giải quyết các bài toán liên quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple

PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC LỜI MỞ ĐẦU  Áp dụng công nghệ thông tin để đổi mới phương pháp dạy và học đang được quan tâm và ngày càng trở nên thiết thực. Đặt biệt là vấn đề đổi mới phương pháp giáo dục phổ thông. Môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng. Bởi, nó là môn học nền tảng giúp ta nhận thức mọi môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học hay áp dụng trong các vấn đề bài toán kinh tế hay kỹ thuật…Nhưng nó lại đƣợc đánh giá là môn học khó ở hai nghĩa đó là khó cả về ngƣời dạy và khó cả về người học. Câu hỏi đặt ra là: Làm sao để học môn Toán vừa thuận lợi vừa hiệu quả hơn? Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung, mọi lĩnh vực nhƣ vật lý, Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple là một công cụ rất tốt giúp cho người học và người dạy thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu nó ở các lĩnh vực khác nhau. Trong khuôn khổ có hạn của bài thu hoạch, Em xin trình bày về cách giải quyết các bài toán liên quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple. 1 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC I - GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MAPPLE 1. Giới thiệu Maple là gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều lĩnh vực được xây dựng và phát triển bởi của hãng Mapple Soft, một bộ phận chủ yếu của liên hợp công ty Waterloo Mapple phát triển (http://www.maplesoft.com). Phiên bản Mapple mới nhất hiện tại là Mapple 16. Maple là một công cụ tuyệt vời hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu toán học.Với Maple ta có thể thực hiện được mọi điều từ những phép toán đơn giản nhất, sơ cấp nhất cho đến những tính toán phức tạp nhất. Không chỉ dừng lại ở việc hỗ trợ tính toán, Maple còn có khả năng lập trình. Ở phương diện này, có thể xem Maple như là một ngôn ngữ lập trình trong đó chúng ta có thể tạo ra những chương trình và những gói (package) để tái sử dụng. Với phần mềmMaple, chúng tacó thể: + Thựchiện cáctính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao. + Sử dụng các gói chuyên dụng củaMaple để giải quyết các bài toán cụ thể như:vẽ đồ thị (gói plot), hình học giải tích (gói geometry), đại số tuyến tính (góilinalg), + Thiết kế các đối tượng 3 chiều Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính toán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn. Nhiều trường đại học sử dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chương trình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách học toán, song song với lối giải toán truyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple. 2. Giao diện chính của Mapple 16 2 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC II – HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MAPLE TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Để làm việc với hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple, ta phải dùng gói “geometry”. Bằng cách dùng lệnh: [> with(geometry); Một vài thao tác cơ bản: a) Nhập toạ độ một điểm Để nhập toạ độ của điểm A(a; b) ta nhập như sau: [> point (A, a, b); b) Tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1; y1) vàB(x2; y2), ta nhập: [> point(A,x1,y1),point(B,x2,y2); A, B; [> distance(A,B); c) Đường thẳng : Để nhập phương trình của đường thẳng l: ax + by + c = 0, ta nhập [> line(l,a*x +b*y + c = 0,[x,y]); A. TAM GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 1. Khai báo một tam giác trong Maple a) Tam giác có tên là ABC đi qua ba đỉnh A, B, C cho trước, ta nhập: triangle[ABC, [A, B, C] ); 3 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC V í dụ : Khai b á o m ột tam gi á c ABC đi qua ba đi ể m A(1; 1), B(0; 0) v à C(0; 5) ta l à m như s a u: [> point(A,1,1), point(B,0,0), point(C,0,5); [> triangle(ABC,[A,B,C]); ABC b) Tam g i á c c ó t ê n l à T đượ c l ập bở i ba đường t hẳng l 1 , l 2 , l 3 . Ta nh ậ p: triangle(T, [l1, l2, l3]); Ví dụ : Ba c ạ nh AB, BC, CA c ủ a tam gi á c ABC c ó phương trình l ầ n lượt l à : x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0. Khi đó, ta nhập [> line(AB, x + 21*y - 22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y +7 = 0, [x,y]), line(AC, 4*x - 33*y +146 = 0,[x,y]), triangle(ABC,[AB,BC,AC]); c) Tam giác khi biết độ dài ba cạnh. triangle(Tên tam giác , [cạnh 1, cạnh 2, cạnh 3]); Ví dụ: Để nhập tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5. Nếu tam giác này có tên là ABC, ta nhập: [> triangle(ABC,[3,4,5]); ABC d) Tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó triangle(T, [cạnh 1, 'angle'= góc xen giữa hai cạnh, cạnh 2]) ; Ví dụ: Để nhập tam giác có độ dài hai cạnh là 2,1 và góc xen giữa hai cạnh là p /2, ta nhập: [> triangle(T4,[2,'angle'=Pi/2,1]): 2. Các đường đặc biệt trong tam giác 2.1. ĐƯỜNG CAO Để khai báo đường cao hA đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập : altitude(hA, A, ABC); hay altitude(hA, A, ABC, H ); 4 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC Ở đây, H là chân đường cao. Để xem chi tiết về đường cao hA ta dùng lệnh detail(hA); Trong detail, nếu khai báo theo cách 1 ta sẽ biết được phương trình đường cao hA, còn nếu khai báo theo cách 2 ta sẽ biết được toạ độ chân đường cao H. Ví dụ: Viết phương trình đường cao hA của tam giác ABC với ba đỉnh A(0; 0), B(2; 0) và C(1; 3). Ta làm như sau: Cách 1 [> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,3)]): altitude(hA1,A,ABC); hA1 [> detail(hA1); assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively Trong detail ta có phương trình đường cao hA1là: – x + 3y = 0 Cách 2 [> with(geometry); [> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,3)]):altitude(hA1,A,ABC,H); Chú ý: Trong detail [9/5,3/5] là toạ độ chân đường vuông góc H. 2.2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Để khai báo đường trung tuyến AM đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập : median(AM, A, ABC); Để xem chi tiết về đường trung tuyến AM, ta dùng lệnh detail(AM); Ví dụ : Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC biết A(5; 1), B(2; 3) và C(– 6; – 1). [> triangle(ABC, [point(A,5,1),point(B,2,3),point(C,-6,-1)]):median(AM,A,ABC); [> detail(AM); 5 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively 2.3. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC. Để khai báo đường phân giác trong AD đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập : bisector(AD, A, ABC); * Để xem chi tiết về đường phân giác trong AD, ta dùng lệnh detail(AD); Ví dụ : Viết phương trình đường phân giác trong AD của tam giác ABC biết A(1; 6), B(3; 4) và C(0; 1). [> triangle(ABC,[point(A,1,6),point(B,3,4),point(C,0,1)]):bisector(AD,A, ABC); [> detail(AD); assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively 2.4. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC. Để khai báo đường phân giác AE đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập : [ > ExternalBisector(AE, A, ABC); * Để xem chi tiết về đường phân giác ngoài AE, ta dùng lệnh detail(AE); 3. Các điểm đặc biệt trong tam giác 3.1. TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó: a) G được khai báo bởi lệnh centroid(G, ABC); b) Toạ độ G được xác định bởi lệnh coordinates(G); Ví du1: Cho tam giác ABC với A(2; 3), B(-2; 4), C( – 4;7). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. [> triangle(ABC,[point(A,2,3),point(B,-2,4),point(C,-4,7)]); [> centroid(G,ABC); 6 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC [> coordinates(G); Ví dụ2: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(2; 3), C(0; 7). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Ta có thể làm gọn hơn như sau: [> point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7); coordinates(centroid(G,triangle(ABC,[A,B,C]))); 3.2. TRỰC TÂM CỦA TAM GIÁC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, khi đó: a) H được khai báo bởi lệnh orthorcenter(H, ABC); b) Toạ độ H được xác định bởi lệnh coordinates(H); Ví dụ: Các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC lần lượt có phương trình: 4x – y – 7 = 0, x + 3y – 31 = 0 , x + 5y – 7 = 0. Xác định trực tâm H của tam giác. [> line(AB,4*x- y -7 = 0,[x,y]),line(BC,x + 3*y -31 = 0,[x,y]),line(AC,x +5*y -7 =0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC],[x,y]); [> orthocenter(H,ABC); [> coordinates(H); [3, 4] [> map(coordinates,DefinedAs(ABC)); Chú ý: lệnh map(coordinates,DefinedAs(ABC)); Cho ta xác định được toạ độ của ba đỉnh A, B, C. 3.3. TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG. Để khai báo là trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng lệnh [> PerpenBisector(l, A, B ); Viết phương trình trung trực l của đoạn thẳng BC, biết B(2; 0) và C(1; 3) [> point(B,2,0), point(C,1,3); [> PerpenBisector(l,B,C); 7 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC [> detail(l); assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively 3.4. DIỆN TÍCH CỦA MỘT TAM GIÁC Để tính diện tích của tam giác ABC ta dùng lệnh area(ABC); Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC với A(2; – 3), B(3; 2) và C( – 2; 5). [> with(geometry); [>triangle(ABC,[point(A,2,-3),point(B,3,2), point(C,-2,5)]); ABC [> area(ABC); 14 Máy trả lời diện tích tam giác ABC là 14 B. ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ta dùng lệnh: [> distance(M, d); Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d: 3x + 6y = 1 [> with(geometry); [> point(M,2,3),line(d,3*x+6*y=1,[x,y]); [> distance(M,d); Ví dụ 2: Ba cạnh AB, BC, CAcủa tam giác ABCcó phương trình lần lượt là : x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0. Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến cạnh BC. [> line(AB, x + 21*y -22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y+7 = 0,[x,y]),line(AC, 4*x - 33*y +146 = 0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC],[x,y]); [> centroid(G,ABC); G [> coordinates(G); [ -2, 3] 8 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC [> distance(G,BC); * Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng a) Để khai báo H là hình chiếu của điểm P lên đường thẳngl, ta dùng lệnh: [> projection(H, P, l); b) Để tìm toạ độ hình chiếu H, ta dùng lệnh: coordinates(H); Ví dụ :Tìm hình chiếu Qcủa điểm P(2; 3) lên đường thẳng l: x + y + 1 = 0. [> point(P,2,3), line(l,x+y-1=0,[x,y]); P, l [> projection(Q,P,l); Q [> coordinates(Q); [0, 1] * Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng a) Để khai báo Qlà của điểm đối xứng của điểm P lên đường thẳngl, ta dùng lệnh: [> reflection(Q, P, l); Để tìm toạ độ của Q, ta dùng lệnh: coordinates(Q); Ví dụ: Tìm điểm M1đối xứng với điểm M2(8; – 9) qua đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 4) và B( – 1; – 2). Giải [> point(M2,8,-9),point(A,3,-4),point(B,-1,-2); [> line(AB,[A,B],[x,y]); [> Equation(AB); [> reflection(M1,M2,AB); [> coordinates(M1); Lưu ý: Lệnh Equation(AB); cho ta phương trình của đường thẳng AB. * NHÓM LỆNH KIỂM TRA Sau khi đánh lệnh > with(geometry); Ta được các lệnh, trong đó có các lệnh bắt đầu bằng Are hay Is. Các lệnh này nhằm kiểm tra tính đúng (true), sai (false) của một tính 9 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC chất hình học nào đó. Sau đây là một số lệnh cơ bản: T ê n l ệ nh C C hứ c n ă ng A r e C ollin e a r AreCollinear(P, Q, R, c ond ) K i ể m tra tính th ẳ ng h à ng c ủ a ba đi ể m P, Q, R . A r e C on c u rr e nt AreConcurrent(l1, l2, l3, cond ) K i ể m tra tính đồng quy c ủ a ba đường th ẳ ng l 1 , l 2 , l 3 . A r e P a r a ll e l AreParallel(l1, l2, c ond ) K i ể m tra tính song s ong c ủ a hai đường th ẳ ng l 1 , l 2 . A r e P e r p e ndi c ul a r ArePerpendicular(l 1, l2, c ond ) K i ể m tra tính vuông gó c c ủ a hai đường th ẳ ng l 1 , l 2 . A r e T a ng e n t AreTangent(f, g ) K i ể m tra s ự ti ế p xú c c ủ a đường th ẳ ng f v à đường t r òn g hay s ự ti ế p xú c c ủ a hai đường t r òn f v à g I sO n C i r c l e IsOnCircle(f, c, c ond ) K i ể m tra xem đi ể m ( ho ặ c t ậ p h ợp c á c đi ể m ) f c ó n ằ m t r ê n đường t r òn c hay không ? I sO nLin e IsOnLine(f, l, c ond ) K i ể m tra xem đi ể m ( ho ặ c t ậ p h ợp c á c đi ể m ) f c ó n ằ m t r ê n đường th ẳ ng l hay không ? I sR ightT r i a n gl e IsRightTriangle(A BC, cond ) K i ể m tra tính vuông gó c c ủ a tam gi á c A BC . Lưu ý: 1) Có thể bỏ cond hoặc sử dụng cond trong trường hợp có chứa tham số. 2) Khi kết thúc các lệnh này và nhấn Enter thì máy trả lời là true(đúng) hoặc false(sai). Ví dụ 1: Xét tính thẳng hàng của ba điểm A(1; 2), B(2; 3) và C(0; 7). Ta làm như sau: [> point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7); A,B,C [> AreCollinear(A, B, C); false Máy trả lời false, tức ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1; m– 2), B(2; 3 + m), C(0; 7). Tìm m để ABC là tam giác vuông. Trước hết ta dùng lệnh [> AreCollinear(A, B, C); để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm A, B, C [> AreCollinear(A, B, C); AreCollinear: "hint: could not determine if -m+14is zero" FAIL 10 [...]... ÁP DỤNG LUẬT GIẢI SUY DIỄN TIẾN ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TAM GIÁC 20 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC 21 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC KẾT LUẬN Bài thu hoạch đã hướng dẫn cách giải các bài tốn hình học mặt phẳng bằng cơng cụ Maple Đây là bước tiếp cận ban đầu để làm quen về cách lập trình trên Maple Từ đó, có thể xây dựng nhiều chương trình phục vụ cho mục đích học tập và nghiên cứu trong nhiều... x; enter name of the vertical axis > y; Để cho đáp số gọn lại, bạn sử dụng lệnh factor(%) như sau: [> factor(%); Các phép biến đổi trong hình học phẳng Ở phần trước, chúng ta đã xét phép đối xứngcủa một điểm qua một đường thẳng, trong phần này ta xét tất cả các phép biến đổi trong hình học phẳng 3.1 Phép tịnh tiến geometry[translation] - find the translation of a geometric object with respect to a directed... khác Maple còn là một cơng cụ hổ trợ tích cực trong việc giảng dạy, cơng cụ trực quan, và gắn liền với tốn phổ thơng và đại học Được nhiều nước trên thế giới chọn và sử dụng Tài liệu thao khảo [1] Tập tài liệu giảng dạy mơn Lập trình Symbolic cho Trí tuệ nhân tạo của thầy PGS.TS Đỗ Văn Nhơn – Đại học Cơng nghệ thơng tin – Đại học Quốc gia TP.HCM [2] Phạm Huy Điển, Tính tốn, lập trình và giảng dạy tốn học. .. xác định nếu – m + 14 = 0, tức ba điểm A, B, C thẳng hàng khi – m+ 14 = 0 hay m= 14 Lưu ý: Trong một số bài tốn ta phải sử dụng lệnh assume(giả sử) m khơng thỏa giá trị ở trên thì máy mới thựchiện tiếp bài tốn Cụ thể, trong bài này, ta phải giả sử m ≠ 14, tức là ta phải nhập : [> assume (m 14); Tuy nhiên, trong bài này thì khơng [> point(A,1,m -2),point(B,2,3+m), point(C,0,7); A, B, C [> IsRightTriangle(ABC,cond);... báo phương trình một đường tròn Nếu đường tròn C, có phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Trong Maple ta nhập: [> circle(C,x^2 + y^2 – 2*a*x – 2*b*y + c = 0,[x, y]); 12 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC 3 Thiết lập phương trình đường tròn Maple cho phép lập phương trình đường tròn thỏa một trong các Đ K sau: a) Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cho trước với cú pháp như sau: [> circle(tên... [> circle(T,[C,R],[x,y]); T [> Equation(T); x2 −2+y2 −2x+2y=0 3) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Để tính phương tích của điểm P đối với đường tròn C, ta dùng lệnh: powerpc(P, C); Ví dụ : Cho đường tròn có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y – 8 = 0 và các điểm A(1; – 5), B(6; 1) và C( – m; m) Hãy xét xem điểm A, B nằm trong hay nằm ngồi đường tròn Tìm m để C thuộc đường tròn [> point(A,1,-5),... trình các tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 = 5 kẻ từ điểm A [> point(A,5/3,-5/3),circle(C,x^2+y^2=5,[x,y]); A, C [> TangentLine(Tieptuyen,A,C,[L1,L2]); [ L1, L2 ] [> TangentLine(Tieptuyen,A,C,[L1,L2]); [ L1, L2 ] [> Equation(L1); 16 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn LẬP TRÌNH SYMBOLIC [> Equation(L2); Loại 3: tiếp tuyến của đường tròn song song hoặc vnggóc với một đường thẳng cho trước 436 Viết phương trình các tiếp... coordinates(center(ABC));cho ta toạ độ của tâm đường tròn ABC b) Lệnh radius(ABC); cho ta bán kính của đường tròn ABC c) Lệnh Equation(ABC);cho ta phương trình của đường tròn ABC d) Nếu khơng dùng các lệnh này, ta có thể xem chi tiết về đường tròn ABC bằng lệnh detail(ABC); [> detail(ABC); b) Đường tròn có tâm A cho trước và bán kính R cho trước với cú pháp như sau: circle(tên đường tròn, [A, R], [x, y]); Ví dụ 1 : Viết phương... respect to a directed segment Calling Sequence translation(Q, obj, AB) Parameters Q - the name of the object to be created: Têncủa đối tượng được tạo qua phép tịnh tiến obj - geometric object: Đối tượng hình học cần lấy qua phép tịnh tiến AB - directed segment: Hướng của đoạn thẳng AB, ta hiểu chính là phép tịnh tiến theo vectơ 18 PGS.TS: Đỗ Văn Nhơn 3.2 LẬP TRÌNH SYMBOLIC Phép quay geometry[rotation]-... point(C,0,7); A, B, C [> IsRightTriangle(ABC,cond); IsRightTriangle: "hint: one of the following conditions must be satisfied: {-76+26*m2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}" FAIL Máy thơng báo : Một trong các điều kiện sau phải thỏa mãn: “{-76+26*m-2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}" Bây giờ ta dùng lệnh solve để tìm m [> solve(-76+26*m-2*m^2 = 0,{m}); [> solve(-88+10*m = 0, {m}); [> solve(36-10*m . các lĩnh vực khác nhau. Trong khuôn khổ có hạn của bài thu hoạch, Em xin trình bày về cách giải quyết các bài toán liên quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple. 1 PGS.TS: Đỗ Văn. SYMBOLIC II – HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MAPLE TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Để làm việc với hình học giải tích trong mặt phẳng bằng Maple, ta phải dùng gói “geometry”. Bằng cách dùng lệnh: [> with(geometry); Một. dụng các gói chuyên dụng củaMaple để giải quyết các bài toán cụ thể như:vẽ đồ thị (gói plot), hình học giải tích (gói geometry), đại số tuyến tính (góilinalg), + Thiết kế các đối tượng 3 chiều Maple