luyện bài tập câu liên quan khảo sát hàm số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...
Trang 1Bài 1. Cho hàm số y =
2
5
3
2
2
4
+
- x
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị
nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Giải.
ø
ö
ç
è
æ
+
-
Þ
Î
2
5
3
2
; )
4
a
a
a
M
C
Ta có: y’ = 2x 3 – 6x Þ y ' ( a ) = 2 a 3 - 6 a
Vậy tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :
2
5
3
2 ) )(
6
3
4
3 - - + - +
= a a x a a a
2
5
3
2 ) )(
6
3 (
2
5
3
2
2
2
2
2
4
3
2
4
=
- + +
-
Û +
- +
-
-
= +
x
ê
ë
é
=
- + +
=
=
Û
0
6
3
2 )
( x x 2 ax a 2
g
a
x
YCBT khi pt g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a
î
í
ì
±
¹
>
Û
ï
ï
í
ì
¹
>
-
Û
î
í
ì
¹
>
D
Û
1
3
|
|
1
0
3
0 ) (
0 '
2
2
a
a
a
a
a
g
Bài 2. Cho hàm số
1
-
=
x
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải.
1
; (
0
0
x
x
x
- mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất.
0
2
1
x
2
0
1
0
x
x y
Ta có d(I ;tt) =
4
0
0
)
1 (
1
1
1
2
- +
-x
x
.Đặt t =
1
1
0 -
x > 0
Xét hàm số f(t)
4
2 ( 0)
1
t
t
t
>
+
www.laisac.page.tl
L
L U U Y Y Ệ Ệ N B B À À I T T Ậ Ậ P C C Â Â U L L I I Ê Ê N Q Q U U A A N
K
K H H Ả Ả O S S Á Á T H H À À M S S Ố Ố
Trang 2ta cú f’(t) =
(1 )(1 )(1 )
(1 ) 1
t 0 1 + Ơ
Bảng biến thiờn
d(I ;tt) lớn nhất khi và
chỉ khi t = 1 hay
0
0
0
2
1 1
0
x
x
x
=
ộ
- = Û ờ =
ở
+ Với x0 = 0 ta cú tiếp tuyến là y = ưx
+ Với x0 = 2 ta cú tiếp tuyến là y = ưx+4
Bài 3. Cho hàm số 2 4
1
x
y
x
-
= +
.
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tỡm trờn đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(ư3; 0) và N(ư1; ư1).
Giải.
2. Gọi 2 điểm cần tỡm là A, B cú ; 2 6 ; ; 2 6 ; , 1
Trung điểm I của AB: I ; 2 2
+
Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0
Cú : AB MN . 0
ù
ớ
ẻ
ù
uuur uuuur
=> 0 (0; 4)
=>
=
Bài 4. Cho hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 3 .
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( C của hàm số đó cho. )
2. Biện luận theo tham số k số nghiệm của phương trỡnh x 4 - 4 x 2 + 3 = 3 k .
Giải.
2. Đồ thị hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 3 gồm phần nằm phớa trờn Ox và đối xứng của phần nằm phớa dưới Ox qua Ox của đồ thị (C); y 3 = k là đường thẳng song song với Ox. Từ đú ta cú kết quả:
* 3 k < 1 Û k < 0 : phương trỡnh cú 8 nghiệm,
* 3 k = 1 Û k = 0 : phương trỡnh cú 6 nghiệm,
* 1 < 3 k < 3 Û 0 < k < 1 : phương trỡnh cú 4 nghiệm,
* 3 k = 3 Û k = 1 : phương trỡnh cú 3 nghiệm,
* 3 k > 3 Û k > 1 : phương trỡnh cú 2 nghiệm.
Bài 5 Cho hàm số
1
1
2 +
-
=
x
x
y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I (- 1 ; 2 ) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất
Giải
1
3
2
;
0
x
x
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
)
1 (
3
1
3
0
0
x
x
x
x
+
= + +
0 )
1 (
3 )
2 ( )
1 (
)
(
3 x - x 0 - x 0 + 2 y - - x 0 + =
x
y
O
1
-
3
1
1
-
1
Trang 33
Khoảng cách từ I (- 1 ; 2 ) tới tiếp tuyến là
0
2
0
4
0
0
4
0
0
0
)
1 ( )
1 (
9
6 )
1 (
9
1
6
1
9
)
1 (
3 )
1
(
3
+ + +
= + +
+
= +
+
+
-
-
-
=
x
x
x
x
x
x
x
6
9
2 )
1 (
)
1
(
0
2
0
=
³ + +
( 1 ) 3 1 3 )
1 (
)
1
(
9
0
2
0
2
0
2
0
±
-
=
Û
= +
Û +
=
Vậy có hai điểm M : M ( - 1 + 3 ; 2 - 3 ) hoặc M ( - 1 - 3 ; 2 + 3 )
Bài 6 Cho hàm số
1
x
2
x
y
-
+
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
Giải.
2 Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:
ù
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=
-
-
-
=
- +
)
3 (
k )
1
x (
3
)
2 (
a
kx
1
x
2
x
2
có nghiệm x ạ 1
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: ( a - 1 ) x 2 - 2 ( a + 2 ) x + a + 2 = 0 ( 4 )
Để (4) có 2 nghiệm x ạ 1 là:
ợ
ớ
ỡ
-
>
ạ
Û
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
>
+
=
D
ạ
-
=
ạ
2
a
1
a
0
6
a
3 '
0
3 )
1 (
1
a
Hoành độ tiếp điểm x 1 ; x 2 là nghiệm của (4)
Tung độ tiếp điểm là
1
x
2
x
y
1
1
1
-
+
1
x
2
x
y
2
2
2
-
+
=
)
2
x )(
1
x (
)
2
x )(
2
x (
0
y
y
2
1
2
1
2
1 <
-
-
+ +
Û
<
3
2
a
0
3
6
a
9
0
1 )
x
x
(
x
x
4 )
x
x
(
2
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1 < Û > -
-
+
Û
<
+ +
-
+ +
+
3
2
ạ
<
- thoả mãn đkiện bài toán.
Bài 7. Cho hàm số 1 .
1
x
y
x
+
=
- 1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2.Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh 1
1
x
m
x
+
=
- Giải.
2. Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị 1 ( ) '
1
x
x
+
=
- .Học sinh tự vẽ hỡnh Suy ra đỏp số
1; 1:
m< - m > phương trỡnh cú 2 nghiệm
1:
m = - phương trỡnh cú 1 nghiệm
Trang 41 m 1:
- < £ phương trình vô nghiệm
Bài 8. Cho hàm số y 2x 3
x 2
-
=
- có đồ thị (C).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2.Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất .
Giải.
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2)
Bài 9. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 +2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Giải.
2. Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;2)
Xét biểu thức P=3xy2
Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=4<0, thay tọa độ điểm B(2;2)=>P=6>0
Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB: y= 2x+2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4
5
x
y
ì
=
ï
= -
Û
= - +
ï
=> 4 2;
5 5
M æç ö ÷
Bài 10. Cho hàm số
2 +
-
=
x
x
m
y có đồ thị là ( H m ) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1
2. Tìm m để đường thẳng d : 2 x + y 2 - 1 = 0 cắt ( H m ) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là
8
3
=
S
Giải.
2. Hoành độ giao điểm A, B của d và ( H m ) là các nghiệm của phương trình
2
1
2 = - + +
+
-
x
x
m
x
2 ,
0 )
1 (
2
2 2 + + - = ¹ -
Pt (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt khác 2 -
ï
ï
í
ì
-
¹
<
Û
î
í
ì
¹
- +
-
-
>
-
=
D
Û
2
16
17
0 )
1 (
2
2 )
2 (
2
0
16
17
2
m
m
m
m
.
Ta có
2. Lấy điểm M m; 2 1
m 2
+
-
è ø Î ( ) C Ta có : ( )
( ) 2
1
y ' m
m 2
= -
- . Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình :
( ) 2 ( )
m 2
m 2
-
-
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : A 2; 2 2
m 2
+
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
( )
2
2
2
1
m 2
-
. Dấu “=” xảy ra khi m = 2
Trang 5.
16
17
2
2
4 ) (
2 ) (
2 ) (
) ( x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 x 2 m
Khoảng cỏch từ gốc tọa độ O đến d là
2
2
1
=
h
2
1
8
3
16
17
2
2
2
2
1
2
1
2
1
=
Û
=
-
=
=
Bài 11. Cho hàm số
3
5 )
2
3 ( )
1 (
3
-
- +
- +
-
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi m = 2
2. Tỡm m để trờn ( C m ) cú hai điểm phõn biệt M 1 ( x 1 ; y 1 ), M 2 ( x 2 ; y 2 ) thỏa món x 1 . x 2 > 0 và tiếp tuyến của ( C m ) tại mỗi điểm đú vuụng gúc với đường thẳng d : x - y 3 + 1 = 0 .
Giải.
2. Ta cú hệ số gúc của d : x - y 3 + 1 = 0 là
3
1
=
d
k Do đú x 1 , x 2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh y ' - = 3 , hay
3
2
3 )
1 (
2
2 2 + - + - = -
0
1
3 )
1 (
2
Yờu cầu bài toỏn Û phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa món x 1 . x 2 > 0
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
-
<
<
-
-
<
Û
ù
ù
ớ
ỡ
>
-
-
>
+ +
-
=
D
Û
.
3
1
1
3
0
2
1
3
0 )
1
3 (
2 )
1 (
m
m
m
m
m
Vậy kết quả của bài toỏn là m < - 3 và
3
1
1 < < -
- m
2
3
4
2 4 - 2 +
= x x
y
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho.
2. Tỡm m để phương trỡnh sau cú đỳng 8 nghiệm thực phõn biệt
.
2
1
|
2
3
4
2
| x 4 - x 2 + = m 2 - m +
Giải.
2. Phương trỡnh
2
1
|
2
3
4
2
| x 4 - x 2 + = m 2 - m + cú 8 nghiệm phõn biệt Û Đường thẳng
2
1
2 +
-
= m m
y
2
3
4
2
| 4 - 2 +
= x x
2
3
4
2
| 4 - 2 +
= x x
y gồm phần (C) ở phớa trờn trục Ox và đối xứng phần (C) ở phớa dưới trục Ox qua Ox.
Từ đồ thị suy ra yờu cầu bài toỏn
2
1
2
1
0 < 2 - + <
Û m m Û m 2 - m < 0 Û 0 < m < 1 .
Bài 13. Cho hàm số y = x 3 - 3 ( m + 1 ) x 2 + 9 x - m , với m là tham số thực.
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với m = 1
2. Xỏc định m để hàm số đó cho đạt cực trị tại x 1 , x 2 sao cho x 1 - x 2 Ê 2 .
Giải.
2 Ta có y ' = 3 x 2 - 6 ( m + 1 ) x + 9 .
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2
Û phương trình y ' = 0 có hai nghiệm pb là x 1 , x 2
Û Pt x 2 - 2 ( m + 1 ) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 , x 2 .
O
1
y
2
1
-
2
3
2
1
x
Trang 66
ờ
ờ
ở
ộ
-
-
<
+
-
>
Û
>
- +
=
D
Û
3
1
3
1
0
3 )
1 (
m
m
+) Theo định lý Viet ta có x 1 + x 2 = 2 ( m + 1 ); x 1 x 2 = 3 . Khi đó
( ) 4 4 4 ( 1 ) 12 4
2
x
)
2 (
1
3
4 )
1 ( + 2 Ê Û - Ê Ê
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là - 3 Ê m < - 1 - 3 và - 1 + 3 < m Ê 1 .
Bài 14. Cho hàm số y = x 3 + ( 1 - 2 m ) x 2 + ( 2 - m ) x + m + 2 (1) m là tham số.
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2. Tỡm tham số m để đồ thị của hàm số (1) cú tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 gúc
a , biết
26
1 cos =a
Giải.
2. Gọi k là hệ số gúc của tiếp tuyến ị tiếp tuyến cú vộctơ phỏp n 1 = k ( ; - 1 )
d: cú vộctơ phỏp n 2 = ( 1 ; 1 )
Ta cú
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
=
=
Û
= +
-
Û +
-
=
Û
=
3
2
2
3
0
12
26
12
1
2
1
26
1
cos
2
1
2
2
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
n
n
n n
a
Yờu cầu của bài toỏn thỏa món Û ớt nhất một trong hai phương trỡnh: y = / k 1 (1) và y = / k 2 (2) cú nghiệm x
Û
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
=
- +
-
+
=
- +
-
+
3
2
2 )
2
1
(
2
3
2
3
2 )
2
1
(
2
3
2
2
m
x
m
x
m
x
m
x
Û
ờ
ờ
ở
ộ
³
D
³
D
0
0
2 /
1 /
Û
ờ
ờ
ở
ộ
³
-
-
³
-
-
0
3
4
0
1
2
8
2
2
m
m
m
m
Û
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
³
-
Ê
³
-
Ê
1
;
4
3
2
1
;
4
1
m
m
m
m
Û
4
1
-
Ê
2
1
³
m
Bài 15. Cho hàm số y = 2
2
x
x - (C)
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Tỡm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phõn biệt thuộc 2 nhỏnh khỏc nhau của đồ thị sao cho khoảng cỏch giữa 2 điểm đú là nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
Giải.
2. Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phõn biệt thỡ pt 2
2
x
x m
x - = + hay x
2
+ (m ư 4)x ư2x = 0 (1) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 2 Phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 2 khi và chỉ khi
2 16
4 0
m
m
ỡD = +
"
ớ
- ạ
ợ
(2).
Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) là 2 giao điểm khi đú x1, x2 là 2 nghiệm phương trỡnh (1) Theo định lớ viet ta
cú 1 2
1 2
4
(3)
2
ỡ
ớ
= -
ợ
, y1=x1+m, y2=x2+m
Để A, B thuộc 2 nhỏnh khỏc nhau của đồ thị thỡ A, B nằm khỏc phớa đối với đt x – 2 = 0. A, B nằm khỏc phớa đối với đt x – 2 = 0 khi và chỉ khi (x1ư 2)(x2 ư 2) < 0 hay
x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < 0 (4) thay (3) vào 4 ta được – 4 < 0 luụn đỳng (5)
(x -x ) +(y -y ) = 2(x +x ) - 8 x x (6)
cú nghiệm
cú nghiệm
Trang 7thay (3) vào (6) ta được AB = 2m +32³ 32 vậy AB = 32 nhỏ nhất khi m = 0 (7). Từ (1), (5), (7)
ta có m = 0 thoả mãn
Bài 16.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1
1
x
y
x
-
=
-
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2
Giải.
2. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( 0; ( 0 ))Î ( ) C có phương trình
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2
0
4
0
2 2
2
x
x
-
giải được nghiệm x = 0 0 và x = 0 2
*Các tiếp tuyến cần tìm : x y + - = 1 0 và x y + - = 5 0
Bài 17. Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 3m – 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
Giải.
2. Ta có y’ = 3x 2 + 6mx ; y’ = 0 Û x = 0 v x = 2m.
Hàm số có cực đại , cực tiểu Û phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û m ¹ 0.
Hai điểm cực trị là A(0; 3m 1) ; B(2m; 4m 3 – 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m 3 – 3m – 1)
Vectơ uuur AB= (2 ; 4m m 3 )
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u =r (8; 1) -
.
Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d Û I d
Î
ì
í
^
î
Û
3
0
AB u
ï
í
=
ï
Bài 18. Cho hàm số y = x 3 - 3 x + 1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Định m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
m
m
x
x 3 - 3 = 3 - 3
Giải.
2. Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị
(C’) của hàm số: y = x 3 - 3 x + 1 và đường thẳng (d): y = m 3 - 3 m + 1
((d) cùng phương với trục hoành)
Xét hàm số: y = x 3 - 3 x + 1 , ta có:
+ Hàm số là một hàm chẵn nên (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng,
đồng thời " > x 0 thì y= x3 -3 x + =1 x3 -3x + 1
+ Dựa vào đồ thị (C’) ta suy ra điều kiện của m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:
3
3
3
1
m
m
é- < < -
ï
- < - + < Ûí Û ì ê ï < <
í
ï - + > ê
ë
x
y
0
1 -2
-1
2
1
·
·
·
·
-1
3
·
(d)
Trang 8Bài 19.Cho hàm số 3
1
x
y
x
-
= + có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Giải
2 OA =4OB nên D OAB có tan 1
4
OB
A
OA
= = ị Tiếp tuyến AB có hệ số góc k = 1
4
±
Phương trình y’ = k 4 2 1 3
5
x
x
x
=
ộ
ở +) x = 3 ị y=0, tiếp tuyến có phương trình 1 ( 3)
4
y= x -
+) x= -5 ị y= 2, tiếp tuyến có phương trình 1( 5) 2 1 13
y= x+ + Û y= x +
Bài 20. Cho haứm soỏ 1
1
x
y
x
-
= + 1) Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ
2) Tỡm a vaứ b ủeồ ủửụứng thaỳng (d): y=ax b + caột (C) taùi hai ủieồm phaõn bieọt ủoỏi xửựng nhau qua ủửụứng thaỳng ( D ): x-2y +3 0 =
Giải.
2. Phửụng trỡnh cuỷa ( ) D ủửụùc vieỏt laùi: 1 3
ẹeồ thoaỷ ủeà baứi, trửụực heỏt (d) vuoõng goực vụựi ( ) D hay a = - 2
Khi ủoự phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm giửừa (d) vaứ (C):
1
2
1
x
x
-
2
2x -(b-3)x-(b +1)= 0 (1) ẹeồ (d) caột (C) taùi hai ủieồm phaõn bieọt A, B Û (1) coự hai nghieọm phaõn bieọt Û D > 0 Û
2
b + b + > Û b tuyứ yự
Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa AB, ta coự
3
3
2
2
A B
I
x
b
ù
ớ
+
ù
Vaọy ủeồ thoaỷ yeõu caàu baứi toaựn Û
ton tai , ( )
( )
AB
I
ỡ
ù
^ D
ớ
ù ẻ D
ợ
I I
b
a
ỡ"
ù
= -
ớ
ợ
Û
2
3
4
a
b
b
ỡ = -
ù
ớ -
ù
1
a
b
ỡ = -
ớ
= -
ợ
.
Bài 21.Cho hàm số 1
1
x
y
x
+
=
- ( 1 ) có đồ thị ( ) C
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1)
2 Chứng minh rằng đường thẳng ( ) :d y=2 x+ m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.
Giải.
2 Chứng minh rằng đường thẳng ( ) :d y=2 x+ m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai
nhánh khác nhau Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Trang 99
Để đường thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình. 1 2
1
x
x m
x
+
phân biệt với mọi m và x1< < 1 x 2
1
x
ỡ
Û ớ
ạ
ợ
có hai nghiệm phân biệt x1< < 1 x 2
2
1
x
Û ớ
ạ
ợ
có hai nghiệm phân biệt x1< < 1 x 2
(1) 0
f
D >
ỡ
ớ
<
ợ
2
ỡD = + + > "
Û ớ
= + - - - = - <
ợ Vậy với mọi giá trị của m thìđường thẳng ( ) :d y=2 x+ m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau
Gọi A x( ; 21 x1+m B x), ( ; 22 x2 + m ) là hai điểm giao giữa (d) và (C).( x x là hai nghiệm của phương 1; 2
trình (*))
uuur
Theo Vi ét ta có 1 5 ( 1)2 16 2 5
2
AB = ộở m+ + ự ỷ ³ " m . AB =2 5Ûm = - 1
Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm (R)
Bài 22. Cho hàm số
2
2
3 +
+
=
x
x
y cú đồ thị (C)
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là điểm bất kỳ trờn (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt cỏc đường tiệm cận của (C) tại A và
B. Gọi I là giao điểm của cỏc đường tiệm cận. Tỡm tọa độ M sao cho đường trũn ngoại tiếp tam giỏc IAB cú diện tớch nhỏ nhất.
Giải.
2
2 3
;
+
+
a
C
a
a
a
M Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M là:
2
2
3 ) ( )
2 (
4
+ +
- +
=
a
a
a
x
a
Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:yư3=0 là hai tiệm cận của đồ thị
Dầd1=A(ư2; )
2
2
3 +
-
a
a
, Dầd2=B(2a+2;3) Tam giỏc IAB vuụng tại I ịAB là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc IAB ịdiện tớch hỡnh
)
2 (
64 )
2 (
4
4
2
2
³
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+ + +
=
a
a
AB
ở
ộ
-
=
=
Û +
= +
4
0 )
2 (
16 )
2
a
a
a
a
Vậy cú hai điểm M thỏa món bài toỏn M(0;1) và M(ư4;5)
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) hóy biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh
8 osc x-9 osc x+m = với 0 xẻ [0; ] p
Giải
Trang 102. Xét phương trình 8 osc x-9 osc x+m = với 0 xÎ [0; ] p (1)
Đặt t= c osx , phương trình (1) trở thành: 8t4-9t2 +m = 0 (2)
Vì xÎ [0; ] p nên t Î - [ 1;1] , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có: (2)Û8t4-9t2 + = - 1 1 m (3)
Gọi (C1): y=8t4-9t 2 + với 1 t Î - [ 1;1] và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền 1- £ £ t 1
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
32
m > : Phương trình đã cho vô nghiệm
32
m = : Phương trình đã cho có 2 nghiệm
32
m
£ < : Phương trình đã cho có 4 nghiệm
· 0<m < 1 : Phương trình đã cho có 2 nghiệm
· m = 0 : Phương trình đã cho có 1 nghiệm
· m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 24 Cho hàm số: 1
x
y
x
-
= +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác
có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Giải.
2. Gọi M( 0
0
0
1
;
2( 1)
x
x
x
- + ) ( ) Î C là điểm cần tìm. Gọi D tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình
0
1
2( 1)
x
x
-
0
0
2
0
0
1
1
2( 1)
1
x
x
x
-
+ +
Gọi A = D Ç ox Þ A(
2
0 2 0 1
2
x - x -
B = D Ç oy Þ B(0;
2
0 0
2
0
2( 1)
x
+ ). Khi đó D tạo với hai trục tọa độ D OAB có trọng tâm là:
G(
2
0
;
x
-
+
.
Do GÎ đường thẳng:4x + y = 0 Þ
2
0
x
+
Û
( ) 2
0
1
4
1
x
=
+
(vì A, B ¹ O nên 2
0 2 0 1 0
x - x - ¹ )
1
1
Với 0 1 ( 1; 3 )
x = - ÞM - - ; với 0 3 ( 3 5 ; )
