SKKN Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn

A- PHẦN CHUNG CỦA ĐỀ TÀI I- Tên đề tài: Sử dụng phương pháp toạ độ việc giải toán liên quan đến tiếp tuyến chung hai đường trịn II- Tên tác giả: Hồng Th Lan Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Huệ, TP Yên Bái III- Lý chọn đề tài: Trong chương trình tốn phổ thơng( lớp 10) tập tiếp tuyến đường tròn vấn đề tương đối khó học sinh, đặc biệt tốn tiếp tuyến chung hai đường trịn Do đó, đề tài nhằm giúp học sinh thuận tiện khơng thấy khó khăn việc giải tốn tiếp tuyến đường trịn phương pháp toạ độ IV- Nhiệm vụ yêu cầu đề tài: Nhiệm vụ: Đưa cho học sinh phương pháp tối ưu việc giải tốn tiếp tuyến chung hai đường trịn Yêu cầu: Học sinh biết cách giải tốn tiếp tuyến đường trịn V- Giới hạn đề tài: Trong việc giảng dạy tốn hình lớp 10 VI- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu sách nâng cao sách phân ban.Bằng kinh nghiệm rút việc giảng dạy B- PHẦN NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI I- Nội dung đề tài: Phương pháp chung: Đối với tât toán tiếp tuyến đường trịn giải dựa tính chất tiếp tuyến với đường trịn là: “ Khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến bán kính đường trịn ” Và phân làm bước sau: Bước 1: Tìm tâm bán kính hai đường trịn Do ta phải sử dụng đến tâm bán kính đường trịn việc giải tốn nên việc học sinh thể làm tìm tâm bán kính hai đường trịn Bước 2: Xác định điều kiện tốn Dựa vào tính chất nêu tiếp tuyến đường tròn học sinh xác định điều kiện tốn Bước 3: Thiết lập mối quan hệ Đây bước quan trọng, chủ yếu dựa vào kĩ tính tốn học sinh Do đó, địi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều kĩ Bước 4: Kết luận Nội dung: CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1.Đường trịn: +) Phương trình tắc đường trịn tâm I(a;b) bán kính R có dạng (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 +) Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2y + c = phương trình đường trịn a2 + b2 – c > 0.Khi đường trịn có tâm I(-a;-b) bán kính R = a2 + b2 − c 2.Tiếp tuyến đường tròn: Đường thẳng ∆ : Ax + By + C = tiếp tuyến đường tròn (C) ⇔ d ( I ; ∆) = R CHƯƠNG II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ Trong đề tài ta quan tâm đến toán tiếp tuyến chung hai đường trịn Với dạng tốn chia làm bốn trường hợp: TH 1: Hai đường trịn có tiếp tuyến chung TH 2: Hai đường trịn có hai tiếp tuyến chung TH 3: Hai đường trịn có ba tiếp tuyến chung TH 4: Hai đường trịn có bốn tiếp tuyến chung Và để kiểm tra xem hai đường trịn có tiếp tuyến chung học sinh so sánh khoảng cách hai tâm với tổng độ dài hai bán kính DẠNG 1: HAI ĐƯỜNG TRỊN CĨ MỘT TIẾP TUYẾN CHUNG Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn (C) x2 + y2 – 8x – 4y – 29 = (C’): x2 + y2 – 2x – 12y + 33 = Giải Bước 1: (C) có tâm I(4;2) R = (C’) có tâm I’(1;6) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 4a + 2b + c | a +b 2 = (1) , d ( I ' ; ∆) = (1) Từ (1) (2) suy 7|a + 6b + c| = 2|4a + 2b + c| | a + 6b + c | a2 + b2 = (2)  a − 38b − 5c = ⇔ 15a + 46b + 9c = Với a – 38b – 5c = ⇔ c = | a + 6b + a − 38b thay vào (2) a − 38b | = a2 + b2 ⇔| 3a − 4b |= a + b ⇔ 16a + 24ab + 9b = ⇔ (3a + 4b) = ⇔ 3a + 4b = Chú ý: Khi rút biểu thức a b ta co thể chọn cặp số a b thoả mãn biểu thức Cặp số toạ độ vectơ pháp tuyến tiếp tuyến Chọn a = 4, b = - suy c = Với 15a + 46b + 9c = ⇔ c = | a + 6b + 118 118 Được phương trình: 4x – 3y + =0 5 − 15a − 46b thay vào (2) − 15a − 46b | = a + b ⇔| 3a + 4b |= a + b ⇔ 72a − 24ab + 65b = ( vơ nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường trịn có tiếp tuyến chung 4x – 3y + 118 = DẠNG 2: HAI ĐƯỜNG TRỊN CĨ HAI TIẾP TUYẾN CHUNG Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 8y + 11 = (C’): x2 + y2 – 2x – 2y - = Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;4) R = (C’) có tâm I’(1;1) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 2a + 4b + c | a2 + b2 = (1) , d ( I ' ; ∆ ) = |a+b+c| a2 + b2 = (2) Từ (1) (2) suy 2|2a + 4b + c| = 3|a + b + c|  a + 3b − c = ⇔ 7 a + 11b + 5c = Với a + 3b – c = ⇔ c = a + 3b thay vào (2) | a + b + a + 3b| = a + b ⇔| a + 2b |= a + b  b=0 ⇔ 4ab + 3b = ⇔ b(4a + 3b) = ⇔  4a + 3b = (2) +) Nếu b = chọn a = suy c = Được phương trình: x + = +) Nếu 4a + 3b = chọn a = 3, b = - suy c = - Được phương trình: 3x – 4y – = Với 7a + 11b + 5c = ⇔ c = |a+b+ − 7a − 11b thay vào (2) − a − 11b | = a + b ⇔| a + 3b |= a + b ⇔ 24a − 6ab + 16b = ( vô nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường trịn có hai tiếp tuyến chung x + = 3x – 4y – = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C): (x – 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C’): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 Giải Bước 1: (C) có tâm I(5;-12) R = 15 (C’) có tâm I’(1;2) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 5a − 12b + c | a2 + b2 = 15 (1) , d ( I ' ; ∆) = | a + 2b + c | a2 + b2 =5 (2) Từ (1) (2) suy |5a – 12b + c| = 3|a + 2b + c| 2a − 18b − 2c = ⇔  8a − 6b + 4c = Với 2a – 18b – 2c = ⇔ c = a – 9b thay vào (2) | a + 2b + a – 9c| = a + b ⇔| 2a − 7b |= a + b ⇔ 21a + 28ab − 24b = (3) Chú ý: Khi gặp biểu thức a b mà ta khơng thể phân tích ta sử dụng cách giải phương trình bậc hai để phân tích Có ∆' = (14b) + 21.24b = 700b Suy (3) có hai nghiệm a = +) Nếu a = − 14b ± 10b 21 − 14b + 10b chọn b = 21, a = −14 + 10 suy c = −203 + 10 21 Được phương trình: (−14 + 10 ) x + 21y − 203 + 10 = +) Nếu a = − 14b − 10b chọn b = 21, a = −14 − 10 suy c = −203 − 10 21 (4) Được phương trình: (−14 − 10 ) x + 21y − 203 − 10 = Với 8a – 6b + 4c = ⇔ c = | a + 2b + − 4a + 3b thay vào (2) − 4a + 3b | = a + b ⇔| −2a + 7b |= 10 a + b 2 ⇔ 96a + 28ab + 51b = ( vơ nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường trịn có hai tiếp tuyến chung (−14 ± 10 ) x + 21 y − 203 ± 10 = DẠNG 3: HAI ĐƯỜNG TRỊN CĨ BA TIẾP TUYẾN CHUNG Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = (C’): (x – 5)2 + (y – 5)2 = 16 Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;1) R = (C’) có tâm I’(5;5) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 2a + b + c | a2 + b2 = (1) , d ( I ' ; ∆) = | 5a + 5b + c | a2 + b2 =4 (2) Từ (1) (2) suy |5a + 5b + c| = 4|2a + b + c|  3a − b + 3c = ⇔ 13a + 9b + 5c = b Với 3a – b + 3c = ⇔ c = − a thay vào (1) | 2a + b + b − a |= a + b ⇔| 3a + 4b |= a + b  b=0 ⇔ 24ab + 7b = ⇔ b(24a + 7b) = ⇔  24a + 7b = +) Nếu b = chọn a = suy c = -1 Được phương trình: x - = +) Nếu 24a + 7b = chọn a = 7, b = - 24 suy c = - 15 Được phương trình: 7x – 24y – 15 = Với 13a + 9b + 5c = ⇔ c = | 2a + b + − 13a − 9b thay vào (1) − 13a − 9b |= a + b ⇔| 3a + 4b |= a + b ⇔ 16a − 24ab + 9b = ⇔ (4a − 3b) = ⇔ 4a − 3b = (5) Chọn a = 3, b = suy c = 15 Được phương trình: 3x + 4y + 15 = Bước 4: Vậy hai đường trịn có ba tiếp tuyến chung x - = 7x – 24y – 15 = 3x + 4y + 15 = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau (C1) : x2 + y2 - 4x + 2y – = (C2): x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;-1) R = (C’) có tâm I’(5;3) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 2a − b + c | a +b 2 = (1) , d ( I ' ; ∆) = | 5a + 3b + c | a2 + b2 =2 Từ (1) (2) suy 2|2a - b + c| = 3|5a + 3b + c| 11a + 11b + c = ⇔ 19a + 7b + 5c = Với 11a + 11b + c = ⇔ c = −11a − 11b thay vào (1) | 2a − b − 11a − 11b |= a + b ⇔| 3a + 4b |= a + b ⇔ 8a + 24ab + 15b = (3) Có ∆' = (12b) − 8.15b = 24b (2) Suy (3) có hai nghiệm a = +) Nếu a = − 12b ± 2b − 12b + 2b chọn b = , a = −12 + suy c = 44 − 22 Được phương trình: (−12 + ) x + y + 44 − 22 = +) Nếu a = − 12b − 2b chọn b = , a = −12 − suy c = 44 + 22 Được phương trình: (−12 − ) x + y + 44 + 22 = Với 19a + 7b + 5c = ⇔ c = | 2a − b + − 19a − 7b thay vào (1) − 19a − 7b |= a + b ⇔| 3a + 4b |= a + b ⇔ 16a − 24ab + 9b = ⇔ (4a − 3b) = ⇔ 4a − 3b = Chọn a = 3, b = suy c = - 17 Được phương trình: 3x + 4y - 17 = Bước 4: Vậy hai đường trịn có ba tiếp tuyến chung (−12 ± ) x + y + 44 ± 22 = 3x + 4y - 17 = (6) DẠNG 4: HAI ĐƯỜNG TRỊN CĨ BỐN TIẾP TUYẾN CHUNG Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;1) R = (C’) có tâm I’(-2;-1) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 2a + b + c | a2 + b2 = (1) , d ( I ' ; ∆) = | −2 a − b + c | a2 + b2 =3 (2) Từ (1) (2) suy |-2a - b + c| = 3|2a + b + c| 8a + 4b + 2c = ⇔ 4a + 2b + 4c = Với 8a + 4b + 2c = ⇔ c = −4a − 2b thay vào (1) | 2a + b − 4a − 2b |= a + b ⇔| 2a + b |= a + b  a=0 ⇔ 4ab + 3a = ⇔ a (3a + 4b) = ⇔  3a + 4b = +) Nếu a = chọn b = suy c = -2 Được phương trình: y - = +) Nếu 3a + 4b = chọn a = 4, b = - suy c = - 10 Được phương trình: 4x – 3y – 10 = Với 4a + 2b + 4c = ⇔ c = −a − | 2a + b − a − b thay vào (2) b |= a + b ⇔| 2a + b |= a + b 2  b=0 ⇔ 4ab − 3b = ⇔ b(4a − 3b) = ⇔  4a − 3b = +) Nếu b = chọn a = suy c = -1 Được phương trình: x - = +) Nếu 4a - 3b = chọn a = 3, b = suy c = - Được phương trình: 3x + 4y – = Bước 4: Vậy hai đường trịn có bốn tiếp tuyến chung y - = 4x – 3y – 10 = x-1=0 3x + 4y – = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau (C): x2 + y2 – 6x + 6y + 17 = (C’): x2 + y2 =1 Giải (7) Bước 1: (C) có tâm I(3;-3) R = (C’) có tâm I’(0;0) R’ = Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) ∆ : ax + by + c = (a2 + b2 ≠ 0)  d ( I ; ∆) = R d ( I ' ; ∆ ) = R ' Suy  Bước 3: Có d ( I ; ∆) = | 3a − 3b + c | a2 + b2 = (1) , d ( I ' ; ∆) = | +c | a2 + b2 =1 (2) Từ (1) (2) suy |3a - 3b + c| = | c |  3a − 4b = ⇔ 3a − 3b + 2c = Với 3a - 4b = Chọn a = 4, b = thay vào (2) suy c = ± Được phương trình: 4x + 3y ± = Với 3a - 3b + 2c = ⇔ c = 3b − 3a thay vào (2) | 3b − 3a |= a + b ⇔ 5a − 18ab + 5b = (3) Có ∆' = (9b) − 5.5b = 56b Suy (3) có hai nghiệm a = +) Nếu a = 9b ± 2b 14 9b + 2b 14 chọn b = , a = + 14 suy c = −12 − 14 Được phương trình: (9 + 14 ) x + y −12 − 14 = +) Nếu a = 9b − 2b 14 chọn b = , a = − 14 suy c = −12 + 14 Được phương trình: (9 − 14 ) x + y − 12 + 14 = Bước 4: Vậy hai đường trịn có bốn tiếp tuyến chung 4x + 3y ± = (9 ± 14 ) x + y − 12 ± 14 = (8) C- TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao hình học THPH 10 Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận NXB: Nhà xuất đại học sư phạm Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm hình học Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc NXB: Nhà xuất đại học sư phạm Tuyển chọn 400 tốn hình học(ban KHTN) 10 Tác giả: Hà Văn Chương NXB: Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội 4.Câu hỏi tập trắc nghiệm toán THPT 10 Tác giả: Nguyễn Văn Nho – Nguyễn Sinh Nguyên NXB: Nhà xuất đại học sư phạm Bài tập trắc nghiệm chuyên đề toán THPT 10 Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc NXB: Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội Để học tốt toán THPT 10 Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất NXB: Nhà xuất Hải Phòng Để học tốt toán THPT 12 Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất NXB: Nhà xuất Hải Phịng Tốn nâng cao hình học 12 Tác giả: Văn Như Cương NXB: Nhà xuất giáo dục  ... HOẠ Trong đề tài ta quan tâm đến toán tiếp tuyến chung hai đường trịn Với dạng tốn chia làm bốn trường hợp: TH 1: Hai đường trịn có tiếp tuyến chung TH 2: Hai đường trịn có hai tiếp tuyến chung. .. Hai đường trịn có ba tiếp tuyến chung TH 4: Hai đường trịn có bốn tiếp tuyến chung Và để kiểm tra xem hai đường tròn có tiếp tuyến chung học sinh so sánh khoảng cách hai tâm với tổng độ dài hai. .. nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường trịn có tiếp tuyến chung 4x – 3y + 118 = DẠNG 2: HAI ĐƯỜNG TRỊN CĨ HAI TIẾP TUYẾN CHUNG Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C): x2 + y2 –