Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
341,89 KB
Nội dung
Bài 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàmsố y =
2x
x −2
biết tiếp tuyến cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B mà
tam giác OAB thỏa mãn AB = OA
√
2
Giải
Cách 1 Gọi M(x
o
; y
o
),(x
o
= 2) thuộc đồ thị hàm số. Pt tiếp tuyến d tại M có dạng:
y −
2x
o
x
o
−2
=
−4
(x
o
−2)
2
(x −x
o
)
Do tiếp tuyến cắt các trục Ox,Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có AB = OA
√
2 nên tam giác OAB
vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x
+TH1: d vuông góc với đường phân giác y = x
Có:
−4
(x
o
−2)
2
= −1 ⇔(x
o
−2)
2
= 4 ⇔
x
o
= 0 ⇒ pt d : y = −x (loại)
x
o
= 4 ⇒ pt d : y = −x + 8
+TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x
Có
−4
(x
o
−2)
2
.(−1) = −1 pt vô nghiệm.
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán d : y = −x + 8
Cách 2 nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có : sin(ABO) =
OA
AB
=
1
√
2
= sin
π
4
nên tam giác AOB vuông cân tại O. phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M = (x
o
; y
o
) có dạng :
y =
−4
(x
o
−2)
2
(x −x
o
) +
2x
o
x
o
−2
dễ dàng tính được A =
x
2
o
2
; 0
và B =
0;
2x
2
o
(x
o
−2)
2
yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm x
o
là nghiệm của phương trình
x
2
o
2
=
2x
2
o
(x
o
−2)
2
⇔ x
3
o
(x
o
−4) = 0
+) với x
o
= 0 ta có phương trình tiếp tuyến là : y = −x (loại)
+) với x
o
= 4 thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x +8
Bài 2.
Tìm các giá trị của m để hàmsố y =
1
3
x
3
−
1
2
m.x
2
+
m
2
−3
x có cực đại x
1
, cực tiểu x
2
đồng thời x
1
; x
2
là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5
2
Giải
Cách 1 Mxđ: D = R Có y
= x
2
−mx + m
2
−3 y
= 0 ⇔ x
2
−mx + m
2
−3 = 0
Hàm số có cực đại x
1
,cực tiểu x
2
thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y
= 0 có 2 nghiệm phân biệt dương,
triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó
⇔
∆ > 0
S > 0
P > 0
⇔
4 −m
2
> 0
m > 0
m
2
−3 > 0
⇔
−2 < m < 2
m > 0
m < −
√
3 ∨m >
√
3
⇔
√
3 < m < 2 (∗)
Theo vi-et có:
x
1
+ x
2
= m
x
1
x
2
= m
2
−3
Mà x
2
1
+ x
2
2
=
5
2
⇔ 2(x
1
+ x
2
)
2
−4x
1
x
2
= 5 ⇔2m
2
−4(m
2
−3) = 5 ⇔m = ±
√
14
2
1
www
.
l
a
i
s
ac
.
pa
g
e.
tl
T
T
T
U
U
U
Y
Y
Y
Ể
Ể
Ể
N
N
N
C
C
C
H
H
H
Ọ
Ọ
Ọ
N
N
N
C
C
C
Â
Â
Â
U
U
U
1
1
1
.
.
.
2
2
2
L
L
L
I
I
I
Ê
Ê
Ê
N
N
N
Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N
K
K
K
H
H
H
Ả
Ả
Ả
O
O
O
S
S
S
Á
Á
Á
T
T
T
H
H
H
À
À
À
M
M
M
S
S
S
Ố
Ố
Ố
(
TR
ON
G
C
Á
C
Đ
Ề
THI
THỬ
Đ
Ạ
I
HỌC
TO
À
N
QUỐ
C
,
N
Ă
M
2011)
Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m =
√
14
2
thỏa yêu cầu bài toán
Bài 3.
Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (C
m
) : y =
1
3
mx
3
+ (m −1)x
2
+ (4 −3m)x + 1 tồn tại đúng 2
điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L) : x +2y −3 = 0.
Giải
Cách 1: Có y
= mx
2
+ 2(m −1)x + 4 −3m
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y
·
−
1
2
= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
⇔ mx
2
+ 2(m −1)x + 2 −3m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
⇔
m = 0
∆
> 0
S > 0
P > 0
⇔
m = 0
4m
2
−4m + 1 > 0
m −1
m
< 0
2 −3m
m
> 0
⇔
m = 0
m =
1
2
0 < m < 1
0 < m <
2
3
⇔
0 < m <
1
2
1
2
< m <
2
3
Vậy m ∈
0;
1
2
∪
1
2
;
2
3
là các giá trị cần tìm của m
Cách 2: Có y
= mx
2
+ 2(m −1)x + 4 −3m
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y
·
−
1
2
= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx
2
+ 2(m −1)x +
2 −3m = 0 (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
Th1: m = 0 từ (1) ta có x = −1 (loại)
Th2: m =
1
2
từ (1) ta có x = ±1 (loại)
Th3: m = 0;m =
1
2
từ pt (1) có 2 nghiệm x = 1 ∨x =
2 −3m
m
Điều kiện bài toán dẫn đến: :
2 −3m
m
> 0 ⇔ 0 < m <
2
3
Kết hợp với cả 3 trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm:m ∈
0;
1
2
∪
1
2
;
2
3
Bài 4.
Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) :y = x
3
−3x + 2 tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho
x
A
= 2 và BC = 2
√
2
Giải
Với x
A
= 2 ⇒ y
A
= 4 VậyA(2; 4)
Xem d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k. Có pt d : y −y
A
= k(x −x
A
) ⇔y = kx −2k +4
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : x
3
−3x + 2 = kx −2k + 4
⇔ (x −2)(x
2
+ 2x + 1 −k) = 0 ⇔x = 2 hay g(x) = x
2
+ 2x + 1 −k = 0 (∗)
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C thì pt(∗) phải có 2 nghiệm phân biệt x
B
; x
C
phân biệt và khác 2:
Lúc đó :⇔
∆
= k > 0
g(2) = 9 −k = 0
⇔ 0 < k = 9 (∗
)
Theo vi-et ta có :
x
B
+ x
C
= −2
x
B
.x
C
= 1 −k
. Mà B,C thuộc d nên y
B
= kx
B
−2k + 4; y
C
= kx
C
−2k + 4
Có BC = 2
√
2 ⇔BC
2
= 8 ⇔ (x
B
−x
C
)
2
+ k
2
(x
B
−x
C
)
2
= 8
⇔
(x
B
+ x
C
)
2
−4x
B
x
C
(1 + k
2
) = 8 ⇔k
3
+ k −2 = 0 ⇔k = 1 (thỏa đk (∗
)) ⇒ pt d : y = x + 2
Vậy đường thẳng d cần tìm có pt: y = x + 2
2
Bài 5.
Cho hàmsố y = 4x
3
−6mx
2
+ 1, m là tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số
tại 3 điểm A(0; 1),B,C và B,C đối xứng qua đường phân giác thứ nhất.
Giải
Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:
4x
3
−6mx
2
+ 1 = −x + 1 ⇔ x(4x
2
−6mx + 1) = 0
Để pt có 3 n0 phân biệt thì 4x
2
−6mx + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇒ ∆
= 9m
2
−4 > 0 ⇔m >
2
3
,m <
−2
3
Gọi B(x
1
; −x
1
+ 1),C(x
2
; −x
2
+ 1) Để B và C đối xứng qua đường phân giác thứ 1 thì:
x
1
= y
2
y
1
= x
2
⇔
x
1
= −x
2
+ 1
x
2
= −x
1
+ 1
⇔ x
1
+ x
2
= 1 ⇔
3
2
m = 1 ⇔m =
2
3
So sánh với đk, thấy không tìm được m thỏa mãn
Bài 6. đề thi thử lần 2 LQĐ Bình Định
Cho hàmsố y = x
4
−2mx
2
+ 2m
2
−4,m là tham số thực.Xác định m để hàmsố đã cho có 3 cực trị tạo
thành một tam giác có diện tích bằng 1
Giải
Mxđ: D = R. Có y
= 4x
3
−4mx.
y
= 0 ⇔ 4x
3
−4mx = 0 ⇔x = 0 ∨x
2
= m. Hàmsố có 3 cực trị ⇔ m > 0 (∗)
Gọi A(0; 2m
2
−4); B(
√
m; m
2
−4);C(−
√
m; m
2
−4) là 3 điểm cực trị.
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên ∆ABC cân tại A.
Kẻ AH⊥BC có S
∆ABC
=
1
2
AH.BC ⇔ 2 =
|
y
B
−y
A
||
2x
B
|
⇔ 2 = 2m
2
.
√
m ⇔m = 1 Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 7.
Cho hàmsố y =
x −2
x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox,Oy tại A,B sao
cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất
Giải
Đồ thị hàmsố đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1;1). Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ
x
0
, phương trình tiếp tuyến có dạng: y =
3
(x
0
+ 1)
2
(x −x
0
) +
x
0
−2
x
0
+ 1
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 tại điểm A
−1;
x
0
−5
x
0
+ 1
, và cắt tiệm cận đứng tại điểm B(2x
0
+ 1; 1).
Ta có:IA =
x
0
−5
x
0
+ 1
−1
=
6
|
x
0
+ 1
|
; IB =
|
2x
0
+ 1 −(−1)|= 2|x
0
+ 1
|
Nên: IA.IB =
6
|
x
0
+ 1
|
.2
|
x
0
+ 1
|
= 12. Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S =
1
2
IA.IB = 6.
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r =
S
p
=
6
p
.
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất. Mặt khác, tam giác IAB vuông tại I nên:
2p = IA + IB +AB = IA + IB+
√
IA
2
+ IB
2
≥ 2
√
IA.IB+
√
2IA.IB = = 4
√
3 + 2
√
6
Dấu ’=’ xảy ra khi IA = IB ⇔ (x
0
+ 1)
2
= 3 ⇔ x = −1 ±
√
3
- Với x = −1 −
√
3 ta có tiếp tuyến: d
1
: y = x +2
1 +
√
3
- Với x = −1 +
√
3 ta có tiếp tuyến: d
1
: y = x +2
1 −
√
3
Bài 8.
3
Cho hàmsố y =
2mx + 3
x −m
. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàmsố cắt hai
tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64
Giải
Dễ thấy đồ thị hàmsố đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m và đường tiệm cận ngang là
y = 2m. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I (m; 2m).
Gọi M
x
0
;
2mx
0
+ 3
x
0
−m
(với x
0
= m) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàmsố đã cho.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàmsố tại điểm này là: y = −
2m
2
+ 3
(x
0
−m)
2
(x −x
0
) +
2mx
0
+ 3
x
0
−m
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại A
m;
2mx
0
+ 2m
2
+ 6
x
0
−m
và cắt tiệm cận ngang tại B(2x
0
−m; 2m).
Ta có: IA =
2mx
0
+ 2m
2
+ 6
x
0
−m
−2m
=
4m
2
+ 6
x
0
−m
; IB =
|
2x
0
−m −m
|
= 2
|
x
0
−m
|
Nên diện tích tam giác IAB là: S =
1
2
IA.IB = 4m
2
+ 6
Bởi vậy, yêu cầu bài toán tương đương với: 4m
2
+ 6 = 64 ⇔m = ±
√
58
2
Bài 9.
Tìm m sao cho đồ thị hàmsố y = x
4
−4x
2
+ m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và Ox:x
4
−4x
2
+ m = 0 (1)
Đặt t = x
2
≥ 0. Lúc đó có pt: t
2
−4t + m = 0 (2)
Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiêm phân biệt t > 0
⇔
∆
= 4 −m > 0
S = 4 > 0
P = m > 0
⇒ 0 < m < 4 (i)
Gọi t
1
;t
2
(0 < t
1
< t
2
) là 2 nghiệm của pt (2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là:
x
1
= −
√
t
2
; x
2
= −
√
t
1
; x
3
=
√
t
1
; x
4
=
√
t
2
Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:
x
3
0
(x
4
−4x
2
+ m) dx =
x
4
x
3
(−x
4
+ 4x
2
−m) dx ⇒
x
5
4
5
−
4x
3
4
3
+ mx
4
= 0 ⇒ 3x
4
4
−20x
2
4
+ 15m = 0
Từ đó có x
4
là nghiệm của hpt:
x
4
4
−4x
2
4
+ m = 0 (3)
3x
4
4
−20x
2
4
+ 15m = 0 (4)
Lấy 3.(3) −(4) ⇒ x
2
4
=
3m
2
Thay x
2
4
=
3m
2
vào (3) có:
9m
2
4
−5m = 0 ⇒m = 0 ∨m =
20
9
Đối chiếu điều kiện (i) có m =
20
9
là giá trị cần tìm.
Bài 10.
Cho hàmsố y = x
4
−2(1 −m
2
)x
2
+ m + 1. Tìm m để hàmsố đã cho có ba điểm cực trị và ba điểm cực
trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải
y
= 4x
3
−4x(1 −m
2
) = 0 ⇔x = 0,x
2
= 1 −m
2
Hàm số có 3 cực trị ⇔ −1 < m < 1
Khi đó, tọa độ điểm cực đại là A(0; 1 +m),
tọa độ 2 điểm cực tiểu là B(−
√
1 −m
2
;
√
1 −m
2
);C(
√
1 −m
2
;
√
1 −m
2
)
4
Diện tích tam giác ABC là: S
ABC
=
1
2
d(A; BC ).BC = (1 −m
2
)
5
2
≤ 1. Dấu = xảy ra khi m = 0.
Đáp số: m = 0
Bài 11.
Cho hàmsố y =
−x + 1
x −3
có đồ thị là (H). Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn
hơn 1 tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y −1 = 0 một góc có giá trị bằng
2
√
5
25
Giải
Vì chỉ biết công thức tính cos của góc từ 2 vecto cho trước, với lại bài này cho kết quả cos khá đẹp
cos(
2
√
5
25
) ≈0,9999 ≈ 1 nên em nghĩ là sẽ áp dụng công thức tính cos của góc giữa 2 vecto luôn.
Gọi vecto chỉ phương của pt tiếp tuyến tại M là:
−→
u
1
(
2
(x −3)
2
; −1) Vecto chỉ phương của dt ∆ : 3x+4y−1 = 0
là:
−→
u
2
(4; −3) Có: cos (
−→
u
1
;
−→
u
2
) =
|
8
(x −3)
2
+ 3|
5
4
(x −3)
4
+ 1
= 1 ⇔|8+3(x−3)
2
|= 5
4 + (x −3)
4
⇔(x−3)
2
=
3
2
⇔
x =? => M =?
Bài 12.
Cho hàmsố y =
x + 3
x −2
có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + 1 tại hai điểm phân biệt
A,B sao cho
AOB nhọn.
Giải
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của pt:
x + 3
x −2
= −x + m + 1 ⇔ x
2
−(m + 2)x + 2m +5 = 0
Để pt trên có 2 nghiệm pb thì ∆ > 0,x = 2 ⇔
m
2
−4m + 16 > 0
2
2
−2(m + 2) +2m +5 = 0
⇒ m =?
Gọi A(x
1
; −x
1
+ m + 1),B(x
2
; −x
2
+ m + 1) là 2 giao điểm của (H) và d
Để
AOB nhọn thì : AB
2
< OA
2
+ AB
2
⇔2(x
2
−x
1
)
2
< (−x
1
+ m +1)
2
+ (−x
2
+ m +1)
2
⇔ −2x
1
x
2
+ (m +
1)(x
1
+ x
2
) −(m + 1)
2
< 0 ⇔ m > −3
Kết hợp với đk ban đầu để suy ra giá trị của m.
Bài 13.
Cho hàmsố y =
x
x −1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) của hàmsố đã cho biết tiếp tuyến
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2(2 +
√
2)
Giải
Cách 1. 2 đường tiệm cận của đồ thị là x = 1,y = 1 Gọi pttt của (H) tại M (x
o
; y
o
) là: y =
−1(x −x
o
)
(x
o
−1)
2
+
x
o
x
o
−1
Khi x = 1 ⇒y =
x
o
+ 1
x
o
−1
⇒ A(1;
x
o
+ 1
x
o
−1
). Khi y = 1 ⇒x = 2x
o
−1 ⇒B(2x
o
−1; 1),I(1;1)
⇒ P
(ABC)
= IA + IB + AB =
x
o
+ 1
x
o
−1
−1 + 2x
o
−2 +
(2x
o
−2)
2
+ (1 −
x
o
+ 1
x
o
−1
)
2
= 2(2 +
√
2)
⇔ 2 +2(xo −1)
2
+
(x
o
−1)
4
+ 4 = 2(2 +
√
2)(x
o
−1)
⇔
x
o
−1 = 0 (loại)
−2(1 +
√
2)(x
o
−1)
2
+ (2 +
√
2)
2
(x
o
−1) −2(2 +
√
2) = 0
Cách 2. - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = 1
- Gọi M(a;
a
a −1
), phương trình tiếp tuyến tại M: y =
−1
(a −1)
2
(x −a) +
a
a −1
5
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là: A(1;
a + 1
a −1
)
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là: B(2a −1;1)
- Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB +AB =
2
|a −1|
+ 2|a −1|+ 2
(a −1)
2
+
1
(a −1)
2
≥ 4 +2
√
2, dấu
= xảy ra khi |a −1| = 1 tức a = 0; a = 2
- Với a = 0 ⇒y = −x
- Với a = 2 ⇒y = −x + 4
Kết luận: y = −x,y = −x + 4 là 2 tiếp tuyến cần tìm.
Bài 14.
Cho hàm số: y =
2x −m
mx + 1
(1). Chứng minh với mọi m = 0 đồ thị hàmsố (1) cắt (d) : y = 2x −2m tại
2 điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định. Đường thẳng (d) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm M, N. Tìm m để S
OAB
= 3S
OMN
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàmsố (1) và đường thẳng d:
2x −m
mx + 1
= 2x −2m ⇔2mx
2
−2m
2
x −m = 0
x = −
1
m
(2)
Do m = 0 nên (2) ⇔ f (x) = 2x
2
−2mx −1 = 0
x = −
1
m
(∗)
Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt x
A
; x
B
khác −
1
m
⇔
∆
= m
2
+ 2 > 0
f (−
1
m
) =
2
m
2
+ 1 = 0
⇔ ∀m = 0
Mặt khác có x
A
.x
B
=
1
2
nên A,B luôn thuộc một đường (H) cố định.
Kẻ OH⊥AB ⇒OH = d
(O,d)
=
|
−2m
|
√
5
. Lại có A,B ∈ d ⇒ y
A
= 2x
A
−2m; y
B
= 2x
B
−2m
Theo viet có:
x
A
+ x
B
= m
x
A
.x
B
=
1
2
.
Có: AB =
(x
A
−x
B
)
2
+ (y
A
−y
B
)
2
=
5(x
A
−x
B
)
2
=
5(x
A
+ x
B
)
2
−20x
A
x
B
⇔ AB =
√
5m
2
+ 10
Vì M, N là giao điểm của d với Ox,Oy nên M(m; 0);N(0; 2m)
Theo giả thiết :S
OAB
= 3S
OMN
⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔
|
−2m
|
√
5
.
√
5m
2
+ 10 = 3
|
x
M
||
y
N
|
⇔
|
−2m
|
√
5
.
√
5m
2
+ 10 = 3
|
m
||
2m
|
⇔
√
m
2
+ 2 = 3
|
m
|
⇔ m
2
+ 2 = 9m
2
⇔ m = ±
1
2
Vậy với m = ±
1
2
là các giá trị cần tìm .
Bài 15.
Tìm trên (H) : y =
−x + 1
x −2
các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB
vuông góc với đường thẳng y = x
Giải
Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x +m Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:
−x + 1
x −2
= −x + m ⇔g(x) = x
2
−(m + 3)x + 2m +1 = 0 (x = 2) (1)
Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt x
A
; x
B
và khác 2
⇔
∆
g(x)
> 0
g(2) = 0
⇔
(m + 3)
2
−4(2m + 1) > 0
4 −(m + 3)2 +2m + 1 = 0
⇔ (m −1)
2
+ 4 > 0; ∀m
6
Theo viet có
x
A
+ x
B
= m+3
x
A
.x
B
= 2m + 1
Lại có: y
A
= −x
A
+ m; y
B
= −x
B
+ m
Mà AB = 4 ⇔AB
2
= 16 ⇔ (x
B
−x
A
)
2
+ (y
A
−y
B
)
2
= 16 ⇔ (x
B
−x
A
)
2
= 8 ⇔(x
B
+ x
A
)
2
−4x
A
.x
B
= 8
⇔ (m + 3)
2
−4(2m + 1) = 0 ⇔ m
2
−2m −3 = 0 ⇔ m = −1 ∨m = 3
+Với m = 3 thay vào pt (1) có:x
2
−6x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ±
√
2 ⇒y = ±
√
2. Lúc này tọa độ 2 điểm A,B là
A(3 +
√
2; −
√
2); B(3 −
√
2;
√
2) hoặc B(3 +
√
2; −
√
2); A(3 −
√
2;
√
2)
+Với m = −1 thay vào pt (1) có: x
2
−2x −1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2 ⇒ y = −2 ±
√
2. Lúc này tọa độ 2 điểm
A,B là A(1 +
√
2; −2 −
√
2); B(1 −
√
2; −2 +
√
2) hoặc B(1 +
√
2; −2 −
√
2); A(1 −
√
2; −2 +
√
2)
Vậy A,B là các điểm như trên thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 16.
Tìm m để đồ thị hàmsố y = x
4
−mx
2
+ m −1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −2.
Giải
Xét:x
4
−mx
2
+ m + 1 = 0. ∆ = (m −2)
2
=>
√
∆ = |m −2| ⇒x
2
= m−1(m > 1),x
2
= 1
Vậy 4 giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là: A(−1; 0),B(−
√
m −1; 0),C(1;0), D(
√
m −1; 0)
Để 4 điểm đó có hoành độ >-2 thì:
TH1:−
√
m −1 > −1 ⇔ m < 2, kết hợp với đk ⇒1 < m < 2
TH2:−2 < −
√
m −1 < −1|⇔ 2 < m < 5
Vậy :m ∈ (1;2) ∪(2; 5) là giá trị cần tìm.
Bài 17.
Cho hàmsố y =
x + 3
x + 2
có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm
phân biệt sao cho
−→
OA.
−→
OB = −4 với O là gốc tọa độ.
Giải
- Xét phương trình:
x + 3
x + 2
= 2x + 3m ⇒2x
2
+ 3(1 + m)x + 6m −3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -2
khi ∆ = 9m
2
−30m + 33 > 0 điều này xảy ra với mọi m.
- Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x
1
,x
2
thì A(x
1
,2x
1
+ 3m),B(x
2
,2x
2
+ 3m)
- Có:
−→
OA.
−→
OB = −4 ⇒x
1
.x
2
+ (2x
1
+ 3m)(2x
2
+ 3m) = −4 ⇒
12m −15
2
= −4 ⇒m =
7
12
Bài 18.
Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y =
3x −1
x −1
sao cho tam giác ABC vuông
cân tại A(2; 1).
Giải
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY bằng phép tịnh tiến
−→
OI với I(1; 3)
Công thức đổi trục:
x = X +1
y = Y + 3
Trong hệ tọa độ mới pt hàmsố được viết lại là :Y =
2
X
(1) và điểm A trở thành A(1; −2)
Xét 2 điểm B
a;
2
a
;C
b;
2
b
(a < 0 < b) thuộc đồ thị hàmsố (1).
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B,C lên đường thẳng y = −2 ⇒H(a;−2); K(b; −2)
Có
BAH +
CAK = 90
0
=
CAK +
ACK ⇒
BAH =
ACK
Vậy ∆AHB = ∆CKA (cạnh huyền_góc nhọn)⇒
AH = CK
BH = AK
(∗)
7
Lúc đó từ (∗) có hpt:
(1 −a)
2
=
2 +
2
b
2
(2)
2 +
2
a
=
|
b −1
|
(3)
Từ (2) có
3 −a +
2
b
−a −1 −
2
b
= 0 ⇔ a =
3b + 2
b
∨a =
−b −2
b
Với a =
3b + 2
b
từ (3) có
8b + 4
3b + 2
=
|
b −1
|
⇒
3b
2
+ 9b + 6 = 0(4)
3b
2
+ 7b + 2 = 0(5)
+ Với (4) pt có 2 nghiệm b = −1 ∨b = −2 không thỏa do b > 0
+ Với (5) pt có 2 nghiệm b = −
1
3
∨b = −2 không thỏa do b > 0
Với a =
−b −2
b
từ (3) có
4
b + 2
=
|
b −1
|
⇒
b
2
+ b −6 = 0(6)
b
2
+ b + 2 = 0(7)
+Với (7) pt vô nghiệm
+Với (6) pt có 2 nghiệm b = 2 ∨b = −3 (loại)
Khi b = 2 ⇒B(−2; −1);C(2; 1) hoặc ngược lại. Lúc đó 2 điểm B,C của bài toán cần tìm là: B(−1; 2);C(3; 4)
hoặc ngược lại.
Bài 19.
Cho hàmsố y = x
3
+ 3x
2
+ m (1) . Tìm m để hàmsố (1) có 2 điểm cực trị A,B sao cho
AOB = 120
o
Giải
- Phương trình y
= 0 ⇔ x = 0,x = −2
- Tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị a(0; m),B(−2; m +4)
- Yêu cầu của bài toán dẫn đến giải phương trình:
−→
OA.
−→
OB
OA.OB
= −
1
2
⇔ −2m(m + 4) = |m|
√
m
2
+ 8m + 20 ⇔m = 0, m =
−12 +
√
132
3
Đáp số: m = 0,m =
−12 +
√
132
3
Bài 20. đề thi thử đại học THPT Thanh Thủy lần 2 tỉnh Phú Thọ
Cho hàmsố y =
2x −1
x + 1
có đồ thị (C).
Tìm m để đường thẳng d : y = x +m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho AB = 2
√
2
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
2x −1
x + 1
= x +m ⇔ f (x) = x
2
+ (m −1)x + m +1 = 0 (1) (x = −1)
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x
A
,x
B
khác −1
⇔
∆ = (m −1)
2
−4(m + 1) > 0
f (−1) = 1 −m + 1 +m +1 = 0
(∗). Theo vi-et có :
x
A
+ x
B
= 1 −m
x
A
.x
B
= m+1
Lại có A,B ∈ d ⇒ y
A
= x
A
+ m; y
B
= x
B
+ m Do AB = 2
√
2 ⇔AB
2
= 8 ⇔ (x
A
−x
B
)
2
+ (y
A
−y
B
)
2
= 8
⇔ (x
A
+ x
B
)
2
−4x
A
.x
B
= 4 ⇔ (1 −m)
2
−4(m + 1) = 4 ⇔ m
2
−6m −7 = 0 ⇔ m = −1 ∨m = 7
Đối chiếu điều kiện (∗) ta có m = −1;m = 7 là giá trị cần tìm.
Bài 21.
Cho hàmsố y =
3x −2
x + 1
(C). Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị.
Viết phương tr ình tiếp tuyến d của đồ thị hàmsố biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại
A và B thỏa mãn cos
BAI =
5
√
26
Giải
8
Xét điểm M(x
o
; y
o
),(x
o
= −1) ∈(C) là tiếp điểm của tiếp tuyến d.
Phương trình tiếp tuyến tại d có dạng : y −
3x
o
−2
x
o
+ 1
=
5
(x
o
+ 1)
2
(x −x
o
)
Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt tại A,B và ∆IAB có cos
BAI =
5
√
26
nên tan
2
BAI =
1
cos
2
BAI
−1 =
1
25
⇒ tan
BAI =
1
|
5
|
⇒ tan
ABI =
|
5
|
Lại có tan
ABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà y
(x
o
) =
5
(x
o
+ 1)
2
> 0
nên
5
(x
o
+ 1)
2
= 5 ⇔ (x
o
+ 1)
2
= 1 ⇒ x
o
= 0 ∨x
o
= −2
Với x
o
= 0 có pt tiếp tuyến d : y = 5x −2
Với x
o
= −2 có pt tiếp tuyến d : y = 5x +2
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có pt như trên.
Bài 22.
Cho hàmsố y = x
4
−2mx
2
+ 2 có đồ thị (C
m
).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C
m
) có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D
3
5
;
9
5
.
Giải
y
= 4x
3
−4mx = 0 ⇔ x = 0,x = ±
√
m (m > 0) Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm
cực trị là: A(0; 2),B(−
√
m; −m
2
+ 2),C(
√
m; −m
2
+ 2),D
3
5
;
9
5
. Gọi I(x; y) là tâm đường tròn(P)
⇒
IA
2
= ID
2
IB
2
= IC
2
IB
2
= IA
2
⇔
3x −y + 1 = 0
2x
√
m = −2x
√
m
(x +
√
m)
2
+ (y + m
2
−2)
2
= x
2
+ (y −2)
2
⇔ x = 0,y = 1,m = 0(loại), m = 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 23.
Cho hàmsố y =
x
4
2
−3x
2
+
5
2
có đồ thị (C) và điểm A ∈(C) với x
A
= a.
Tìm các giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt B,C khác A
sao cho AC = 3AB (B nằm giữa A và C).
Giải
Cách 1 Xét A
a;
a
4
2
−3a
2
+
5
2
thuộc đồ thị (C).
Phương trình tiếp tuyến tại A : y −
a
4
2
−3a
2
+
5
2
= (2a
3
−6a)(x−a) ⇔y = 2a(a
2
−3)x−
3a
4
2
+3a
2
+
5
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A.
x
4
2
−3x
2
+
5
2
= 2a(a
2
−3)x −
3a
4
2
+ 3a
2
+
5
2
⇔ (x −a)
2
(x
2
+ 2ax + 3a
2
−6) = 0 ⇔
x = a
f (x) = x
2
+ 2ax + 3a
2
−6 = 0 (1)
Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại 2 điểm B,C khác A thì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt x
B
; x
C
khác a
⇔
∆
= a
2
−(3a
2
−6) > 0
f (a) = 6a
2
−6 = 0
⇔
−
√
3 < a <
√
3
a = ±1
(∗)
Do AB = 3AC ⇒
−→
AC = 3
−→
AB ⇒x
C
−3x
B
= −2a (2)
Lại theo vi et có:
x
B
+ x
C
= −2a (3)
x
B
.x
C
= 3a
2
−6 (4)
.
Từ (2) và (3) ⇒x
B
= 0và x
C
= −2a. Thế vào (4) có: 3a
2
−6 = 0 ⇔a = ±
√
2 ( thỏa (∗))
9
Kiểm tra:
+Với a =
√
2 có A
√
2; −
3
2
; B
0;
5
2
;C
−2
√
2;
21
2
⇒ AC = 3AB
+Với a = −
√
2 có A
−
√
2; −
3
2
; B
0;
5
2
;C
2
√
2;
21
2
⇒ AC = 3AB
Vậy a = ±
√
2 là các giá trị cần tìm của a.
Cách 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàmsố đã cho tại điểm A với x
A
= a là:
y =
2a
3
−6a
(x −a) +
a
4
2
−3a
2
+
5
2
PT hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C):
x
4
2
−3x
2
+
5
2
=
2a
3
−6a
(x −a) +
a
4
2
−3a
2
+
5
2
⇔ (x −a)
2
x
2
+ 2ax + 3a
2
−6
= 0
Để có 3 giao điểm A,B,C thì phương trình:
x
2
+ 2ax + 3a
2
−6 = 0 (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a ⇔
−
√
3 < a <
√
3
a = ±1
.
Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của phương trình (∗) nên: ⇔
x
B
+ x
C
= −2a
x
B
.x
C
= 3a
2
−6
Mặt khác: AC = 3AB (B nằm giữa A và C) ⇔
−→
AC = 3
−→
AB ⇔x
C
−3x
B
= −2a
Ta có hệ:
x
C
−3x
B
= −2a
x
B
+ x
C
= −2a
x
B
.x
C
= 3a
2
−6
⇔
x
B
= 0
x
C
= −2a
3a
2
−6 = 0
⇔ a = ±
√
2 thỏa mãn điều kiện.
Vậy giá trị cần tìm của m là: a = ±
√
2
Bài 24. Câu I ý 2 đề thi thử đại học Vinh lần 3
Cho hàmsố y =
1
4
x
4
−(3m + 1)x
2
+ 2(m + 1) (m là tham số). Tìm m để hàmsố có 3 điểm cực trị tạo
thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O.
Giải
y
= x
3
−2(3m + 1)x = 0 ⇔ x = 0,x
2
= 2(3m + 1)
Hàm số có 3 cực trị khi m > −
1
3
, khi đó tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị là
A(0; 2m + 2),B(−
√
6m + 2; −9m
2
−4m + 1),C(
√
6m + 2; −9m
2
−4m + 1)
Tam giác ABC có trọng tâm O khi: −18m
2
−6m + 4 = 0 ⇔ m = −
2
3
,m =
1
3
Đáp số: m =
1
3
Bài 25. Câu I ý 2 đề thi thử đại học lần 3 THPT Trung Giả
Cho hàmsố y =
1
3
mx
3
+ (m −1)x
2
+ (3m −4)x + 1 có đồ thị là (C
m
).Tìm tất cả các giá trị của m sao
cho trên (C
m
) có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d) : y = x + 2011
Giải
y
= mx
2
+ (m +1)x +3m −4 Để tiếp tuyến vuông góc với (d) thì y
.1 = −1 ⇔mx
2
+ (m +1)x +3m −3 =
0(1) có nghiệm với mọi x thuộc R
TH1: m = 0 ⇒ pt trở thành: −2x −3 = 0 ⇔x =
−3
2
Vậy m = 0 thỏa mãn
TH2: m = 0 ⇒ (1) là phương trình bậc 2, vậy để phương trình có nghiệm thì:
∆ = −2m
2
+ m + 1 ≥ 0 ⇔ −
1
2
≤ m ≤ 1,m = 0 Vậy −
1
2
≤ m ≤ 1 là giá trị cần tìm
Bài 26.
10
[...]...Cho hàmsố y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) (1) Tìm m để đồ thị hàmsố (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Giải Đặt f (x) = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) Có y = 3x2 − 6mx + 3(m2 − 1) x1 = m − 1 y =0⇔ x2 = m + 1 Do hệ số của x2 của pt y = 0 là 3 và m − 1 < m + 1 nên hàmsố đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 Đồ thị hàmsố (1) trục hoành tại 3 điểm... phía dưới trục hoành Giải Bài 28 −x − 1 Tìm trên đồ thị hàmsố y = các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàmsố tại điểm A song x+2 √ song với tiếp tuyến tại điểm B và AB = 8 Giải −a − 1 −b − 1 Xét 2 điểm A a; ; B b; (a = b = −2) thuộc đồ thị hàmsố đã cho a+2 b+2 −1 Tiếp tuyến tại A có hệ số góc: f (a) = (a + 2)2 −1 Tiếp tuyến tại B có hệ số góc : f (b) = (b + 2)2 f (a) = f (b) Theo bài ta... ta có A(2; 4)., B(−2; 0) Bài 36 Trích đề chọn đội tuyển quốc gia của Hà Tĩnh năm 2008 - 2009 3 − 6x2 + 9x + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x < x < x Giả sử đồ thị hàmsố y = x 1 2 3 Chứng minh rằng: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 Giải PT hoành độ giao điểm của đồ thị hàmsố đã cho với trục Ox là x3 − 6x2 + 9x + d = 0 ⇔ d = −x3 + 6x2 − 9x (∗) Đồ thị hàmsố y = x3 − 6x2 + 9x + d cắt trục hoành tại... = ± √ 2 Đến đây là suy ra được PTtt (d) Bài 41 Cho hàmsố y = x3 − 2(m + 2)x2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàmsố 2 2 2 (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa x1 + x2 + x3 + 3x1 x2 x3 > 53 Giải ⇔ Bài 42 Trích đề học sinh giỏi Đà Nẵng 2010 Với mỗi tham số m ∈ R, gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số: y = x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 (1) CMR:... tuyến là: y = −x + 2 5 Với x = −2 ta có tiếp tuyến là: y = −x − 2 Bài 32 1 1 Cho hàmsố y = x3 − (m + 1)x2 + mx (m là tham số) 3 2 Tìm m để hàmsố có cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : 72x − 12y − 35 = 0 Giải 12 Ta có: y = x2 − (m + 1)x + m y = 0 ⇔ x2 − (m + 1)x + m = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = m Vì thế, để đồ thị hàmsố có cực đại và cực tiểu, điều kiện là: y = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m = 1... 7 1 xét hàm f (m) trên (0; + ∝) ta được MIN f (m) = = f ( 2 4 Bài 47 x2 + x + 1 Cho hàm: y = Tìm trên trục tung các điểm mà qua nó chỉ có 1 đường tiếp tuyến đến đồ thị x−1 hàmsố trên Giải x2 + x + 1 3 Mxđ: D = R \ {1} Có y = = x+2+ x−1 x−1 Xét điếm A(0; a) ∈ Oy Phương trình đường thẳng d đi qua A có hệ số góc k: y = kx + a x + 2 + 3 = kx + a (1) x−1 Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàmsố đã cho... tham số) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 55 của đồ thị hàmsố đã cho đi qua điểm A 1; − 27 Giải ta có : tiếp tuyếnhàm bậc 3 có hệ số góc nhỏ nhất chính là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C) chú ý là cái này chỉ là nhận xét với các bạn đã học chương trình cũ ) còn với chương trình mới thì ta sẽ phải thêm 1 tí như sau : y = 3x2 − 4x + m − 2 tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất tương đương với... = x3 − 3x + 2 sao cho các tiếp tuyến tại A, B có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua A, B vuông góc với đường thẳng x + y + 2011 = 0 Giải Cách 1 Xét A(a; a3 − 3a + 2); B(b; b3 − 3b + 2)(a = b) thuộc đồ thị hàmsố đã cho Tiếp tuyến tại A có hệ số góc kA = 3a2 − 3 Tiếp tuyến tại B có hệ số góc kB = 3b2 − 3 Do tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số góc nên kA = kB ⇔ 3a2 − 3 = 3b2 − 3 ⇔ (a − b)(a + b) =... 6m2 − 3 √ √ 2 2 ∪ ;1 giải bpt ta được m ∈ −∞; − 2 2 Bài 50 Cho hàmsố y = −x4 + 2x2 − 1 (1) Tìm tất cả các điểm M thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàmsố (1) Giải Gọi M(0; a), suy ra phương trình tiếp tuyến tại M : y = kx + a −x4 + 2x2 − 1 = kx + a (1) Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàmsố thì có 3 nghiệm phân biệt −4x3 + 4x = k (2) Thế (2) vào (1),... tại B có hệ số góc kB = 3xB − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) 2 Tiếp tuyến tại C có hệ số góc kC = 3xC − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) Vì tiếp tuyến tại B,C song song nên kB = kC 2 2 ⇔ 3xB − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) = 3xC − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) 2 ⇔ 3(xB + xC ) = 2(3m + 1) vì xB = xC ⇔ 3m = 2 ⇔ m = thỏa đk (i) 3 2 Vậy m = là giá trị cần tìm 3 Bài 43 Cho hàmsố y = x3 − 2x2 + (m − 2)x + 3m (m là tham số) Tìm m để . 1
x
o
1
)
2
= 2( 2 +
√
2)
⇔ 2 +2( xo 1)
2
+
(x
o
1)
4
+ 4 = 2( 2 +
√
2) (x
o
1)
⇔
x
o
1 = 0 (loại)
2 (1 +
√
2) (x
o
1)
2
+ (2 +
√
2)
2
(x
o
1) . ⇔2x
x +
1
2
2
=
1
4m
⇒ x
1
=
√
m
2m
−
1
2
và x
2
= −
√
m
2m
−
1
2
17
ta có : A =
√
m
2m
−
1
2
;
1
2
+
m
√
m
; B =
−
√
m
2m
−
1
2
;
1
2
−
m
√
m
dễ