Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian metric suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU ĐẠT ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM[.]

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU ĐẠT ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG BÁO CÁO KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU ĐẠT ÁNH XẠ ĐĨNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn giúp đỡ tận tình cho em suốt trình thực đề tài, nhờ em hồn thành luận văn Trong trình nghiên cứu đề tài, em gặp khơng khó khăn tìm tịi dịch tài liệu hạn chế mặt kiến thức Tuy vậy, nhờ động viên từ q thầy giáo, quan tâm gia đình bạn bè giúp em có động lực phấn đấu hoàn thành luận Đây kỷ niệm đáng nhớ em thời gian học tập Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! SV thực đề tài Đỗ Hữu Đạt MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Khái niệm không gian topo 1.2 Lân cận 1.3 Tập hợp đóng 1.4 Bao đóng tập hợp 11 1.5 Phần tập hợp 15 1.6 T1 -không gian T2 -không gian 17 1.7 Tập hợp compact ánh xạ liên tục 19 1.8 Không gian 23 CHƯƠNG Ánh xạ đóng ánh xạ mở khơng gian metric suy rộng 25 2.1 Cơ sở sở lân cận không gian topo 25 2.2 Tính chất ánh xạ đóng ánh xạ mở 28 2.3 Một số tính chất mạng bất biến qua ánh xạ đóng 36 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, lý thuyết không gian metric suy rộng khơng ngừng phát triển đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác topo đại cương Trên sở nhiều cơng trình nghiên cứu sở, mạng k -mạng, số khái niệm liên quan xuất mạng Pytkeev, cp-mạng, ck -mạng, cn-mạng, sp-mạng Một hướng tác giả giới quan tâm nhiều nghiên mối quan hệ tính chất mạng khơng gian metric suy rộng bất biến chúng qua ánh xạ (xem [3, 7]) Bài toán bảo tồn số tính chất topo thơng qua ánh xạ toán trọng tâm topo đại cương Trong [5], Chuan Liu chứng minh không gian với cs-mạng hữu hạn địa phương không gian với sở điểm-đếm bảo tồn qua ánh xạ đóng, phủ-dãy liên tục Nhờ đó, tác giả thu bảo tồn không gian g -khả metric không gian qua ánh xạ đóng phủ-dãy, qua ánh xạ đóng mở Trong [9], L Q Tuyen chứng minh ánh xạ đóng phủ-dãy khơng gian với sở yếu điểm-đếm ánh xạ 1-phủ-dãy Gần đây, S Lin X Liu chứng minh rằng, không gian với cn-mạng sp-mạng bảo tồn qua ánh xạ giả-mở, không gian với cs∗ -mạng cs′ -mạng bảo tồn qua ánh xạ thương-dãy (xem [4, 7]) Với mong muốn nghiên cứu bảo tồn không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương qua ánh xạ mở ánh xạ đóng, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Ánh xạ mở ánh xạ đóng khơng gian metric suy rộng” làm đề tài nghiên cứu khoa học cho Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất mạng, khơng gian metric suy rộng, đưa số kết bất biến không gian mạng qua ánh xạ đóng Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất mạng, khơng gian metric suy rộng, ánh xạ đóng, ỏnh x Lindelăof, ỏnh x hon chnh v cỏc bt biến qua ánh xạ đóng Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ mạng, bất bin ca cỏc tớnh cht mng qua ỏnh x Lindelăof, đóng, liên tục tồn ánh Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập sách, báo khoa học tác giả trước liên quan đến tính chất mạng, ánh xạ mở, ánh xạ đóng, bất biến số mạng qua ánh xạ • Đọc kỹ chứng minh chi tiết kết tìm kiếm • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài mình Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày bất biến qua ánh xạ Lindelăof, úng, liờn tc v ton ỏnh bao gm mục: Mục 2.1, trình bày sở sở lân cận khơng gian Topo; Mục 2.2, trình bày tính chất ánh xạ đóng ánh xạ mở; Mục 2.3, trình bày số tính chất mạng bất biến qua ánh xạ đóng CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo kiến thức topo, nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau ([2]) Sau ký hiệu sử dụng toàn nghiên cứu N = {1, 2, }, ω = N ∪ {0} 1.1 Khái niệm không gian topo Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (1) ∅, X ∈ τ ; (2) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; S (3) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, ˆ τ gọi topo X ˆ Cặp (X, τ ) gọi không gian topo ˆ Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở ˆ Mỗi phần tử X gọi điểm Ví dụ 1.1.2 Giả sử X tập hợp, τ1 họ gồm tất tập X τ2 = {∅, X} Khi đó, τ1 , τ2 topo X Lúc này, ta nói τ1 topo rời rạc τ2 topo thơ X Ví dụ 1.1.3 (1) Giả sử (X, d) không gian metric Ta đặt τ = {U ⊂ X : U mở (X, d)} Khi đó, τ topo X Ta nói τ topo sinh d Như vậy, V mở (X, d) V ∈ τ , V mở (X, d) (2) Cho X = {a, b, c}  τ1 = ∅, X, {a}, {b}, {c} ;  τ2 = ∅, X, {a}, {a, b}, {a, c} ;  τ3 = {a, b}, {b, c} Khi đó, τ1 τ3 khơng topo, τ2 topo Ví dụ 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric τ = {A ⊂ X : A tập mở (X, d)} Khi đó, τ topo X ta nói τ topo sinh metric d Đặc biệt, X = R metric d khoảng cách thông thường R, nghĩa d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R, ta nói τ topo thơng thường R Nhận xét 1.1.5 Đối với không gian topo X , khẳng định sau 1) ∅, X tập hợp mở; 2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; 3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Chứng minh Ta chứng minh giao tùy ý tập mở khơng mở Thật vậy, giả sử R tập số thực với topo thông thường Ta đặt   1 An = − , với n ∈ N n n Khi đó, ˆ An tập mở với n ∈ N T ˆ An = {0} n∈N Thật vậy, {0} ⊂ An với n ∈ N nên {0} ⊂ T sử x ∈ An , T An Bây giờ, giả n∈N n∈N ≤ |x| < với n ∈ N n Qua giới hạn n → ∞ ta suy x = Như vậy, T An ⊂ {0} n∈N ˆ {0} không tập mở R Như vậy, nhận xét chứng minh 1.2 Lân cận Định nghĩa 1.2.1 Cho A tập khác rỗng khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận tập A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x ... CHƯƠNG Ánh xạ đóng ánh xạ mở không gian metric suy rộng 25 2.1 Cơ sở sở lân cận không gian topo 25 2.2 Tính chất ánh xạ đóng ánh xạ mở. .. địa phương không gian với sở điểm-đếm bảo tồn qua ánh xạ đóng, phủ-dãy liên tục Nhờ đó, tác giả thu bảo tồn không gian g -khả metric khơng gian qua ánh xạ đóng phủ-dãy, qua ánh xạ đóng mở Trong... chứng minh ánh xạ đóng phủ-dãy khơng gian với sở yếu điểm-đếm ánh xạ 1-phủ-dãy Gần đây, S Lin X Liu chứng minh rằng, không gian với cn-mạng sp-mạng bảo tồn qua ánh xạ giả -mở, không gian với cs∗