Qua hai bài toán trên, vai trò trung gian của mặt phẳng “ nền” (ABCD) là rất quan trọng cho việc xác định và tính số đo các góc “ bù”hoặc “phụ” với góc cần xác định.. Do đó, với mỗi bài [r]
(1)MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG HÌNH HỘP.
Gv : VŨ HỮU VIÊN Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn
-1 Trước hết ta xét toán quen thuộc:
BT1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
a) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (A’BD) (C’BD) :
* Gọi O tâm hình vng ABCD, ta có AOA' &COC ' góc tạo (ABCD) với hai mặt phẳng (A’BD) (C’BD)
* Ta tính số đo hai góc AOA' &COC ':
tanAOA' tan COC' 1 AOA'COC' 45 , vậy
' ' 90
A OC A OC' '; suy
tantan(AOA'COC') 2
b) Hai điểm M, N thuộc cạnh AA’,CC’ Tính góc tạo hai mặt phẳng (MBD)
(NBD) theo a, AM x CN; y( 0x y a; ): * Ta có :
tanMOA x ; tanNOC y
a a
Nếu 2xy a 2: tanMOA tanNOC 1 90
Nếu 2xy a 2:
2
( )
tan
2
a x y
a xy
BT2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c Tính góc tạo hai mặt phẳng (A’BD) (C’BD) theo a, b, c
* Trong (ABCD) dựng AH, CK vng góc với BD ( H,K thuộc BD) ; ta có A HA C KC' , ' góc tạo mp(ABCD) hai mặt phẳng (A’BD) (C’BD)
*
2
1
tan 'A HA tan 'C KC c
a b
Nếu 2
1 1
a b c :
A'HAC KC' 45 (A'BD) (C'BD) & =90
Nếu 2
1 1
a b c :
2
2 2
2 1
tan
1 1
c a b
a b c
A
B C
D A'
B' C'
D'
O M
N
A
B
C
D A'
B' C'
D'
(2)2 Qua hai tốn trên, vai trị trung gian mặt phẳng “ nền” (ABCD) quan trọng cho việc xác định tính số đo góc “ bù”hoặc “phụ” với góc cần xác định Do đó, với tốn mà việc xác định tính trực tiếp số đo góc (được yêu cầu) gặp khó khăn, ta “ cầu cứu” đến mặt phẳng “nền”. Ta xét thêm vài tốn khác:
BT3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, tâm I Lấy hai điểm E, F đường thẳng BB’, CC’ cho EF qua I
Tính số đo góc của hai mặt phẳng (A’EF),(AEF) hai trường hợp: a) EF // BD b) EF vng góc BD’
2 Có hay khơng vị trí EF cho hai mặt phẳng (A’EF),(AEF) vng góc?
* Rõ ràng mặt phẳng “ nền” mặt phẳng (BDD’B’)
Trường hợp a) EF vị trí MN, thực tương tự BT1, ta có kết
tan 2 2.
Trường hợp b) dựng OH, O’K vng góc với EF ( H, K thuộc EF) Ta có
3 '
6
a
OH O K
,
2 tan
5
* Đặt x(EF OO , '), với 0 x90 Dựng OP , O’Q vng góc EF
( P,Q thuộc EF) Ta có
tan tan ' '
sin
APO A QO
x
Vậy (A'EF)(AEF) APO A'QO' 45 sinx 2: vô nghiệm Vậy khơng tồn vị trí E, F thoả u cầu tốn
BT4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ đáy hình bình hành tâm O, tam giác ABC cạnh a, AA’ = a vng góc (ABCD) M trung điểm AA’ I tâm mặt CDD’C’ Tính góc tạo hai mặt phẳng (MBC’) (IMO)
* Gọi N trung điểm A’D’, BC’ OI song song với AD’ nên sử dụng định lý phương giao tuyến hai mặt phẳng ta có
(MBC') ( IMO)MN .
* Chọn mặt phẳng “nền” (AA’D’D), ta có C’N vng góc với (AA’D’D) nên (MBC’) vng góc với (AA’D’D)
Gọi E trung điểm DN, suy IE // C’N nên IE vng góc với (AA’D’D) (AA’D’D) dựng EH vng góc MN H, (EH // A’D AA’D’D hình vng) Ta có góc (IMO) (AA’D’D) góc IHE nên
tan cotIHE EH EI
Ta tính
3 3
; '
4 8
a a
IE EH A D
Vậy
6 tan
2
a
3 Các toán áp dụng:
BT5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hai điểm M, N thuộc cạnh AA’,CC’ a) Chứng minh rằng: (MBD)(NBD) (BMN)(DMN)
A
B
C
D A'
B' C'
D' O'
O I
N M E
F
A'
A B
C D
C'
B'
D'
M N
O I
(3)b) Tính giá trị lớn nhỏ thể tích khối tứ diện MNBD M, N di động thoả mãn (BMN) vng góc (DMN)
* Áp dụng kết toán 1, ta có (MBD)(NBD) 2xy a (1) , x = AM, y = CN
0x y a; .
* Gọi P hình chiếu O MN, ta có (BDP) vng góc MN tam giác BDP cân P Vậy
(BMN)(DMN) BDP90 BPO45 OP OB (2)
Mà 2
2
a x y
OP
a x y
2
a
OB
nên (2) 2xy a (3) Từ (1) (3) suy ra:
(MBD)(NBD) (BMN)(DMN).
* Ta có MN 2a2(x y )2 a2x2y2 ( 2xy a 2)
Thể tích khối tứ diện MNBD V =
2
1 1
( )
3MN SBOD 6MN OP BD6a x y .
Điều kiện 2 2 ; a y
xy a x
x y a a
x a
Xét hàm số
2
( ) ; [ ; ]
2
a a
f x x x a
x
2
'( ) ; '( )
2
a a
f x f x x
x
; Lập bảng biến thiên hàm số, từ ta có:
3 ; ; ; ;
4 2
a a
MinV khi x y
a a a
MaxV khi x a y x y a
BT6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = c khơng đổi Đáy hình chữ nhật ABCD thay đổi thoả mãn hai mặt phẳng (A’BD) (C’BD) vuông góc Tính theo c giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện A’BC’D
* Áp dụng kết BT2, ta có 2
1 1
( 'A BD) ( 'C BD)
a b c
* Thể tích khối tứ diện A’BC’D V = ' ' ' '
1
3VABCD A B C D 3abc.
* Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si, ta có
2
2
1
2
ab c
ab
a b
* Vậy
3
;
3
MinV c a b c
(4)* Chú ý: Ta chứng minh dễ dàng tính chất ( 'A BD)( 'C BD) (DA C' ')(BA C' ')
BT7 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hai điểm M, N di động hai cạnh AB’,
CD’ cho ' ' ;(0 1)
AM CN
k k
AB CD Tìm giá trị k cho hai mặt phẳng (BMN) ( DMN)
vng góc
* Giả thiết ' '
AM CN
AB CD suy MN song song với hai đáy lập phương.
Dựng mặt phẳng chứa MN song song với (ABCD) cắt AA’, BB’, CC’, DD’ P, Q, R, S Ta có PQRS hình vng MN qua tâm hình vng Mặt phẳng “nền” (PQRS)
* Đặt x = AP, ta có ' '
x AP AM
k
a AA AB ( < x < a)
Dựng QH, SK vng góc MN H, K Ta có BHQ DKS ; góc (BMN), (DMN) mặt phẳng (PQRS); đồng thời BHQ DKS
2
2
2
( )
1 ( )
2 2 ( 2 )
MNRQ MNQ NRQ
MN a a x
a a a x
S S S MN QH ax QH
a a x
Suy
2
2 ( 2 )2 (1 ) 1 (1 )2
tan
( ) 1
x x
x a a x k k
BQ a a
BHQ
x
HQ a a x k
a
* Vậy (BMN)(DMN) BHQ45o k (1 ) k 1 k
Giải phương trình ta tìm giá trị
1
k
Khi M, N trung điểm AB’, CD’
4 Các tập đề nghị:
BT8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hai điểm M, N di động hai cạnh AB’,
CD’ cho ' ' ;(0 1)
AM CN
k k
AB CD
a) Tìm giá trị k góc hai mặt phẳng (BMN) ( DMN) góc hai mặt phẳng (MBD) (NBD)
b) Khi k thay đổi khoảng (0;1) tính giá trị lớn thể tích khối tứ diện BDMN A'
B' C'
D' A
B C
D
O
P N
M Q R
S
P
Q R
S
O M
N
H
K x
a-x
x
(5)BT9 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hai điểm M, N thuộc cạnh AA’,CC’ Tính giá trị lớn nhỏ thể tích khối tứ diện MNBD M, N di động thoả mãn góc hai mặt phẳng (BMN), (DMN) 600.
BT10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c Tìm điều kiện a, b, c cho mặt phẳng (ABC’D’) tạo với hai mặt phẳng (A’BD), (C’BD) góc nhau? Phụ nhau?
Vũng tàu, tháng 05 năm 2012 Nguời viết