Về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian Dmeetric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH THỊ MIÊN SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN D∗−MÊTRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH THỊ MIÊN SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN D∗−MÊTRIC NÓN Chuyên ngành Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2015 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu KHÔNG GIAN D∗ -MÊTRIC NÓN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nón không gian mêtric nón 1.3 Không gian D∗ −mêtric nón 12 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC NÓN 15 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co tựa co không gian D∗ −mêtric nón 15 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian D∗ −mêtric nón 21 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng giải tích, có nhiều ứng dụng toán học ngành khoa học kĩ thuật khác nên nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) không gian mêtric đầy đủ kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Sau đó, người ta mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian Một hướng mở rộng đưa khái niệm ánh xạ co cyclic nghiên cứu tồn điểm bất động Năm 2003, Krik cộng ([10]) mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện co cyclic Sau đó, tồn điểm bất động ánh xạ co cyclic thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Huang Zhang ([6]) mở rộng khái niệm không gian mêtric cách thay giả thiết hàm mêtric nhận giá trị không gian số thực R nhận giá trị không gian Banach có thứ tự đưa khái niệm không gian mêtric nón Vào năm 2011, Aage Salunke ([5]) đã đưa khái niệm không gian D∗ -mêtric nón đạt số kết tính chất tôpô tồn điểm bất động không gian D∗ -mêtric nón Để tập dược nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu lý thuyết điểm bất động tiếp cận vấn đề để nghiên cứu ánh xạ cyclic điều kiện co để ánh xạ cyclic tồn điểm bất động không gian D∗ -mêtric nón, tìm cách mở rộng số kết điểm bất động ánh xạ cyclic không gian mêtric cho không gian D∗ -mêtric nón Vì chọn đề tài nghiên cứu "Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian D∗ -mêtric nón" Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương Chương Không gian D∗ -mêtric nón Trong chương này, đầu tiên, nhắc lại số khái niệm tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung luận văn Trình bày khái niệm nón không gian Banach Sau đó, trình bày Định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian D∗ -mêtric nón Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian D∗ -mêtric nón Chương đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co suy rộng D∗ −mêtric nón Trong mục thứ chương này, mở rộng số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện cyclic co tựa co không gian mêtric cho không gian D∗ −mêtric nón Trong mục thứ hai, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian D∗ −mêtric nón Đó Định lý 2.1.3, 2.1.5, 2.1.6, 2.2.1 Hệ 2.1.4, 2.1.7, 2.1.8, 2.2.2, , 2.2.10 Các kết mở rộng số kết tài liệu [5, 8, 10, 11, 12] Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy giáo, PGS TS Định Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cảm ơn quý Thầy, Cô giáo Tổ Giải Tích Khoa Toán Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành đề cương, luận văn Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp cao học 21, chuyên ngành Giải Tích giúp đỡ động viên tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, ngày 18 tháng 10 năm 2015 CHƯƠNG KHÔNG GIAN D∗ -MÊTRIC NÓN Chương trình bày khái niệm số tính chất không gian D∗ -mêtric nón 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện (i) X = ∅, X ∈ τ ; (ii) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I Gi ∈ τ ; i∈I (iii) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc τ gọi tập mở Giả sử A ⊂ X Tập A gọi đóng X\A mở 1.1.2 Định nghĩa ([4]) Cho không gian tôpô X , tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X , x ∈ X , U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa ([4]) Dãy {xn } không gian tôpô gọi hội tụ tới điểm x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta viết xn → x lim xn = x x→∞ 1.1.4 Định nghĩa ([4]) Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T2 −không gian hay không gian Hausdorff hai điểm x, y ∈ X , x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ Nếu X không gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.5 Định nghĩa ([4]) Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y ; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.7 Định nghĩa ([2])Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với > 0, tồn n0 ∈ N cho với n m ≥ n0 d(xn , xm ) < Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric X gọi đầy đủ moi dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊂ X gọi đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh Mọi tập đầy đủ không gian mêtric tập đóng, tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.8 Định nghĩa ([2]) Giả sử E không gian vectơ trường K = R K = C Hàm p : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau (i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E p(x) = ⇔ x = 0; (ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; (iii) p(x + y) ≥ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E Số p(x) gọi chuẩn vectơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn x ||x|| Không gian vectơ E với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn 1.1.9 Mệnh đề ([2]) Nếu E không gian định chuẩn công thức d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E, xác định mêtric E Ta goi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.10 Định lý ([2]) Nếu E không gian định chuẩn ánh xạ chuẩn: x → ||x||, ∀x ∈ E ; phép cộng: (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, với (λ, x) ∈ K × E ánh xạ liên tục 1.1.11 Định lý Giả sử E không gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ E λ ∈ K, λ = ánh xạ x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E phép đồng phôi E lên E 1.2 NÓN VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón không gian Banach 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E không gian Banach trường số thực R Một tập P E gọi nón E nếu: (i) P đóng, P = ∅, P = {0}; (ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ x, y ∈ P ax + by ∈ P ; (iii) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.2.2 Ví dụ 1) Trong không gian số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi đó, P nón E 3) Giả sử C[a,b] tập tất hàm nhận giá trị thực liên tục [a, b] Ta biết C[a,b] không gian Banach với chuẩn 18 T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, , p Ap+1 = A1 Khi đó, tồn a ∈ [0, ) cho với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , với i = 1,2, ,p ta có D∗ (T x, T x, T y) ≤ asup{D∗ (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y), D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y), D∗ (x, y, T x), D∗ (x, y, T y), D∗ (x, T x, T y), D∗ (y, T x, T y)} (2.1.1) p ∗ Ai {T n x0 } hội tụ tới x∗ với T có điểm bất động x i=1 p x0 ∈ Ai i=1 p Chứng minh Lấy x0 ∈ p có dãy {xn } ⊂ Ai đặt xn = T xn−1 , với n = 1, 2, Khi đó, ta i=1 Ai Vì T ánh xạ cyclic nên xn ∈ Ai xn+1 ∈ Ai+1 Do i=1 đó, theo điều kiện (2.1.1), với n ≥ ta có D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn ) ≤ a sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn+1 ), D∗ (xn , xn , xn ), D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn , xn ), D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ), D∗ (xn , xn , xn+1 )} = a sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn+1 ), D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn , xn+1 )} ≤ a sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )} = a[D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] Do đó, với n ≥ ta có D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ a D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) 1−a 19 := bD∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) b = a ∈ [0, 1) (vì a ∈ [0, )) 1−a Từ suy D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ bn D∗ (x0 , x0 , x1 ), ∀n ≥ (2.1.2) Áp dụng bất đẳng thức tứ giác (2.1.2) ta có: D∗ (xn , xn , xn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 ) + + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p ) ≤ (bn + bn+1 + + bn+p−1 )D∗ (x0 , x0 , x1 ) p n1 − b D∗ (x0 , x0 , x1 ) =b 1−b bn D∗ (x0 , x0 , x1 ), ∀n ≥ 1, ∀p ≥ ≤ 1−b bn Vì b ∈ [0, 1) nên D∗ (x0 , x0 , x1 ) → n → ∞ Do đó, theo Bổ đề 1.2.5, 1−b bn với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho D∗ (x0 , x0 , x1 ) c với 1−b n ≤ n0 Từ suy với c ∈ intP, tồn n0 ∈ N cho với n ≥ n0 p ≥ ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) c Do {xn } dãy Cauchy Vì X không gian đầy đủ nên xn → x∗ ∈ X Bây giờ, ta chứng minh x∗ điểm bất động T Theo cách xây dựng dãy {xn } tính cyclic T suy với i ∈ {1, 2, , p} tồn dãy {xin } {xn } cho {xin } ⊂ Ai Mặt khác, Ai đóng X {xin } hội tụ tới x∗ nên x∗ ∈ Ai với i = 1, 2, , p Do đó, theo (2.1.1) bất đẳng thức tứ giác ta có: D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) ≤ D∗ (x∗ , x∗ , T xn ) + D∗ (T xn , T xn , T x∗ ) ≤ D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ) + a sup{D∗ (xn , xn , x∗ ), D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (xn , xn , T x∗ ), D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ), D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ), D∗ (xn , x∗ , xn+1 ), D∗ (xn , x∗ , T x∗ ), D∗ (xn , xn+1 , T x∗ ), D∗ (x∗ , xn+1 , T x∗ )} ≤ D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ) + a[D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) 20 + D∗ (xn , xn , x∗ ) + D∗ (xn+1 , x∗ , x∗ )], ∀n = 1, 2, Từ suy D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) ≤ [D∗ (x∗ , x∗ , xn+1 ) + aD∗ (xn , x∗ , x∗ ) 1−a + aD∗ (xn+1 , x∗ , x∗ )], ∀n = 1, 2, Từ bất đẳng thức xn → x∗ suy D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) c với c ∈ intP Do D∗ (x∗ , x∗ , T x∗ ) = tức x∗ = T x∗ p ∗ Cuối cùng, ta chứng minh x điểm bất động T Giả sử y ∈ i=1 p điểm bất động T Khi đó, từ x∗ y ∈ Ai Ai Ta có: i=1 D∗ (x∗ , x∗ , y) = D∗ (T x∗ , T x∗ , T y) ≤ a sup{D∗ (x∗ , x∗ , y), D∗ (x∗ , x∗ , x∗ ), D∗ (x∗ , x∗ , y), D∗ (y, y, x∗ ), D∗ (y, y, y), D∗ (x∗ , y, x∗ ), D∗ (x∗ , y, y), D∗ (x∗ , x∗ , y), D∗ (x∗ , y, y)} = a.D∗ (x∗ , x∗ , y) Vì a ∈ [0, ) nên từ bất đẳng thức suy D∗ (x∗ , x∗ , y) = 0, tức x∗ = y Vậy x∗ điểm bất động T 2.1.7 Hệ ([5] Định lý 2.3) Cho {Ai }pi=1 tập đóng, khác rỗng p p Ai → không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) T : i=1 Ai ánh xạ p-cyclic i=1 tức T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, , p Ap+1 = A1 Khi đó, tồn a ∈ [0, ) cho với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 ta có d(T x, T y) ≤ asup{d(x, y), d(x, T x), d(x, T y), d(y, T x), d(y, T y)} p ∗ T có điểm bất động x ∈ hội tụ tới x p Ai , dãy {T n x0 } Ai với x0 ∈ i=1 ∗ (2.1.3) i=1 21 Chứng minh Ta xác định hàm D∗ : X × X × X → P với D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(x, z)+d(y, z), với x, y, z ∈ X Khi đó, theo Định lí 1.3.12, D∗ D∗ −mêtric nón X (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ Với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , theo điều kiện (2.1.3) ta có: D∗ (T x, T x, T y) = 2d(T x, T y) ≤ 2a sup{d(x, y), d(x, T x), d(x, T y), d(y, T x), d(y, T y)} = a sup{D∗ (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y), D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y)} ≤ a sup{D∗ (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y), D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y), D∗ (x, y, T x), D∗ (x, y, T y), D∗ (x, T x, T y), D∗ (y, T x, T y)} Do theo Định lý 2.1.6 ta có điều phải chứng minh Trong Định lý 2.1.6, lấy Ai = X với i = 1, 2, , p ta nhận hệ sau 2.1.8 Hệ Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ T : X → X Khi đó, tồn a ∈ [0, ) cho ∗ ∗ D (T x, T x, T y) ≤ asup{D (x, x, y), D∗ (x, x, T x), D∗ (x, x, T y), D∗ (y, y, T x), D∗ (y, y, T y), D∗ (x, y, T x), D∗ (x, y, T y), D∗ (x, T x, T y), D∗ (y, T x, T y)} với x, y ∈ X T có điểm bất động X với x0 ∈ X dãy {T n x0 } hội tụ tới điểm bất động x∗ T 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian D∗−mêtric nón Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian 22 D∗ −mêtric nón 2.2.1 Định lý Cho {Ai }pi=1 họ tập đóng, khác rỗng không gian p ∗ ∗ D −mêtric nón đầy đủ (X, D ) ánh xạ T : p Ai → i=1 Ai ánh xạ cyclic i=1 tức T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, , p Ap+1 = A1 Khi đó, tồn số không âm aj (j = 1, 2, , 9) cho a1 + a2 + 2a3 + a4 + 2a5 + a7 + 2a8 + a9 < D∗ (T x, T x, T y) ≤ a1 D∗ (x, x, y) + a2 D∗ (x, x, T x) + a3 D∗ (x, x, T y) + a4 D∗ (x, y, T x) + a5 D∗ (x, y, T y) + a6 D∗ (y, y, T x) (2.2.1) + a7 D∗ (y, y, T y) + a8 D∗ (x, T x, T y) + a9 D∗ (y, T x, T y) với x ∈ Ai ; y ∈ Ai+1 T có điểm bất động Nếu thêm giả thiết a1 + a3 + a4 + a5 + a6 + a8 + a9 < điểm bất động T p Chứng minh Lấy x0 ∈ Ai đặt xn = T xn−1 ; n = 1, 2, Khi đó, với i=1 n ≥ tồn i ∈ {1, 2, , p} cho xn−1 ∈ Ai , xn ∈ Ai+1 Do đó, với n = 1, 2, ta có D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn ) ≤ a1 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a2 D∗ (xn−1 , xn−1 , T xn−1 ) + a3 D∗ (xn−1 , xn−1 , T xn ) + a4 D∗ (xn−1 , xn , T xn−1 ) + a5 D∗ (xn−1 , xn , T xn ) + a6 D∗ (xn , xn , T xn−1 ) + a7 D∗ (xn , xn , T xn ) + a8 D∗ (xn−1 , T xn−1 , T xn ) + a9 D∗ (xn , T xn−1 , T xn ) = a1 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a2 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a3 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn+1 ) + a4 D∗ (xn−1 , xn , xn ) + a5 D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ) + a6 D∗ (xn , xn , xn ) + a7 D∗ (xn , xn , xn+1 ) + a8 D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ) + a9 D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ (a1 + a2 + a4 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + a3 [D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] + a5 [D∗ (xn−1 , xn , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] + a7 D∗ (xn , xn , xn+1 ) + a8 [D∗ (xn−1 , xn , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] + a9 D∗ (xn , xn , xn+1 ) Từ đó, với n ≥ ta có (1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 )D∗ (xn , xn , xn+1 ) 23 ≤ (a1 + a2 + a4 + a3 + a5 + a8 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) hay a1 + a2 + a4 + a3 + a5 + a8 ∗ D (xn−1 , xn−1 , xn ) − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 = bD∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ b = (2.2.2) a1 + a2 + a4 + a3 + a8 + a5 < 1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 Như ta có D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ bD∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) ≤ b2 D∗ (xn−2 , xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ bn D∗ (x0 , x0 , x1 )∀n ≥ (2.2.3) Sử dụng bất đẳng thức tứ giác (2.2.3) ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 ) + + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p ) ≤ (bn + bn+1 + + bn+p−1 )D∗ (x0 , x0 , x1 ) p bn n1 − b ∗ =b D (x0 , x0 , x1 ) ≤ D∗ (x0 , x0 , x1 ) 1−b 1−b (2.2.4) với n ≥ với p ∈ N bn D∗ (x0 , x0 , x1 ) → n → ∞ Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 Vì b ∈ [0, 1) nên 1−b (2.2.4) suy ra, với c ∈ intP tồn n0 ∈ N cho với n ≥ n0 p ∈ N ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) c Theo Bổ đề 1.3.8, {xn } dãy Cauchy (X, D∗ ) Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên xn → x ∈ X Từ đó, ta có T xn = xn+1 → x Từ cách xây dựng {xn } tính cyclic T suy với i ∈ {1, 2, , p} tồn dãy {xin } {xn } cho {xin } ⊂ Ai Mặt khác, Ai đóng xin → x nên x ∈ Ai với p i = 1, 2, , p, hay x ∈ Ai Do đó, từ bất đẳng thức tứ giác điều kiệu (2.2.1) i=1 ta có D∗ (x, x, T x) ≤ D∗ (x, x, T xn ) + D∗ (T xn , T xn , T x) 24 ≤ D∗ (x, x, T xn ) + a1 D∗ (xn , xn , x) + a2 D∗ (xn , xn , xn+1 ) + a3 D∗ (xn , xn , T x) + a4 D∗ (xn , x, xn+1 ) + a5 D∗ (xn , x, T x) + a6 D∗ (x, x, xn+1 ) + a7 D∗ (x, x, T x) + a8 D∗ (xn , xn+1 , T x) + a9 D∗ (x, xn+1 , T x) ≤ D∗ (x, x, xn+1 ) + a1 D∗ (xn , xn , x) + a2 [D∗ (xn , xn , x) + D∗ (x, x, xn+1 )] + a3 [D∗ (xn , xn , x) + D∗ (x, x, T x)] + a4 D∗ (xn , xn+1 , x) + a5 [D∗ (xn , x, x) + D∗ (x, x, T x)] + a6 D∗ (x, x, xn+1 ) + a7 D∗ (x, x, T x) + a8 [D∗ (xn , xn+1 , x) + D∗ (x, x, T x)] + a9 [D∗ (x, xn+1 , x) + D∗ (x, x, T x)] với n = 1, 2, Từ suy D∗ (x, x, T x) ≤ [(1 + a2 + a6 + a9 )D∗ (x, x, xn+1 ) + (a1 + a2 + a3 + a5 )D∗ (x, x, xn ) + (a4 + a8 )D∗ (xn , xn+1 , x)] 1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 với n = 1, 2, Vì xn → x nên từ Định nghĩa 1.3.3 Bổ đề 1.3.4 suy với c ∈ intP tồn n0 ∈ N cho [(1 + a2 + a6 + a9 )D∗ (x, x, xn+1 ) − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 + (a1 + a2 + a3 + a5 )D∗ (x, x, xn+1 ) + (a4 + a8 )D∗ (xn , xn+1 , x) c , ∀n ≥ n0 Từ suy D∗ (x, x, T x) c với c ∈ intP Do theo Bổ đề 1.3.4, D∗ (x, x, T x) = 0, tức T x = x Vậy x điểm bất động T Giả sử (a1 + a3 + a4 + a5 + a6 + a8 + a9 ) < y ∈ X điểm bất động p T Khi đó, T y = y, x y ∈ Ai Do i=1 ∗ ∗ D (x, x, y) = D (T x, T x, T y) ≤ a1 D∗ (x, x, y) + a2 D∗ (x, x, x) + a3 D∗ (x, x, y) + a4 D∗ (x, y, y) + a5 D∗ (x, y, y) + a6 D∗ (y, y, x) + a7 D∗ (y, y, y) + a8 D∗ (x, x, y) + a9 D∗ (y, x, y) = (a1 + a3 + a4 + a5 + a6 + a8 + a9 )D∗ (x, x, y) 25 Vì (a1 + a3 + a4 + a5 + a6 + a8 + a9 ) < nên D∗ (x, x, y) = 0, tức x = y Sau số hệ Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ Cho {Ai }pi=1 họ tập đóng, khác rỗng không gian p p Ai → mêtric nón đầy đủ (X, d) ánh xạ T : i=1 Ai ánh xạ p−cyclic tức i=1 T (Ai ) ⊂ Ai+1 với i = 1, 2, , p, Ap+1 = A1 Khi đó, tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 cho α1 +α2 +α3 +2α4 < d(T x, T y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, T x) + α3 d(y, T y) (2.2.5) + α4 d(x, T y) + α5 d(y, T x) p ∗ với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , ≤ i ≤ p, T có điểm bất động x Ai Hơn i=1 thêm giả thiết α1 + α4 + α5 < điểm bất động T Chứng minh Trên X ta xét D∗ −mêtric xác định Định lý 1.3.12 Khi đó, (X, D∗ ) không gian mêtric đầy đủ Theo điều kiện (2.2.5) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 ta có D∗ (T x, T x, T y) = 2d(T x, T y) ≤ 2[α1 d(x, y) + α2 d(x, T x) + α3 d(y, T y) + α4 d(x, T y) + α5 d(y, T x)] = α1 D∗ (x, x, y) + α2 D∗ (x, x, T x) + α3 D∗ (y, y, T y) + α4 D∗ (x, x, T y) + α5 D∗ (y, y, T x) Điều chứng tỏ điều kiện (2.2.1) Định lý 2.2.1 thỏa mãn với a1 = α1 ; a2 = α2 ; a3 = α4 , a6 = α5 , a7 = α3 , a4 = a5 = a8 = a9 = Do theo Định lý 2.2.1 ta có điều phải chứng minh 2.2.3 Hệ ([11], Theorem 7) Cho {Ai }pi=1 họ tập đóng, khác p p Ai → rỗng không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) T : i=1 Ai thỏa mãn i=1 26 T (Ai ) ⊂ Ai+1 với i ∈ {1, 2, , p), Ap+1 = A1 Khi đó, tồn số không âm a, b, c với a + b + c < cho d(T x, T y) ≤ ad(x, T x) + bd(y, T y) + cd(x, y) với x ∈ Ai ; y ∈ Ai+1 , ≤ i ≤ p p T có điểm bất động Ai i=1 Chứng minh Đặt α1 = c, α2 = a, α3 = b, α4 = α5 = Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Hệ 2.2.2 thoả mãn Do điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 2.2.4 Hệ ([10], Theorem 3.1) Cho A1 , A2 , , Ap , Ap+1 = A1 họ tập p p Ai −→ đóng, khác rỗng không gian mêtric đầy đủ (X, d) T : i=1 Ai i=1 1 ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số thực a ∈ [0, 1), b ∈ [0, ) c ∈ [0, ) 2 cho với cặp (x, y) ∈ Ai × Ai+1 , ≤ i ≤ p, điều kiện sau (Z1 ) d(T x, T y) ≤ ad(x, y); (Z2 ) d(T x, T y) ≤ b[d(x, T x) + d(y, T y)]; (Z3 ) d(T x, T y) ≤ c[d(x, T y) + d(y, T x)] p T có điểm bất động x∗ Ai i+1 Chứng minh Nếu điều kiện (Z1 ) thoả mãn điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 với việc lấy α1 = a, α2 = α3 = α4 = α5 = Nếu điều kiện (Z2 ) thoả mãn điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 với việc lấy b = α2 = α3 Nếu điều kiện (Z3 ) thoả mãn điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 với việc lấy c = α4 = α5 2.2.5 Hệ ([8]) Cho {Ai }pi=1 họ tập đóng, khác rỗng không 27 p p Ai → gian mêtric nón đầy đủ (X, d) ánh xạ T : i=1 Ai ánh xạ p−cyclic i=1 tức T (Ai ) ⊂ Ai+1 với i = 1, 2, , p Ap+1 = A1 Khi đó, tồn số không âm a1 , a2 , a3 , a4 cho a1 + a2 + a3 + a4 < d(T x, T y) ≤a1 d(x, y) + a2 d(x, T x) + a3 d(y, T y) d(x, T y) + d(y, T x) + a4 (2.2.6) p với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , ≤ i ≤ p T có điểm bất động Ai i=1 Chứng minh Hệ trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.2 với việc lấy a4 α1 = a1 , α2 = a2 , α3 = a3 , α4 = α5 = 2.2.6 Hệ Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ T : X → X Khi đó, tồn số không âm aj (j = 1, 2, , 9) cho a1 + a2 + 2a3 + a4 + 2a5 + 2a8 + a9 < D∗ (T x, T x, T y) ≤ a1 D∗ (x, x, y) + a2 D∗ (x, x, T x) + a3 D∗ (x, x, T y) + a4 D∗ (x, y, T x) + a5 D∗ (x, y, T y) + a6 D∗ (y, y, T x) + a7 D∗ (y, y, T y) + a8 D∗ (x, T x, T y) + a9 D∗ (y, T x, T y) với x, y ∈ X T có điểm bất động Nếu thêm giả thiết a1 + a3 + a4 + a5 + a6 + a8 + a9 < điểm bất động T Chứng minh Hệ trường hợp đặc biệt Định lí 2.2.1, lấy Ai = X với i = 1, 2, 2.2.7 Hệ ([5], Theorem 2.2) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ T : X → X Khi đó, tồn số a, b, c, d ≥ cho a+b+c+d < D∗ (T x, T y, T z) ≤ aD∗ (x, y, z) + bD∗ (x, T x, T x) + cD∗ (y, T y, T y) + dD∗ (z, T z, T z) ∀x, y, z ∈ X (2.2.7) 28 T có điểm bất động Chứng minh Với x, y ∈ X theo điều kiện (2.2.7) ta có D∗ (T x, T x, T y) ≤ aD∗ (x, x, y) + bD∗ (x, T x, T x) + cD∗ (x, T x, T x) + dD∗ (y, T y, T y) (2.2.8) Từ (2.2.8) suy điều kiện Hệ 2.2.6 thỏa mãn với a1 = a, a2 = b + c, a7 = d, a3 = a4 = a5 = a6 = a8 = a9 = Do theo Hệ 2.2.6 T có điểm bất động X 2.2.8 Hệ ([12], Theorem 2) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn D∗ (T x, T y, T z) ≤ a[D∗ (x, y, z) + D∗ (x, T x, T y) + D∗ (y, T y, T z)] ∀x, y, z ∈ X (2.2.9) a số dương thuộc [0, ] Khi đó, T có điểm bất động Chứng minh Với x, y ∈ X theo điều kiện (2.2.9) ta có D∗ (T x, T x, T y) ≤ a[D∗ (x, x, y) + D∗ (x, T x, T x) + D∗ (x, T x, T y)] Bất đẳng thức chứng tỏ điều kiện Hệ 2.2.6 thoả mãn với a1 = a; a2 = a; a8 = a; a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = a9 = Do theo Hệ 2.2.6, ta có điểm bất động X 2.2.9 Hệ ([12], Theorem 3) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn b D∗ (T x, T y, T z) ≤ aD∗ (x, y, z) + [D∗ (x, T x, T y) + D∗ (y, T y, T z) (2.2.10) c ∗ ∗ + [D (x, y, T y) + D (y, z, T z)] ∀x, y, z ∈ X 3 a, b, c ≥ a + b + c < Khi đó, T có điểm bất động 2 Chứng minh Với x, y ∈ X theo điều kiện (2.2.10) ta có b D∗ (T x, T x, T y) ≤ aD∗ (x, x, y) + [D∗ (x, T x, T x) + D∗ (x, T x, T y)] 29 c + [D∗ (x, x, T x) + D∗ (x, y, T y)] ∀x, y ∈ X b+c Do điều kiện Hệ 2.2.6 thoả mãn với a1 = a; a2 = ; a5 = c b ; a8 = ; a3 = a4 = a6 = a7 = a9 = Do theo Hệ 2.2.6 T có 2 điểm bất động 2.2.10 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric nón đầy đủ T : X → X Khi đó, tồn số dương b1 , b2 , , b5 cho b1 + b2 + + b5 < với x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ b1 d(x, y) + b2 d(x, T x) + b3 d(y, T y) + b4 d(x, T y) + b5 d(y, T x) (2.2.11) T có điểm bất động X Chứng minh Với x, y ∈ X theo điều kiện (2.2.11) ta có d(T x, T y) = d(T y, T x) ≤ b1 d(y, x) + b2 d(y, T y) + b3 d(x, T x) + b4 d(y, T x) + b5 d(x, T y) Từ bất đẳng thức (2.2.11) suy b2 + b3 d(x, T x) b3 + b2 b4 + b5 + d(y, T y) + d(x, T y) 2 b5 + b4 + d(y, T x), ∀x, y ∈ X d(T x, T y) ≤ b1 d(x, y) + Từ suy điều kiện (2.2.5) Hệ 2.2.2 thỏa mãn với α1 = b2 + b3 b4 + b5 b1 , α2 = α3 = ; α4 = α5 = 2 Như điều kiện Hệ 2.2.2 thoả mãn với A1 = A2 = = Ap = X Do đó, theo Hệ 2.2.2, T có điểm bất động X 30 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Trình bày lại cách có hệ thống số khái niệm tính chất nón không gian D∗ −mêtric nón - Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thoả mãn số điều kiện co không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ, Định lí 2.1.3, 2.1.5, 2.1.6, 2.2.1 Từ Định lí suy số kết [5, 8, 10, 11, 12], Hệ 2.1.4, 2.1.7, 2.1.8, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9 2.2.10 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Thị Hải (2013), Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian mêtric nón [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 2, Nhà xuất Giáo dục [3] Dương Thị Thúy Vân (2013), Không gian D∗ −mêtric nón tồn điểm bất động [4] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] C T Aage and J N Salunke (2010), Some fixed points theorems in generalized D∗ −mêtric spaces, Applied sciences, 12, 1-13 Advances in Pure Mathematics, 401-407 [6] H L Guang and Z Xian (2007), Cone mêtric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl, 332, 1468-1476 [7] G E Hardy and T D Rogers (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canadian Mathematical Bulletin, vol 16, pp 201–206 [8] M Jleli, E Karapinar and B Samet (2012), Fixed point results for almost generalized cyclic (4,4) - weak contrative type mappings with applications, Abstract and Applied Analysis Volumn 2012, Article ID 917831, 17 pages doi: 101155/ 2012/ 917831 [9] W A Kirk, P S Srinivasan, and P Veeramani (2003), Fixed points for mappings satisfying cyclical contractive conditions, Fixed Point Theory, vol 4, no 1, pp 79–89 32 [10] M Petric, B Zlatanov (2010), Fixed point theorems of Kannan type for cyclical contractive conditions, Anniversity International Confer-ence REMIA, plovdu, Bulgania, 187-194 [11] M A Petric (2010), Some results concerning cyclical contractive mappings, General Mathematics, vol 18, no 4, pp 213–226 [12] T Veerapandi and Aji M Billai (2011), A common fixed poin theorem and some fixed point theorems in D∗ −Metric spaces, African Jornal of Mathematics and Computer Science Research, Vol 4(8), pp 273-280 [...]... trong không gian D∗ −mêtric nón 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa co trong không gian D∗−mêtric nón Mục này mở rộng một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa co trong không gian mêtric nón cho không gian D∗ −mêtric nón 2.1.1 Định nghĩa ([10]) Cho A1 , A2 , , Ap , Ap+1 = A1 là các tập con khác p p Ai → rỗng của tập X và ánh xạ T : i=1 Ai Ánh xạ. .. là không gian D∗ −mêtric nón và T là ánh xạ từ X → X Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu từ {xn } là dãy trong X và xn → x ∈ X suy ra T xn → T x Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu T x = x 15 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC NÓN Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của các ánh xạ cyclic thoả mãn các. .. thì T có duy nhất điểm bất động trong X và với mọi x0 ∈ X dãy {T n x0 } hội tụ tới điểm bất động x∗ của T 2.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian D∗−mêtric nón Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian 22 D∗ −mêtric nón 2.2.1 Định lý Cho... nhất điểm bất động trong X 30 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây - Trình bày lại một cách có hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản của nón và không gian D∗ −mêtric nón - Đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic thoả mãn một số điều kiện co trong không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ, đó là các Định lí 2.1.3, 2.1.5, 2.1.6, 2.2.1 Từ các Định... đóng trong X Do X đầy đủ nên theo Định lí 1.3.12 và A ∩ B đầy đủ Do đó theo Định lí 2.1.3, F có điểm bất động trong A ∩ B Từ (2) suy ra điểm bất động của F là duy nhất 2.1.6 Định lý Cho {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng, khác rỗng của không p gian D∗ −mêtric nón đầy đủ X và T : p Ai → i=1 Ai , là ánh xạ cyclic tức là i=1 18 T (Ai ) ⊂ Ai+1 ; i = 1, 2, , p trong đó Ap+1 = A1 1 Khi đó, nếu tồn tại a... chính trong [5, 8, 10, 11, 12], đó là các Hệ quả 2.1.4, 2.1.7, 2.1.8, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9 và 2.2.10 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Thị Hải (2013), Sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian mêtric nón [2] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục [3] Dương Thị Thúy Vân (2013), Không gian. .. một không gian D∗ -mêtric, {xn } là một dãy trong X Nếu với bất kì c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m, n, l > n0 , D∗ (xm , xn , xl ) c, thì {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X 1.3.7 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, D∗ ) là một không gian D∗ -mêtric nón Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian đầy đủ 1.3.8 Bổ đề Giả sử {xn } là dãy trong không gian D∗ -mêtric nón. .. gọi là p cyclic (nói i=1 gọn là cyclic) nếu T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , p Chú ý Từ định nghĩa này suy ra rằng, nếu T là ánh xạ p cyclic có điểm bất p động x thì x ∈ Ai i=1 2.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, D∗ ) là không gian D∗ −mêtric nón và T : X → X Ánh xạ T được gọi là co trên X nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho D∗ (T x, T y, T z) ≤ αD∗ (x, y, z) ∀x, y, z ∈ X Ta nhận thấy rằng, nếu T là ánh xạ co... ) c thì {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X 1.2.8 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là đầy đủ 1.3 KHÔNG GIAN D∗-MÊTRIC NÓN Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không gian D∗ -mêtric nón Giả sử E là không gian Banach, P là nón trong E với intP = ∅, ≤ và là các thứ tự trên E được xác định bởi P... a9 ) < 1 nên D∗ (x, x, y) = 0, tức là x = y Sau đây là một số hệ quả của Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ quả Cho {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng, khác rỗng của không gian p p Ai → mêtric nón đầy đủ (X, d) và ánh xạ T : i=1 Ai là ánh xạ p cyclic tức là i=1 T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , p, trong đó Ap+1 = A1 Khi đó, nếu tồn tại các số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 sao cho α1 +α2 +α3 +2α4 < 1 và d(T x, ... TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC NÓN 15 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co tựa co không gian D∗ −mêtric nón 15 2.2 Sự tồn. .. cứu ánh xạ cyclic điều kiện co để ánh xạ cyclic tồn điểm bất động không gian D∗ -mêtric nón, tìm cách mở rộng số kết điểm bất động ánh xạ cyclic không gian mêtric cho không gian D∗ -mêtric nón. .. −MÊTRIC NÓN Trong chương này, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co co suy rộng không gian D∗ −mêtric nón 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co tựa co không gian D∗−mêtric