Áp dụng định lý vi ét giải các bài toán liên quan đến việc so sánh nghiệm của phương trình bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRUNG TÂM GDTX-DN NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Người thực hiện: Trần Ánh Dương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2016 MỤC LỤC TT 10 11 12 13 14 Nội dung I Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 1 2 2 3 12 12 12 13 14 I Mở đầu: Lý chọn đề tài: Định lí Vi-ét phần quan trọng chương trình tốn học phổ thơng nêu sách giáo khoa Đại số lớp 10 Khai thác định lý Vi-ét ứng dụng giải toán liên quan đến việc phải so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực; tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (đoạn); tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng (đoạn), đặc biệt chương trình bỏ “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” Khi học xong định lý Vi-ét học sinh giải tốn dạng tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm trái dấu Nhưng chuyển sang tốn có dạng tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực α học sinh lúng túng khơng tìm phương pháp giải Giải vấn đề vừa đặt ra, sau học sinh giải số dạng toán sau: - Tìm điều kiện để phương trình tham số đưa phương trình bậc hai có nghiệm (Dạng: f ( x) = g ( x) ; f ( x) = g ( x) ; phương trình tham số bậc đối xứng…) - Tìm điều kiện để hàm số đồng biến khoảng, đoạn, … - Tìm điều kiện để cực đại cực tiểu hàm số nằm khoảng, đoạn… - Bài toán phải so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực α Chính vậy, tơi chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải toán liên quan đến việc so sánh nghiệm phương trình bậc hai’’ Nó thực có ích q trình tơi dạy ơn thi học sinh giỏi cấp tỉnh hệ GDTX ôn thi THPT Quốc gia Tạo hứng thú cho học sinh môn tốn Tơi xin đưa để bạn đồng nghiệp tham khảo cho ý kiến Mục đích nghiên cứu: Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong q trình dạy học tơi nhận thấy dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực lớp 10 dạng tốn tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (đoạn), tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu hàm số khoảng (đoạn) lớp 12 đa số em học sinh lúng túng chưa có phương pháp giải Vì tơi chọn đề tài để đưa phương pháp giúp em tháo gỡ khó khăn vừa nêu Qua cho học sinh thấy sáng tạo linh hoạt giải toán Từ đem đến cho học sinh say mê u thích học tốn, đem lại kết cao học tập Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu định lí Vi-ét, nghiệm tam thức bậc hai so với số α, tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng, toán cực trị hàm số phải sử dụng định lí Vi-ét Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: a Định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0, ( a ≠ ) có nghiệm x1 , x2 thì: b   x1 + x2 = − a  x x = c  a Ngược lại, hai số u v có tổng u + v = S tích uv = P u v nghiệm phương trình x − Sx + P = b Các ứng dụng định lí Vi-ét việc so sánh nghiệm: * Cho phương trình bậc hai: ax + bx + c = có nghiệm x1 ; x2 giả sử x1 < x2 Đặt: S = x1 + x2 = − b c P = x1.x2 = a a + Nếu P < hai nghiệm Hai nghiệm trái dấu ( x1 < < x2 ) P > Hai nghiệm dương ( < x1 ≤ x2 ) S > + Nếu  P > Hai nghiệm âm ( x1 ≤ x2 < ) S < + Nếu  * Định lí tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm bậc nhất: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K : a Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K hàm số y = f ( x ) đồng biến K (bằng không số hữu hạn điểm); b Nếu f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K hàm số y = f ( x ) nghịch biến K (bằng không số hữu hạn điểm) * Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực trị x0 f ′ ( x0 ) = * Cách giải bất phương trình bậc hai Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình dạy học mơn Tốn đại số lớp 10, dạy phần tam thức bậc hai, mà cụ thể toán “ so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thức α”, thấy học sinh thường lúng túng việc giải toán cách giải trực tiếp bất phương trình, bất phương trình thường bất phương trình vơ tỷ học sinh thường dễ mắc sai lầm, nhiều cách giải dài dòng phức tạp Để giúp em vượt qua trở ngại tự tin hơn, làm tốt giải toán loại chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải toán liên quan đến việc so sánh nghiệm phương trình bậc hai’’ Các sáng kiến để giải vấn đề: a Bài toán mở đầu: * So sánh nghiệm phương trình bậc hai: ax + bx + c = (1) với số thực α Giải: Cách 1: Đặt: x = y + α , ta phương trình: a( y + α )2 + b( y + α ) + c = ⇔ ay + (2aα + b) y + aα + bα + c = Ta có: Nếu x > α y + α > α ⇔ y > Nếu x < α y + α < α ⇔ y < Khi tốn trở thành so sánh nghiệm phương trình bậc hai ay + (2aα + b) y + aα + bα + c = với Nếu phương trình ay + (2aα + b) y + aα + bα + c = có hai nghiệm y1 ; y2 y1 ≤ y2 và: + y1 < < y2 , phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 x1 < α < x2 + y1 ≤ y2 < , phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 x1 ≤ x2 < + < y1 ≤ y2 , phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 < x1 ≤ x2 Cách 2: Trường hợp 1: Bài tốn u cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm lớn α Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 x1 < x2 Khi đó: x1 + x2 = − b c x1 x2 = a a Để phương trình (1) có nghiệm lớn α thì: a≠0   a ≠ a ≠   ∆≥0    ∆≥0 ∆≥0    ⇔ ⇔  − b > 2α  x1 + x2 > 2α a ( x1 − α ) + ( x2 − α ) >    ( x1 − α )( x2 − α ) >  x1 x2 − ( x1 + x2 )α > −α c b  + α > −α a a Trường hợp 2: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm nhỏ α Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 x1 < x2 Khi đó: x1 + x2 = − b c x1 x2 = a a Để phương trình (1) có nghiệm nhỏ α thì: a≠0   a≠0 a≠0   ∆≥0    ∆ ≥ ∆ ≥    ⇔ ⇔  − b < 2α  x1 + x2 < 2α a ( x1 − α ) + ( x2 − α ) <    ( x1 − α )( x2 − α ) >  x1 x2 − ( x1 + x2 )α > −α c b  + α > −α a a Trường hợp 3: Bài tốn u cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm lớn α nghiệm nhỏ α Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 x1 < x2 Khi đó: x1 + x2 = − b c x1 x2 = a a Để phương trình (1) có nghiệm lớn α nghiệm nhỏ α thì:   a≠0 a≠0 a≠0      ∆>0 ⇔ ∆>0 ⇔ ∆>0  ( x − α )( x − α ) <  x x − ( x + x )α < −α c b 2    + α  m − 4m + >      ⇔  x1 > ⇔  x1 − > ⇔ ( x1 − ) + ( x2 − ) > ⇔ x >  x − >  ( x − 2) ( x − 2) > 2       m  m <        ⇔ x1 + x2 > ⇔ 2m > ⇔ m > ⇔ m > x x − 2( x + x ) + > 4m − − ( 2m ) + > m>2      Vậy, với m > phương trình cho có nghiệm phân biệt lớn b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2)   m m − 4m + >    ∆′ >  x +x >0  2m >    ⇔ 0 < x1 < ⇔  ⇔ 4m − > 0 < x <  x1 x2 >    x1 − < ( x − ) ( x − ) >   x − <  ( x1 − ) + ( x2 − ) <      m < m     m >   m > m>0 m>0    ⇔ ⇔ ⇔ 3 ⇔ < m m>   m > 4     x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > 4m − − ( 2m ) + > m  ( x − ) ( x2 − ) > ⇔ ⇔  x1 + x2 − >  x2 − >  ( x1 − ) + ( x2 − ) > m > 5m + + ( m − ) + > ⇔ ⇔ m <  −2 ( m − ) − > Vậy khơng có giá trị m cần tìm thỏa mãn yêu cầu Dạng 3: Một số tốn khác Ví dụ 5: Tìm m để phương trình: x + mx + 2mx + mx + = (1) có nghiệm Giải: Ta thấy, phương trình (1) khơng nhận x = làm nghiệm Chia hai vế phương trình (1) cho x ta phương trình: x + mx + 2m + m 1 + = ⇔  x + ÷ + m  x + ÷+ 2m − = x x x x    y ≤ −2 Đặt: y = x + , điều kiện  x  y≥2 Ta phương trình: y + my + 2m − = (2) Để phương trình (1) có nghiệm, phương trình (2) phải có nghiệm thoả  y ≤ −2 mãn:   y≥2  y ≤ −2 Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn:  , ta  y≥2 tìm điều kiện cho phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm thỏa mãn: −2 < y < ⇔∆ ⇔  4m + > S < − m + < )   ( ( ) m ∈ −∞; − 2  ∪  + 2; +∞         ⇔ m ∈  − ; +∞ ÷ ⇔ m ∈  − ; − 2  ∪  + 2; +∞ (5)      m ∈ ( −4; +∞ )  ) Để phương trình (4) có hai nghiệm v1 ; v2 (v1 ≤ v2 ) thoã mãn: < v1 ≤ v2  m − 8m + ≥ ∆ ≥    m ∈ −∞; − 2  ∪  + 2; +∞ ⇔  P > ⇔ 2 > ⇔ S > 4 − m >  m ∈ ( −∞; )   ( ) ( ⇔ m ∈ −∞; − 2  (6)   Từ (5) (6), ta có m ∈  − ; − 2    Vậy, để phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm thỏa mãn:   −2 < y < , thì: m ∈  − ; + 2 ÷   1  Vậy, để phương trình (1) có nghiệm thì: m ∈  −∞; −  ∪  + 2; +∞ )  2 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x − mx + = x − (1) có nghiệm Giải: x ≥ (1) ⇔   x − 2(m − 2) x − = Để phương trình (1) có nghiệm, phương trình: x − 2(m − 2) x − = (2) phải có nghiệm x ≥ Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm x ≥ , ta tìm điều kiện cho phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm: x1 ; x2 ( x1 ≤ x2 ) mà x1 ≤ < + Để (2) vô nghiệm ⇔ ∆ ' < ⇔ m − 4m + < vô nghiệm + Để (2) có hai nghiệm x1 ; x2 ( x1 ≤ x2 ) mà x1 ≤ x2 < Đặt: x = y + , ta phương trình: y − 2(m − 4) y − 4m + = (3) Để (2) có hai nghiệm x1 ; x2 ( x1 ≤ x2 ) mà x1 ≤ x2 < , phương trình (3) phải có hai nghiệm: y1 ; y2 ( y1 ≤ y2 )  m − 4m + ≥ ∆ ' ≥   y1 ≤ y2 < ⇔  P > ⇔ 9 − 4m > S < 2(m − 4) <    m < ⇔ ⇔m