (1 + x)2 ⇔ x = ⇒ f(0) = − x + + x 3 (1 − x)2 − − x + (1 − x)2    lim f(x) = lim x →∞ x →∞ 3 (1 − x)2 − − x + (1 − x)2    = lim = 2  x →∞      1   x 3  −  − − +  +         x x x     Suy tập giá trị f(x) (0; 2] Vậy < m ≤ Bài 17 Tìm m để phương trình ( ) Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: m + x − − x + = − x + + x − − x (18) có nghiệm thực ( ) HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = + x − − x , − ≤ x ≤ 63 http://www.xuctu.com 2 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh ⇒ t' = x ( + x2 + − x2 )= 0⇔x= + x2 − x2 t(± 1) = 2, t(0) = ⇒ t ∈ 0; , ∀x ∈ − 1;    −t + t + (18) trở thành m(t + 2) = − t + t ⇔ m = t+ − t2 + t + − t − 4t ⇒ y' = ≤ 0, ∀t ∈ 0;  Xét hàm số y =   t+ (t + 2) Bảng biến thiên x −∞ +∞ y’ – y 2− Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực ⇔ − ≤ m ≤ Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình m x + = x + m (19) HƯỚNG DẪN GIẢI x x + − > 0, ∀x ∈ ¡ (19) ⇔ m x + − = x ⇔ m = x + 2− x Xét hàm số y = x + 2− x2 x2 + − − − x2 + x2 + = = ⇔ x = ± ⇒ y' = 2 x2 + x2 + − x2 + − ( ) ( ( ) Giới hạn lim y = lim x →∞ x →∞ ) ( x   x  + −   x  x ) ⇒ lim y = ± x →± ∞ Bảng biến thiên x −∞ y’ y –1 – − 2 + − – +∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta có + m < − ∨ m > : (19) vô nghiệm + − ≤ m ≤ ∨ m = ± : (19) có nghiệm + − < m < −1∨ < m < : (19) có nghiệm phân biệt Bài toán 20 Tìm m để phương trình x ≠ − http://www.xuctu.com 2x − x − = mx + m (20) có nghiệm thực 64 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh HƯỚNG DẪN GIẢI (x ≠ − 1) Điều kiện 2x − x − ≥ ⇔ x < − ∨ x ≥ 2x − x − = m Ta có (20) ⇔ x+ Lập BBT hàm số y = http://www.xuctu.com 2x − x − ta suy m < − ∨ ≤ m < x+ 65 quoctuansp@gmail.com ... BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f’(x0) = phương pháp tìm cực trị hàm số Phương pháp • Tìm f ' ( x ) Tìm điểm xi ( i = 1, 2, ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên. .. luôn có cực đại cực tiểu x−m Bài : tìm hệ số a,b,c cho hàm số f ( x) = x3 + ax + bx + c đạt cực trị x = -2 đồ thị hàm số qua điểm A(1;0) Bài : tìm hệ số a,b,c,d cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx +... d) có cực trị x1 , x2 thỏa x1 < x2 < Bài : tìm m để hàm số y = http://www.xuctu.com 27 quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề Hàm Số Bài : CMR hàm số a) y = x3 − (m + 2) x + (m − 3)