Ánh xạ đóng trong không gian mêtric suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGƠ QUANG TRƯỜNG ÁNH XẠ ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGÔ QUANG TRƯỜNG ÁNH XẠ ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn Tiến sĩ Lương Quốc Tuyển Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Tác giả MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian tôpô 1.3 Cơ sở sở lân cận không gian tôpô 10 1.4 Các tiên đề tách 11 1.5 Không gian 13 1.6 Không gian compact, không gian Lindelăof 13 1.7 Ánh xạ liên tục 15 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG 2.1 17 Ánh xạ đóng 17 2.2 Mối liên hệ ánh xạ đóng số ánh xạ có tính chất phủ 22 2.3 Tính chất ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng 27 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN Sau quy ước, thuật ngữ kí hiệu dùng luận văn Kí hiệu N tập tất số tự nhiên ω = N ∪ {0} Không gian tôpô viết gọn không gian Giả sử P họ gồm tập khơng gian X , x ∈ X , K ⊂ X Kí hiệu, (a) P= {P : P ∈ P} (b) P= {P : P ∈ P} (c) (P)K = {P ∈ P : P ∩ K = ∅} MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ánh xạ đóng khơng gian mêtric mở rộng toán trọng tâm tôpô đại cương Năm 1985, L Foged chứng minh X ảnh đóng khơng gian mêtric khơng gian Fréchet-Urysohn với k -mạng, σ -bảo tồn bào đóng di truyền Sau đó, Z Gao Y Hattori chứng minh X l nh úng Lindelăof ca khụng gian mờtric khơng gian Fréchet-Urysohn ℵ-khơng gian vào năm 1986 Gần nhiều tác giả giới quan tâm đến tính chất ánh xạ đóng biên-compact, ánh xạ đóng phủ-dãy bảo tồn không gian mêtric suy rộng qua ánh xạ đóng Năm 2007, C Liu chứng minh f : X −→ Y ánh xạ đóng X khơng gian có sở yếu đếm theo điểm, f Là ánh xạ biên-compact Y không chứa Sω ) Từ đó, tác giả chứng minh không gian g -khả mêtric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy cho khơng gian với sở yếu σ -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy cho khơng gian với sở yếu σ -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy Ngồi ra, C Liu chứng minh f : X −→ Y ánh xạ đóng X khơng gian dãy chuẩn tắc, f ánh xạ biên-compact đếm Y không chứa Sω Hơn nữa, tác giả thu kết bảo tồn không gian với sở đếm theo điểm, ℵ-không gian, không gian sn-khả mêtric qua ánh xạ đóng phủ-dãy Với lý trên, chúng tơi chọn: “Ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng” làm đề tài luận văn thạc sĩ 2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau: (1) Hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương, số kiến thức không gian mêtric suy rộng (2) Tìm hiểu số kết ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ánh xạ đóng, ánh xạ đóng phủ-dãy, ánh xạ phủ-compact Phương pháp nghiên cứu (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng” (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ nhằm để phục vụ cho việc chứng minh chương Luận văn Chương Ánh xạ đóng khơng gian metric suy rộng Trong chương này, chứng minh mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ, chứng minh tính chất ánh xạ đóng chứng minh điều kiện để ánh xạ đóng có biên-compact khơng gian mêtric suy rộng Mặc dù cố gắng song luận văn tránh hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hồn chỉnh Tơi xin trân trọng cảm ơn! CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ nhằm để phục vụ cho việc chứng minh Chương Luận văn 1.1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập tùy ý khác rỗng d : X × X → R hàm X × X thỏa mãn điều kiện sau (1) d (x, y) ≥ với x, y ∈ X ; d (x, y) = x = y (2) d (x, y) = d (y, x) với x, y ∈ X (3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó, (1) d gọi mêtric X (2) Cặp (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Giả sử {xn } dãy không gian mêtric X Ta nói dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho d (xn , x) < ε với n ≥ n0 Lúc đó, x0 gọi điểm giới hạn dãy {xn } 28 (3) B tập mở theo dãy Thật vậy, giả sử {xn } dãy X hội tụ đến x ∈ B Khi đó, (3.1) B ⊂ C ∪ Intf −1 (y) Thật vậy, ta có B = f −1 (y) \ A = ∂f −1 (y) ∪ Intf −1 (y) \ A = (∂f −1 (y) \ A) ∪ (Intf −1 (y) \ A) ⊂ (∂f −1 (y) \ A) ∪ Intf −1 (y) = C ∪ Intf −1 (y) (3.2) B = f −1 (y) \ A = f −1 (y) ∩ (X \ A) = X \ (A ∪ X \ f −1 (y)) (3.3) Nếu x ∈ Intf −1 (y), Intf −1 (y) tập hợp mở nên lân cận mở x Do đó, tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ Intf −1 (y) ⊂ B (3.4) Nếu x ∈ C , A ∪ (X \ f −1 (y)) khơng chứa dãy {xn } Thật vậy, giả sử ngược lại A ∪ (X \ f −1 (y)) chứa dãy {xn } Khi đó, (a) Nếu A chứa dãy {xn }, x ∈ A Do đó, x ∈ / C dẫn đến mâu thuẫn với x ∈ C (b) Nếu X \ f −1 (y) chứa dãy {xn }, từ cách đặt A ta suy x ∈ A, kéo theo x ∈ / C Điều mâu thuẫn với x ∈ C Bởi A ∪ (X \ f −1 (y)) không chứa dãy dãy {xn } nên từ (3.2) ta suy tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ∈ N} ⊂ B Như vậy, từ (3.1), (3.3) (3.4) ta suy B tập mở theo dãy X Bởi X không gian dãy nên ta suy B tập mở X Mặt khác, 29 B ⊂ f −1 (y) nên ta suy B ⊂ Intf −1 (y) Điều dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định (2) B \ Intf −1 (y) = ∅ 2.3.2 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng liên tục từ không gian mêtric X vào không gian tôpô Y Khi đó, với y ∈ Y , ta đặt A = x ∈ ∂f −1 (y) : tồn dãy L ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ đến x , ta có A = ∂f −1 (y) Chứng minh Bởi X khơng gian mêtric nên theo Nhận xét 2.2.2 ta suy X khơng gian dãy Do vậy, theo Định lí 2.3.1 ta suy hệ chứng minh 2.3.3 Định nghĩa ([?]) Giả sử P họ gồm tập khơng gian tơpơ X Khi đó, (1) P gọi họ đếm theo điểm (point-countable), tập hợp sau đếm với x ∈ X {P ∈ P : x ∈ P } (2) P gọi mạng x (network at x) X , x ∈ P với P ∈ P với lân cận U x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (3) P gọi mạng (network) X , {P ∈ P : x ∈ P } mạng x với x ∈ X 2.3.4 Định nghĩa ([5]) Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện (a) (b) sau với x ∈ X (1) Px mạng x (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px , tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 30 Khi đó, P gọi sở yếu (weak base) X , với tập G ⊂ X , G mở X với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ G 2.3.5 Bổ đề ([?]) Giả sử P = {Px : x ∈ X} sở yếu không gian tơpơ X Khi đó, với x ∈ X , {xn } dãy hội tụ đến x X P ∈ Px , tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P Chứng minh Giả sử ngược lại rằng, tồn x ∈ X Px ∈ Px cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ Px với m ∈ N Khi đó, tồn dãy L = {xni } {xn } thỏa mãn L ∩ Px = ∅ Ta có khẳng định sau (1) Bởi L ∩ Px = ∅ nên x ∈ / L (2) x ∈ L Thật vậy, giả sử V lân cận x Lúc này, L = {xni } dãy hội tụ đến x nên tồn m0 ∈ N cho xni ∈ V với i ≥ m0 Điều chứng tỏ V ∩ L = ∅ x ∈ S (3) Giả sử y ∈ X \ L Khi đó, ta xét hai trường hợp sau Trường hợp Nếu y = x, Px ⊂ X \ L Trường hợp Nếu y = x, {x} ∪ L tập hợp đóng P sở yếu X nên tồn Py ∈ Py cho y ∈ Py ⊂ X \ L ∪ {x} ⊂ X \ L 31 Từ hai trường hợp ta suy với y ∈ X \ L, tồn F ∈ Py cho y ∈ F ⊂ X \ L Bởi P sở yếu X nên X \ L tập hợp mở X , kéo theo L tập hợp đóng X Nhờ khẳng định (2) ta suy x ∈ L = L Điều dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định (1) x ∈ / L 2.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi khả mêtric tồn mêtric d X cho tôpô sinh mêtric d trùng với tôpô τ 2.3.7 Bổ đề ([?]) Giả sử X không gian tôpô với sở yếu đếm theo điểm Khi đó, X khơng gian dãy tập compact X khả mêtric 2.3.8 Bổ đề ([?]) Nếu X khơng gian tơpơ có mạng đếm được, khơng gian chuẩn tắc 2.3.9 Bổ đề Giả sử X khơng gian dãy Khi đó, với A ⊂ X với x ∈ A, tồn tập đếm C ⊂ A cho x ∈ C Chứng minh Giả sử A ⊂ X x ∈ A Ta đặt B= {C : C ⊂ A tập đếm được} Khi đó, ta có khẳng định sau (1) A = B Thật vậy, C ⊂ A với tập đếm C ⊂ A nên ta suy B= {C : C ⊂ A tập đếm được} ⊂ A Điều chứng tỏ B ⊂ A Ngược lại, giả sử z ∈ A, lúc ta lấy tập đếm C ⊂ A cho z ∈ C Suy z ∈ B , kéo theo A ⊂ B Như vậy, A ⊂ B 32 (2) Nếu D ⊂ B tập đếm được, tồn tập đếm C ⊂ A cho D ⊂ C Thật vậy, D tập đếm nên ta viết D = {xn : n ∈ N} Mặt khác, D = {xn } ⊂ B nên với n ∈ N, tồn tập đếm Cn ⊂ A cho xn ∈ Cn Do vậy, ta đặt C= {Cn : n ∈ N}, C tập đếm A D⊂ {C n : n ∈ N} ⊂ {Cn : n ∈ N} = C Như vậy, D ⊂ B , tồn tập đếm C ⊂ A cho D ⊂ C (3) B tập đóng X Thật vậy, giả sử ngược lại B khơng đóng X Khi đó, X khơng gian dãy nên tồn dãy {xn } ⊂ B hội tụ đến x ∈ / B Theo chứng minh tồn tập đếm C ⊂ A cho {xn : n ∈ N} ⊂ C Điều suy x ∈ {xn : n ∈ N} ⊂ C ⊂ B , dẫn đến mâu thuẫn với x ∈ / B Như vậy, B tập đóng X Từ khẳng định (1) (3) ta suy x ∈ A = B = B Cuối cùng, x ∈ B nên từ cách đặt B ta suy tồn tập đếm C ⊂ A cho x ∈ C 33 2.3.10 Định nghĩa Tập hợp F không gian tôpô gọi tập rời rạc với x ∈ F , tồn lân cận U x cho U ∩ F = {x} 2.3.11 Bổ đề Giả sử F tập vô hạn không gian tôpô X Khi đó, tập vơ hạn F đóng, F đóng rời rạc Chứng minh Giả sử F tập vô hạn tập vơ hạn F đóng Khi đó, F tập hợp đóng X Ta chứng minh F tập rời rạc Thật vậy, giả sử x ∈ F Khi đó, F \ {x} tập vơ hạn X nên F đóng X Suy tập hợp U = X \ F \ {x} lân cận mở x X U ∩ F = {x} 2.3.12 Bổ đề Giả sử K tập compact không gian tôpô X F ⊂ K Khi đó, F tập đóng rời rạc X , F có hữu hạn phần tử Chứng minh Giả sử K tập compact X F tập đóng rời rạc K Khi đó, với x ∈ F , tồn lân cận mở Ux x X cho Ux ∩ F = {x} Mặt khác, F tập hợp đóng nên họ H = {Ux : x ∈ F } ∪ {X \ F } phủ mở tập compact K Do đó, tồn tập hữu hạn E ⊂ F cho K⊂ Ux ∪ X \ F x∈E Điều chứng tỏ F ⊂ Ux ∩ K = E x∈E Do vậy, F tập hữu hạn X 34 2.3.13 Định nghĩa Giả sử x điểm khơng gian tơpơ X Khi đó, với n ∈ N, ta đặt S = {x} {xmn : n ∈ N}, Sm dãy hội tụ đến x X , đặt Sω = {Sm : m ∈ N} Khi đó, (1) S gọi quạt dãy Sω dãy L hội tụ đến x S , L giao với hữu hạn Sm , nghĩa tập hợp sau hữu hạn {m ∈ N : Sm ∩ L = ∅} (2) X gọi chứa (hoặc chứa đóng) Sω X có tập (tập đóng) đồng phơi với Sω Giả sử B tập không gian X Ta đặt S(B) = x ∈ X : x điểm giới hạn dãy B 2.3.14 Định lí Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian tơpơ X vào không gian tôpô Y X không gian có sở yếu đếm theo điểm Khi đó, với y ∈ Y , ∂f −1 (y) tập compact X Y không chứa Sω Chứng minh Ta đặt A = x ∈ ∂f −1 (y) : tồn dãy L ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ đến x Khi đó, theo Bổ đề 2.3.7, X khơng gian dãy Hơn nữa, nhờ Định lí 2.3.1, ta suy 35 A = ∂f −1 (y) với y ∈ Y Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ ∂f −1 (y) tập compact X với y ∈ Y Thật vậy, giả sử ngược lại tồn y ∈ Y cho ∂f −1 (y) không tập compact X Bởi X khơng gian có sở yếu đếm theo điểm nên theo Bổ đề 2.3.7 ta suy tập compact X khả metric Trước tiên, ta chứng minh tồn tập đếm {x(n) : n ∈ N} đóng rời rạc ∂f −1 (y) Thật vậy, ∂f −1 (y) khơng tập compact X nên ta suy tồn dãy {x(n) : n ∈ N} ⊂ ∂f −1 (y) cho {x(n) : n ∈ N} khơng có dãy hội tụ ∂f −1 (y) (1) {x(n) : n ∈ N} tập hợp đóng X Thật vậy, với x ∈ X \ {x(n) : n ∈ N}, khơng có dãy {x(n) : n ∈ N} hội tụ đến x nên tồn lân cận U x X chứa hữu hạn phần tử {x(n) : n ∈ N} Do đó, ta đặt V = U \ {x(n) : n ∈ N}, V lân cận mở x ta có V ∩ {x(n) : n ∈ N} = ∅ Như vậy, tồn lân cận mở V x cho x ∈ V ⊂ X \ {x(n) : n ∈ N} Điều chứng tỏ {x(n) : n ∈ N} tập đóng X (2) {x(n) : n ∈ N} tập rời rạc Thật vậy, với n0 ∈ N, khơng có dãy {x(n) : n ∈ N} hội tụ đến x(n0 ) nên tồn lân cận U x(n0 ) chứa hữu hạn phần tử {x(n) : n ∈ N} Do đó, ta đặt V = U \ {x(n) : n = n0 }, 36 V lân cận mở x(n0 ) ta có V ∩ {x(n) : n ∈ N} = {x(n0 )} Như vậy, {x(n) : n ∈ N} tập rời rạc X Tiếp theo, X khơng gian dãy x(n) ∈ A nên theo Bổ đề 2.3.9 ta suy với n ∈ N, tồn tập đếm {x(m, n) : m ∈ N} ⊂ A cho xn ∈ {x(m, n) : m ∈ N} Lại {x(m, n) : m ∈ N} ⊂ A nên từ cách đặt A ta suy với m ∈ N, tồn dãy Lmn ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ đến x(m, n) Ta đặt Z = {x(n) : n ∈ N} {x(m, n) : m, n ∈ N} {Lmn : m, n ∈ N} Khi đó, ta có khẳng định sau Khẳng định S(Z) không gian với mạng đếm Do đó, nhờ Bổ đề ?? ta suy S(Z) không gian chuẩn tắc Thật vậy, giả sử P = {Px : x ∈ X} sở yếu đếm theo điểm X Ta đặt G = {P ∩ S(Z) : P ∈ P, P ∩ Z = ∅} Khi đó, P họ đếm theo điểm Z tập đếm nên ta suy G họ đếm Bây ta cần chứng minh G mạng S(Z) Thật vậy, giả sử x ∈ S(Z) U lân cận mở x S(Z) Suy tồn lân cận mở V x X cho U = V ∩ S(Z) Mặt khác, x ∈ S(Z) nên tồn dãy {zn } ⊂ Z hội tụ đến x S(Z) Hơn nữa, theo Bổ đề 2.3.5 ta suy tồn P ∈ Px m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ V Bởi {zn } ⊂ Z nên ta suy P ∩ Z = ∅, kéo theo P ∩ S(Z) ∈ G Cuối cùng, từ bao hàm thức ta suy 37 {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P ∩ S(Z) ⊂ V ∩ S(Z) = U Như vậy, tồn P ∩ S(Z) ∈ G cho x ∈ P ∩ S(Z) ⊂ U , G mạng đếm x S(Z) Khẳng định Bởi {x(n) : n ∈ N} tập đếm rời rạc S(Z) nên tồn dãy tập mở rời {U (n) : n ∈ N} S(Z) cho U (i) ∩ U (j) = ∅ với i, j ∈ N mà i = j , x(n) ∈ U (n) với n ∈ N Thật vậy, {x(n) : n ∈ N} tập rời rạc nên với n ∈ N, tồn lân cận mở V (n) x(n) S(Z) cho V (n) ∩ {x(n) : n ∈ N} = {xn } với n ∈ N Do đó, với n = 1, S(Z) khơng gian chuẩn tắc nên tồn lân cận U (1) x(1) S(Z) cho x(1) ∈ U (1) ⊂ U (1) ⊂ V (1) Hơn nữa, {x(n) : n ≥ 2} ⊂ S(Z) \ V (1) ⊂ S(Z) \ U (1) S(Z) \ U (1) tập hợp mở nên ta suy V (2) ∩ S(Z) \ U (1) lân cận mở x(2) S(Z) Lại S(Z) khơng gian chuẩn tắc nên tồn lân cận mở U (1) x(2) cho x(2) ∈ U (2) ⊂ U (2) ⊂ V (2) ∩ S(Z) \ U (1) 38 Tiếp tục trình ta xây dựng dãy {U (n)} thỏa mãn x(n) ∈ U (n) ⊂ U (n) ⊂ V (n) ∩ S(Z) \ U (1) ∪ U (2) · · · ∪ U (n − 1) Cuối cùng, từ cách xây dựng ta thấy U (i) ∩ U (j) = ∅ với i, j ∈ N mà i = j Khẳng định Với n ∈ N, tồn mn ∈ N dãy Lmn n Lmn n cho Lmn n dãy hội tụ đến x(mn , n) Lmn n ⊂ U (n) với n ∈ N Thật vậy, x(n) ∈ {x(m, n) : m ∈ N} U (n) lân cận mở x(n) nên ta suy U (n) ∩ {x(m, n) : m ∈ N} = ∅ Do đó, tồn mn ∈ N cho x(mn , n) ∈ U (n) với n ∈ N Hơn nữa, Lmn n hội tụ đến x(mn , n) nên tồn dãy Lmn n Lmn n cho Lmn n ⊂ U (n) với n ∈ N Khẳng định Nếu Fn tập hữu hạn Lmn n với n ∈ N, {Fn : n ∈ N} đóng X Thật vậy, giả sử ngược lại {Fn : n ∈ N} khơng tập đóng X Bởi X khơng gian dãy nên tồn dãy {zn } hội tụ đến z0 ∈ X , zn ∈ Fn với n ∈ N Mặt khác, {zn } ⊂ Lmn n ⊂ Lmn n ⊂ Z 39 nên ta suy z0 ∈ S(Z) Điều chứng tỏ {zn } không tập đóng S(Z) Hơn nữa, zn ∈ Fn ⊂ Lmn n ⊂ U (n) với n ∈ N theo khẳng định (2), {U (n) : n ∈ N} dãy tập mở rời S(Z) nên ta suy mâu thuẫn Khẳng định Tập hợp {y} {f (Lmn n ) : n ∈ N} đóng Sω Thật vậy, giả sử {yk } dãy hội tụ đến z {y} {f (Lmn n ) : n ∈ N} dãy hội tụ đến y Y Khi đó, {yk } giao khác rỗng với vơ hạn f (Lmn n ), với n ∈ N, ta lấy tập hữu hạn Ekn = {yk } ∩ f (Lmn n ) Do đó, tồn tập hữu hạn Fkn ⊂ Lmn n cho Ekn = f (Fkn ) với n ∈ N Bởi {Fkn : n ∈ N} tập đóng X f ánh xạ đóng nên ta suy f ( {Fkn : n ∈ N}) = {Ekn : n ∈ N} tập đóng Y Điều mâu thuẫn với {yk } hội tụ đến y Y Như vậy, theo khẳng định (4) ta suy Y chứa đóng Sω Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Y không chứa Sω 2.3.15 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian mêtric X vào khơng gian Y Khi đó, với y ∈ Y , ∂f −1 (y) tập compact X Y không chứa Sω 40 Chứng minh Bởi X khơng gian metric nên X có sở đếm theo điểm Mặt khác, sở sở yếu nên ta suy X không gian có sở yếu đếm theo điểm Do vậy, nhờ Định lí 2.3.14 ta suy hệ chứng minh 41 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng đạt vấn đề sau (1) Hệ thống lại số kiến thức không gian mêtric, không gian tôpô (2) Trình bày số khái niệm tính chất ánh xạ liên tục (3) Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số định lý ánh xạ đóng khơng gian tơpơ (4) Trình bày mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ (5) Trình bày chứng minh chi tiết số tính ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng (6) Chứng minh chi tiết kết điều kiện để ánh xạ đóng có biên compact 42 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Engelking R (1988), “General Topology”, Sigma series in pure mathematics, 6, Heldermann Verlag, Berlin [2] Lin S (1988), “Mapping theorems on ℵ-spaces”, Topology Appl., 30, 159-164 [3] Lin S (2002), “Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings”, Chinese Sciece Press, Beijing [4] Liu C (1980), “Notes on closed maps”, Houston J Math., 33, 249-259 [5] Liu C (2005), “On weak bases”, Topology Appl ., 150, 91-99 [6] Liu C., Lin S (2009), “The closed mapping on k -semistratifiable spaces”, Houston J Math., 35, 139-147 [7] Tanaka Y (1994), “Theory of k -networks”, Questions Answers Gen Topology, 12, 139-164 [8] Tanaka Y (2001), “Theory of k -networks II”, Questions Answers Gen Topology, 19, 27-46 ... thức khơng gian mêtric suy rộng (2) Tìm hiểu số kết ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ánh xạ đóng, ánh xạ đóng phủ-dãy, ánh xạ phủ-compact... CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG Trong chương này, chứng minh mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ, chứng minh tính chất ánh xạ đóng chứng minh điều kiện để ánh. .. để ánh xạ đóng có biên-compact khơng gian mêtric suy rộng 2.1 ÁNH XẠ ĐĨNG 2.1.1 Định nghĩa Giả sử f : X −→ Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tơpơ Y Khi đó, (1) f gọi ánh xạ đóng f