Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung,mọi lĩnh vực như vật lý, Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tínhtoán, minh họa trực quan, Maple
Trang 1LỜI MỞ ĐẦU
Áp dụng công nghệ thông tin để đổi mới phương pháp dạy và học đang đượcquan tâm và ngày càng trở nên thiết thực Đặt biệt là vấn đề đổi mới phương pháp giáodục phổ thông
Môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng Bởi, nó là môn học nền tảng giúp
ta nhận thức mọi môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học hay áp dụng trongcác vấn đề bài toán kinh tế hay kỹ thuật…Nhưng nó lại được đánh giá là môn họckhó ở hai nghĩa đó là khó cả về người dạy và khó cả về người học Câu hỏi đặt ra là:Làm sao để học môn Toán vừa thuận lợi vừa hiệu quả hơn?
Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung,mọi lĩnh vực như vật lý, Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tínhtoán, minh họa trực quan, Maple là một công cụ rất tốt giúp cho người học và ngườidạy thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu nó ở các lĩnh vực khác nhau Trong khuônkhổ có hạn của bài thu hoạch, Em xin trình bày về cách giải quyết các bàitoán liên quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple
Trang 2I - GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MAPPLE
1 Giới thiệu
Maple là gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều lĩnh vực được xâydựng và phát triển bởi của hãng Mapple Soft, một bộ phận chủ yếu của liên hợp công tyWaterloo Mapple phát triển (http://www.maplesoft.com) Phiên bản Mapple mới nhấthiện tại là Mapple 16
Maple là một công cụ tuyệt vời hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu toán học.VớiMaple ta có thể thực hiện được mọi điều từ những phép toán đơn giản nhất, sơ cấp nhấtcho đến những tính toán phức tạp nhất Không chỉ dừng lại ở việc hỗ trợ tính toán, Maplecòn có khả năng lập trình Ở phương diện này, có thể xem Maple như là một ngôn ngữlập trình trong đó chúng ta có thể tạo ra những chương trình và những gói (package) đểtái sử dụng
Với phần mềmMaple, chúng tacó thể:
+ Thựchiện cáctính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao.+ Sử dụng các gói chuyên dụng củaMaple để giải quyết các bài toán cụ thể như:vẽ đồ thị(gói plot), hình học giải tích (gói geometry), đại số tuyến tính (góilinalg),
+ Thiết kế các đối tượng 3 chiều
Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với cáctính toán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốthơn Nhiều trường đại học sử dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chươngtrình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách học toán, song song với lối giải toán truyền
thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple.
2 Giao diện chính của Mapple 16
Trang 3II – HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MAPLE TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Để làm việc với hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple, ta phải dùng gói
Để nhập phương trình của đường thẳng l: ax + by + c = 0, ta nhập
[> line(l,a*x +b*y + c = 0,[x,y]);
Trang 4A TAM GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
1 Khai báo một tam giác trong Maple
a) Tam giác có tên là ABC đi qua ba đỉnh A, B, C cho trước, ta nhập:
Ví dụ : Ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC có phương trình lần lượt là :
x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0
Khi đó, ta nhập
[> line(AB, x + 21*y - 22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y +7 = 0, [x,y]), line(AC, 4*x - 33*y +146 = 0,[x,y]), triangle(ABC,[AB,BC,AC]);
c) Tam giác khi biết độ dài ba cạnh
triangle(Tên tam giác , [cạnh 1, cạnh 2, cạnh 3]);
Ví dụ: Để nhập tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 Nếu tam giác này có tên là ABC, ta
nhập:
[> triangle(ABC,[3,4,5]);
ABC
d) Tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó
triangle(T, [cạnh 1, 'angle'= góc xen giữa hai cạnh, cạnh 2]) ;
Ví dụ: Để nhập tam giác có độ dài hai cạnh là 2,1 và góc xen giữa hai cạnh là p /2, ta
nhập:
[> triangle(T4,[2,'angle'=Pi/2,1]):
Trang 52 Các đường đặc biệt trong tam giác
Ví dụ: Viết phương trình đường cao hA của tam giác ABC với ba đỉnh A(0; 0), B(2; 0) và
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
Trong detail ta có phương trình đường cao hA1là: – x + 3y = 0
Cách 2
[> with(geometry);
[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0),
point(C,1,3)]):altitude(hA1,A,ABC,H);
Chú ý: Trong detail [9/5,3/5] là toạ độ chân đường vuông góc H
2.2 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Để khai báo đường trung tuyến AM đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :
Trang 6median(AM, A, ABC);
Để xem chi tiết về đường trung tuyến AM, ta dùng lệnh detail(AM);
Ví dụ : Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC biết
A(5; 1), B(2; 3) và C(– 6; – 1)
[> triangle(ABC, [point(A,5,1),point(B,2,3),point(C,-6,-1)]):median(AM,A,ABC);
[> detail(AM);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
2.3 ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC.
Để khai báo đường phân giác trong AD đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :
bisector(AD, A, ABC);
* Để xem chi tiết về đường phân giác trong AD, ta dùng lệnh detail(AD);
Ví dụ : Viết phương trình đường phân giác trong AD của tam giác ABC biết A(1; 6), B(3; 4) và C(0; 1)
[> triangle(ABC,[point(A,1,6),point(B,3,4),point(C,0,1)]):bisector(AD,A, ABC);
[> detail(AD);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
2.4 ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC.
Để khai báo đường phân giác AE đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :
[ > ExternalBisector(AE, A, ABC);
* Để xem chi tiết về đường phân giác ngoài AE, ta dùng lệnh detail(AE);
3 Các điểm đặc biệt trong tam giác
3.1 TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó:
Trang 7a) G được khai báo bởi lệnh centroid(G, ABC);
b) Toạ độ G được xác định bởi lệnh coordinates(G);
Ví du1: Cho tam giác ABC với A(2; 3), B(-2; 4), C( – 4;7) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam
3.2 TRỰC TÂM CỦA TAM GIÁC
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, khi đó:
a) H được khai báo bởi lệnh orthorcenter(H, ABC);
b) Toạ độ H được xác định bởi lệnh coordinates(H);
Ví dụ: Các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC lần lượt có phương trình:
4x – y – 7 = 0, x + 3y – 31 = 0 , x + 5y – 7 = 0 Xác định trực tâm H của tam giác
[> line(AB,4*x- y -7 = 0,[x,y]),line(BC,x + 3*y -31 = 0,[x,y]),line(AC,x
Trang 83.3 TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG.
Để khai báo là trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng lệnh
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
3.4 DIỆN TÍCH CỦA MỘT TAM GIÁC
Để tính diện tích của tam giác ABC ta dùng lệnh area(ABC);
Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC với A(2; – 3), B(3; 2) và C( – 2; 5)
Ví dụ 2: Ba cạnh AB, BC, CAcủa tam giác ABCcó phương trình lần lượt là :
x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0
Trang 9Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến cạnh BC
[> line(AB, x + 21*y -22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y+7 = 0,[x,y]),line(AC, 4*x - 33*y +146 = 0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC],[x,y]);
* Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng
a) Để khai báo H là hình chiếu của điểm P lên đường thẳngl, ta dùng lệnh:
[> projection(H, P, l);
b) Để tìm toạ độ hình chiếu H, ta dùng lệnh: coordinates(H);
Ví dụ :Tìm hình chiếu Qcủa điểm P(2; 3) lên đường thẳng l: x + y + 1 = 0
* Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
a) Để khai báo Qlà của điểm đối xứng của điểm P lên đường thẳngl, ta
dùng lệnh:
[> reflection(Q, P, l);
Để tìm toạ độ của Q, ta dùng lệnh: coordinates(Q);
Ví dụ: Tìm điểm M1đối xứng với điểm M2(8; – 9) qua đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 4) và B( – 1; – 2)
Trang 10Lưu ý: Lệnh Equation(AB); cho ta phương trình của đường thẳng AB.
* NHÓM LỆNH KIỂM TRA
Sau khi đánh lệnh > with(geometry);
Ta được các lệnh, trong đó có các lệnh bắt đầu bằng Are hay Is
Các lệnh này nhằm kiểm tra tính đúng (true), sai (false) của một tính
chất hình học nào đó Sau đây là một số lệnh cơ bản:
AreTangent AreTangent(f, g) Kiểm tra sự tiếp xúc của đường thẳng f và
đường tròn g hay sự tiếp xúc của hai đường tròn
f và gIsOnCircle IsOnCircle(f, c,
cond)
Kiểm tra xem điểm (hoặc tập hợp các điểm)
f có nằm trên đường tròn c hay không ?IsOnLine IsOnLine(f, l, cond) Kiểm tra xem điểm (hoặc tập hợp các điểm)
f có nằm trên đường thẳng l hay không ?IsRightTriangle IsRightTriangle(ABC,
cond )
Kiểm tra tính vuông góc của tam giác ABC
Lưu ý:
1) Có thể bỏ cond hoặc sử dụng cond trong trường hợp có chứa tham số
2) Khi kết thúc các lệnh này và nhấn Enter thì máy trả lời là true(đúng) hoặc false(sai)
Ví dụ 1: Xét tính thẳng hàng của ba điểm A(1; 2), B(2; 3) và C(0; 7).
Trang 11Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1; m– 2), B(2; 3 + m), C(0; 7) Tìm m để ABC là tam
Lưu ý: Trong một số bài toán ta phải sử dụng lệnh assume(giả sử) m không thỏa giá trị ở
trên thì máy mới thựchiện tiếp bài toán Cụ thể, trong bài này, ta phải giả sử m ≠ 14, tức
là ta phải nhập :
[> assume (m <> 14);
Tuy nhiên, trong bài này thì không
[> point(A,1,m -2),point(B,2,3+m), point(C,0,7);
Trang 12* Phương trình của đường thẳng qua một điểm cho trước và song song với một đường thẳng cho trước.
Để viết phương trình của đường thẳng lp qua điểm P và song song với một đường
* Góc tạo bởi hai đường thẳng.
Để tính góc của hai đường thẳng d1 và d2 ta dùng lệnh :
Trang 13D DƯỜNG TRÒN
1 Khai báo phương trình một đường tròn
Nếu đường tròn C, có phương trình
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Trong Maple ta nhập:
[> circle(C,x^2 + y^2 – 2*a*x – 2*b*y + c = 0,[x, y]);
3 Thiết lập phương trình đường tròn
Maple cho phép lập phương trình đường tròn thỏa một trong các Đ K sau:
a) Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cho trước với cú pháp như sau:
[> circle(tên đường tròn, [A, B, C], [x, y]);
VD : Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3)
a) Lệnh coordinates(center(ABC));cho ta toạ độ của tâm đường tròn ABC.
b) Lệnh radius(ABC); cho ta bán kính của đường tròn ABC.
c) Lệnh Equation(ABC);cho ta phương trình của đường tròn ABC d) Nếu không dùng các lệnh này, ta có thể xem chi tiết về đường tròn ABC bằng lệnh detail(ABC); [> detail(ABC);
Trang 14b) Đường tròn có tâm A cho trước và bán kính R cho trước
với cú pháp như sau:
circle(tên đường tròn, [A, R], [x, y]);
Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn có tâm A(4; – 8) và bán kính là 5
Để tính phương tích của điểm P đối với đường tròn C, ta dùng lệnh:
powerpc(P, C);
V
í d ụ : Cho đường tròn có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y – 8 = 0
và các điểm A(1; – 5), B(6; 1) và C( – m; m) Hãy xét xem điểm A, B
nằm trong hay nằm ngoài đường tròn Tìm m để C thuộc đường tròn
[> point(A,1,-5), point(B,6,1), m,m);
circle(DTRON,x^2+y^2-2*x+4*y-8=0,[x,y]),point(C,-A, B, DTRON, C
Trang 15a) Từ đáp số ta thấy: A ở trong đường tròn và B ở ngoài đường tròn b) Có thể
dùng lệnh IsOnCircle để tìm m để C thuộc đường tròn.
4) Lệnh intersection : Tìm giao điểm của hai đường thẳng, một đường thẳng và
một đường tròn, hoặc hai đường tròn
(find the intersections between two lines, a line and a circle, or two circles)
Cú pháp :
intersection(obj,f,g);
hay intersection(ten,f,g,[M, N]);
obj - (một tên ) a name
f, g - (đường thẳng hoặc đường tròn ) the lines or circles
404 Trong các trường hợp sau xác định xem đường thẳng cắt, tiếp xúc
hoặc không có điểm chung với đường tròn :
Trang 16Máy báo đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm M , N
intersection: "there is no point of intersection"
Máy báo đường thẳng và đường tròn không có điểm chung
3 Tiếp tuyến của đường tròn
Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C tại điểm P, ta
dùng lệnh
tangentpc(l, P, c );
l - the name of the tangent line (teân tieáp tuyeán ).
418 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (x + 2) 2 + (y – 3) 2 =25 tại điểm A(– 5; 7)
Loại 2: Tiếp tuyến với đường tròn đi qua một điểm cho trước.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C đi qua điểm P cho trước
Trang 17Loại 3: tiếp tuyến của đường tròn song song hoặc vuônggóc với một
đường thẳng cho trước
436 Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 10x – 2y + 6 = 0,
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2x + y – 7 = 0
b) Ở dòng lệnh 2, ta dùng lệnh AreTangent(D,C,'cond'); để tìm điều kiện để D
tiếp xúc với đường tròn C Từ đó, ta tìm được m.
Trang 18* Đường tròn nội tiếp tam giác
Để viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta thực hiện:
Bước 1: Khai báo tam giác ABC Giả sử tam giác có tên là T.
* Đường tròn nội tiếp tam giác
Để viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta thực hiện:
Bước 1: Khai báo tam giác ABC Giả sử tam giác có tên là T.
Bước 2 : Dùng lệnh incircle(tên đường tròn , T); để khai báo đường tròn Bước 3 : Dùng lệnh Equation(tên đường tròn) để viết phương trình đường tròn
* Có thể xem chi tiết đường tròn bằng lệnh detail
enter name of the horizontal axis > x;
enter name of the vertical axis > y;
Để cho đáp số gọn lại, bạn sử dụng lệnh factor(%) như sau:
[> factor(%);
Các phép biến đổi trong hình học phẳng
Ở phần trước, chúng ta đã xét phép đối xứngcủa một điểm qua
một đường thẳng, trong phần này ta xét tất cả các phép biến đổi trong
hình học phẳng
Trang 193.1 Phép tịnh tiến
geometry[translation] - find the translation of a geometric object with respect to
a directed segment
Calling Sequence
translation(Q, obj, AB) Parameters
Q - the name of the object to be created: Têncủa đối tượng được tạo
qua phép tịnh tiến
obj - geometric object: Đối tượng hình học cần lấy qua phép tịnh tiến
AB - directed segment: Hướng của đoạn thẳng AB, ta hiểu chính là phép tịnh tiến theo vectơ
3.2 Phép quay
geometry[rotation]- find the rotation of a geometric object with respect to a given point
Calling Sequence rotation(Q, P, g, co, R)
Parameters
Q - the name of the object to be created
P - geometric object
g - the angle of rotation
co - the direction of rotation, either clockwiseor counterclockwise
R - (optional) the center of rotation
3.3 Phép vị từ:
geometry[dilatation]- find the dilatation of a geometric object
geometry[expansion]- find the expansion of a geometric object
geometry[homothety]- find the homothety of a geometric object
geometry[stretch]- find the stretch of a geometric object
Calling Sequence
dilatation(Q, P, k, O)
expansion(Q, P, k, O)
homothety(Q, P, k, O)
Trang 20stretch(Q, P, k, O)
Parameters
Q - the name of the object to be created
P - geometric object
k - number which is the ratio of the dilatation
O - point which is the center of the dilatation
4=0,[x,y]);
Trang 219 x2 6 x 8 9 y2 24 y 0
III – ÁP DỤNG LUẬT GIẢI SUY DIỄN TIẾN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TAM GIÁC
Trang 22KẾT LUẬN
Bài thu hoạch đã hướng dẫn cách giải các bài toán hình học mặt phẳng bằng công
cụ Maple Đây là bước tiếp cận ban đầu để làm quen về cách lập trình trên Maple Từ đó,
có thể xây dựng nhiều chương trình phục vụ cho mục đích học tập và nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác Maple còn là một công cụ hổ trợ tích cực trong việc giảng dạy, công
cụ trực quan, và gắn liền với toán phổ thông và đại học Được nhiều nước trên thế giới chọn và sử dụng
Tài liệu thao khảo
[1] Tập tài liệu giảng dạy môn Lập trình Symbolic cho Trí tuệ nhân tạo của thầy PGS.TS
Đỗ Văn Nhơn – Đại học Công nghệ thông tin – Đại học Quốc gia TP.HCM
[2] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple, NXB KH và
KT, 2002
[3] http://mapplesoft.com
[4] Các nguồn từ internet