Đang tải... (xem toàn văn)
D ạng toán: Đây là dạng tính toán các biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai trên.. ập số phức..[r]
(1)PHẦN I: I LÝ THUYẾT
1 ĐỊNH NGHĨA
+ Một số phức biểu thức dạng z a bi= + với ,a b∈ i2 = − ,
i được gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z a bi= +
+ Tập hợp số phức kí hiệu
{ }
/ , ;
a bi a b i
= + ∈ = −
+ Chú ý: - Khi phần ảo số thực
- Khi phần thực a= ⇔ = ⇔ số ảo z bi z
- Số 0 0i= + vừa số thực, vừa số ảo
+ Hai số phức nhau: a bi c di a c a b c d, , ,
b d
=
+ = + ⇔ = ∈
+ Hai số phức z1= +a bi; z2 = − − a bi gọi hai số phức đối
2 SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Số phức liên hợp z a bi= + với ,a b∈ a bi− kí hiệu z Rõ ràng z z=
3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC
Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z a bi= + với ,a b∈
biểu diễn điểm M a b( );
4 MƠĐUN CỦA SỐ PHỨC
Mơđun số phức z= +a bi a b ,( ∈ ) 2 z = a +b
Như vậy, mơđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức
( )
,
z= +a bi a b∈ đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức z = OM = a2+b2 = z z
5 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Cho hai số phức z= +a bi z'= +a' b i' với , , ', 'a b a b ∈
+ Tổng hai số phức: z+ = + + +z' a a' (b b i') + Hiệu hai số phức: z− = − + −z' a a' (b b i') + Số đối số phức z a bi= + z− = − − a bi
+ Nếu u u , ' theo thứ tự biểu diễn số phức , 'z z
u u + ' biểu diễn số phức z+z' u u − ' biểu diễn số phức z−z'
+ Nhân hai số phức: z z '=(a+bi)(a'+b i' ) (= a a '−b b ') (+ a b '+a b i' ) + Số phức nghịch đảo:
2
z z
z − =
(2)Nếu z≠ z' z z'.2
z = z , nghĩa muốn chia số phức z'
cho số phức z≠ ta nhân tử
mẫu thương z'
z cho z
+ Chú ý: i4k =1; i4k+1=i i; 4k+2 = −1; i4k+3 = −i (k∈ )
1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC a) Phương pháp giải:
Cho phương trình bậc 2:
0 (1)
Az +Bz+ =C trong A B C, , số thực, A≠0
Xét biệt thức ∆ =B2−4AC
+ Nếu ∆ > phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt ;
2
B B
z z
A A
− + ∆ − − ∆
= =
+ Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm thực kép 1 2
2
B
z z
A
−
= =
+ Nếu ∆ < phương trình (1) có nghiệm phức phân biệt 1 ; 2
2
B i B i
z z
A A
− + ∆ − − ∆
= =
CHÚ Ý:
+ Mọi phương trình bậc n:
0
n n
n n
A z +A z − + +A z− +A = ln có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt)
+ Hệ thức Vi-ét phương trình bậc số phức hệ số thực:
Cho phương trình bậc :
0 ( , , ; 0)
Az +Bz+ =C A B C∈ A≠ có nghiệm phân biệt (thực phức)
Ta có:
1
1
B
S z z
A C
P z z
A
− = + =
= =
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm nghiệm phức phương trình bậc hai
Câu hỏi mối liên hệ nghiệm phương trình
Tìm nghiệm phức phương trình bậc cao
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Gọi z nghi0 ệm phức có phần ảo âm phương trình
2
z − z+ = Môđun số phức z0 + bi ằng
A 2 B C 10 D 10
Phân tích hướng giải
1 Dạng tốn: Đây dạng tính tốn biểu thức liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai
(3)2 Kiến thức cần nhớ:
+ Mô đun số phức:
Mô đun số phức z= +a b i a b ,( ∈ ) là: z = a2+b2 3 Hướng giải
+ Bấm máy tính giải phương trình bậc hai tìm nghiệm
+ Dựa vào u cầu đề tính tốn biểu thức liên quan đến nghiệm tìm
Lời giải Chọn B
+ Ta có 2
1
z i
z z
z i
= −
− + = ⇔
= +
Theo đề z nghi0 ệm phức có phần ảo âm nên z0 = −1 i
+ Khi đó: 2 ( )2
0 1
z + = − + = − =i i i i + − =
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Phương trình bậc hai nhận hai số phức 3− i + làm nghiệm? i
A.
4 13
z + z+ = B.
4
z + z+ = C.
4 13
z − z+ = D.
4
z − z+ =
Lời giải Chọn C
Ta có:
13
S
P
= =
nên phương trình cần tìm
2
0 13
z −Sz+ = ⇔P z − z+ =
Câu Tìm tất nghiệm phương trình z2+2z+ =5 tập số phức
A 1 ,1 2+ i − i B.1+i,1−i C. − +1 , 2i − − i D. − + − −1 i, i Lời giải:
Chọn C
2
1 4i ′
∆ = − = − =
Suy phương trình có hai nghiệm phức:
1
1
z i
z i
= − −
= − +
Câu Nghiệm phức có phần ảo dương phương trình
1
z − + =z là:
A 1
2+ i B.
1
2 i
− + C 1
2− i D.
1
2 i − −
Lời giải Chọn A
Ta có: 2
(4)Phương trình cho có hai nghiệm
2+ i
1
2− i
Vậy nghiệm phức có phần ảo dương
2+ i
Câu Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z2+2z+10=0 Tính iz0 A. iz0 = − i B iz0 = − + 3i C iz0 = − − i D iz0 = − 3i
Lời giải Chọn C
Ta có:
0
1
10
2
1
z i
z z z i iz i
z i
= − +
+ = ⇔ ⇒ = − + ⇒ = − −
− +
= −
Câu Gọi z z h1, 2 nghiệm phức phương trình z2−4z+ =5 Giá trị biểu thức z12 + z2
bằng
A. 10 B. 20 C. 6 D. 6 8i−
Lời giải Chọn A
Ta có
2
1
1
2
5 10
2
4 z i z
z z z z
z i z +
= − =
− + = ⇔ ⇒ = +
= =
= +
Câu Gọi z z1, 2là nghiệm phương trình
2
z − z+ = Giá trị biểu thức z12 + z22
A 2 B C 6 D 2
Lời giải:
Chọn C
Ta có : 1
2
2
1
2
2
1
1
2 3
1
z i
z z z z
z i
z z
= +
− + = ⇔ ⇒ + + = + =
= −
=
Câu Gọi z z1, 2là nghiệm phương trình
2
z + z+ = Giá trị biểu thức z1 + z2
A. z1 + z2 = B. z1 + z2 =2 C. z1 + z2 =10 D. z1 + z2 =
Lời giải:
Chọn B
Ta có : 1 2
2
1
2 5 5
1
z i
z z z z
z i
= − +
+ + = ⇔ = − − ⇒ + = + =
Câu Gọi z nghi0 ệm phức có phần ảo âm phương trình z2−10z+29=0 Tìm số phức liên
hợp số phức z 0
A. z0 = −5 2i B z0 = +2 5i C z0 = +5 2i D z0 = −2 5i
(5)Ta có : 10 29 0 0
z i
z z z i z i
z i
= +
− + = ⇔ = − ⇒ = − ⇒ = +
Câu Cho phương trình z2−2z+ = Mệnh đề sau sai? 2
A.Phương trình cho khơng có nghiệm số ảo B.Phương trình cho có nghiệm phức
C Phương trình cho khơng có nghiệm phức
D Phương trình cho khơng có nghiệm thực
Lời giải:
Chọn C
( )2
2
2 1
z − z+ = ⇔ z− = ⇔ = ±i z i
Câu 10 Trên tập hợp số phức , cho phương trình az2+ + =bz c (a b c, , ∈,a≠0) Chọn khẳng định sai:
A.Phương trình ln có nghiệm
B Tổng hai nghiệm b
a
−
C Tích hai nghiệm c
a
D ∆ =b2−4ac< phương trình vơ nghiệm 0
Lời giải:
Chọn D
Trên tập hợp số phức , phương trình bậc hai ln có nghiệm ⇒ A
Tổng hai nghiệm
b
z z
a
+ = − ⇒ B
Tích hai nghiệm z z1 2 c
a
= ⇒ C
4
b ac
∆ = − < ⇒ Phương trình bậc hai có nghiệm phức ⇒ D sai
Mức độ
Câu Gọi z z1, 2là nghiệm phương trình
2
z + z+ = Giá trị A=z z12 2+z z2 12
A. −16 B 16 C. D. −8
Lời giải Chọn B
Ta có
2
z + z+ = nên
1
2
z z
z z
+ =
=
Do 2 ( )
1 2 1 2 8.2 16
A= z z +z z =z z z +z = =
Câu Gọi z z1, 2là nghiệm phương trình
4
z − z+ = Giá trị biểu thức P=(z1−z2)z2−4 z1
bằng:
(6)Lời giải Chọn D
Ta có
2
z z i
z z i − + = ⇔ = + = −
Vậy P=(z1−z2)z2−4 z1 =(2+ −i 2( −i))(2+ −i) (4 2+ = −i) 15
Câu Gọi z z1, 2là nghiệm phương trình
2
z − z+ = Giá trị biểu thức
2 2 z z P z z = +
A 4 B. −4 C 8 D 11
4 −
Lời giải Chọn B
Ta có:
2
2
1
0
z z z i
z i = + ⇔ − − + = =
Suy ra: ( ) ( )
2
2
1
2
1 3
4
1 3
i i
z z
P
z z i i
+ −
= + = + = −
− +
Câu Gọi z z1, 2là nghiệm phương trình
2
z − z+ = Giá trị biểu thức 4
1 P=z +z
A. 14 B − C. −14 D 7
Lời giải Chọn C
Ta có
2
2
1
0
z z z i
z i = + ⇔ − − = = +
Nên 4 ( ) (4 )4
1 2 14
P=z +z = + i + − i = − z2−2z+ =5
Câu Gọi z 1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình
2
z − z+ = Tìm tọa độ điểm biểu
diễn số phức
1 4i
z
−
mặt phẳng phức?
A. P( )3; B N(−1; 2) C. Q(3; 2− ) D. P( )1;
Lời giải Chọn A Ta có: 2
2
1
0
z z z i
z i = − ⇔ + − = = + Suy
7
3 2 i i i z i − − = = + −
Điểm biểu diễn P( )3;
Câu Gọi z z z1, 2, 3là nghiệm phương trình ( )
2
2
iz − z + −i z+ =i Biết z1là số ảo Đặt
2
P= z −z , chọn khẳng định đúng?
A. 4< <P B 2< <P C. 3< <P D.1< <P Lời giải
Chọn B
( ) ( )( ) ( )
2
2
3
2 1
1
z i
iz z i z i z i iz z
(7)Vì z 1 số ảo nên z z2, 3là nghiệm phương trình ( )1
Ta có: ( ) (2 )2 ( )2
2 3 4 17 17
z −z = z +z − z z = − ⇒i z −z = − i = ⇒ =P z −z =
Câu Gọi z z z z1, 2, 3, 4là bốn nghiệm phương trình z4+z2 − =6 Tính S = z1 + z2 + z3 + z4
A S =2 B S =2( 2− 3) C S=2 D S =2( 2+ 3)
Lời giải Chọn D
Ta có: z4+ − =z2
2
2
2
3
z
z
=
⇔ = −
2
3
z
z i
= ± ⇔
= ±
Kí hiệu z , 1 z , 2 z , 3 z 4 bốn nghiệm phương trình, ta có:
1
S = z + z + z + z =2( 2+ 3)
Câu Cho a , b là số thực thỏa phương trình z2+az b+ = có nghiệm z= − , tính S a b3 2i = +
A S =19 B S = −7 C. S =7 D S = −19
Lời giải Chọn C
Vì phương trình
0
z +az b+ = có nghiệm z= − nên 2i (3 2− i)2+a(3 2− i)+ =b
( ) ( )
5 12 3 12
2 12 13
a b a
i a ai b a b a i
a b
+ = − = −
⇔ − + − + = ⇔ + + − + = ⇔ ⇔
= − =
Vậy S= + = − +a b 13=
Câu Cho z nghiệm phức phương trình x2+ + = Tính x
2
P=z + z − z
A.
2
i
− +
B
2
i
− −
C. 2i D 2
Lời giải Chọn D
Vì z nghiệm phức phương trình x2+ + = nên x z2+ + = z
Do đó: 2( )
2
P=z + z − =z z z + + +z z −z −z =z3−z2− z
=z z( 2+ + −z 1) 2z2−2z = −2(z2+ + + =z 1) 2
Câu 10 Cho z ,1 z 2 hai nghiệm phức phương trình z2+2z+ = , z1có phần ảo dương
Số phức liên hợp số phức z1+2z2 là?
A.− +3 2i B 3 2i.− C 2 i.+ D 2 i.−
Lời giải Chọn A
Ta có:
2
1 2i
2
1 2i
z
z z
z
= − +
+ + = ⇔
= − −
( Vì z1có phần ảo dương)
Suy ra: z1+2z2 = − + + − −1 2i 2( 2i)= − −3 2i
Vậy: Số phức liên hợp số phức z1+2z2 − + 3 2i
(8)Câu Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1, z2, z3 nghiệm phương trình
3
6 12
z − z + z− = Tính diện tích S tam giác ABC
A S =3 B. 3
2
S = C S =1 D. 3
4
S =
Lời giải Chọn D
Sử dụng MTCT ta có phương trình
6 12
z − z + z− = có nghiệm z1 = ; 2
2
z = + i,
3
5
2
z = − i
Suy ra: A( )1; , 5;
2
B
,
5
;
2
C −
9
3
4
AB= AB = + = ; 3
4
AC= AC = + = ; BC= BC =
ABC
⇒ ∆ cạnh Vậy ( )
2
3 3 3
4
ABC
S = =
Câu Cho a , b , c số thực cho phương trình z3+az2+ + = có ba nghiệm phức lần bz c
lượt z1= + ; w 3i z2 = + ; w 9i z3 =2w−4, w số phức Tính giá trị P= + +a b c
A P=36 B P=208 C. P=136 D P=84
Lời giải Chọn C.
Đặt w x yi= + , với ,x y∈
Ta có z1+ +z2 z3= − ⇒a 4w+ +4 12i= − ⇔a (4x+ +4 a) (+ 12+4y i) =0
4 4
12
x a x a
y y
+ + = + = −
⇔ ⇔
+ = = −
Từ w= −x 3i⇒ = ; z1 x z2 = + ; x 6i z3 =2x− − 6i
Vì phương trình bậc ba
0
z +az + + = có nghiệm thực nên hai nghiệm phức lại bz c
phải hai số phức liên hợp, suy x=2x− ⇔ = x Như z1= ; z2 = + ; 6i z3 = − 6i
Do
1
1 2 3
1
12 12
84 84
208 208
z z z a a a
z z z z z z b b
c c
z z z c
+ + = − = − = −
+ + = − ⇔ = ⇔ =
= = − = −
Vậy P= + + = − +a b c 12 84+ −( 208) =136
Câu Cho phương trình z4−2z3+6z2−8z+ = có bốn nghiệm phức phân biệt z , 1 z , 2 z , 3 z 4
Tính giá trị biểu thức ( )( )( )( )
1 4 4
T = z + z + z + z +
A. T =2i B. T =1 C. T = −2i D T =0
Lời giải
(9)Đặt ( ) ( )
2
f z =z − z + z − z+ ⇒ f z =
Ta có 2 ( )( )
4 2
z + =z − i = z+ i z− i
( )( 2 )( )( ) ( )( 2 )( )( )
T z i z i z i z i z i z i z i z i
⇒ = + + + + − − − −
( ) ( )
2
f i f i
= − =
.Câu Biết z , 1 z2 = − 4i z 3 ba nghiệm phương trình z3+bz2+ + = cz d (b c d, , ∈ ), z 3 nghiệm có phần ảo dương Phần ảo số phức w= +z1 3z2+2z3
A −12 B. − C −4 D.
Lời giải
Chọn C
Phương trình
0
z +bz + + = với b , c , d ∈ có ba nghiệm cz d z , 1 z2 = − 4i z , 3
đó z 3 nghiệm có phần ảo dương nên z1∈ z3 =z2 = + 4i
Suy ra: w= +z1 3z2+2z3 = +z1 25 4− i
Do phần ảo số phức w= +z1 3z2+2z3 −4
Câu Biết phương trình z4−3z3+4z2 −3z+ = có nghiệm phức z , 1 z , 2 z Tính 3
1
T = z + z + z
A. T = B. T =4 C. T =1 D T =2
Lời giải
Chọn A
4
3
z − z + z − z+ =
2
3
z z
z z
⇔ − + − + =
2
1
2
z z
z z
⇔ + − − + + =
2
1
3
z z
z z
⇔ + − + + =
Đặt
1
t z z
= +
2
3
pt⇔ − + = t t
2
t
t
=
⇔ =
Ta có: z 1
z
+ =
1
z z
⇔ − + =
2
z i
⇔ = ±
1
z z
+ =
2
z z
⇔ − + = ⇔ = z
1
T = z + z + z 3
2 i 2 i
= + + − + =
Câu Gọi z , 1 z 2 nghiệm phức phương trình az2+ + = , bz c
( )
, , , 0,
a b c∈ a≠ b − ac< Đặt P= z1+z22+ z1−z22 Mệnh đề sau đúng?
A
c P
a
= B P c
a
= C P 2c
a
= D P 4c
a
=
Lời giải Chọn D
Ta có z , 1 z 2 nghiệm phức phương trình az2+bz+ = nên c
2 1,2
4
b i ac b
z
a
− ± −
(10)Do b
z z
a
+ = −
2
1
4
i ac b
z z
a
−
− =
Suy P= z1+z2 2+ z1−z22
2
2
4
b ac b c
a a a
− −
= + =
Câu Cho phương trình (z2−4z) (2−3 z2−4z)−40= g0 ọi z z z z b1, 2, 3, 4 ốn nghiệm phức
phương trình cho Giá trị biểu thức 2 2
1
P= z + z + z + z bằng:
A P=4 B P=42 C P=16 D P=24
Lời giải Chọn B
Đặt
4
w= −z z ta có 40
5
w
w w
w
=
− − = ⇔
= −
Với ( ) ( )
2
2
2
1
8 2 2 2 32
w= ⇒z − z= ⇔ = ±z ⇒ z + z = + + − =
Với w= − ⇒5 z2−4z= − ⇔ −5 (z 2)2 = ⇔ = ± ⇒i2 z i z32+ z42 = + =5 10
Vậy P=10 32+ =42
Câu Trong tập hợp số phức, gọi z , 1 z 2 nghiệm phương trình 2019
4
z − +z = , với z có 2
thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z−z1 =1 Giá trị nhỏ P= −z z2
A. 2018 1− B 2019
2 −
C 2018
2 −
D 2019 1−
Lời giải Chọn A
Xét phương trình 2019
0
z − +z =
Ta có: ∆ = −2018< ⇒ phương trình có hai nghiệm phức
1
2
1 2018
2
1 2018
2
z i
z i
= +
= −
Khi đó: z1−z2 =i 2018
( ) ( )
2 1 2 2018
z−z = z−z + z −z ≥ z −z − −z z ⇔ ≥P − Vậy Pmin = 2018 1−
Câu Cho hai số phức z z th1, 2 ỏa mãn z z1, ≠ ; z1+z2 ≠
1 2
1
z +z = z +z Tính
2 z z
A
2 B
3
2 C 2 D
2
3
Lời giải
(11)Đặt z x
z
= ⇒ z1 =x z 2 z
x
z =
Từ giả thiết
1 2
1
z +z = z +z ⇔ 2 2 2 2
1
x z +z = x z +z
⇔
( )
2
1 1
2
z x z x
= +
+
⇔ 1
x+ = +x
⇔ 2x2+2x+ = ⇔ 1
2
x= − ± i ⇒
2
x =
Câu 10 Gọi z , 1 z 2 nghiệm phức phương trình z2−4z+ = Giá trị
2020 2020
1
(z −1) +(z −1)
A −21010i B 21009i C 1011
2
− D 0
Lời giải
Chọn C
1
2
2
4
2
z i z
z z
z i z
= + =
− + = ⇔
= − =
( )2020 ( )2020
1
z − + z − = +(1 i)2020+ −(1 i)2020= + +(1 2i i2)1010+ − +(1 2i i2)1010 ( )1010 ( )1010
2i 2i
= + − ( )1010 ( )1010 1011
2i 2i
= + = −
Mức độ
Câu Cho số phức z= + Biết tồn số phức i z1= +a ,i z2 = b (trong ,a b∈,b>1)
thỏa mãn z−z1 = z−z2 = z1−z2 Tính b a−
A b a− =5 B b a− =2 C. b a− =4 D b a− =3
Lời giải
Chọn D
Ta có: z−z1 = z−z2 = z1−z2
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1 1
25 16
a b
b a a
− + = − +
⇒
− + = − +
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 15
23
1 1 1
15
b a
b b a a a b a
− − − =
⇔
− + − − + − = − + − − −
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
1 15
8 1
b a
b b a a
− − − =
⇔
− − − − + − =
(12)( ) ( )
( )
( )
2
1 15
2
1 3
1 3 3
4
7
1
2
b a
a
b a b a
b b a − − − = = − − = − ⇔ ⇒ ⇒ − = = + − = −
Câu Cho số phức z thỏa mãn 11z2020+10iz2019+10iz− = Mệnh đề sau đúng? 11
A 3;
2
z ∈
B z∈( )1; C. z∈[ )0;1 D z ∈[ )2;3
Lời giải Chọn A
Đặt z x yi= +
2020 2019
11z +10iz +10iz− = 11
2019
2019 11 10 11 10
11 10 11 10
iz iz
z z
z i z i
− − ⇔ = ⇒ = + + ( ) ( ) 2 2019 2
100 121 220
121 100 220
x y y
z
x y y
+ + +
⇔ =
+ + +
TH1: 2
1
z < ⇔ x +y <
( 2) ( 2)
100 x y 121 220y 121 x y 100 220y
⇒ + + + > + + +
( ) sai
z
⇒ >
TH2: 2
1
z > ⇔x +y >
( 2) ( 2)
100 x y 121 220y 121 x y 100 220y
⇒ + + + < + + +
( ) sai
z
⇒ <
TH2: z = ⇔1 x2+y2 =1 Thay vào thấy
Vậy z =1
Câu Trên tập hợp số phức, cho phương trình z2+ + =bz c với b c, ∈ Biết hai nghiệm
phương trình có dạng w+3 2w−15i+9 với w số phức Tính S=b2−2c
A S = − 32 B S=1608 C S=1144 D S = − 64
Lời giải
Chọn A
Từ đề suy ( ) ( )
( ) ( )
2
2
3
2 15 15
w b w c
w i b w i c
+ + + + =
− + + − + + =
(2 15 9)( 3)
2 15
w i w c
w i w b
− + + =
⇔
− + + + = −
Giả sử w x yi= + , ,x y∈
Khi w+ = + + , x yi 2w−15i+ =9 2x+ +9 (2y−15)i
Theo đề ta có (2 15 9)( 3)
2 15
w i w c
w i w b
− + + = − + + + = − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 15
2 15
x y i x yi c
x y i x yi b
+ + − + + =
⇔
+ + − + + + = −
Vì b c, ∈ nên ( 2)( 15) (2 9)
5
2 15
x y y x x
(13)Suy w= − + , 5i (2 15 9)( 3) 34
6
2 15
w i w c c
b
w i w b
− + + =
=
⇔
= −
− + + + = −
2
2 32
S =b − c= −
Câu Xác định tất số thực m để phương trình z2−2z+ − = có nghiệm phức m z thỏa mãn
2
z =
A m= − B m= − , m=
C m= , m= D. m= − , m= , m=
Lời giải
Chọn D
Ta có: ∆ = , ′ m P= − m Trường hợp 1: ∆ ≥ ⇔ ≥ ′ m
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z= +1 m z= −1 m + Với z= +1 m Suy ra: 1+ m = ⇔ = m (nhận)
+ Với z= −1 m Suy ra: 1− m = ⇔ = m (nhận) Trường hợp 2: ∆ < ⇔ < ′ m
Vì phương trình hệ số thực có ∆ < nên phương trình có hai nghiệm phức liên hợp ′ Do đó:
2 4
z = ⇔ z z = ⇔ = ⇔ − = ⇔P m m= − (nhận)
Vậy m∈ −{ 3;1;9 }
Câu Số nghiệm phức phương trình z 25 6i
z
+ = −
A 1 B 2 C 4 D 3
Lời giải
Chọn B
Giả sử z a bi= + với ,a b∈ ,a b khơng đồng thời
Khi z a bi;1 a bi2 2
z a bi a b
−
= − = =
+ +
Ta có ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
25
25 25( )
8
25
a a b a b
a bi
z i a bi i
z a b b a b a b
+ + = +
−
+ = − ⇔ − + = − ⇔
+ + + = +
Lấy ( )1 chia ( )2 theo vế ta được:
b= a, vào ( )1 suy a= a= Với a= ⇒ = (loại) b
Với a= ⇒ = ta có số phức b z= + i
Câu Gọi z z z z nghi1; 2; ;3 4 ệm phức phương trình z4+ +(4 m z) 2+4m= Tìm t0 ất giá
trị m để z1 + z2 + z3 + z4 =6
A m= − B m= ± C m= ± D m= ±
Lời giải Chọn D
Ta có : ( )( ) 1,2
3,4
2
(4 ) 4 z i ,
z m z m z z m m
z m
= ±
+ + + = ⇔ + + = ⇔ ≤
(14)hoặc 12
3,4
,
z i
m
z i m
= ±
⇔ >
= ±
Khi 4
1
z z z z m
m m
= + + + = + −
⇔ = −
≤
Hoặc 4 1
0
z z z z m
m m
= + + + = +
⇔ =
>
Kết hợp lại m= ± thỏa mãn yêu cầu tốn.1
Câu Tìm số thực , ,a b c để phương trình z3+az2+ + = nhận bz c z= + làm nghiệm i
và nhận z=2 làm nghiệm
A a= −4,b=6,c= − B a= −4,b=5,c= −
C a= −3,b=4,c= − D a= −1,b=0,c=
Lời giải
Chọn A
Ta có z= + i
(1+i) +a(1+i) +b(1+ + = i) c
z=2thì 4+ a+2b c+ =
Từ ta có hệ
( ) ( )
( )
2
2 2
4
b c a b
a b c
+ − =
+ + =
+ + + =
Từ ( )1 ⇒ = −c b
Từ ( )2 ⇒ = − −b 2a⇒ = − − −c ( 2 )a = +4 2a
Thay vào ( )3 ta được: 4a+ − −2( 2 ) 2a + + a+ = ⇒ = a
Vậy a= − ⇒ =4 b 6;c= −
Câu Phương trình
4
1
z z
+ = −
có nghiệm
A 1 B 2 C 4 D 3
Lời giải
Chọn D
(15)2
4
2
1
1, (1)
1
1 1
1, (2)
1
1
1
(1)
1 1
1
1
1 1
1 (2)
1 1
z z z
z z
z
z
z z i i
z
z
z z z z
z z
i
z iz z
z
z z iz z
i z
+ =
−
+
= ⇔
−
+ = −
−
+
=
− + = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
+ + = − + =
= −
− +
=
− + = + =
⇔ ⇔ ⇔
+ + = − − = −
= −
(16)PHẦN II:
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Phương trình bậc hai với hệ số thực
Định nghĩa:
• Phương trình bậc hai với hệ số thực ẩn z x có dạng:
0
az + + =cz c
0
ax +bx+ =c với
0, , ,
a≠ a b c∈
Cách giải:
• Lập biểu thức ( )2
4 ,
2
b
b ac ′ b′ ac b′
∆ = − ∆ = − =
- Nếu ∆ =0(∆ = phương trình có nghiệm kép ′ 0) '
2
b b
z z
a a
= − = −
- Nếu ∆ >0(∆ > phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ′ 0) 1,2 1,2 ' '
2
b b
z z
a a
− ± ∆ − ± ∆
= =
- Nếu ∆ <0(∆ < phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ′ 0) 1,2 1,2 ' '
2
b i b i
z z
a a
− ± ∆ − ± ∆
= =
Chú ý:
- Nếu ∆ <0(∆ < phương trình có nghiệm phức ′ 0) z z
- z = z
- Định lý viét : z1 z2 b;z z1 2 c
a a
+ = − =
- Hai số phức z z có 1, 2 z1+z2 =S z z; 1 2 = P z z nghi1, 2 ệm phương trình
0
z −Sz+ =P
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Tìm mơđun số phức liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực Điểm biểu diễn nghiệm phương trình bậc hai
…
(17)BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Gọi z nghi0 ệm phức có phần ảo âm phương trình
2
2z
z − + = Môđun số phức z0+ bi ằng
A 2 B. C 10 D. 10
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm môđun số phức liên quan đến nghiệm phức phương trình
bậc hai với hệ số thực
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm z 0
B2: Tính mơđun số phức z0+ i
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có ∆ = −′ 1.5= − < ⇒ phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là: z1,2 = ±1 2i ⇒ z0 = − 2i
0
z + = − + = −i i i i⇒ z0+ =i 12+ −( )12 =
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Trong , phương trình
2
z − z+ = có nghiệm
A
2
z i
z i
= + = −
B
2
2
z i
z i
= = −
C
1
1
z i
z i
= − −
= − +
D
1
1
z i
z i
= − = +
Lời giải:
Chọn D
Bấm MT 2
1
z i
z z
z i
= −
− + = ⇔
= +
Câu Trong tập hợp , cho phương trình z2−3z+13= Khẳng định sau sai? 0
A.Phương trình khơng có nghiệm thực B.Phương trình khơng có nghiệm ảo
C.Phương trình khơng có nghiệm phức D Phương trình có nghiệm phức
Lời giải:
(18)Ta có
2
3 13
3
z i
z z
z i
= +
− + = ⇔
= −
Vậy phương án C sai
Câu Trên tập số phức cho phương trình bậc hai ax2+bx+ =c *( ) (a ,b,c hệ số thực)
biệt thức ∆ =b2−4ac Xét mệnh đề:
( )I : “Nếu ∆ <0thì phương trình (*) vơ nghiệm.”
( )II : “Nếu ∆ >0thì phương trình (*) có nghiệm phân biệt.”
( )III : “Phương trình ln có nghiệm phân biệt 1 , 2
2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= = ”
Số mệnh đề mệnh đề
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Mệnh đề ( )I sai tập số phức phương trình bậc hai có nghiệm
Mệnh đề ( )II ∆ >0thì phương trình (*) có nghiệm phân biệt
1 ,
2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
Mệnh đề ( )III sai nếu ∆ =0 phương trình có nghiệm kép thực
2
b x
a
= −
Câu Trong tập số phức , cho phương trình
0
az +bz+ =c (a b c, , ∈,a≠0) Chọn khẳng định
sai:
A. Tổng hai nghiệm b
a
− B.Phương trình ln có nghiệm
C. Tích hai nghiệm c
a D.
2
4
b ac
∆ = − < phương trình vơ nghiệm
Lời giải
Chọn D
+ Trên tập số phức , phương trình bậc hai ln có nghiệm ⇒ Phương án B
+ Tổng hai nghiệm z1 z2 b a
+ = − ⇒ Phương án A
+ Tích hai nghiệm z z1 2 c
a
= ⇒ Phương án C
+
4
b ac
∆ = − < ⇒ Phương trình bậc hai có nghiệm phức ⇒ Phương án D sai
Câu Trên tập số phức, cho phương trình:
0
(19)A.Phương trình ln có nghiệm
B. Nếu b= phương trình có hai nghiệm mà tổng
C. Nếu
4
b ac
∆ = − < phương trình có hai nghiệm mà mơđun
D.Phương trình ln có hai nghiệm phức liên hợp
Lời giải
Chọn D
+ Trên tập số phức, cho phương trình: az2+bz+ =c với biệt thức ∆ =b2−4ac
0
∆ > phương trình có hai nghiệm thực 1,2
2
b x
a
− ± ∆
=
0
∆ < phương trình có hai nghiệm phức 1,2
2
b i x
a
− ± ∆
=
0
∆ = phương trình có nghiệm kép
2
b
x x
a
− = =
Từ suy :
Phương án A:Đúng
Phương án B:Đúng b= phương trình chắn có hai nghiệm mà tổng
Phương án C:Đúng
4
b ac
∆ = − < hai nghiệm có mơ đun
Phương án D:Sai ∆ > phương trình có hai nghiệm thực nên không liên hợp 0
Câu Cho z nghi1 ệm phức có phần ảo âm phương trình
8 20
− + =
z z , gọi M 1 điểm biểu
diễn số phức z m1 ặt phẳng tọa độ Tìm tọa độ M 1
A. M1(8; 4− ) B. M1(4; 2− ) C. M1(− −8; 4) D. M1(− −4; 2)
Lời giải
Chọn B
Phương trình
8 20
− + =
z z có hai nghiệm phân biệt z= −4 2i z= +4 2i
Vì z nghi1 ệm phức có phần ảo âm nên z1 = −4 2i Vậy điểm biểu diễn z 1 M1(4; 2− )
Câu Gọi z z nghi1, 2 ệm phức phương trình
4z
z − + = Tính P= z1 + z2
A. P= B. P=2 C. P=2 D. P=10
Lời giải
(20)2
4z
z − + =
2
2
z i
z i
= +
⇔ = −
nên P= + + − =2 i i
Câu Phương trình sau có nghiệm ảo ?
A.
4
z + = B.
4
z − = C.
3z
z + + = D.
2z − + =z
Lời giải
Chọn A
Xét đáp án A: 2 2
4 4
z + = ⇔z = − ⇔z = i ⇔ = ±z i
Xét đáp án B:
4
z − = ⇔ = ±z
Xét đáp án C:
1,2
3 23
3z
2
z + + = ⇔ z = − ± i
Xét đáp án D:
1,2
1 39
2z
4
z z i
− + = ⇔ = ±
Câu Hai số phức z1 = − 3i z2 = + nghi2 3i ệm phức phương trình sau đây?
A.
4 13
z − z+ = B.
4 13
z + z+ = C.
13
z + z+ = D.
4
z − z+ =
Lời giải:
Chọn A
Ta có S= +z1 z2 =4;P=z z1 2 =13 Suy z z nghi1, 2 ệm phương trình
4 13
z − z+ =
Câu 10 Gọi z nghi0 ệm phức có phần ảo âm phương trình
2
4 10
z + z+ = Tìm w=z i0
A. w= 6− 2i B. w= − 6− 2i C. w= − 6+ 2i D. w= 6+ 2i
Lời giải
Chọn A
Ta có
4 10
z + z+ =
2
z i
z i
= − + ⇔
= − −
⇒z0 = − −2 6i
Khi w=z i0 = − −( 6i i) = 6− 2i
Mức độ
Câu Gọi z z nghi1, 2 ệm phức phương trình
2z
z + + = Tính P= z12+ z22
(21)Lời giải
Chọn A
2
2z
z + + =
2
1
1
z i
z i
= − + ⇔
= − −
nên
2
1 2
P= − + i + − − i =
Câu Gọi z z nghi1, 2 ệm phức phương trình z2−2z+10=0, số phức z có ph2 ần ảo âm
Tìm số phức w=2z1+ z2
A w= + 3i B w= C w= − 3i D w= 3i
Lời giải:
Chọn A
Ta có:
2 10
1
z i
z z
z i
= + − + = ⇔
= −
Khi w=2 3( + i)+ − = + 3i 3i
Câu Gọi z nghi0 ệm phức có phần ảo âm phương trình z2 −4z+29=0 Tìm mơđun số
phức w=z0( )1+ i
A. w = 58 B. w = 40 C. w = 29 D. w =5
Lời giải
Chọn A
Ta có z2−4z+29=0
2
z i
z i
= +
⇔ = −
⇒z0 = − 5i
Khi w=z0( )1+i =(2 5− i)(1+i)= −7 3i ( ) 2
7
w
⇒ = + − = 58
Câu Gọi z nghi0 ệm phức có phần ảo dương phương trình
6 10
z − z+ = Điểm sau
biểu diễn số phức 2019
0 w=z i
A. M(−1; 3) B. N(−1; 3i) C. P(1; 3− ) D. Q(1; 3− i)
Lời giải
Chọn C
Ta có
6 10
z − z+ =
3
z i
z i
= +
⇔ = −
⇒z0 = + i
Khi 2019 ( )2 1009 ( )
0 3
(22)Câu Gọi z 1 z2 = + hai nghiệm phương trình 2i
0
az +bz+ =c (a b c, , ∈ , a≠ ) Tính
1
T = z + z
A. T = B. T =4 C. T =2 D. T =8
Lời giải
Chọn D
Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm phức hai số phức liên hợp Do z1= −4 2i Khi z1 = z2 =2 5⇒ =T z1 +3 z2 =8
Câu Gọi z , 1 z hai nghi2 ệm phương trình z2−6z+34=0; Gọi M, N lần lượt điểm
biểu diễn z , 1 z m2 ặt phẳng phức Độ dài đoạn thẳng MN
A B 10 C 2 D 4
Lời giải:
Chọn B
Ta có: ∆ = −′ 34= − < nên phương trình 25
4 20
z − z+ = có hai nghiệm phức phân biệt:
1
2
3
3
z i
z i
= −
= +
Suy ra: M(3; ,− ) ( )N 3;5 Vậy MN = (3 3− ) (2+ +5 5)2 =10
Câu Phương trình z2+bz+ =c 0, (a b, ∈ có nghiệm phức ) z= − Tổng hai số b c 1 2i
bằng?
A. B 6 C. D. 16
Lời giải
Chọn C
Ta có (1 2− i)2+b(1 2− i)+ =c ⇔ − − + −3 4i b 2bi c+ =0
2
b c
b
+ − =
⇔ − − =
⇒ + = b c
Câu Kí hiệu z z nghi1, 2 ệm phương trình
6 18
z + z+ = Tìm số phức
1
2
1
1
w z z
z z
= + +
A w=18 B w= C w= − 3i D w= 3i
Lời giải
(23)Ta có :
1
6
18
z z
z z
+ = −
=
Khi : 2
1
1
w z z
z z
= + + 12 22
1 2
1
z z
z z z z
+
= + ( ) ( )
2
1 2
1
2 2
1
2 2.18
18 18
18
z z z z
z z z z
+ − − −
= + = + =
Vậy w=18
Câu Tham số thực m thuộc khoảng sau để phương trình z2−2(m−1)z+ = nhận
1
z = − mi ột nghiệm?
A. (−10; 0) B. ( )2;3 C. (−5;3) D. 2;10
3
Lời giải
Chọn D
Phương trình có nghiệm z1= − i suy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt
liên hợp Theo định lý viét ta có z1+z2 = =4 2(m− ⇒ = 1) m
Câu 10 Cho z , 1 z hai nghi2 ệm phương trình
2 − + =
z z (z∈) Tính giá trị biểu thức
1 2
2
= + + −
P z z z z
A. P=2 2+2 B. P= 2+4 C. P=6 D. P=3
Lời giải
Chọn C
2
2
1 = +
− + = ⇔
= −
z i
z z
z i ⇒ =P 2 + 2i = + = 4
Mức độ
Câu Cho số phức w hai số thực b c, Biết 3w− 2w i5 + hai nghiệm phương trình
2
0
z +bz+ =c Tìm phần thực số phức w
A B C D
Lời giải
Chọn C
Giả sử w x yi= + ( ;x y∈ )
( )
3 5
2 2
w x yi
w i x y i
− = − +
+ = + +
Do 3w− 2w i5 + hai nghiệm
0
z +bz+ =c
Suy hai số phức liện hợp
5
3 (2 1) 1
3
5
x
x x
x yi x y i
y y y
= − =
− + = − + ⇔ ⇔
= − − = −
Vậy
1
5
(24)Do phần thực w 5
Câu Cho số phức w biết z1 =2w i+ z2 =3w+ hai nghi1 ệm phương trình
2
0, ,
z +bz+ =c b c∈ Tìm phần ảo số phức 5i w
A B C D
Lời giải
Chọn C
Giả sử w x yi= + ( ;x y∈ ) ( )
2
2 2
3 3
z w i x y i
z w x yi
= + = + +
= + = + +
Do z1 =2w i+ z2 =3w+ hai nghi1 ệm z2+bz+ =c
Suy hai số phức liện hợp
( )
2 3 1
2
5
x
x x
x y i x yi
y y y
= − + =
+ + = + − ⇔ ⇔
+ = − = −
Vậy
1
5
w= − − i
Do
5 5 1
5
i w= − w= − i− − i= − + i
có phần ảo
Câu Cho số phức w hai số thực m n, Biết 2w− w i3 + hai nghiệm phương trình
2
0
z +mz+ =n Tổng S m n= +
A. 81 B.6 C 139
9 D.
85
Lời giải
Chọn C
Giả sử w x yi= + ( ;x y∈ )
( )
2 3
1
w x yi
w i x y i
− = − +
+ = + +
Do 3w− 2w i5 + hai nghiệm z2 +bz+ =c
Suy hai số phức liện hợp Do
( ) 3
2 1
2
3
x
2x x
x yi x y i
y y y
= − =
− + = − + ⇔ ⇔
= − − = −
Vậy
1
2
2
2 2.3 3
3
2
z w i i
z w i 3 i
= − = − − = −
= + = +
Theo định lý viét suy
1
139 85
9
9
z z m
S m n
z z n
+ = =
⇒ = + =
= =
Câu Cho m số thực, biết phương trình z2+mz+ =5 có hai nghiệm phức có
nghiệm có phần ảo Tính tổng mơđun hai nghiệm
A B. C. 3 D
(25)Chọn A
Ta có ∆ =m2−20
Phương trình có hai nghiệm phức ∆ < ⇔ −0 5< <m
Khi pt có hai nghiệm là:
20
2
m m
z = − + − i
2
20
2
m m
z = − − − i
Theo đề 20
2
m
m
− = ⇔ = ± (t/m)
Khi phương trình trở thành
2
2
z i
z z
z i
= − +
± + = ⇔
= − −
1
2
2
z i
z i
= +
= −
Vậy z1 + z2 =2
Câu Trong tập số phức, cho phương trình z2−2(m−3)z+ = , m∈ m ( )1 Có giá
trị nguyên m để phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt z , 1 z th2 ỏa mãn z1 = z2
A 0 B. 4 C. 3 D. 2
Lời giải
Chọn B
Điều kiện để phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt là: 13
7
2
m m m ±
′
∆ = − + ≠ ⇔ ≠
Phương trình có hai nghiệm phân biệt z , 1 z th2 ỏa mãn z1 = z2 ( )1 phải có nghiệm phức
Suy 13 13
2 m
− +
′
∆ < ⇔ < < m∈ ⇒ ∈ m {2; 3; 4;5}
Câu Tìm tổng tất giá trị thực m cho phương trình 2
3
z −mz+m + m− = có hai
nghiệm phức có mơ-đun 6
A. 8 B. − 3 C. − 8 D. 5
Lời giải
Chọn B
Theo Vi-et, ta có z z1 2 =m2+3m−
Vì z1 = z2 = ⇔ z z1 2 = z1 z2 =36
3 36
m m
⇔ + − =
3 40
m m
⇔ + − =
1
2
5
8
m
m
=
⇔ = −
Suy m1+m2 = − 3
Câu Gọi z z nghi1, 2 ệm phương trình z2+bz+ =c biết z1= − Tính mơđun số i
phức w=bz1+cz2
(26)Lời giải
Chọn C
1
z = − nghiệmi ⇒(2−i)2+b(2− + = ⇔ − +i) c 4i 2b c bi+ − =0
2
4
b c c
b b
+ + = =
⇔ ⇔
= − = −
⇒z2 = +2 i⇒ = −w 2( − +i) (5 2+ = + Vậy i) 9i w = 85
Câu Gọi z z hai nghi1, 2 ệm phức phương trình:
2
z + + =z Số phức
( )( ) 2019
1
w= i−z i−z
A. −21009+210 90 i B. 21009+21009i C. −21009−210 90 i D. 21009−21009i
Lời giải
Chọn A
Ta có z z hai nghi1, 2 ệm phương trình:
2
z + + =z nên
1
1
2
z z
z z
+ = −
=
Ta có ( )( ) 2019 ( ) 2019 ( )2019 ( )2019
1 2 2 1
i z i z z z i z z i i i
− − = − + + = + − = +
( ) 1009( ) ( ) (1009 ) ( )252 ( ) ( )
1009 1009 1009 09
2 0
1 i i 2i i i i i i 2 i
= + + = + = + = − + = − +
Câu Biết z0 = − m2 i ột nghiệm phương trình z2+az b+ = Môđun số phức w= +a bi
là
A w = 41 B w =3 C w =2 41 D w =
Lời giải
Chọn A
Ta có z0 = − m2 i ột nghiệm phương trình ⇒z0 nghiệm phương trình
Theo định lý viet có 0
0
4
4 16 25 41
5
z z a a
w i w
b
z z b
+ = − = −
⇔ ⇒ = − + ⇒ = + =
=
=
Câu 10 Cho số phức w, biết z1 = + w 2i z2 =2w− hai nghi3 ệm phương trình bậc
hai với hệ số thực Tính T = z1 + z2
A. T =2 13 B T =4 13 C 85
3
T = D. 97
3
T =
Lời giải
Chọn D
(27)Vì z1= + w 2i z2 =2w− hai nghi3 ệm phương trình bậc hai với hệ số thực nên
1
z = + w i z2 =2w− hai s3 ố phức liên hợp Suy
2 3
w+ =i w− = w−
Do ta có
(x+yi)+ =2i 2(x−yi)− 3
2
x x
y y
= −
⇔ + = −
3
2
x
y
= ⇔ = −
2
3
w i
⇒ = −
Khi
4
3
z = + i 2
z = − i 1 2 97
3
T z z
⇒ = + =
Mức độ
Câu Trong số phức z thỏa mãn z− −2 4i = 5, gọi z0 số phức có mođun nhỏ Biết z 0
là nghiệm phương trình bậc hai x2+mx n+ =0 *( ) Tính T = +m n
A 3 B 5 C −2 D 8
Lời giải
Chọn A
Gọiz= +a bi a b( , ∈ )
Ta có: z− −2 4i = 5⇔ + − −a bi 4i = 5⇔ (a− + −2) (b 4)i =
( ) (2 )2 ( ) (2 )2
2 5
a b a b
⇔ − + − = ⇔ − + − =
Ta có: z−(2+4i) = ⇒ Tập hợp số phức đường tròn( )C tậm I( )2; , bán kính
R=
Gọi M điểm biểu diễn số phức z Ta có: z = − =z OM
OM nhỏ ⇒I O M, , thẳng hàng
Ta có: ( )IM :y=2x
M giao điểm IM ( )C ⇒M( )1; ∨M( )3;6 ⇒ = + ∨ = +z 2i z 6i
Ta có: 2+ i = 5, 6+ i =3 Vậy z0 = +1 2i; Do z0 = +1 2i nghiệm phương
trình ( )* suy z 0 nghiệm Theo định lý viét ta có 0
0
2
3
z z m m
m n
z z n n
+ = − = −
⇒ ⇒ + =
= =
Câu Trong số phức z thỏa mãn z = − +z 2i , số phức có mơ đun nhỏ nghiệm
phương trình
0
z +az+ =b Hệ thức đúng?
(28)Lời giải
Chọn B
Gọi z= +x yi x y( , ∈ suy z x yi) = −
Theo giả thiết ta có 2 ( ) (2 )2
1
x +y = x− + −y ⇔ − −2x 4y+ =5
2
x y
⇔ = −
Khi 2 2
z =x + y
2
5
2 y y
= − +
( )
2 5
5
4
y
= − + ≥
Vậy z nhỏ
2
5 2
x y
y
= −
=
1
x
y
= ⇔
=
Suy số phức có mơ đun nhỏ
2
z= +i Do
2
z= +i nghiệm phương trình
( )* suy z cũng nghiệm Theo định lý viét ta có
1
4
5
4
a
z z a
a b
z z b b
= − + = −
⇒ ⇒ + =
=
=
Khi tổng a+4b=
Câu Trong số phức thỏa mãn điều kiện: 4z− − i = − 2z i Số phức zcó mơđun nhỏ
nghiệm phương trình
0
z +az+ =b Hệ thức sau đúng?
A b=2a B a=2b C a− = −b 12 D a+ =b 12
Lời giải
Chọn C
Đặt z= +x yi (x y, ∈R) Từ giả thiết suy ra: y= − + x
Vậy z = 2x2−8x+16 = 2(x−2)2+ ≥8 2 Do z nhỏ 2
x
y
= =
2 ;
z i
⇒ = + Do z= + nghiệm phương trình 2i ⇒ = − nghiệm z 2i
phương trình Do theo định lý viét ta có
z z a a
z z b b
+ = − = −
⇔
= =
Câu Tìm tổng giá trị số thực a cho phương trình z2+3z+a2−2a=0 có nghiệm phức
0
z thỏa z0 =
A 0 B 2. C. D.
Lời giải
Chọn D
+) Trường hợp z0∈ Khi
0
2
2
z z
z
=
(29)Nếu z0 = 2
2 10
a − a+ = khơng có nghiệm thực a
Nếu z0 = − a2−2a− =2 ln có nghiệm thực a theo định lý Vi-ét tổng hai nghiệm
thực ( )1
+) Trường hợp phương trình 2
3
z + z+a − a= có nghiệm phức z0∉ z 0
nghiệm phức phương trình
Vì z0 = nên z z0 0 = z02 =4
Theo định lý Vi-ét ta có 2
0
2
1
a a
z z = − =a − a 2
2 4
a a a a
⇒ − = ⇔ − − = ( )*
Phương trình ( )* ln có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Vi-ét ta có tổng giá trị của số thực a 2 ( )2
+) Từ ( )1 ( )2 suy tổng giá trị số thực a cho phương trình
2
3
z + z+a − a= có nghiệm phức z th0 ỏa z0 =
Câu Có giá trị m nguyên cho phương trình ( )
2 11
z + m− z+m + −m = có
nghiệm phức z th0 ỏa z0 =
A 0 B 2. C. D.
Lời giải
Chọn D
+) Trường hợp z0∈ Khi
0
0
3
3
z z
z
=
= ⇔ = −
Nếu z0 = ( ) 2 ( )
9 11
8
m
m m m m m
m
=
+ − + + − = ⇔ + − = ⇔
= −
Nếu z0 = − ( ) ( )
2
9 11
4
m
m m m m m
m
=
− − + + − = ⇔ − + = ⇔
=
+) Trường hợp phương trình ( )
2 11
z + m− z+m + −m = có nghiệm phức z0∉ z 0
cũng nghiệm phức phương trình
Vì z0 = nên z z0 0 = z02 =9
Theo định lý Vi-ét ta có 2
0
11
11
1
m m
z z = + − =m + −m ⇒m2+ −m 11=9
2
20
m m
⇔ + − = ( )3
4
m
m
= −
⇔ =
Vậy có m∈ − −{ 5;1; 4}
Câu Cho a số thực, phương trình z2+(a−2)z+2a− = có 3 0
(30)điểm biểu diễn z , 1 z m2 ặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMN có góc 120°,
tính tổng giá trị a
A −6 B 6 C −4 D 4
Lời giải
Chọn B
Vì O, M, N không thẳng hàng nên z , 1 z 2 không đồng thời số thực, không đồng thời
là số ảo ⇒z , 1 z hai nghi2 ệm phức, số thực phương trình
( )
2
2
z + a− z+ a− = Do đó, ta phải có: ∆ =a2−12a+16<0 ⇔ ∈ −a (6 5; 5+ )
Khi đó, ta có:
2
2
2 12 16
2
2 12 16
2
a a a
z i
a a a
z i
− − + −
= −
− − + −
= +
1 2
OM ON z z a
⇒ = = = = −
1 12 16
MN = z −z = − +a a−
Tam giác OMN cân nên MON =120°
2 2
cos120
2
OM ON MN
OM ON
+ −
⇒ = °
( )
2
8 10
2
a a
a
− +
⇔ = −
−
2
6
a a
⇔ − + = a= ±3 (thỏa mãn)
Suy tổng giá trị cần tìm a 6
Câu Cho a số thực, phương trình ( )
2
z − a+ z+ − a= có nghiệm z , 1 z G2 ọi M , N điểm biểu diễn z , 1 z m2 ặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMNlà tam giác vng, tính
tổng giá trị a
A −6 B −5 C − 10 D 4
Lời giải
Chọn B
Vì O, M, N khơng thẳng hàng nên z , 1 z 2 không đồng thời số thực, không đồng thời
là số ảo ⇒ z , 1 z hai nghi2 ệm phức, khơng phải số thực phương trình
( )
2
2
z − a+ z+ − a= Do đó, ta phải có: ∆ =′ a2+6a+ <1 ⇔ ∈ − +a ( 2; 2+ )
Khi đó, ta có:
2
2
2
z a a a i
z a a a i
= + − − − −
= + + − − −
( )
( )
2
2
2;
2;
OM a a a
ON a a a
= + − − − −
⇒
= + − − −
Tam giác OMN cân nên MON= ° 90 ⇒OM ON =0 ( )2
2
a a a
(31)2
5 15 2 10
5 15
a
a a
a
− + =
⇔ + + = ⇔
− − =
(thỏa mãn)
Suy tổng giá trị cần tìm a −5
Câu Trong tập hợp số phức, gọi z , 1 z nghi2 ệm phương trình 2019
0
z − +z = , với z có 2
thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z−z1 = Giá trị nhỏ P= −z z2
A 2019 1− B 2019
2 −
C 2019
2 +
D 2019 1+
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình 2019
0
z − +z =
Ta có: ∆ = −2019< ⇒0 phương trình có hai nghiệm phức
2
1 2019
2
1 2019
2
z i
z i
= +
= −
Khi đó: z1− =z2 i 2019
( ) ( )
2 1 2 2019
z−z = z−z + z −z ≥ z −z − −z z ⇔ ≥P −
Vậy Pmin = 2019 1−
Câu Trong tập hợp số phức, gọi z , 1 z nghi2 ệm phương trình
2
z + z+ = , với z có 2
thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z+z1 + − −z 7i =3 Gọi M m,
là giá trị lớn nhỏ z−z2 Tổng M m+
A 2+ 61 B 2+ 61 C 2+ 61 D 2+ 61
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình
2
z + z+ =
Ta có: ∆ = − < ⇒′ phương trình có hai nghiệm phức
1
1
z i
z i
= − −
= − +
Khi đó:
2
1
1
z z z i
z z z i
+ = − −
− = + −
(32)1
3 5= +z z + − −z 7i = − − + − −z i z 7i = (z+ − − +1 i) (z+ − − −1 i) 6i
2
w w i
= − + − − ;
Đặt M x y( ) ( ) ( ); , A 2; ,B 5; Ta có 5= − + − −w w 6i =MA MB+ ≥AB=3
Dấu xảy M x y thu( ); ộc đoạn AB ⇔ =y 2x−4, 2≤ ≤x
( )2 ( ) [ ]
2 2
2 16 16 ; 2;8
2
b
w x y x x x x g x
a
= + = + − = − + = − = ∉
Từ suy
[ ]2;5 ( )
min 2;
m= w =g =
[ ]2;5 ( )
max 61
M = w =g =
Vậy M + =m 61 2+
Câu 10 Cho số phức z1 =/ 0, z2 =/ thỏa mãn điều kiện
1 2
2 1
z + z = z +z Tính giá trị biểu thức
1
2
z z
P
z z
= +
A 3
2 B 2 C
1
2 D P=2
Lời giải
Chọn A
1 2
2 1
z z
z + = z +
2
1 2
2z z
z z z z
+
⇔ =
+ ⇔(2z2 +z1)(z1+z2)−z z1 =0
2
1 2 1 2
2z z 2z z z z z z
⇔ + + + − = 2
1 2
2z z 2z z
⇔ + + =
2
1
2
2
z z
z z
⇔ + + =
1
2
1
2
1
1
z
i z
z
i z
= − −
⇔
= − +
1
2
2
z z
⇒ = ;
1
2
1
2
z
z z
z
= =
2
P
(33)