Phương pháp đặt ẩn số phụ: Hướng giải: Biến đổi bất phương trình sao cho trong bpt chỉ còn một hàm số lôgarit duy nhất nhưng không thể biến đổi đưa về các dạng cơ bản đã biết.. Ta giải b[r]
Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS @@@@@@@ VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f ( x) ( C ) Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có cách : Cách : dùng ý nghĩa hình học đạo hàm Định lý : Đạo hàm hàm số y = f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị điểm M ( xo ; yo = f ( xo )) : k Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu tốn) = f '( xo ) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) y = f '( xo ).( x − xo ) + yo k = f '( xo ) :hệ số góc Tiếp tuyến M ( xo ; yo ) ∈ (C ) _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _Giải pt : f '( xo ) _Áp Dụng (1) = k ⇒ xo ⇒ yo Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : y = kd x + b _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) trước : y = kd x + b _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) _Giải pt : f '( xo ) = _Áp Dụng (1) _Giải pt : f '( xo ) = − kd ⇒ xo ⇒ yo ⇒ xo ⇒ yo kd _Áp Dụng (1) _Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) ,tt M (∆) : (1) _ (∆) qua A: thay tọa độ A vào (1) ⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước y = f ( x) Cách : dùng đk tiếp xúc :hai đths tiếp xúc với y = g ( x) Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu toán) f ( x) = g ( x) ⇔ f '( x) = g '( x) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm ) y = f '( xo ).( x − xo ) + yo k = f '( xo ) :hệ số góc Tiếp tuyến M ( xo ; yo ) ∈ (C ) (1) _PTTT có dạng y = kx + C (*) f ( x) = kx + C _ĐKTX f '( x) = k _Giải hệ ⇒ C Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước http://www.xuctu.com (1) quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho_PTTT có dạng y = ax + C (*) trước : y = ax + b f ( x) = ax + C _ĐKTX f '( x) = a _Giải hệ ⇒ C Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) cho _PTTT có dạng y = − x + C (*) trước : y = ax + b a f ( x) = − a x + C _ĐKTX f '( x) = − a _Giải hệ ⇒ C _PTTT có dạng: y = k ( x − xA ) + y A Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước f ( x) = k ( x − x A ) + y A _ĐK TX f '( x) = k _Thế pt vào ⇒ x ⇒ k ứng với giá trị x có giá trị k y = k1 x + c1 Lưu ý : hai đt : vng góc với ⇔ k1.k2 = −1 ,song song ⇔ k1 = k2 y = k2 x + c2 Với k1 , k2 hệ số góc Bài tập có HD x − 3x + Bài toán 1: Cho hàm số (C) y = M điểm tuý ý (C) Tiếp 2x − tuyến (C) M cắt đường tiệm cận xiên đứng A B Chứng tỏ rằg M trung điểm AB, tam giác IAB (I giao điểm hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M x − 3x + x Giaûi: y = = −1 + (x ≠ 1) (C) 2x − 2 x −1 M (a; b ) ∈ (C ) ⇒ tiếp tuyến M (d) y = y(′a ) ( x − a ) + b a b = −1+ a −1 1 a ⇔ y= − −1+ ( x − a ) + a −1 (a − 1) + a −1 x 3 Tiệm cận xiên (C) (d2) : y = − ⇒ (d ) ∩ (d ) = B 2a − 1; a − 2 Tiệm cận đứng (C) (d1) : x = ⇒ (d ) ∩ (d1 ) = A1;− http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh Ta coù : ( x A + xB ) = (1 + 2a − 1) = a = xM 2 ( y A + yB ) = − + + a − = a − + = yM 2 a −1 2 a −1 Vaäy M trung điểm AB 1 2 Giao điểm tiệm cận I 1;− ⇒ S IAB = y A − y I xB − xI 2 = 2a − = 2 a −1 Vậy SIAB không phụ thuộc vào M Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + (C) Tìm tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ Giải : Gọi M(x0; y0) ∈ (C ) : hệ số góc tiếp tuyến M : k = f’(x0) = x0 + x0 − Ta coù k = 3( x0 + 1) − 12 ≥ −12 Dấu “=” xảy x0 = – Vaäy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16) Do tất tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + (Cm) Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến Cm) B C vuông góc Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) (Cm) x3 + mx2 + = – x + ⇔ x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x + mx + (d) cắt (Cm) điểm phân biệt ⇔ g(x) = có nghiệm phân biệt khác ∆g = m − > m > ⇔ ⇔ m < −2 g (0) = ≠ Vì xB , xC nghiệm g(x) = S = xB + xC = − m ⇒ P = xB xC = Tiếp tuyến B C vuông góc ⇔ f ′( xC ) f ′( x B ) = −1 ⇔ xB xC (3 xB + 2m )(3 xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC [9 xB xC + 6m( xB + xC ) + 4m ] = −1 ⇔ 1[9 + 6m(− m ) + 4m ] = −1 ⇔ 2m = 10 http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh ⇔m=± (nhận so với điều kiện) Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – (H) Xét điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1, C1 lần lït giao điểm (H) với tiếp tuyến (H) A, B, C Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H) Phương trình tiếp tuyến (H) M (d ) y = 3(x02 − 1)( x − x0 ) + x − 3x0 − = 3(x02 − 1)x − 2(x + 1) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (H) x − 3x − = 3(x02 − 1)x − 2(x + 1) ⇔ ( x − x0 ) ( x + x0 ) = x = x0 (nghiệm kép ) ⇔ x = −2x0 Goïi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC) ⇒ giao điểm A1, B1, C1 tiếp tuyến A, B, C với (H) A1 = (− 2a;−8a + 6a − 2) B1 = (− 2b;−8b + 6b − 2) C1 = (− 2c;−8c + 6c − 2) * A, B, C thẳng hàng : b − a b − a − 3(b − a ) ⇔ = c − a c − a − 3(c − a ) b + a + ab − ⇔1= c + a + ac − ⇔ c + ac = b + ab ⇔ (c − b )(a + b + c ) = ⇔ a+b+c = (c ≠ b) * A1, B1, C1 thẳng hàng : 2a − 2b 8(a − b ) − 6(a − b ) ⇔ = 2a − 2c 8(a − c ) − 6(a − c ) 4(a + ab + b ) − ⇔1= 4(a + ac + c ) − ⇔ c + ac = b + ab ⇔ (b − c )(a + b + c ) = ⇔ a+b+c = (c ≠ b) Vaäy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A1, B1, C1 thẳng haøng Bài Tập : Bài : Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C ) Tìm hệ số góc viết pttt với ( C ) điểm M o http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh x + 3x + với M o ∈ (C ) có hồnh độ xo = x −1 2) ( C ) : y = x3 + x + với M o (−2; −9) ∈ (C ) 1) ( C ) : y = 3) ( C ) : y = x − x + với M o ∈ (C ) có tung độ yo = x+2 4) ( C ) : y = , M o giao điểm ( C ) Oy − x −1 x − 3x + 5) ( C ) : y = , M o giao điểm ( C ) Ox x−3 6) ( C ) : y = x3 − x + 2, M o giao điểm ( C ) với đt y = 7) ( C ) : y = x − x, với M o giao điểm ( C ) Oy 8) ( C ) : y = x − x + với M o ∈ (C ) giao điểm ( C ) Ox x−3 Bài : Cho hàm số y = ( C ),viết pttt với đths : x+2 1) Tại giao điểm ( C ) với trục tọa độ 2) Biết tiếp tuyến song song với đt y = x + Bài : Cho hàm số y = x3 − x + ( C ),viết pttt với đths : 1) Tại M o ∈ (C ) có hồnh độ xo = −2 2) Biết tiếp tuyến ( C ) qua điểm A(2; 0) Bài : Viết pttt trường hợp sau : x + 3x + 1) y = , biết tiếp tuyến vng góc với đt y = x x +1 2) y = x + x, biết tiếp tuyến qua A(1; 4) 3) y = x − x , biết tiếp tuyến vng góc với đt y = x x − 2x + 4) y = , biết tiếp tuyến song song với đt y = x + 15 x −1 x 5) y = − x + 3x − , biết tiếp tuyến qua K (0; −1) x − 3x + 6) y = , biết tiếp tuyến song song với đt y = x + x−2 x2 − 4x Bài : cho ( C ) : y = , tìm pttt với ( C ) trường hợp sau : x −1 1) Tiếp xúc với ( C ) A(2; −4) 2) Song song với (d1 ) : y = 13 x + 1 3) Vng góc với (d ) : y = − x 4) Vẽ từ M (1;5) Bài : cho ( C ) : y = x3 − x + 1) Lập pttt với ( C ) điểm có hịanh độ xo = −3 2) Lập pttt ( C ) qua i A(2; −2) ii B(0;3) http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh 3) Lập pttt với ( C ) biết tt vng góc với đường thẳng y = − x + 19 4) Lập pttt điểm uốn ( C ) Hệ số góc lớn hay nhỏ 5) (khó) Tìm đt y = điểm mà từ vẽ tiếp tuyến vng góc x−2 Bài : cho ( C ) y = Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến : x +1 1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm A(2;1) Bài : cho ( C ) y = − x + 3x − x + Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến : 3) Vng góc với đt : x − 29 y + = 2) Song song với đt : x + y − = 2x2 Viết phương trình tiếp tuyến trường hợp sau : 2x −1 1) Tại điểm có hồnh độ xo = 2) Song song với đt x − y + = 3) Vng góc với đt 25 x + 24 y − = Bài 10 : cho ( C ) : y = x3 + x + x + điểm A ∈ (C ) với xA = −1 Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến qua A x3 Bài 11 : cho ( C ) : y = − x + x có đồ thị ( C ) Viết pttt với ( C ) điểm uốn Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ m Bài 12 : (Cm ) : y = x3 − x + Gọi M điểm thuộc (Cm ) có hồnh độ -1 Tìm m để 3 tiếp tuyến (Cm ) tai điểm M song song với đt x − y = Bài : y = x2 − x + ( C ) Viết pt đường thẳng qua M (1; 0) tiếp xúc với đths ( C ) x −1 Bài 14 : cho hàm số (Cm ) y = x3 + x + m(m + 1) x + Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với parabol (P) Bài 13 : y = : y = 3x + x + ( đs : m = ∨ m = −2 ) x2 − x + (P) y = x + a Định a để ( C ) tiếp xúc với (P) x −1 Bài 16 : Định tham số m để đồ thị 1) y = x + x + y = x + 2m − tiếp xúc 2) y = − x + x − x y = mx tiếp xúc 3) y = x3 − (2m + 3) x + (m + 2) x + m tiếp xúc với trục hoành ( Ox ) x+2 4) y = y = −3 x + a tiếp xúc x −1 x + (1 − m) x + m + *Bài 17 : (Cm ) : y = , CMR với m ≠ −1 đths ln tiếp xúc với x−m đường thẳng cố định điểm cố định *Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung hay đồ thị sau : 1) (C1 ) : y = x (C2 ) : y = x − x − Bài 15 : ( C ) : y = 2) (C1 ) : y = x − x + (C2 ) : y = − x + x − 11 Lưu ý : http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề Hàm Số • Hai đồ thị tiếp xúc phương trình hịanh độ giao điểm chúng có nghiệm kép • Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn nhỏ x −3 Bài 19 : ( C ) : y = Viết pttt với ( C ) biết : x +1 1) Tại M giao điểm ( C ) Oy 2) Tại K có hoành độ -2 3) Tiếp tuyến song song với đt y = x + 4) Vng góc với đt x + y − = *Bài 20 : Tìm đt y = mà qua có ba tiếp tuyến với ( C ) : y = − x + 3x − Bài 21 : Tìm Ox điểm mà qua có tiếp tuyến với ( C ) trường hợp sau : x2 − x + x2 + x − 1) (C ) : y = 2) (C ) : y = x −1 x+2 VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ Lý Thuyết : cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) y = g ( x) có đồ thị (C’) Muốn xét tương giao đồ thị ta xét phương trình hồnh độ giao điểm : f ( x ) = g ( x ) (*) số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị C) (C’), hình bên cho ta thấy giao điểm Nhận xét : đồ thị (C) (C’) tiếp xúc M điểm xM nghiệm kép pt (*) , điểm M đồ thị có chung tiếp tuyến Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm soá y = f(x) = x3 – 3x + (D) đường thẳng qua A(2; 4) có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm (C) (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + (C) : y = x3 – 3x + * Phương trình hoành độ giao điểm (C) vaø (D) x3 – 3x + = m(x – 2) + ó (x – 2)( x2 + 2x + – m) = (1) * Soá giao điểm (C) (d) số nghiệm phương trình (1) - Phương trình (1) luôn có nghiệm x = - Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + – m = (2) Nếu g(x) = có nghiệm x = – m = ⇔ m = Do : m = (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – Nếu m ≠ g(x) = có nghiệm x ≠ http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh - Ta coù ∆′ = m ⇔ ∆′ < : (2) vô nghiệm m ⇔ 3( − m) > m ≠ ⇔ m > ( ) m ≠ Kết luận : ⇔ (D) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc m > nhánh (C) x2 Bài toán 3:Cho hàm số y = Tìm điểm A , B nằm đồ thị (C) đối x −1 xứng qua đường thẳng (d) y = x – Giải: Vì A , B đối xứng qua đường thẳng (d) y = x – Suy A, B thuộc đường thẳng (d’) y = –x + m Phương trình hoành độ giao điểm (d’) (C) x2 = (x – 1)( – x + m) (ñk : x ≠ 1) ⇔ 2x2 – (m + 1)x + m = (*) http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh Ta coù ∆ = (m + 1)2 – 8m > ⇔ m2 – 6m + > m < − ⇔ m > + Giả sử (d’) cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi I trung ñieåm A, B: x A + xB m + x = = I ⇒ y = − x + m = 3m − I I A B đối xứng qua (d) ⇒ I thuoäc (d): y = x – 3m − m + ⇒ = −1 4 ⇒ m=–1 Lúc (*) thành trở thành : 2x2 – = ⇔ x = ± Vaäy −1 2 A ;−1 + 2 2 B ;−1 − 2 Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – đường thẳng (d) phương đường y = 2x cho (d) cắt (P) điểm A, B a) Viết phương trình (d) tiếp tuyến (P) A B vuông góc b) Viết phương trình (d) AB = 10 Giải: Gọi (d): y = 2x + m đường thẳng phương với đường y = 2x Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) x2 – 2x – = 2x + m ⇔ x2 – 4x – – m = (d) caét (P) điểm phân biệt A B ∆′ = + m > ⇔ ⇔ m > –7 Lúc gọi xA , xB nghiệm (1) ta có S = xA + xB = P = xA xB = – – m a) Tiếp tuyến (P) A, B vuông góc ó f’(xA )f’(xB) = –1 ⇔ (2 xA –2)(2 xB –2) = – ⇔ 4P – 4S + = ⇔ 4(–3 –m) –16 + = ⇔ m =− 23 (nhận m > –7) b) A, B thuoäc (d) ⇒ yA = xA + m yB = xB + m http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh Ta coù AB2 = 100 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100 (xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100 (xA – xB)2 = 20 S2 – 4P = 20 16 + 4(3+m) = 20 m = – (nhaän m > –7) Bài toán : Cho hàm soá y = f ( x ) = x + − m + x+m (H ) Tìm a để đường thẳng (∆ ) : y = a(x+1) + cắt (H) điểm có hoành độ trái dấu Giải:Phương trình hoành độ giao điểm (C) (∆ ) : = a( x + 1) + (ñk : x ≠ −1) x +1 ⇔ x + x + = a (x + x + 1) + x + (*) ⇔ g ( x ) = (1 − x )x + 2(1 − a )x + − a = (∆ ) cắt (C) điểm có hoành độ trái dáu ⇔ (*) có nghiệm phân bieät x1 , x2 ≠ −1 Λ x1 < < x2 (1 − a )g (0) < (1 − a )(2 − a ) < ⇔ g (− 1) ≠ ⇔1< a < ⇔ ( ) ( ) a a a − − − + − = ≠ 1 − a ≠ x+2+ Bài : tìm tọa độ giao điểm ( có ) đồ thị hàm số sau a) (C) : y = x + x + (d) : y = x + b) (P1) : y = − x + (P2) : y = x + x x +1 c) (C) : y = (d) : y = x − x −3 d) (C) : y = x3 − x + x + (d) : y = x − Bài : định m để a) y = ( x − 2)( x + mx + m − 3) cắt trục hoành điểm phân biệt b) y = x3 − x + cắt (d) : y = mx + điểm phân biệt Bài : 1)cho hàm số y = x − 3x − có đồ thị (C), đt (d) : y = kx − Tìm k để (C) cắt (d) đểm phân biệt có điểm có hồnh độ dương 2)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k y=x2+(k+1)x+2 cắt điểm 3)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x điểm mà trong giao điểm tiếp tuyến (1) song song với Bài : a) cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C), đt (d) qua A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để (C) cắt (d) điểm phân biệt http://www.xuctu.com 10 quoctuansp@gmail.com ... quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh y x -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -1 0 -1 2 b) Đặt t = cos x ⇒ ≤ t ≤ Vaäy A = 2t + t + với D = [0;1] t +1 Nhìn vào đồ thị hàm số (1) xét t ∈ [0;1]... quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh y x -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 b) t + (1 − m )t − − 2m = ( ) (*) ⇔ t4 + t3 − = m t2 + t4 + t2 − ⇔ =m t +2 x2 + x − Xét hàm số y = với x = t ≥ x+2... −5 Bài tập có HD Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C) http://www.xuctu.com 11 quoctuansp@gmail.com Các chuyên đề Hàm Số Nguyễn Vũ Minh a) Khảo sát vẽ đồ thị b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số