Nghiên cứu phương pháp phép chiếu trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều

Bài viết nghiên cứu phương pháp phân tích trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều. Ở đây tác giả đã mở rộng bằng cách xét phép toán tích trong với trọng là một ma trận đối xứng xác định dương, bài toán tối ưu được viết lại đối với phép toán mới.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHÉP CHIẾU TRỰC GIAO VỚI PHÉP TỐN TÍCH TRONG VỚI TRỌNG TRÊN KHƠNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp POD (Proper orthogonal decomposition) phương pháp xấp xỉ tối ưu từ hệ sở trực chuẩn Phương pháp POD áp dụng nhiều lĩnh vực như: xử lý ảnh, nghiên cứu cấu trúc dòng chảy rối [1],… Phương pháp POD phương pháp tuyến tính ta xác định hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) liệu ban đầu tập hợp rời rạc liên tục có cỡ lớn (các kết thực nghiệm kết số thời điểm khác nhau) Hệ sở xác định không gian cỡ nhỏ để xây dựng mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin Phép chiếu Galerkin hệ véc tơ sở POD đưa vào hệ Navier-Stokes dẫn đến hệ phương trình vi phân bậc hai Trong báo tác giả nghiên cứu phương pháp POD với phép tốn tích với trọng không gian hữu hạn chiều PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp POD không gian hữu hạn chiều nghiên cứu [2] Các kết trình bày định lý 2.1 hệ 2.3; 2.4 Định lý 2.1 Cho Y   y1 , , yn  ma trận  D 0   U T YV   ,  0 với D  diag  , , d   ¡ Khi với l  1, , d  nghiệm của: l u1 , ,ul ¡  i 1 cho u i , u j ¡ m n  Pl : max m  y j , ui ¡ j 1 m ,   ij ;  i, j  l xác l định ui i 1 l cột U Hơn nữa: l l i 1 i 1 arg max  P l     i   i Định nghĩa 2.2 Với l  1, , d  véc tơ l ui i 1 gọi hệ sở POD với hạng l Hệ 2.3 (Tối ưu hóa hệ sở POD) Với giả thiết định lý xảy µd  ¡ md ma trận ứng với Giả sử U véc tơ vng góc đơi với véc tơ u$i và: µd C d , Y U đó: Cijd  u$i , y j m ;  i  d ;1  j  n ¡ Khi với l  1, , d  ta có: Y  U l Bl cỡ m  n có hạng d  m, n với phép F µl C l  Y U , F F chuẩn Frobenius định nghĩa sau: phân tích SVD Y  U V T đó: U  u1 , , um   ¡ mm , V   v1 , ,   ¡ nn ma trận trực giao   ¡ d d m mn A có dạng: F  n  A ij i 1 j 1 89  trace  AT A  , Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 U l ma trận l cột đầu U ; B l ma trận µl C l l cột đầu B , tương tự U Chú ý: Hệ sở POD hạng l tối ưu Thay  P1  bởi:  P :max  n theo nghĩa lấy trung bình cột  y j  n  y j , ui i 1 j 1 l l ¡ m i 1   i   y j , u$i i 1   với u$i i n i 1 j 1 Giả sử u  ¡ ¡ , m W j 1 L  u,     y j , u l   y j ,u m u¡ Toán tử Lagrange L : ¡  P1W  xác định bởi: j 1 Y tổ hợp tuyến tính hệ sở trực chuẩn với hạng l : l n W W ; u m W   ¡  ¡    1 u  W nghiệm  P1W  m nghiệm của: L  u ,    n Vì W đối xứng nên ta nhận hệ véc tơ trực chuẩn i 1 L   n m m  u,      Y jT W k uk  ui ui  j 1 k 1  1 m m    1   u W k uk    k 1  1  Hệ 2.4 Với giả thiết định lý nhận n  y j , ui j 1 ¡ y j , uk m ¡ m   Bijl Bkjl   i2 ik ,  i, k  l Nếu n  m xác định hệ sở hạng l sau: Tính véc tơ v1 , ,  ¡ n việc giải toán n  n giá trị riêng: Y T Yvi  i vi với i  1, , l Trong trường hợp phương pháp POD thường gọi phương pháp snapshots Mặt khác, với m  n giải toán m  m giá trị riêng  WYY T Wu  Wu   u L  u ,    WYY T Wu  Wu   Do phải giải toán giá trị riêng T WY WY  Định lý 3.1 Cho Y  ¡ ma trận có hạng d  m, n , W ma trận đối Chúng ta mở rộng định lý 2.1 cách đưa vào không gian Euclid ¡ m phép tốn tích với trọng sau: u , u%  uTW u%  u,W u%  Wu , u% , m ¡ m u , u%  ¡ m , W  ¡ mm ma trận đối xứng, xác định dương Chuẩn trường hợp xác định bởi: u W  u, u W ; u¡ m xác định dương, Y  W 1/2Y l  1, , d  Cho phép phân tích SVD Y : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ¡ (1) mn xứng, W u  Wu Y  U V T U  u1 , , um   ¡ V  v1 , ,   ¡ nn ma trận trực giao  có dạng T  D 0 U YV      ¡ mn   0 Khi nghiệm  P : l W Khi W  I tích xác định trùng với tích Euclid thơng thường cho u i , u j 90 l max m  u1 , ,ul ¡ W i 1 n  y j , ui j 1   ij ;  i, j  l W , mm ; Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 Đặt xác định ui  W 1/2 ui ; i  1, , l Hơn nữa: l ui  W 1/ ui  l arg max  P W     i   i l i 1 i 1 Các bước chứng minh định lý 3.1 sau: Bởi W ma trận đối xứng, xác định dương nên có giá trị riêng 1 ,      m  W  QDQT , D  diag 1 , , , m  Q ma trận trực giao Đặt W   Qdiag 1 , ,1  QT ,   ¡ Nhận xét: W   1  W  W     W  W  ,  ,   ¡ Ta có: ¡ u , u%  W 1/2 u ,W 1/2 u%m , u, u% W m ¡ 1/ || u ||W || W u ||¡ m , u  ¡ m Đặt u  W 1/ u  ¡ m Y  W 1/2Y  ¡ mxn Nhân hai vế (1) với W 1/ đưa đến toán giá trị riêng: T Y Y u  u Ta có u1  W 1/ (2) u1 nghiệm  P W , T u1 véc tơ riêng YY ứng với giá trị riêng lớn 1 với ||| u1 ||¡ m  Từ phương pháp SVD ta có u1 xác định từ T tốn giá trị riêng Y Y v1  1 v1 , T Y Y  Y T WY Tương tự tìm véc tơ thứ hai u  ¡ m với u , u1 W  để cực đại  n j 1 | yj ,u W  i i   W 1/ Y vi W 1/ 2W 1/ 2Y vi  i Y vi Chú ý  uiTWu j   ij  j với  i, j  l i  j Khi mà m ? n dùng phương pháp snapshots tính tốn máy tính nhanh nhiều so với phương pháp POD thông thường ui , u j W KẾT LUẬN Trong báo tác giả nghiên cứu phương pháp phân tích trực giao với phép tốn tích với trọng không gian hữu hạn chiều Ở tác giả mở rộng cách xét phép tốn tích với trọng ma trận đối xứng xác định dương, toán tối ưu viết lại phép toán Giải toán giá trị riêng cho phép xác định hệ sở POD toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Holmes, J.L Lumley, and G Berkooz Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Systems and Symmetry Cambridge Monographs on Mechanics, Cambridge University Press, 1996 [2] Nguyễn Đức Hậu Nghiên cứu phương pháp POD tập hợp kết mơ hình số tính tốn dịng chảy Tuyển tập hội nghị thường niên trường Đại học Thủy lợi 2019, tr 165-167 |2 l Hệ 3.2 Hệ sở POD ui i 1 với hạng l xác định phương pháp snapshots sau: Giải toán giá trị riêng Y TWY vi  i vi với i  1, , l 91 ... phân tích trực giao với phép tốn tích với trọng không gian hữu hạn chiều Ở tác giả mở rộng cách xét phép tốn tích với trọng ma trận đối xứng xác định dương, toán tối ưu viết lại phép toán Giải toán. ..  j với  i, j  l i  j Khi mà m ? n dùng phương pháp snapshots tính tốn máy tính nhanh nhiều so với phương pháp POD thông thường ui , u j W KẾT LUẬN Trong báo tác giả nghiên cứu phương pháp. .. hệ sở hạng l sau: Tính véc tơ v1 , ,  ¡ n việc giải toán n  n giá trị riêng: Y T Yvi  i vi với i  1, , l Trong trường hợp phương pháp POD thường gọi phương pháp snapshots Mặt khác, với m