1 CD1 khao sat ham so

Chủ đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Nội dung 1: Tính đơn điệu hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x) ≥ với x ∈ K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x) ≤ với x ∈ K • [ f(x) đồng biến K] ⇒ [ f '(x) ≥ với x ∈ K ] • • [ f(x) nghịch biến K] [ f '(x) = với x ∈ K ] ⇒ [ f '(x) ≥ với x ∈ K ] ⇒ [ f(x) khơng đổi K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f ' ( x ) > với x ∈ K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f ' ( x ) = với x ∈ K hàm số f (x) khơng đổi K • [ f '(x) > với x ∈ K ] ⇒ [ f(x) đồng biến K] • [ f '(x) < với x ∈ K ] ⇒ [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f ' ( x ) ≥ với x ∈ K f ' ( x ) = số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f ' ( x ) ≤ với x ∈ K f ' ( x ) = số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d a) Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d b) Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) , ta có f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c ( a ≠ ) đồng biến ¡ ⇔ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c ≥ ∀x ∈ ¡ ( a ≠ ) nghịch biến ¡ ⇔ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c ≤ ∀x ∈ ¡ NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a ¹ 0) ta có: ìïï D £ Û • f ( x) ³ " x Ỵ ¡ í ïïỵ a > ìïï D £ Û • f ( x) £ " x Ỵ ¡ í ïïỵ a < B Phương pháp giải tốn Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D = ? B2 Tính y ' = ? B3 Lập luận: · y đồng biến X Û y ' ³ 0, " x Ỵ X · y nghịch biến X Û y ' £ 0, " x Ỵ X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y ' = có hữu hạn nghiệm, phương trình y ' = có vơ hạn nghiệm điều kiện khơng có dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y = (m2 − m)x3 + 2mx2 + 3x − Tìm m để hàm số ln đồng biến ¡ Bài giải: ♦ Tập xác định: D = ¡ ♦ Đạo hàm: y ' = (m − m) x + 4mx + ♣ Hàm số ln đồng biến ¡ ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ m = ♥ Trường hợp 1: Xét m − m = ⇔  m = + Với m = , ta có y ' = > 0, ∀x ∈ ¡ , suy m = thỏa + Với m = , ta có y ' = x + > ⇔ x > − , suy m = khơng thỏa m ≠ ♥ Trường hợp 2: Xét m − m ≠ ⇔  , đó: m ≠  ∆ ' = m + 3m ≤  −3 ≤ m ≤ ⇔  ⇔ −3 ≤ m < ♣ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔   m − m > m < ∨ m > ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm −3 ≤ m ≤ r Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − 2m+ Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( 1;2) Bài giải ♦ Tập xác định: D = ¡ ♦ Đạo hàm: y ' = 3x − 6mx + 3(m − 1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng ( 1;2) ⇔ y ' ≤ ∀x ∈ ( 1; ) Ta có ∆ ' = 9m − 9(m − 1) = > 0, ∀m Suy y ' ln có hai nghiệm phân biệt x1 = m − 1; x2 = m + ( x1 < x2 )  x1 ≤ m − ≤ ⇔  ⇔ 1≤ m ≤ Do đó: y ' ≤ ∀x ∈ ( 1; ) ⇔ x1 ≤ < ≤ x2 ⇔  m + ≥  x2 ≥ ♦ Vậy giá trị m cần tìm ≤ m ≤ r Bài tập tương tự hoctoancapba.com Cho hàm số y = 2x − 3( 2m+ 1) x + 6m( m+ 1) x + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) Đáp số: m £ Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x2 − mx + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 0;+∞ ) Bài giải ♦ Tập xác định: D = ¡ ♦ Đạo hàm: y ' = 3x − x − m ♣ Hàm số đồng biến khoảng ( 0;+∞ ) ⇔ y ' ≥ , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) (có dấu bằng) ⇔ x − x − m ≥ , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ x − x ≥ m , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) (*) ♣ Xét hàm số f ( x ) = 3x - x , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) , ta có: f '( x ) = x - ; f '( x ) = Û x = Bảng biến thiên: x f '( x ) f ( x) - +¥ + +¥ - ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) Û m £ - ♦ Vậy giá trị m cần tìm m £ - r Bài tập tương tự Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + 3mx − Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Đáp số: m £ - Ví dụ Cho hàm số y = mx + 7m− Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x− m Bài giải ♦ Tập xác định: D = ¡ \ { m} ♦ Đạo hàm: y ' = −m2 − 7m + ( x − m) Dấu y ' dấu biểu thức − m2 − m + 10 ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định Û y ' > , ∀x ∈ D (khơng có dấu bằng) Û −m2 − m + > Û - < m với x Ỵ ( x ; b) hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x ) > với x Ỵ ( a; x0 ) f '( x ) < với x Ỵ ( x ; b) hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng ( a; b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác khơng điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) < hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) > hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai điểm cực trị ⇔ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có ba điểm cực trị ⇔ f ' ( x ) = 4ax + 2bx = có ba nghiệm phân biệt B Phương pháp giải tốn Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D = ? B2 Tính y ' = ? B3 Lập luận: 12 Lưu ý: a) Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai điểm cực trị ⇔ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có ba điểm cực trị ⇔ f ' ( x ) = 4ax + 2bx = có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m+ 1)x2 + 3x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D = ¡ ♦ Đạo hàm: y ' = (m − 1) x + 2(m + 1) x + y ' = Û (m − 1) x + 2(m + 1) x + = ♣ Hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = có hai nghiệm phân biệt ìï m - ¹ Û ïí ïï D ' = (m +1) - 3(m - 1) > ỵ ïì m ¹ ±1 Û ïí ïïỵ - 2m + 2m + > ïì m ¹ ±1 Û ïí Û ïỵï - < m < ïìï m ¹ í ïỵï - < m < ìï m ¹ ♦ Vậy giá trị m cần tìm ïí r ïïỵ - < m < Bài tập tương tự Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m− Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Đáp số: m < Ví dụ Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị Bài giải hoctoancapba.com ♦ Tập xác định: D = ¡ ♦ Đạo hàm: y ' = 4mx + 2(m − 9) x = x.(2mx + m − 9) éx = y'=0 Û ê ê2mx + m - = ë (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = có ba nghiệm phân biệt 13 Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác ïìï m ¹ ï Û ïí D ' =- 2m(m - 9) > ïï ïïỵ m - ¹ ïìï m ¹ ïï ém ïï 2- m Û ïí P = >0 ïï ïï ïï S = 2(2m - 1) > ïïỵ ìï ïï m ìï 4m - m - > ïï ïï Û ïí - m > Û ïí m < Û ỵ ♦ Vậy giá trị m cần tìm Ví dụ Cho hàm số y = < m < r x − mx2 − 2(3m2 − 1)x + 3 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = Bài giải ♦ Tập xác định: D = ¡ ♦ Đạo hàm: y ' = x − 2mx − 2(3m − 1) y'=0 Û x − 2mx − 2(3m − 1) = ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 (1) Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û D ' = m + 4(3m - 1) > Û 13m - > Û m 13 13 13 (*) ìï x1 + x2 = m Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có: ïí ïï x1 x2 = 1- 3m ỵ ém = ê Do đó: x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = Û 1- 3m + 2m = Û - 3m + 2m Û ê êm = ê ë 2 (**) ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m = r 1 Ví dụ Cho hàm số y = mx3 − (m− 1)x2 + 3(m− 2)x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 3 cho x1 + x2 = Bài giải ♦ Tập xác định: D = ¡ 16 ♦ Đạo hàm: y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) y'=0 Û mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) = (1) Û y ' = có hai nghiệm phân biệt ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 ìï m ¹ Û ïí ïïỵ D ' = 2m + 4m +1 > ìï m ¹ ï Û ïí - 2+ ïï