Nghi¶N cøu v• topologic tr¶n c¡c không gian, làm rª hơn młi li¶n h» giœa c¡c topo tr¶n c¡c không gian, đặc bi»t đłi với c¡c không gian định chun và ti•n hilbert

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Lê Thị Hạnh ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn,tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Hồng Đức, nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết thầy, Đặc biệt,tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Văn Lợi, người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Thanh Hóa, tháng 08 năm 2015 Lê Thị Hạnh iii Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian tôpô 1.3 Các tiên đề tách 1.4 Không gian định chuẩn 1.5 Ánh xạ đẳng cấu KHÔNG GIAN LIÊN HỢP VÀ CÁC TOPOLOGIC LIÊN QUAN 2.1 Trường hợp tổng quát 2.1.1 Không gian liên hợp không gian topologic tuyến tính 2.2 2.1.2 Vài vấn đề liên quan đến không gian liên hợp thứ hai 15 2.1.3 Bài tập 17 Trường hợp không gian định chuẩn tiền -Hilbert 20 2.2.1 Không gian liên hợp không gian định chuẩn 20 2.2.2 Không gian liên hợp không gian Hilbert tiền Hilbert 27 2.2.3 Bài tập 31 Tài liệu tham khảo 38 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Đại số tuyến tính mà trọng tâm khơng gian véc tơ ánh xạ tuyến tính, với khơng gian tôpô hai số nhiều học phần chương trình đào tạo cử nhân ngành tốn hệ thống giáo dục Việt Nam Các kiến thức không gian tơpơ mang tính trừu tượng cao kiến thức nhiều môn khoa học Ánh xạ tuyến tính nói riêng tốn tử nói chung chiếm thời lượng lớn chương trình đào tạo cử nhân ngành tốn Khơng gian tơpơ tuyến tính cấu trúc kết hợp hai học phần này, cung cấp cho người đọc kiến thức khơng gian topologic tuyến tính; Khơng gian liên hợp tơpơ liên quan; Tốn tử tuyến tính liên tục không gian tôpô, vài ứng dụng chúng Nghiên cứu không gian liên hợp topologic liên quan cần thiết học viên cao học tốn nói chung cao học tốn giải tích nói riêng Đề tài nhắc lại số kiến thức topologic không gian, làm rõ mối liên hệ tôpô không gian, đặc biệt không gian định chuẩn tiền Hilbert Một số tính chất đặc trưng chúng Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1.Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm, định lý cần thiết để nghiên cứu nội dung Chương Khơng gian liên hợp topologic liên quan Trong chương chúng tơi trình bày khơng gian liên hợp tương quan topologic liên quan đến không gian liên hợp.Chứng minh số kết mở rộng, đưa số tập lời giải Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất đặc trưng không gian liên hợp topologic liên quan Chứng minh chi tiết số định lí, mệnh đề, tính chất đưa số tập lời giải Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu topologic không gian, làm rõ mối liên hệ topo không gian, đặc biệt không gian định chuẩn tiền Hilbert Một số tính chất đặc trưng chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu : Khơng gian topologic tuyến tính X, khơng gian liên hợp X, khơng gian liên hợp không gian định chuẩn, không gian liên hợp không gian Hilbert tiền Hilbert, topologic khơng gian, mối liên hệ chúng • Phạm vi nghiên cứu : Mối liên hệ không gian, mối tương quan topologic không gian Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng q trình nghiên cứu tổng hợp kiến thức từ tài liệu khác nhau, đặc biệt tài liệu tham khảo tài liệu [1] (Đỗ Văn Lợi, (2014), Bài giảng không gian vecto topo, ĐH Hồng Đức, Thanh Hóa, 185tr) Từ phân tích, so sánh để làm sáng tỏ vấn đề, trình bày theo hệ thống logic sở có định hướng, gợi mở thầy hướng dẫn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 ([3])Giả sử X tập hợp tùy ý Khoảng cách d X ánh xạ d: X × X −→ R thỏa mãn điều kiện 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X Khi (X, d)- gọi khơng gian metric Định nghĩa 1.1.2 ([3])Cho X không gian metric, a ∈ X, r > ta gọi Hình cầu mở tâm a, bán kính r tập S(a; r) = {x ∈ X : d(a, x) < r} Hình cầu đóng tâm a, bán kính r tập S[a; r] = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r} Định nghĩa 1.1.3 ([3]) Cho A ⊂ X, x ∈ X - x gọi điểm A tồn hình cầu mở S(x, r) ⊂ A - A gọi tập mở x ∈ A điểm A - A gọi tập đóng X\A tập mở - A gọi tập lồi với t ∈ [0; 1] tA + (1 − t)A ⊂ A - A gọi tập cân với t mà |t| ≤ tA ⊂ A - Bao lồi A tập lồi nhỏ chứa A.Kí hiệu convA T Dễ thấy convA = {K ⊂ E : K ⊃ A, K lồi} - A gọi bị chặn với lân cận U tồn α > cho với λ : |λ| > α ta có A ⊂ λU - Bao đóng A, kí hiệu A, dễ thấy A = A ∪ ∂A, ∂A tập tất điểm biên A Định nghĩa 1.1.4 ([3]) G gọi lân cận x G mở chứa x Nhận xét - Điều kiện cần đủ để tập A ⊂ X lân cận x ∈ X x điểm A - Hình cầu mở tập mở, hình cầu đóng tập đóng Định nghĩa 1.1.5 ([3]) Dãy {xn } không gian mêtric X gọi hội tụ đến x0 ∈ X lim d(xn , x0 ) = x→∞ Khi đó,ta kí hiệu lim xn = x0 xn → x0 x→∞ Nhận xét Dãy {xn } hội tụ đến x0 với r>0, tồn n0 ∈ N cho xn ∈ S(x0 , r), ∀n ≥ n0 Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Giả sử X không gian metric A, B ⊂ X A gọi trù mật B B ⊂ A A gọi trù mật khắp nơi X A = X Tập A gọi không đâu trù mật A = Ø Định nghĩa 1.1.7 ([3])Không gian mêtric X gọi khả ly tồn tập A ⊂ X , A đếm A = X Định nghĩa 1.1.8 ([3]) Dãy điểm xn không gian mêtric X gọi dãy Côsi (dãy bản) với số ε > 0, tồn n0 ∈ N cho ∀m, n ≥ n0 ta có d(xn , xm ) < ε hay lim d(xn , xm ) = m,n→∞ Chú ý Mọi dãy hội tụ dãy Định nghĩa 1.1.9 ([3])Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Côsi X hội tụ (có giới hạn X) Định nghĩa 1.1.10 ([3]) a)Ta nói dãy tập hợp A1 , A2 , , An , không gian mêtric lồng A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ b) Dãy tập lồng gọi thắt lại dãy đường kính hội tụ tới Định lý 1.1.11 Không gian mêtric X đầy đủ X dãy hình cầu đóng lồng thắt lại có điểm chung Định nghĩa 1.1.12 Tập A ⊂ X gọi compac dãy {xn } ⊂ A chứa dãy {xnk } ⊂ {xn } hội tụ đến điểm thuộc A Chú ý Tập compact tập đóng, điều ngược lại khơng 1.2 Không gian tôpô Định nghĩa 1.2.1 ([3])Cho X tập hợp khác Ø.Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất 1) X ∈ τ Ø ∈ τ, 2) τ đóng kín phép lấy giao hữu hạn,tức k T A1 , A2 , , Ak ∈ τ Ai ∈ τ ; i=1 3) τ đóng kín phép lấy hợp tùy ý: Nếu Ai ∈ τ, ∀i ∈ I S Ai ∈ τ i∈I Khi đó, cặp (X, τ ) (hay thân tập hợp X ) không gian tôpô Định nghĩa 1.2.2 ([3]) Mỗi tập A ∈ τ gọi tập hợp mở Phần bù tập hợp mở gọi tập đóng Nhận xét : Ø, τ tập hợp vừa đóng vừa mở Định nghĩa 1.2.3 ([3])Điểm a điểm của tập hợp A tồn B mở cho a ∈ B ⊂ A Tập hợp điểm tập hợp A gọi miền A, kí hiệu Int(A) b) Điểm a gọi điểm tập hợp A điểm Ac = X \ A Tập hợp điểm tập hợp A gọi miền ngồi A, kí hiệu Ext(A) c) Điểm a gọi điểm biên tập hợp A khơng phải điểm khơng phải điểm ngồi A Tập hợp điểm biên tập hợp A gọi biên A ký hiệu ∂A d) Bao đóng tập hợp A kí hiệu A A = A ∪ ∂A, ∂A tập điểm biên tập A e) Điểm a gọi điểm tụ tập hợp A lân cận điểm a chứa vô số điểm khác A Định nghĩa 1.2.4 ([3]) Cho không gian topologic ( X, τ ) Họ σ (không chứa Ø) τ gọi sở τ không gian ( X, τ ), tập hợp A ∈ τ có dạng hợp số tập hợp thuộc S σ , nghĩa A = Ui , Ui ∈ σ , I tập hợp số i∈I Mệnh đề 1.2.5 ([3]) Cho σ họ tập hợp tập hợp X (Ø không thuộc σ ) Khi σ sở topologic X thỏa mãn điều kiện sau: a) Mỗi phần tử a ∈ X thuộc tập hợp A ∈ σ b) Nếu A1 , A2 ∈ σ a ∈ A1 ∩ A2 tồn A3 ∈ σ cho a ∈ A3 ⊂ A1 ∩ A2 Định nghĩa 1.2.6 ([3]) Cho (X, τ ) không gian tôpô, tập V ⊂ X gọi lân cận x x ∈ V ∈ τ Họ ϑ = {V : V lân cận x ∈ X} gọi sở lân cận x với lân cận U x tồn V ∈ ϑ cho x ∈ V ⊂ U Định nghĩa 1.2.7 ([3]) Dãy điểm {xn } hội tụ tới điểm a hay a giới hạn dãy {xn } (trong không gian topologic (X, τ )) viết là: xn −→ a hay limxn = a, với lân cận U điểm a tồn số nguyên dương n0 cho với n ≥ n0 xn ∈ U Khi X có topologic khác hội tụ theo τ , kí hiệu là: xn −→ a τ − Định nghĩa 1.2.8 ([3]) Tập A trù mật tập B B ⊂ A Nếu A trù mật khơng gian X ta nói A trù mật khắp nơi Nhận xét : Khi có sở σ topologic τ để chứng minh xn −→ a, ta cần chứng minh với U ∈ σ tồn n0 cho ∀n ≥ n0 có xn ∈ U Định nghĩa 1.2.9 ([3]) Không gian topologic (X, τ ) gọi khả ly có tập hợp đếm trù mật khắp nơi Định nghĩa 1.2.10 ([3]) Cho f ánh xạ từ không gian topologic (X, τ ) vào không gian topologic (Y, θ) Ta nói f liên tục điểm a ∈ X với lân cận V điểm b = f (a) ∈ Y tồn lân cận U điểm a cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ liên tục điểm gọi liên tục X Khi f song ánh, f f −1 liên tục ta nói f đồng phơi Định lý 1.2.11 ([3]) a) Nếu (X, τ ) có sở đếm khơng gian khả ly b) Đối với khơng gian metric tính khả ly tương đương với tồn sở đếm 1.3 Các tiên đề tách Định nghĩa 1.3.1 ([4]) a)Ta nói khơng gian (X, τ )thỏa mãn tiên đề tách thứ hay (X, τ ) T1 - không gian, với điểm tùy ý khác X tồn lân cận chứa điểm mà không chứa điểm b) Ta nói khơng gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ hai hay (X, τ ) T2 - không gian, với điểm tùy ý khác a, b X tồn lân cận U a lân cận V b cho U ∩ V = Ø Ta cịn gọi (X, τ ) khơng gian Hausdorff c) Ta nói khơng gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ ba, hay (X, τ ) T3 - không gian, với điểm a ∈ X tập hợp đóng A 6= Ø khơng chứa a tồn tập mở U, V cho a ∈ U, A ⊂ V, U ∩ V = Ø (Khi ta nói U, V lân cận không giao a A) d) Ta nói khơng gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ tư, hay (X, τ ) |f (x)| = (t − 12 )x(t)dt ≤ ||x|| (t − 21 ) dt = 41 ||x|| 0 Tìm chuẩn f , ta có: ||f || = sup {|f (x)| : ||x|| ≤ 1} ≤    −1 ; ≤ t < 12    Chọn hàm x(t) = at + b ; 12 ≤ t ≤ 12 + ε     1 ; 12 + ε < t ≤ Với a = 2ε ; b = − ε+1 ε , ε > Ta có x(t) ∈ C[0, 1] : ||x|| = |f (x)| = 14 + g(ε) , g(ε) −→ Vậy ||f || = ε→0 t b) Tìm điều kiện hệ số a, b cho hàm x(t) = ae + be−t thuộc 19 Kerf R1 Ta có: f (x) = ⇔ (t − 12 )(aet + be−t )dt = a( −e + ) + b( − 2e ) = Bài tập 2.1.20 ([1]) Cho X khơng gian topologic tuyến tính bị chặn cục Trong X , xét lân cận bị chặn U 0.Với f ∈ X ∗ , đặt: ||f || = Sup |f (x)| (1) x∈U Khi (1) chuẩn X ∗ (X ∗ , ||.||) không gian Banach Chứng minh *) Chứng minh (1) chuẩn +) Trước hết ta nhận xét với f ∈ X ∗ Sup |f (x)| hữu hạn x∈U U bị chặn Hiển nhiên, f = ||f || = Ngược lại, f 6= tồn x ∈ X cho f (x) 6= Do lân cận hút nên với α > đủ lớn ta có x α ∈ U ; đồng thời f ( αx ) 6= Sup |f (x)| > Vậy ||f || = f = Suy x∈U +) ||λf || = Sup |λf (x)| = |λ|Sup |f (x)| = |λ| ||f || x∈U x∈U +)||f + g|| = Sup |f (x) + g(x)| ≤ Sup |f (x)| + Sup |g(x)| = ||f || + ||g|| x∈U x∈U x∈U Do đó,||.|| chuẩn X ∗ *) Chứng minh (X ∗ , ||.||) không gian Banach Giả sử {fn } dãy theo chuẩn (1) Khi đó, với x ∈ U dãy số {fn (x)} R hội tụ tới giới hạn mà ta ký hiệu f (x) ∈ R Với x ∈ X tìm α > đủ lớn để x = x α ∈ U Đặt f (x ) = αf (x), ta phiếm hàm f xác định toàn X  0 Dễ thấy fn (x ) −→ f (x ) với x ∈ X f phiếm hàm tuyến tính Do hội tụ {fn (x)} −→ f (x) U nên f (u) bị chặn Vậy f ∈ X ∗ , (X ∗ , ||.||) khơng gian Banach Nhận xét: Như vậy, X khơng gian định chuẩn biến X ∗ thành không gian Banach (bằng nhiều hàm định chuẩn khác nhau, tùy theo việc chọn lân cận U ) Dễ thấy hệ U ∗ , n ∈ R sở lân cận chuẩn (1) xác định topologic mạnh n (theo định nghĩa 2.1.3) 20 2.2 Trường hợp không gian định chuẩn tiền -Hilbert 2.2.1 Không gian liên hợp không gian định chuẩn Định lý 2.2.1 ([1])Phiếm hàm tuyến tính f không gian định chuẩn
X liên tục f S(0; 1) tập hợp bị chặn (trong R) Hoặc,
cách tương đương f S(a; r) bị chặn với a ∈ X, r > Chứng minh Thuận: Giả sử f liên tục Khi liên tục Do f −1 (−1; 1) mở chứa phần tử X Vì điểm f −1 (−1; 1) nên tồn δ > cho : S (0; δ) ⊂ f −1 (−1; 1) Với < δ1 < δ S(0; δ1 ) ⊂ f −1 (−1; 1).Từ suy ra: 1 1 S(0; δ1 ) ⊂ f −1 (−1; 1) = f −1 (− ; ) δ1 δ1 δ1 δ1  

Do f S(0; 1) ⊂ − δ11 ; δ11 Vậy f S(0; 1) tập hợp bị chặn
Đảo: giả sử f S(0; 1) bị chặn Ta chứng minh f liên tục Vì với S(0; 1) = ε > tùy ý (−ε; ε) lân cận f (0) nên ta cần δ >
cho: f S(0; δ) ⊂ (−ε; ε)

Do f S(0; 1) bị chặn nên tồn r > cho f S(0; 1) ⊂ (−r; r) Khi
ε  ε f S(0; ) = f S(0; 1) ⊂ (−ε; ε) r r ε Vậy lấy δ = r ta có f liên tục  Vậy định lý chứng minh xong Đối với phiếm hàm tuyến tính liên tục f không gian định chuẩn X, ta đặt: ||f || = Sup |f (x)| (2.6) x∈S(0;1) (x)| Định lý 2.2.2 ([1]) ||f || = sup |f (x)| = sup |f||x|| ||x||=1 x6=0 = inf {c ≥ : |f (x)| ≤ c||x||, ∀x ∈ X} 21 Chứng minh +)Trước hết, {x ∈ X, ||x|| = 1} ⊂ S (0; 1) sup |f (x)| ≤ sup |f (x)| = ||f || nên ||x||=1 x∈S(0;1) Mặt khác, < ||x0 || ≤ : x1 = với nên x0 ||x0 || ta có ||x1 || = 1và ||f (x1 )|| = ||f (x0 )|| ||x0 || ≥ ||f (x0 )|| sup |f (x)| ≥ sup |f (x)| = ||f || ||x||=1 x∈S(0;1) ||f || = sup |f (x)| Từ suy ra: ||x||=1 +) sup |f (x)| = ||x||=1 (x)| sup |f||x|| x6=0 hiển nhiên +) Ta chứng minh: ||f || = c0 = inf {c ≥ : |f (x)| ≤ c||x||, ∀x ∈ X} Từ (x)| ||f || = sup |f||x|| ⇒ |f (x)| ≤ ||f ||||x|| x6=0 Nghĩa là: ||f || ∈ {c ≥ : |f (x)| ≤ c||x||, ∀x ∈ X} hay ||f || ≥ c0 Mặt khác, c1 ∈ {c ≥ : |f (x)| ≤ c||x||, ∀x ∈ X} |f (x)| ≤ c1 ||x||, ∀x ∈ X x 6= ta có nên với Vậy nên: |f (x)| ||x|| ≤ c1 Do ||f || ≤ c1 ||f || ≤ c0 Suy ||f || = c0 Định lý 2.2.3 (Định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn)([1]) Cho X0 không gian không gian định chuẩn X , f0 phiếm hàm tuyến tính liên tục X0 Khi f0 thác triển thành phiếm hàm tuyến tính liên tục f toàn X cho ||f || = ||f0 || ( ||f || lấy X , ||f0 || lấy X0 ) Chứng minh Xét phiếm hàm p(x) = ||f0 ||||x|| X Đây phiếm hàm lồi (đối xứng).Ngồi ra, X0 f0 bị chắn p Theo định lý Hahn-Banach thác triển f0 thành phiếm hàm tuyến tính f tồn X , cho điều kiện bị chắn p giữ nguyên Do X0 có: |f (x)| ≤ ||f0 ||||x|| (1) Kéo theo f (x) ≤ ||f0 ||||x|| (2) nên bất đẳng thức tồn X Mặt khác, tính đối xứng phiếm hàm nên từ (2) lại có (1) X Từ (1) suy : f (x) ||x|| ≤ ||f0 ||, ∀x ∈ X, x 6= 22 Nên ||f || ≤ ||f0 || (3) Mặt khác, supremum biểu thức không giảm chuyển từ tập hợp hẹp sang tập hợp rộng nên ||f || ≥ ||f0 || (4) ||f || = ||f0 || Do đó, từ (3)và (4) ta có Định lý 2.2.4 Trên khơng gian định chuẩn ln có đủ nhiều phiếm hàm tuyến tính liên tục Chứng minh Lấy a 6= X Ta phải chứng minh có phiếm hàm ϕ ∈ X ∗ cho ϕ(a) 6= Thật vậy: Trên X0 = {λa, λ ∈ R}.Xét phiếm hàm ϕ0 (λa) = λ (hiển nhiên tuyến tính liên tục X0 )