phương pháp lặp suy rộng nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH PHƯƠNG PHÁP LẶP SUY RỘNG NGHIÊN CỨU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH PHƯƠNG PHÁP LẶP SUY RỘNG NGHIÊN CỨU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS: NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự xây dựng từ năm 1940 phát triển hôm Lý thuyết tìm ứng dụng đa dạng có ý nghĩa để nghiên cứu phương trình cụ thể xuất phát từ Toán học, Khoa học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học Trong lý thuyết phương trình không gian có thứ tự lớp phương trình với ánh xạ tăng đóng vai trò quan trọng Khi nghiên cứu phương trình dạng này, ta nhận kết sâu nghiệm nhất, ổn định tính gần nghiệm dãy lặp đơn điệu Các định lý Tarski Krasnoselskii điểm bất động ánh xạ tăng đòi hỏi điều kiện ngặt lên nón (nón milihedral mạnh) lên ánh xạ (điều kiện hoàn toàn liên tục).Sau với việc sử dụng nguyên lý tổng quát thứ tự điều kiện liên tục ánh xạ bỏ điều kiện compact giảm nhẹ nhiều Các định lý điểm bất động ánh xạ tăng nhiều nhà toán học chứng minh với phương pháp khác nhau: Sử dụng bổ đề Zorn, dãy siêu hạn, nguyên lý Entropy, dãy lặp suy rộng… Trong luận văn này, trình bày kết điểm bất động ánh xạ tăng không gian có thứ tự, theo phương pháp thống sử dụng dãy lặp suy rộng Heikkila Luận văn gồm chương: Chương 1: Nguyên lý truy hồi lặp tập có thứ tự: Chương 2: Một số định lý điểm bất động tập có thứ tự Chương 3: Ứng dụng cho phương trình bao hàm thức Chương 4: Một số trường hợp riêng Tôi xin chân thành cám ơn thầy Nguyễn Bích Huy, thầy giới thiệu đề tài, tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin cám ơn quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Toán giải tích khoá 20, bạn bè giúp đỡ nhiều suốt trình học tập hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC -4 CHƯƠNG NGUYÊN LÝ TRUY HỒI VÀ LẶP TRONG TẬP CÓ THỨ TỰ 1.1 Quan hệ thứ tự 1.2 Nguyên lý truy hồi lặp tập có thứ tự CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TẬP CÓ THỨ TỰ 11 2.1 Các định nghĩa 11 2.2 Điểm bất động ánh xạ đa trị 12 2.3 Điểm bất động ánh xạ đơn trị 18 2.4 So sánh nghiệm 23 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BAO HÀM THỨC26 3.1 Bài toán bao hàm thức 26 3.2 Bài toán đơn trị 28 CHƯƠNG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG 33 4.1 4.2 Điểm bất động không gian tôpô có thứ tự 33 Phương trình bao hàm thức không gian định chuẩn có thứ tự 37 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO -44 CHƯƠNG NGUYÊN LÝ TRUY HỒI VÀ LẶP TRONG TẬP CÓ THỨ TỰ Quan hệ thứ tự 1.1 1.1.1 Cho P tập khác rỗng Một quan hệ, kí hiệu “ ≤ ” P gọi quan hệ thứ tự (bộ phận) thoả mãn điều kiện sau: a x ≤ x với x ∈ P b Nếu x ≤ y y ≤ x x = y c Nếu x ≤ y y ≤ z x ≤ z Tập P khác rỗng có quan hệ thứ tự phận gọi tập có thứ tự phận, viết poset = P ( P ,≤) Với x , y ∈ P , ta kí hiệu x < y x ≤ y x ≠ y 1.1.2 Cho P tập có thứ tự, A ⊂ P Một phần tử b ∈ P gọi cận A x ≤ b với x ∈ A , b ∈ A ta nói b phần tử lớn A, kí hiệu b = max A Nếu tập cận A có phần tử nhỏ nhất, ta gọi cận nhỏ A kí hiệu sup A Phần tử y ∈ A gọi phần tử tối đại A y ≤ z z ∈ A z = y Một phần tử b ∈ P gọi cận A b ≤ x với x ∈ A , b ∈ A ta nói b phần tử nhỏ A, kí hiệu b = A Nếu tập cận A có phần tử lớn nhất, ta gọi cận lớn A kí hiệu inf A Phần tử y ∈ A gọi phần tử tối tiểu A z ≤ y z ∈ A z = y Phần tử lớn phần tử tối đại, phần tử nhỏ phần tử tối tiểu 1.1.3 Cho P tập có thứ tự, B ⊂ P Tập B gọi xích với cặp phần tử x , y ∈ B ta có x ≤ y y ≤ x Tập W dãy B gọi phần đầu B x ∈ W y < x y ∈ W Tập B gọi tốt tập khác rỗng B có phần tử nhỏ Tập B gọi tốt ngược tập khác rỗng B có phần tử lớn 1.1.4 Cho P tập có thứ tự, C ⊂ P Tập C gọi có hướng lên với cặp x, y ∈ C , tồn phần tử z ∈ C cho x ≤ z y ≤ z Tập C gọi có hướng xuống với cặp x, y ∈ C , tồn phần tử w ∈ C cho w ≤ x w ≤ y Tập C gọi có hướng C có hướng lên hướng xuống Cho= P ( P, ≤ ) tập có thứ tự, với z , w∈ P ta ký hiệu: [ z ) ={ x ∈ P : z ≤ x} ( w] ={ x ∈ P : x ≤ w} [ z , w=] [ z ) ∩ ( w] 1.1.5 Bổ đề Zorn: Cho P tập có thứ tự Nếu xích tốt P có cận P có phần tử tối đại 1.2 Nguyên lý truy hồi lặp tập có thứ tự Bổ đề 1.2.1(Nguyên lý truy hồi) Cho P tập có thứ tự khác rỗng, = 2P { A : A ⊂ P} , D ⊂ 2P , ∅ ∈ D ánh xạ f : D → P Khi tồn xích tốt C P thoả mãn: x ∈C ⇔ x = f ( C < x ) C < x = { y ∈ C : y < x} Ngoài ra: Nếu C ∈ D (tức f ( C ) tồn tại) f ( C ) cận ngặt C Chứng minh Một tập A khác rỗng P gọi f – tập có tính chất sau: i) ( A, < ) tập tốt ( ) ii) x = f A< x với x ∈ A A< x = { y ∈ A : y < x} Những f – tập thoả mãn: ( a ) : Nếu A B f –tập A ⊄ B B = A< x với x ∈ A Chứng minh ( a ) : Do A ⊄ B nên có x = ( A \ B ) Khi ta có: A< x ⊂ B  Chứng minh B = A< x Giả sử B \ A< x khác rỗng ( ) Khi = có y B \ A< x ⇒ B < y ⊂ A< x x Nếu B < y = A[...]... cú nghim nh nht u trong (V+ , ) trong ú {max L { x}: x P} v phng trỡnh Lu = inf {c, Nu} cú nghim ln nht u trong (V , = ) trong ú V {min L { x}: x P} 1 = V+ 1 b) Nu N tng trong (V , ) thỡ phng trỡnh Lu = Nu cú nghim nh nht v ln nht trong on cú th t [ u , u ] ca (V , ) v chỳng tng trong (V , ) i vi N c) Nu N tng trong (V , ) thỡ phng trỡnh Lu = Nu cú nghim nh nht v ln nht trong on cú th t [... nh nht v cn di ln nht trong P, v ocl ( N [V ]) cú mt sup center hoc mt inf center trong P N tng trong (V , ) hoc trong (V , ) v tp cỏc giỏ tr ca nú l tp iii) compact cú th t trong N [V ] Khi ú: Bao hm thc Lu Nu cú nghim ln nht v nh nht trong (V , ) Chng minh: Kớ hiu V = nh x {min L { x}: x P} v L 1 F : P 2P \ nh bi = L \ V F ( x ) := N ( L1 x ) vi x P Trng hp: N tng trong (V , ) v tp cỏc... Mi W D c t tng ng vi phn t = y f (W ) [ x ) F ( x ) trong ú x l mt cn trờn ngt c nh ca W trong S + Mt khỏc theo b 1.2.1, tn ti duy nht mt xớch sp tt W trong P tho: x W x = f (W < x ) ( ) Nh vy mi phn t y W ( tc l y f W < y , u thuc [ x ) F ( x ) trong ú x l cn trờn ngt c nh ca W < y trong S + Tp C ca nhng phn t x ny to thnh xớch sp tt trong S + Xột ỏnh x G :C P nh bi: x y vi y F ( x )... tng trong (V , ) Do ú, theo chng minh trờn Lu Nu cú nghim ln nht v nh nht trong (V , ) Bi toỏn n tr 3.2 nh lý 3.2.1 Cho cỏc tp cú th t V v P nh x L, N : V P Gi s: i) Vi mi x P , phng trỡnh Lu = x cú nghim ln nht v nh nht v chỳng tng theo x ii) N tng trong (V , ) hoc trong (V , ) Khi ú: ( ) Nu ocl N [V ] cú mt order center c trong P v nu cỏc xớch ca N [V ] cú cn trờn nh nht v cn di ln nht trong. .. () ( G tng, G x x v vi bt k xớch sp tt ngc D trong x u cú inf G [ D ] trong P ( Hb ) x l mt cn trờn ca F [ X ] = F ( x ) v nu x p trong X vi p P xX thỡ G ( p ) l mt cn trờn ca F ( x) ( Khi ú G cú im bt ng ti i x* trong x v nu x l im bt ng ca F thỡ x x* Chng minh Cho D l xớch sp tt ngc ca xG laởp ( Do D xớch sp tt ngc trong x nờn cú inf G [ D ] trong P (Theo gi thit ( H a ) ) { ( } Vy D cú... nht v nh nht v chỳng tng theo x ii) N tng trong (V , ) hoc trong (V , ) Khi ú: 32 a) Nu N [V ] cú mt cn trờn trong P v nu cỏc xớch ca N [V ] cú cn di ln nht thỡ phng trỡnh Lu = Nu cú mt nghim nh nht trong (V , ) v cú mt nghim ln nht trong (V , ) v nú tng i vi N b) Nu N [V ] cú mt cn di trong P v nu cỏc xớch ca N [V ] cú cn trờn... S , G cú im bt ng nh nht trong ( x ] v nú tng i vi G Chng minh: Cho C l xớch sp tt trong S+ ( ) Do G tng nờn G [C ] l sp tt Mi dóy tng ca G [C ] u cú dng G ( xn ) trong ú ( xn ) l dóy tng trong C Theo gi thit ( a ) v tớnh cht ( C ) thỡ cú supG [C ] trong P Theo mnh 2.3.5(a) ta cú iu phi chng minh (a) Khng nh (b) chng minh tng t da vo mnh 2.3.5(b) Mnh 4.1.3 Cho P l khụng gian tụpụ cú th t tho tớnh... hi t Khi ú: ( a ) Nu c l mt sup center ca G [ P ] trong P thỡ G cú im bt ng ln nht v nh nht Ngoi ra, G cú im bt ng ln nht x * trong ( x ] , trong ú x l nghim { } nh nht ca phng trỡnh x = sup c, G ( x ) C x v x * l tng i vi G ( b ) Nu c l mt inf center ca G [ P ] trong P thỡ G cú im bt ng ln nht v nh nht Ngoi ra, G cú im bt ng nh nht x* trong [ x ) , trong ú x l nghim ln nht ca phng trỡnh x = inf {c,... ca phng trỡnh x = sup c, G ( x ) nờn x x Suy ra: u = L+1 x L+1 x = v 30 Vy u l nghim nh nht ca phng trỡnh Lu = sup {c , Nu} trong (V+ , ) b) Gi s N tng trong (V , ) t u = L+1 x trong ú x l nghim nh nht ca phng trỡnh x = sup {c, G ( x )} Khi ú G ( x ) x Vy G cú im bt ng ln nht x * trong ( x ] ( ) ( ) * * t u* = L+1 x * Khi... t, ta chng minh c phng trỡnh Lu = Nu cú nghim nh nht u* trong khong cú th t [ u ) ca (V , ) v u* tng i vi N trong (V , ) 31 c bit, u* v u* l nghim nh nht v ln nht ca on cú th t [ u , u ] ca (V , ) c) Gi s N tng trong (V , ) Khi ú N tng trong (V , ) Gi s u* l nghim cú c trong chng minh a) Theo chng minh trờn ta cú u* u Ly u ... hn, nguyờn lý Entropy, dóy lp suy rng Trong lun ny, tụi trỡnh by cỏc kt qu v im bt ng ca ỏnh x tng khụng gian cú th t, theo mt phng phỏp thng nht l s dng dóy lp suy rng ca Heikkila Lun gm chng:... Mt khụng gian nh chun E l mt khụng gian tụpụ cú th t vi tụpụ yu v tụpụ thụng thng Ngoi tớnh cht ( C ) ỳng vi c hai trng hp Chng minh: D thy, khụng gian nh chun cú th t l khụng gian tụpụ cú... , ) Chng minh: 1) Suy t b 4.2.7 v nh lý 2.2.5 chng 2) Suy t b 4.2.7 v nh lý 3.1.2 chng KT LUN Trong lun ny, tụi ó gii thiu phng phỏp lp suy rng ca Heikkila