Không gian khả mêtric, không gian g trải và ảnh của không gian mêtric qua các ánh xạ phủ

0 MỤC LỤC Mục lục Không gian sn-khả mêtric ánh xạ phủ compact 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các không gian sn-khả mêtric 1.3 Các không gian sn-khả mêtric ảnh compact thương không gian mêtric 19 Không gian g-trải ánh xạ phủ dãy 2.1 Không gian g-trải không gian o-mêtric 2.2 Không gian g-trải ánh xạ phủ dãy Kết luận 31 31 33 43 Tài liệu tham khảo 44 LỜI NĨI ĐẦU Khơng gian mêtric khơng gian tơpơ đặc biệt có nhiều tính chất trực quan Người ta thường mở rộng không gian mêtric cách giảm bớt điều kiện định nghĩa để đạt lớp khơng gian tổng qt Với cách làm người ta đưa định nghĩa không gian giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric, sn-khả mêtric, Những người đạt kết lĩnh vực phải kể đến Zhiming Luo, Y.Tanaka, Shouli, Y.Ge, Trong nghiên cứu ánh xạ đặc biệt khơng gian tơpơ khơng gian nói có hướng nghiên cứu nhà tốn học quan tâm tìm điều kiện khơng gian ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt Mục đích luận văn tiếp cận hướng nghiên cứu để tìm hiểu nghiên cứu tính chất không gian sn-khả mêtric, không gian g-trải, đồng thời nghiên cứu điều kiện để không gian ảnh compact thương, phủ dãy, phủ compact, π, σ -ảnh, không gian mêtric Với mục đích đó, Luận văn chia làm hai chương Chương Không gian sn-khả mêtric ánh xạ phủ compact Trong chương này, mục thứ chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất cần dùng luận văn Mục thứ hai trình bày khái niệm số tính chất khơng gian sn-khả mêtric Mục thứ ba trình bày khái niệm ánh xạ đặc biệt π -ánh xạ, σ -ánh xạ, ánh xạ thương, thương dãy, phủ dãy, điều kiện để không gian sn-khả mêtric ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt Chương Không gian g-trải ánh xạ phủ dãy Trong chương này, mục thứ chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian g-trải, khơng gian o-mêtric mối quan hệ chúng Mục thứ hai trình bày điều kiện để không gian g-trải ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo, chúng tơi hệ thống trình bày theo bố cục mới, chứng minh chi tiết kết mà tài liệu khơng chứng minh chứng minh cịn vắn tắt Bên cạnh chúng tơi đưa số kết như: Định lí 1.2.12, Định lí 1.2.13, Định lí 1.2.15 Luận văn hồn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học Thầy, Cô giáo khoa giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình,bạn bè bạn học viên Cao học khố 15 - Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong qúy Thầy Cơ bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN SN-KHẢ MÊTRIC VÀ CÁC ÁNH XẠ PHỦ COMPACT 1.1 Kiến thức chuẩn bị Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết có cần dùng luận văn Trong luận văn khơng giải thích thêm khơng gian hiểu T1 quy cịn ánh xạ tồn ánh liên tục 1.1.1 Định nghĩa Giả sử P họ tập không gian tôpô X (1) Họ P gọi đếm theo điểm (tương ứng hữu hạn theo điểm) với a ∈ X Pa = {P ∈ P : a ∈ P } tập đếm (tương ứng tập hữu hạn) (2) Họ P gọi hữu hạn địa phương (tương ứng rời rạc, đếm địa phương) với a ∈ X tồn lân cận U a cho P = {P ∈ P : P ∩ U = ∅} tập hữu hạn (tương ứng có khơng q phần tử, không đếm được) (3) Họ P gọi sao-đếm Po ∈ P P(Po ) = {P ∈ P : P ∩ Po = ∅} tập đếm (4) Họ P = {Pα : α ∈ Λ} gọi bảo tồn phép lấy bao đóng di truyền hay đơn giản HCP cl(∪{Bα : α ∈ Λ }) = ∪{clBα : α ∈ Λ }, với Λ ⊂ Λ Bα ⊂ Pα với α ∈ Λ , clB kí hiệu bao đóng tập B (5) P họ σ -(p) P = {Pn : n ∈ N∗ }, Pn họ có tính chất (p) với n ∈ N (6) Không gian tôpô X gọi k-không gian X xác định phủ gồm tập compact 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô P ⊂ X (1) Dãy{xn } gọi nằm P từ lúc xn −→ x tồn m ∈ N cho {xn : n m} ∪ {x} ⊂ P (2) Dãy {xn } gọi thường xuyên gặp P có dãy {xn } nằm P từ lúc 1.1.3 Định nghĩa Giả sử P phủ không gian tôpô X (1) P gọi lưới x U mở X , x ∈ X tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U P gọi lưới X lưới điểm x ∈ X (2) P gọi k-lưới X tập compact K lân cận V K , tồn họ hữu hạn F P cho K ⊂ ∪F ⊂ V , ∪F = ∪{P : P ∈ F} (3) P gọi cs-lưới (tương ứng cs∗ -lưới) X với dãy {xn } X hội tụ tới x ∈ X lân cận U x tồn P ∈ P cho P ⊂ U {xn } P từ lúc (tương ứng thường xuyên gặp P ) (4) X gọi ℵ-khơng gian X có k-lưới σ -hữu hạn địa phương 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, x ∈ X P ⊂ X (1) Tập P ⊂ X gọi lân cận dãy x dãy hội tụ đến x nằm P từ lúc (2) Tập P ⊂ X gọi mở dãy X P lân cận dãy điểm thuộc P (3) X gọi không gian dãy tập mở dãy X mở X (4) X gọi không gian paracompact phủ mở X tồn mịn hữu hạn địa phương mở 1.1.5 Định nghĩa Giả sử P phủ không gian tôpô X (1) P gọi cs-phủ (tương ứng cs∗ -phủ ) dãy hội tụ nằm P từ lúc (tương ứng thường xuyên gặp P ), với P ∈ P (2) P gọi sn-phủ với P ∈ P P lân cận dãy điểm x thuộc X , với x ∈ X tồn P ∈ P cho P lân cận dãy x (3) P gọi cfp-phủ tập compact K ⊂ X họ hữu hạn {Kα : α ∈ J} tập đóng K {Pα : α ∈ J} ⊂ P cho K = ∪{Kα : α ∈ J} Kα ⊂ Pα với α ∈ J P gọi cfp-phủ X tập compact K X tồn tập hữu hạn P∗ ⊂ P cho P∗ cfp-phủ K X 1.1.6 Định nghĩa (1) Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ X , thoả mãn hai điều kiện sau (i) Px lưới x với x ∈ X nghĩa x ∈ ∩Px lân cận U x tồn P ∈ Px cho P ⊂ U , ta viết ∩Px thay cho ∩{P : P ∈ Px }; (ii) Với P1 , P2 ∈ Px , tồn P3 ∈ Px cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 ; (1) P gọi sn-lưới X với x ∈ X phần tử thuộc Px lân cận dãy x Khi ta gọi Px sn-lưới x (2) P gọi sở yếu X với G ⊂ X, x ∈ G, tồn P ∈ Px cho P ⊂ G G tập mở X Khi Px gọi sở lân cận yếu x phần tử Px gọi lân cận yếu x 1.1.7 Định nghĩa Giả sử {Pn } dãy phủ không gian tôpô X (1) {Pn } gọi lưới sao-điểm X với x ∈ X {st(x, Pn ) : n ∈ N} lưới x X (2) {Pn } gọi sn-lưới sao-điểm X với x ∈ X {st(x, Pn ) : n ∈ N} sn-lưới x X (3) {Pn } gọi dãy phủ trải yếu X với x ∈ X {st(x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu X Trong st(x, Pn ) = ∪{P ∈ Pn : x ∈ P } 1.1.8 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, P(X) họ tất tập X ánh xạ g : N × X −→ P(X) Ánh xạ g gọi ánh xạ phủ mở yếu đếm viết tắt CW C -ánh xạ (i) x ∈ g(n, x) với x ∈ X , với n ∈ N; (ii) g(n + 1, x) ⊂ g(n, x) với x ∈ X với n ∈ N; (iii) Tập U X mở với x ∈ U tồn n ∈ N cho g(n, x) ⊂ U 1.1.9 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô P phủ X , với họ F P , ta kí hiệu Ints (∪F) = {x ∈ X : ∪F lân cận dãy x } P gọi có tính chất (B) với x ∈ X , lân cận U x tồn họ hữu hạn F P cho (i) x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U ; (ii) x ∈ ∩F 1.2 Các không gian sn-khả mêtric Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian sn-khả mêtric 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô (1) Không gian X gọi sn-khả mêtric X có sn-lưới σ -hữu hạn địa phương (2) Khơng gian X gọi snf-đếm X có sn-lưới P = ∪{Px : x ∈ X} cho Px họ đếm 1.2.2 Bổ đề ([9]) Giả sử X khơng gian tơpơ.Khi điều kiện sau tương đương (1) X không gian sn-khả mêtric (2) X có sn-lưới σ -rời rạc (3) X không gian snf-đếm ℵ-không gian 1.2.3 Định lý ([9]) Mỗi khơng gian có sn-lưới đếm địa phương không gian sn-khả mêtric Chứng minh Giả sử X khơng gian có sn-lưới đếm địa phương P = ∪{Px : x ∈ X} Vì P tập đếm địa phương nên Px tập đếm được, X khơng gian snf-đếm Mặt khác P sn-lưới nên P cs-lưới Thật vậy, giả sử {xn } dãy X xn → x V lân cận mở x Khi đó, P sn-lưới nên tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ V Từ P lân cận dãy x suy tồn no ∈ N cho xn ∈ P với n no Do {xn : n ≥ no } ∪ {x} ⊂ P ⊂ V Vậy P cs-lưới đếm địa phương X Theo [4] (Bổ đề 2.9) P k-lưới Vì X khơng gian snf-đếm với k-lưới đếm địa phương Do X k-không gian với k-lưới đếm địa phương nên X ℵ-khơng gian Từ bổ đề 1.2.2 ta có X không gian sn-khả mêtric 1.2.4 Bổ đề ([9]) Giả sử X khơng gian tơpơ Khi (1) ⇔ (2) ⇒ (3), (1) X có sn-lưới σ -đếm địa phương (2) X không gian snf-đếm với cs-lưới σ -đếm địa phương (3) X không gian snf-đếm với k-lưới σ -đếm địa phương Chứng minh (1) ⇒ (2) Suy từ cách chứng minh định lí 1.2.3 (2) ⇒ (3) Giả sử X không gian snf-đếm với cs-lưới σ -đếm địa phương, tức tồn P = ∪{Pn : n ∈ N∗ } cho P cs-lưới Pn đếm dược địa phương X Giả sử K ⊂ X tập compact V lân cận mở K Với n ∈ N∗ ta đặt An = {P ∈ Pn : n ∈ N∗ , P ∩ K = ∅, P ⊂ V } Khi đó, từ Pn đếm địa phương tính compact K suy giả thiết An tập đếm Do A = ∪{An : n ∈ N∗ } tập đếm Kí hiệu A = ∪{Pi : i ∈ N∗ } K ⊂ Pi Thật vậy, giả sử ngược i j Khi xnl ∈ Pj Điều mâu thuẫn với xn ∈ K \ Pi , n = 1, 2, Vậy X không gian i với x ∈ U d(x, X\U ) = inf{d(x, y) : y ∈ X\U } Hàm d gọi symmetric d o-mêtric d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X Không gian tôpô X với o-mêtric (tương ứng symmetric) d gọi khơng gian o-mêtric (tương ứng đối xứng) ký hiệu (X, d) X không cần d Không gian tôpô X gọi gf-đếm X có sở yếu P = ∪{Px : x ∈ X} cho Px tập đếm 32 2.1.3 Bổ đề ([6]) Giả sử X không gian tôpô Xét điều kiện sau CW C -ánh xạ g (a) Nếu xn ∈ g(n, x) với n xn → x; (b) Nếu x ∈ g(n, xn ) với n xn → x; Khi (1) X khơng gian gf-đếm X có CW C -ánh xạ thoả mãn (a); (2) X không gian đối xứng X T1 -không gian có CW C -ánh xạ thoả mãn (a) (b) 2.1.4 Mệnh đề ([6]) Nếu X không gian g-trải T1 X khơng gian đối xứng Chứng minh Giả sử g : N × X −→ P(X) CW C -ánh xạ thoả mãn x, {xn }, {yn } X cho x xn ∈ g(n, yn ) với n ∈ N xn −→ x Theo Định lí 2.1.3, để chứng minh X không gian đối xứng ta cần chứng minh g thoả mãn điều kiện (a) (b) Giả sử xn ∈ g(n, x) với n ∈ N Lấy yn = x, với n ta có xn ∈ g(n, x) với n xn −→ x Do g thoả mãn (a) Giả sử x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N Đặt yn = xn với n ∈ N Khi x ∈ g(n, xn ) với n xn −→ x Do g thỗ mãn (b) 2.1.5 Hệ ([6]) Nếu X khơng gian g-trải X không gian gf-đếm Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.4 không gian đối xứng gf-đếm Tuy nhiên, ta đưa cách chứng minh khác Giả sử g : N × X −→ P(X) CW C -ánh xạ thoả mãn x, {xn }, {yn } X cho x xn ∈ g(n, yn ) xn −→ x Với x ∈ X đặt yn = x với n ∈ N Khi xn ∈ g(n, x) với n xn −→ x Do g thoả mãn (a) Vậy theo Định lí 2.1.3, X khơng gian gf-đếm 33 2.2 Không gian g-trải ánh xạ phủ dãy Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu mối quan hệ không gian g-trải ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt 2.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian đối xứng (1) Dãy {xn } X gọi d-Cauchy với ε > 0, tồn k ∈ N cho d(xn , xm ) < ε với m, n > k (2) Không gian X gọi đối xứng Cauchy dãy hội tụ X d-Cauchy 2.2.2 Bổ đề ([6]) Giả sử X không gian g-trải với CW C -ánh xạ g Đặt γn = {g(n, x) : x ∈ X}, n ∈ N Khi P = ∪{st(x, γn ) : x ∈ X, n ∈ N} sở yếu X 2.2.3 Định lý ([7]) Với không gian X , điều kiện sau tương đương (1) X không gian g-trải (2) X khơng gian đối xứng Cauchy (3) X có dãy phủ trải yếu gồm cs-phủ (4) X có dãy phủ trải yếu gồm sn-phủ (5) X ảnh không gian mêtric qua π -ánh xạ thương, phủ dãy phủ compact (6) X ảnh không gian mêtric qua π -ánh xạ thương, phủ dãy Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử X không gian g-trải với CW C -ánh xạ g Từ Bổ đề 2.2.2, ta có P = ∪{st(x, γn ) : x ∈ X, n ∈ N} sở yếu X Ta xác định ánh xạ d : X × X −→ R công thức d(x, y) = inf{n∈N:y ∈st(x,γ / n )} x = y x = y 34 với x, y ∈ X Từ X khơng gian quy Hiển nhiên d(x, y) suy d(x, y) = x = y Nếu tồn Pn ∈ st(x, γn ) cho y ∈ Pn Pn ∈ st(y, γn ) Suy y ∈ / st(x, γn ) x ∈ / st(y, γn ), tức d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X Vì X khơng gian g-trải nên U ⊂ X tập mở với x ∈ U , tồn n ∈ N cho g(n, x) ⊂ U , tức g(n, x) ∩ (X \ U ) = ∅ Điều tương đương với d(x, X \ U ) > n Do d symmetric X , nghĩa X không gian đối xứng Giả sử {xn } ⊂ X {xn } hội tụ đến x Từ P sở yếu X suy với k ∈ N, tồn h ∈ N cho xn ∈ g(k, x) với n ε > 0, chọn k ∈ N cho với n k h Với < ε Khi tồn h ∈ N cho xn ∈ g(h, x) h Do {xh , xh+1 , } ⊂ g(k, x) ∈ γk Điều chứng tỏ với m, n h ta có xn ∈ g(k, x) ∈ st(xm , γk ) Vì < ε, với m, n h k Vậy {xn } dãy d-Cauchy Do X không gian đối xứng Cauchy d(xn , xm ) < (2) =⇒ (1) Giả sử d symmetric X cho dãy hội tụ dãy d-Cauchy Khi với x ∈ X với ε > 0, tồn δ = δ(x, ε) > cho d(x, y) < δ d(x, z) < δ d(y, z) < ε Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x ∈ X ε > cho với n ∈ N tồn xn yn cho d(x, xn ) < n d(x, yn ) < n dãy {zn } = {x1 , y1 , x2 , y2 , } d(x, yn ) > ε Lấy 35 Khi d(zn , x) < n với n ∈ N Do zn −→ x Mặt khác, từ d(xn , yn ) > ε với n suy {zn } không dãy d-Cauchy Điều mâu thuẫn với giả thiết Bây với x ∈ X n ∈ N, ta chọn δ = δ(x, n) > cho từ d(x, y) < δ d(x, z) < δ d(y, z) < n xác định ánh xạ g : N × X −→ P(X) với g(n, x) = B(x, δ(x, n)) Hiển nhiên x ∈ g(n, x) ⊂ g(n + 1, x) với x ∈ X n ∈ N Từ d symmetric suy U ⊂ X mở với x ∈ U tồn g(n, x) ⊂ U Do g CW C -ánh xạ Cuối cùng, giả sử x xn ∈ g(n, yn ) với n Khi d(x, yn ) < δ(yn , n), d(xn , yn ) < δ(yn , n) với n Do d(x, xn ) < n với n Điều chứng tỏ xn −→ x Vậy X không gian g-trải (2) =⇒ (3) Giả sử X không gian đối xứng Cauchy Với n ∈ N, đặt } n Thế st(x, Pn ) = B(x, n1 ) với x ∈ X Vì {Pn } lưới sao-điểm Pn = {A ⊂ X : sup{d(x, y) : x, y ∈ A} < X Với dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X , từ {xn } dãy d-Cauchy X không gian đối xứng tồn m ∈ N cho d(x, xi ) < 1 , d(xi , xj ) < n+1 n+1 36 với i, j m Đặt P = {x} ∪ {xi : i m} P ∈ Pn Do Pn cs-phủ X Vì X khơng gian đối xứng nên X không gian dãy Với x ∈ X n ∈ N, từ Pn cs-phủ X st(x, Pn ) lân cận dãy x Vì {st(x, Pk ) : k ∈ N} sở lân cận yếu x X Vậy {Pn } dãy phủ trải yếu X (3) =⇒ (4) Giả sử {Pn } dãy cs-phủ trải yếu X Ta giả thiết Pn+1 mịn Pn với n ∈ N Với x, y ∈ X, x = y , đặt t(x, y) = min{n : x ∈ / st(y, Pn )} Ta định nghĩa ánh xạ d : X × X −→ [0, +∞) cho d(x, y) = x = y −t(x,y) x = y Chứng minh tương tự (1) ⇒ (2) ta có d symmetric X Với x, y ∈ X, x ∈ st(y, Pn ) t(x, y) > n Thật vậy, hiển nhiên t(x, y) > n x ∈ st(y, Pn ) Ngược lại, giả sử x ∈ st(y, Pn ) t(x, y) n Từ Pn mịn Pt(x,y) ta có st(y, Pn ) ⊂ st(y, Pt(x,y) ) Mà x ∈ st(y, Pn ) nên x ∈ st(y, Pt(x,y) ) Đây điều mâu thuẫn Từ suy st(x, Pn ) = B(x, 21n ) với x ∈ X, n ∈ N Do {Pn } lưới sao-điểm X (X, d) khơng gian đối xứng Ta có d có tính chất: Với x ∈ X ε > 0, tồn δ = δ(x, ε) > cho với y, z ∈ X mà d(x, y) < δ d(x, z) < δ d(y, z) < ε Thật vậy, giả sử tồn εo > hai dãy {yn }, {zn } X cho d(x, yn ) < d(yn , zn ) 2n d(x, zn ) < 2n εo Vì {Pn } lưới sao-điểm nên {yn } {zn } hội tụ tới x Chọn k ∈ N cho 2k < εo Từ Pk cs-phủ X suy {ym , zm } ⊂ P với m ∈ N P ∈ Pk Thế ym ∈ st(zm , Pk ) Suy t(ym , zm ) > k Do d(ym , zm ) = 2t(ym ,zm ) < < εo 2k 37 Điều mâu thuẫn với d(yn , zn ) εo Với x ∈ X, n ∈ N, ta đặt δ = δ(x, n) cho với x, y ∈ X mà d(x, y) < δ d(x, z) < δ d(y, z) < n1 Đặt g(n, x) = B(x, δ(x, n)) Vì Pn cs-phủ X nên st(x, Pn ) lân cận dãy x X Do g(n, x) lân cận dãy x Đặt Fn = {g(n, x) : x ∈ X} Khi đó, Fn sn-phủ X Bây ta chứng minh {Fn } lưới sao-điểm X Giả sử ngược lại, {Fn } không lưới sao-điểm X Khi tồn x ∈ G mở X hai dãy {xn }, {yn } X cho x ∈ g(n, yn ) xn ∈ g(n, yn ) \ G Vì {xn } không hội tụ đến x d(yn , x) < δ(yn , n), d(yn , xn ) < δ(yn , n) Thế d(x, xn ) < n1 Do {xn } hội tụ tới x Ta có mâu thuẫn Dễ thấy, X khơng gian dãy Vì st(x, Fn ) lân cận dãy x với x ∈ X n ∈ N Vậy {Fn } dãy sn-phủ trải yếu X (3) =⇒ (2) Giả sử {Pn } dãy cs-phủ trải yếu X Ta giả thiết Pn+1 mịn Pn với n ∈ N Tương tự chứng minh (3) ⇒ (4), ta định nghĩa symmetric d X cho st(x, Pn ) = B(x, n ) với x ∈ X, n ∈ N Do (X, d) không gian đối xứng Với dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x ε > 0, tồn k ∈ N cho 2k < ε Từ Pk cs-phủ X , tồn P ∈ Pk l ∈ N cho {x} ∪ {xn : n Nếu m, n l} ⊂ P l xn , xm ∈ P nên xn ∈ st(xm , Pk ) Suy t(xn , xm ) > k Do d(xn , xm ) = 2t(xn ,xm ) < ni Vì {αin } hội tụ tới αi Với n ∈ N, đặt βn = (αin ) ∈ Λi i∈N βn ∈ f −1 (xn ) {βn } hội tụ tới βx Vậy f ánh xạ phủ dãy (iii) f ánh xạ thương Từ f ánh xạ phủ dãy suy f ánh xạ thương (iv) f ánh xạ phủ compact Trước tiên, ta chứng minh Pn cfp-phủ X Tương tự chứng minh (3) ⇒ (4), ta định nghĩa ρ : X × X −→ [0, +∞) mà ρ symmetric X (X, ρ) không gian đối xứng Nếu K tập compact X khơng gian K đối xứng Vì khơng gian compact đối xứng khả mêtric nên không gian K khả mêtric Với x ∈ K , tồn Px ∈ Pn cho Px lân cận dãy x Vì x ∈ IntK (Px ∩ K) Do {IntK (Px ∩ K) : x ∈ K} phủ mở không gian K Thế có họ hữu hạn {Ki : i l} tập đóng K {IntK (Pxi ∩ K) : i cho K = ∪{Ki : i l} ⊂ Pn l} Ki ⊂ IntK (Pxi ∩ K) Vậy {Pxi : i l} cfp-phủ K X Pn cfp-phủ X Bây ta chứng minh f ánh xạ phủ compact Giả sử K tập compact X Từ Pn cfp-phủ X , tồn tập hữu hạn PnK cho PnK cfp-phủ K X Do có tập hữu hạn {Kα : α ∈ Jn } tập đóng K {Pα : α ∈ Jn } ⊂ PnK cho K = ∪{Kα : α ∈ Jn } Kα ⊂ Pα với α ∈ Jn Hiển nhiên, Kα tập compact X Đặt L = {(αi ) : αi ∈ Ji , Kαi = ∅} i∈N 41 Khi - L ⊂ M Thật vậy, với (αi ) ∈ L Kαi = ∅ Do lấy x ∈ i∈N Kαi i∈N {Pαi } lưới x ∈ X nên (αi ) ∈ M Vậy L ⊂ M - L tập compact Thật vậy, với (αi ) ∈ / L i∈N no no ∈ N cho Kαi = ∅ Vì thế, tồn Kαi = ∅ Đặt i=1 W = {(βi ) : βi ∈ Ji , βi = αi , W lân cận mở (αi ) ∈ i no } Ji W ∩ L = ∅ Do L tập đóng i∈N i∈N Λi nên L tập compact Ji tập compact Ji Vì i∈N i∈N M - f (L) = K Thật vậy, với x ∈ K , với i ∈ N, lấy αi ∈ Ji cho x ∈ K α i ⊂ Pα i Khi f ((αi )) = x Vậy K ⊂ f (L) Hiển nhiên f (L) ⊂ K Nên K = f (L) Vậy f ánh xạ phủ compact (5) =⇒ (6) Hiển nhiên (6) =⇒ (3) Giả sử f : M −→ X π -ánh xạ, thương, phủ dãy, (M, d) không gian mêtric Với n ∈ N, đặt Bn = {B(z, ) : z ∈ M } n Pn = f (Bn ), 1 B(z, ) = {y ∈ M : d(x, y) < } n n Khi {Pn } lưới sao-điểm X Thật vậy, với x ∈ X lân cận mở U x, từ f π -ánh xạ, tồn n ∈ N cho d(f −1 (x), M \ f −1 (U )) > n 42 Lấy m ∈ N cho m )) 2n Nếu z ∈ M x ∈ f (B(z, m f −1 (x) ∩ B(z, Nếu B(z, m ) ) = ∅ m f −1 (U ) d(f −1 (x), M \ f −1 (U )) < m n 1 Ta có mâu thuẫn Vì B(z, m ) ⊂ f −1 (U ) Nên f (B(z, m )) ⊂ U Do st(x, Pm ) ⊂ U hay st(x, Pm ) lưới x Vậy {Pn } lưới sao-điểm X Dễ thấy, X không gian dãy Với n ∈ N, từ Bn cs-phủ M ánh xạ phủ dãy bảo toàn cs-phủ nên Pn cs-phủ X 43 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Dựa vào tài liệu tham khảo, tìm hiểu hệ thống lại số vấn đề không gian sn-khả mêtric, không gian g-trải, điều kiện để không gian sn-khả mêtric, không gian g-trải ảnh không gian mêtric qua số ánh xạ phủ Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu tham khảo khơng chứng minh chứng minh cịn vắn tắt như: Định lí 1.2.3, Định lí 1.2.5, Định lí 1.3.5, Định lí 1.3.6, Mệnh đề 2.1.4, Hệ 2.1.5, Định lí 2.2.3 Đưa chứng minh số kết không gian sn-khả mêtric, không gian với sn-lưới sao-đếm sn-lưới sao-điểm thể Định lí 1.2.12, 1.2.13, 1.2.15 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Trọng Đạt (2005), Các phủ khơng gian tơpơ, Luận văn Thạc sĩ tốn học, ĐH Vinh [2] Hoàng Thế Nam (2008), Một số vấn đề khơng gian sn-mêtric hố được, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh [3] Phan Anh Tài (2008), Một số vấn đề không gian o-mêtric o-mêtric mạnh, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh [4] Ying Ge (2003), Characterizations of sn-metrizable spaces, Publication De L’institut Mathematique, 74, 121-128 [5] Ying Ge (2007), Remarks on sequence covering images of metric spaces, Applied Mathematics E-Note, 7, 60-64 [6] Kyung Bai Lee (1976), On certain g-first countable spaces, Pacific Journal of Mathematics, Vol.65, No.1, pp.113-118 [7] Zhaowan Li, Shou Lin and Pengfei Yan (2004), A note on gdevelopable spaces, Far East J.Math.Sci.(FJMS) 15(2), 182-191 [8] S.Lin (1997), A note on the Arens’ spaces and sequential fan, Topology Appl 81, no 3, 185-196 [9] Zhiming Luo (2005), sn-metrizable spaces and related matters, International Journal of Mathematical Sciences, 16, 2523-2532 [10] F.Siwiec (1974), On defining a spaces by weak base, Pacific J.Math, 52, 233-245 45 [11] Y.Tanaka (2001), Theory of k-networks II, Questions and Answers in General Topology, Vol.19, 27-46 [12] Y.Tanaka and Y.Ge (2006), Around quotient compact images of metric spaces and symmetric spaces, Houston Journal of Mathematics, Vol.32, No.1, 99-117 ... phương Vậy X khơng gian sn -khả mêtric 31 CHƯƠNG KHƠNG GIAN G- TRẢI VÀ ÁNH XẠ PHỦ DÃY 2.1 Không gian g- trải không gian o -mêtric Trong mục trình bày khái niệm, tính chất khơng gian o -mêtric, không gian. .. sn -khả mêtric, không gian g- trải, điều kiện để không gian sn -khả mêtric, không gian g- trải ảnh không gian mêtric qua số ánh xạ phủ Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu tham khảo khơng chứng... X khơng gian gf-đếm 33 2.2 Không gian g- trải ánh xạ phủ dãy Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu mối quan hệ không gian g- trải ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt 2.2.1 Định nghĩa Giả sử